تئوری احتمال و کاربردآن
2
جلسه دهم
توزیع ویبول
توزیع بتا
توزیع نرمال
خواص توزیع نرمال
ترکیب خطی متغیرهای تصادفی نرمال
تابع توزیع تجمعی نرمال
خاصیت تولید مثل توزیع نرمال
توزیع نرمال دومتغیره
خواص توزیع نرمال دومتغیره
3
جلسه دهم
توزیع ویبول
4
جلسه دهم
توزیع بتا
توزیع بتا حالت کلی تر توزیع یکنواخت پیوسته است که در فاصله [0,1] تعریف می گردد.
نسبتها و درصدها در این دسته جای دارند.
تعریف: متغیر تصادفی X توزیع بتا با پارامترهای و دارد اگر و فقط اگر دارای چگالی احتمال زیر باشد:
اگر باشد یک توزیع یکنواخت در فاصله [0,1] خواهیم داشت.
5
جلسه دهم
توزیع بتا
مثال 17: اگر درصدی از درآمد فرد که پس انداز می شود متغیر تصادفی X باشد و فرض کنیم که توزیع آن بتا با پارامترهای و است احتمال اینکه فردی کمتر از 5% درآمد خود را پس انداز کند چقدر است؟
پاسخ:
6
جلسه دهم
توزیع بتا
برای یک توزیع بتا با پارامترهای و داریم
7
جلسه دهم
توزیع بتا
مثال 18: درصدی از حشرات که بعد از نوعی سم پاشی کشته می شوند متغیر تصادفی بتا با میانگین 0.6 و انحراف استاندارد 0.2 است احتمال اینکه دست کم نیمی از حشرات در اثر سم پاشی کشته شوند را محاسبه کنید.
پاسخ:
8
جلسه دهم
توزیع بتا
برای یک توزیع بتا با پارامترهای و داریم
اگر دو پارامتر توزیع صحیح و مثبت باشد آنگاه می توان توزیع تجمعی را از طریق احتمال تجمعی یک توزیع دوجمله ای با پارامترهای و محاسبه کرد یعنی
9
جلسه دهم
توزیع بتا
مثال 19: اگر درصد خانمهای شاغل متغیر تصادفی X برخوردار از توزیع بتا با پارامترهای و باشد احتمال اینکه کمتر از 40% خانمها شاغل باشند را محاسبه کنید.
پاسخ:
10
جلسه دهم
توزیع نرمال
بیشترین کاربرد را در مدلسازی تجارب تصادفی دارد.
در سال 1733 توسط دومور از توزیع دوجمله ای زمانی که تعداد آزمایشها زیاد می شود معرفی شد.
100 سال ناشناخته ماند تا در سال 1809 گاوس آن را به صورت مستقل به دست آورد. به آن توزیع گوسی نیز می گویند.
لاپلاس نیز در سال 1755 در قضیه حد مرکزی این توزیع را معرفی نموده است.
این قضیه به همراه قانون اعداد بزرگ پایه ای نظری فراهم می نماید تا نتایج حاصل از پدیده های تصادفی را به کمک مدل احتمال نرمال تقریب بزنیم.
11
جلسه دهم
توزیع نرمال
مثال 20: در یک کانال مخابراتی دیجیتال تعداد n بایت پیام فرستاده می شود که هر بایت با احتمال p خطاست در این صورت فرض کنید متغیر تصادفی X تعداد خطاها را نشان دهد که دارای توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p باشد. حال اگر Y به صورت X/n تعریف شود آنگاه Y نسبتی از کل بایتهای فرستاده شده را نشان می دهد که خطاست. در اینصورت داریم:
12
جلسه دهم
توزیع نرمال
Z شکل استاندارد شده Y است و داریم
اگر عددی کوچک باشد احتمال فوق نشان دهنده اختلافی به اندازه z برابر انحراف معیار بین مقدار مشاهده شده خطا(Y) و متوسط خطا(p) است.
بر اساس قضایای حدی فصل هفتم خواهیم داشت
سمت راست رابطه فوق تابع چگالی احتمال نرمال استاندارد است.
13
جلسه دهم
توزیع نرمال
14
جلسه دهم
توزیع نرمال
خواص توزیع نرمال
محور x ها مجانب افقی تابع است.
تابع حول a قرینه است.
X=a نقطه ماکسیمم مطلق است.
نقاط عطف تابع عبارت است از:
15
جلسه دهم
توزیع نرمال
خواص توزیع نرمال
قضیه: میانگین و واریانس متغیر تصادفی X که توزیع نرمال با پارامترهای a و b دارد به ترتیب عبارت است از و
اثبات:
16
جلسه دهم
توزیع نرمال
خواص توزیع نرمال
قضیه: تابع مولد گشتاور یک توزیع نرمال با میانگین و واریانس عبارت است از
اثبات:
17
جلسه دهم
توزیع نرمال
خواص توزیع نرمال
ترکیب خطی متغیرهای تصادفی نرمال
قضیه:
اثبات:
نتیجه: اگر X توزیع نرمال با پارامترهای و داشته باشد آنگاه
توزیع نرمال با پارامترهای صفر و یک است.
18
جلسه دهم
توزیع نرمال
خواص توزیع نرمال
تابع توزیع تجمعی نرمال
این انتگرال از طریق تحلیلی قابل محاسبه نیست و تنها از راه عددی می توان مقدار آن را مشخص نمود.
اما با توجه به اینکه پارامترهای توزیع می تواند موارد بیشماری باشد نمی توان برای هر یک مقادیر را مستقیم به دست اورد اما داریم
19
جلسه دهم
توزیع نرمال
خواص توزیع نرمال
تابع توزیع تجمعی نرمال
مثال 24: در ماشین خاصی اندازه قطر خارجی میله های تولید شده توزیع نرمال با میانگین 0.2508 و انحراف استاندارد 0.0005 سانتیمتر است. اگر اندازه مناسب قطر خارجی برابر سانتیمتر باشد چند درصد از میله های تولید شده نامناسب است.
پاسخ:
20
جلسه دهم
توزیع نرمال
خواص توزیع نرمال
تابع توزیع تجمعی نرمال
مثال 26: اگر X~N(40,36) باشد مقدار x را طوری تعیین نمایید تا 44.83% از مساحت زیر منحنی نرمال در سمت چپ x واقع شده باشد.
پاسخ:
21
جلسه دهم
توزیع نرمال
خواص توزیع نرمال
خاصیت تولید مثل توزیع نرمال
قضیه: جمع چند متغیر تصادفی مستقل نرمال خود یک توزیع نرمال با میانگینی برابر با مجموع میانگینها و واریانسی برابر مجموع واریانس های متغیرهای تصادفی جمع شده خواهد بود.
اثبات:
نتیجه: هر ترکیب خطی از متغیرهای تصادفی مستقل نرمال خود توزیع نرمال دارد.
22
جلسه دهم
توزیع نرمال دومتغیره
تعریف:
f(x,y) چگالی احتمال توام متغیرهای تصادفی X و Y است
چگالی کناری X توزیع نرمال با میانگین و واریانس و چگالی کناری Y توزیع نر مال با میانگین و واریانس است.
ضریب همبستگی بین X و Y است.
چگالی شرطی متغیر تصادفی Y وقتی که X=x است یک توزیع نرمال با میانگین و واریانس است و چگالی شرطی متغیر تصادفی X وقتی که Y=y است یک توزیع نرمال با میانگین و واریانس است
23
توزیع نرمال دومتغیره
که نشان از مستقل بودن X وY دو متغیر دارد ولی در حالت کلی این موضوع برقرار نیست.
مثال 29: سازمان سنجش کشور دریافته است که نمره کنکور و معدل دانشجو در پایان سال اول دانشگاه از توزیع نرمال دومتغیره با پارامترهای زیر برخوردار است.
دانش آموزی با نمره کنکور 900 ادعا می کند که درسخوان است و در صورت راه یابی به دانشگاه می تواند در پایان سال اول معدلی بالاتر از 2 بیاورد. احتمال اینکه این ادعا درست باشد چقدر است؟
پاسخ:
جلسه دهم
24
جلسه دهم
توزیع نرمال دومتغیره
خواص توزیع نرمال دومتغیره
قضیه: تابع مولد گشتاور توام متغیرهای تصادفی X و Y عبارت است از