تئوری احتمال و کاربردآن
2
جلسه هفتم
مقدمه
توزیع یکنواخت گسسته
خواص توزیع یکنواخت گسسته
توزیع برنولی
خواص توزیع برنولی
توزیع دوجمله ای
خواص توزیع دوجمله ای
توزیع چند جمله ای
خواص توزیع چند جمله ای
3
جلسه هفتم
مقدمه
رفتار یک متغیر تصادفی با تابع توزیع احتمال آن توضیح داده می شود.
تابع توزیع احتمال را می توان در قالب شکل، هیسنوگرام، جدول یا یک فرمول ریاضی بیان نمود.
گاهی نتایج حاصل از آزمایشهای آماری که دارای فضای نمونه گسسته هستند دارای رفتار عمومی از نوع خاصی هستند.
مثل: رفتار عمومی تمامی ازمایشهایی که تنها یک نتیجه موفقیت یا شکست دارند.
در نتیجه این متغیرها دارای توزیع جرمی احتمال یکسانی هستند که با آن می توان رفتار متغیر تصادفی را توضیح داد.
با در دست داشتن توزیع های جرمی احتمال مهم که مدلهای احتمال گسسته نامیده می شوند می توان رفتار بسیاری از متغیرهای تصادفی گسسته را توضیح داد.
در این فصل در مورد مدلهای احتمالی که بیشترین کاربرد را در علوم مهندسی، مدیریت و تحقیق در عملیات دارند بحث می گردد.
4
جلسه هفتم
توزیع یکنواخت گسسته
تعریف: اگر متغیر تصادفی X مقادیر x1، x2، … و xn را با احتمال یکسان اختیار کند، آنگاه توزیع یکنواخت گسسته به صورت زیر خواهد بود.
به n پارامتر توزیع گویند.
مثال 1: اگر تاس سالمی یکبار پرتاب شود هر یک از عناصر فضای نمونه s={1,2,3,4,5,6} با احتمال یکسان 6/1 می تواند نتیجه شود.در این صورت اگر متغیر تصادفی گسسته X را به عنوان نتیجه حاصل از پرتاب تاس تعریف کنیم آنگاه X از توزیع یکنواخت گسسته به صورت زیر برخوردار است
5
جلسه هفتم
توزیع یکنواخت گسسته
خواص توزیع یکنواخت گسسته
قضیه: میانگین و واریانس توزیع یکنواخت گسسته با پارامتر n عبارت است از
اثبات:
6
جلسه هفتم
توزیع یکنواخت گسسته
خواص توزیع یکنواخت گسسته
اگر برد مقادیر متغیر تصادفی X که دارای توزیع یکنواخت گسسته است شامل مقادیر صحیح a,a+1,…,b باشد آنگاه داریم
اثبات:
قضیه: تابع مولد گشتاور توزیع یکنواخت گسسته به صورت زیر است:
7
جلسه هفتم
توزیع برنولی
گاهی یک آزمایش آماری از دنباله ای از آزمایشهای کوچکتر تشکیل می شود که هر یک می تواند فقط دو نتیجه به دو صورت موفقیت(S) و شکست(F) تلقی شود.
مثلا در یک نمونه 10 تایی از قطعات هر یک از آنها یا سالم است یا خراب اگر سالم بودن را موفقیت و خراب بودن را شکست تلقی کنیم آنگاه آزمایش ما به 10آزمایش کوچکتر تقسیم می شود که فقط می تواند دو نتیجه داشته باشد.
اگر متغیر تصادفی X را برای یک آزمایش برنولی طوری تعریف کنیم که به ازای نتیجه موفقیت مقدار یک و به ازای نتیجه شکست مقدار صفر بگیرد توزیع احتمال جرمی X عبارت است از
f(0)=P(X=0)=P(F)=1-p
f(1)=P(X=1)=P(S)=p
8
جلسه هفتم
توزیع برنولی
خواص توزیع برنولی
قضیه 1: میانگین و واریانس توزیع برنولی با پارامتر p به ترتیب p و p(1-p) است.
اثبات:
قضیه 2: تابع مولد گشتاور یک توزیع برنولی با پارامتر p عبارت است از M(t)=pet+(1-p)
اثبات:
9
جلسه هفتم
توزیع برنولی
خواص توزیع برنولی
توزیع برنولی در حیطه وسیعی مانند کنترل کیفیت، پزشکی، پایایی قطعات و سیستمها و … به کار می رود.
مثلا یک تلکوپ فضایی یا یک نیروگاه اتمی را در نظر بگیرید که از n قطعه تشکیل شده است که می تواند سالم یا خراب باشد. حالت قطعه iام می تواند به وسیله یک متغیر تصادفی برنولی Xi نمایش داده شود که Xi=1 نشاندهنده سالم بودن قطعه iام و Xi=0 مبین خراب بودن آن است در این صورت پایایی قطعه iام ((Pi به صورت Pi =P(Xi=1)=E(Xi) تعریف می شود. حالت کل سیستم نیز می تواند به وسیله متغیر تصادفی برنولی X که X=1 در حال کار بودن سیستم و X=0 کار نکردن سیستم را نشان می دهد نمایش داده شود. در این حالت پایایی سیستم به صورت R=P(X=1)=E(X) تعریف می گردد.
حالت کل سیستم (X) تابع سیستم نام دارد و خود تابعی از حالتهای قطعات سیستم است.
سیستم های متشکل از n قطعه سه نوعند:
سیستمهای سری: موقعی کار می کنند که تمام قطعات آن کار کند.
سیستمهای موازی: موقعی کار می کنند که حداقل یکی از قطعات آن کار کند.
سیستمهای –k از n-: موقعی کار می کند که حداقل k قطعه از n قطعه کار کند.
10
جلسه هفتم
توزیع برنولی
خواص توزیع برنولی
تابع سیستم سیستمهای سری عبارت است از X=(X1)(X2)…(Xn)
تابع سیستم سیستمهای موازی عبارت است از
X=1-(1-X1)(1-X2)…(1-Xn)
تابع سیستمهای –kاز n- مانند هواپیمایی که اگر دست کم دو موتور از سه موتورش سالم باشد کار می کند عبارت است از
X=X1X2X3+X1X2(1-X3)+X2X3(1-X1)+X1X3(1-X2)
سیستمها باید طوری طراحی شوند که خراب شدن یکی از قطعات مستقل از خرابی دیگر قطعات باشد یعنی خرابی قطعات باید مستقل از هم لحاظ شود.
با فرض مستقل بودن متغیرهای تصادفی پایایی به شکل زیر خواهد بود:
پایایی سیستم سری عبارت است از
R=E(X)=E[(X1)(X2)…(Xn)]=E(X1)E(X2)…E(Xn)=p1p2p3…pn
پایایی سیستم موازی عبارت است از
R=E(X)=E[1-(1-X1)(1-X2)…(1-Xn)]=1-E(1-X1)E(1-X2)…E(1-Xn)
=1-(1-p1)(1-p2)…(1-pn)
پایایی برای یک سیستم -2 از -3 به صورت زیر است:
R=E(X)=p1p2p3+p1p2(1-p3)+p2p3(1-p1)+p1p3(1-p2)
11
جلسه هفتم
توزیع برنولی
خواص توزیع برنولی
مثال 7: با فرض اینکه هر یک از قطعات متشکله یک سیستم موازی از یک توزیع برنولی با پارامتر p برخوردارند
الف: این سیستم چند قطعه داشته باشد تاپایایی آن دست کم برابر 0.99 باشد؟
ب: اگر این سیستم 3 قطعه داشته باشد پارامتر توزیع برنولی را طوری به دست آورید تا پایایی سیستم 0.99 گردد.
پاسخ:
12
جلسه هفتم
توزیع دوجمله ای
برخی از آزمایشهای آماری از تعدادی آزمایش مستقل برنولی تشکیل می شود که احتمال موفقیت در آنها دچار تغییر نمی گردد در این صورت با یک فرآیند برنولی یا فرآیند دوجمله ای مواجهیم.
تعریف: یک فرآیند برنولی(دوجمله ای) به اندازه n(n یک عدد صحیح و مثبت) باید دارای ویژگی های زیر باشد:
آزمایش آماری از n آزمایش تکرار شونده کوچک تشکیل شود.
نتیجه هر یک از آزمایشهای کوچک بتواند به صورت شکست یا موفقیت تعریف شود.
احتمال موفقیت (p) در ازمایشهای کوچک ثابت بماند.
آزمایشهای کوچک مستقل از هم باشند.
اگر متغیر تصادفی X به عنوان تعداد موفقیتهای یک فرآیند برنولی به اندازه n در نظر گرفته شود، گفته می شود X توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p یعنی b(x;n,p) دارد و توزیع برنولی با پارامتر p حالت خاصی از مدل احتمال دوجمله ای با پارامترهای p و n=1 است
13
جلسه هفتم
توزیع دوجمله ای
تابع توزیع جرمی احتمال یک متغیر تصادفی دوجمله ای با پارامترهای n و p عبارت است از:
نام توزیع از قضیه بسط دوجمله ای آمده است:
14
جلسه هفتم
توزیع دوجمله ای
قضیه 1: اگر متغیر تصادفی X توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p داشته باشد آنگاه خواهیم داشت:
اثبات:
15
جلسه هفتم
توزیع دوجمله ای
مثال 9: احتمال بهبود یافتن هر فرد مبتلا به نوعی بیماری خونی نادر 0.4 است. اگر بدانیم 15 نفر مبتلا به این بیماری اند، احتمال پیشامدهای زیر را محاسبه کنید.
الف) دست کم 10 نفر بهبود یابند.
ب) از 3 تا 8 نفر بهبود یابند.
ج) دقیقا 5 نفر بهبود یابند.
پاسخ:
16
جلسه هفتم
توزیع دوجمله ای
خواص توزیع دوجمله ای
قضیه 2: اگر متغیر تصادفی X توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p و متغیر تصادفی Y توزیع دوجمله ای با پارامترهای n-1 و p داشته باشد، داریم
E(Xk)=npE[(Y+1)k-1]
اثبات:
17
جلسه هفتم
توزیع دوجمله ای
خواص توزیع دوجمله ای
نتیجه
18
جلسه هفتم
توزیع دوجمله ای
خواص توزیع دوجمله ای
قضیه 3: مجموع دو متغیر تصادفی مستقل X و Y که هریک توزیع دوجمله ای با پارامترهای به ترتیب (n,p) و (m,p) دارد خود متغیری است تصادفی که توزیع دوجمله ای با پارامترهای (m+n,p) دارد.
اثبات:
19
جلسه هفتم
توزیع دوجمله ای
خواص توزیع دوجمله ای
قضیه 4: تابع مولد گشتاور توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p عبارت است از [(1-p)+pet]n
اثبات:
20
جلسه هفتم
توزیع دوجمله ای
خواص توزیع دوجمله ای
مثال 14: نشان دهید مجموع دو متغیر تصادفی مستقل X و Y که هریک توزیع دوجمله ای با پارامترهای به ترتیب (n,p) و (m,p) دارد خود متغیری است تصادفی که توزیع دوجمله ای با پارامترهای (m+n,p) دارد.
پاسخ:
به این خاصیت، خاصیت تولید مثل گویند.
21
جلسه هفتم
توزیع چند جمله ای
تعریف: اگر یک آزمایش بتواند k نتیجه ناسازگار E1، E2، … و Ek با احتمالات به ترتیب p1، p2، … و pk داشته باشد و این آزمایش n دفعه به صورت مستقل تکرار شود به طوری که احتمالات فوق از آزمایشی به آزمایش دیگر تغییر نکند آنگاه یک فرآیند چندجمله ای خواهیم داشت.
با استفاده از توزیع چندجمله ای می توان احتمال اینکه xi بار نتیجه Ei حاصل شود را به دست آورد. این احتمال به شکل زیر خواهد بود.
22
جلسه هفتم
توزیع چند جمله ای
خواص توزیع چند جمله ای
توزیع های کناری هر یک از Xiها دوجمله ایست.
حالت خاص توزیع چند جمله ای که در آن k=2 است یک توزیع دوجمله ایست.
اگر k=3 و X1=X، X2=Y و X3=n-X-Y آنگاه داریم:
23
جلسه هفتم
توزیع چند جمله ای
خواص توزیع چند جمله ای
کواریانس بین دو متغیر تصادفی موجود در یک توزیع چندجمله ای
Ui=1 اگر آزمایش iام نتیجه ای مربوط به Xs داشته باشد.
Ui=0 اگر آزمایش iام نتیجه ای مربوط به Xs نداشته باشد.
Wi=1 اگر آزمایش iام نتیجه ای مربوط به Xt داشته باشد.
Wi=1 اگر آزمایش iام نتیجه ای مربوط به Xt نداشته باشد.
24
جلسه هفتم
توزیع چند جمله ای
خواص توزیع چند جمله ای
در توزیع سه جمله ای توزیع احتمال Y به شرط X=x عبارت است از
تابع مولد گشتاور توزیع چندجمله ای عبارت است از
25
جلسه هفتم
توزیع چند جمله ای
خواص توزیع چند جمله ای
مثال 18: 10% قطعات یک محموله بزرگ از قطعات تولید شده دارای یک نقص، 5% دارای بیش از یک نقص و بقیه فاقد هرگونه نقص هستند. فرض کنید 10 عدد از این قطعات به صورت تصادفی انتخاب شده اند. اگر X1 تعداد قطعات دارای یک نقص و X2 تعداد قطعات دارای بیش از یک نقص باشند و بدانیم هزینه دوباره کاری عبارت است از X1+3X2 میانگین و واریانس هزیه دوباره کاری را محاسبه کنید.
پاسخ: