تئوری احتمال و کاربردآن
2
جلسه هشتم
توزیع فوق هندسی
خواص توزیع فوق هندسی
توزیع هندسی
خواص توزیع هندسی
توزیع دوجمله ای منفی(پاسکال)
خواص توزیع دوجمله ای منفی(پاسکال)
توزیع پواسون
محاسبه احتمالات تجمعی توزیع پواسون
خواص توزیع پواسون
3
جلسه هشتم
توزیع فوق هندسی
برخی از آزمایشهای آماری از تعدادی آزمایش غیر مستقل تشکیل می شود که احتمال موفقیت در آنها دچار تغییر می گردد در این صورت با یک آزمایش فوق هندسی مواجهیم.
تعریف: یک آزمایش فوق هندسی دارای ویژگی های زیر است:
یک نمونه تصادفی به اندازه n بدون جایگذاری از N شیء انتخاب می شود.
از N شیء تعداد k شیء به عنوان موفقیت و N-k شیء به عنوان شکست طبقه بندی می شود.
در حالت کلی به محاسبه احتمال انتخاب x موفقیت از k امکان موجود و n-x شکست از N-k امکان موجود علاقه مندیم. در اینصورت متغیر تصادفی X که تعداد موفقیتها را در یک آزمایش فوق هندسی نشان می دهد، توزیع فوق هندسی با پارامتر های N، n و k دارد و با نماد h(x;N,n,k) نمایش داده می شود.
4
جلسه هشتم
توزیع فوق هندسی
تعریف: گفته می شود که متغیر تصادفی X توزیع فوق هندسی با پارامترهای N، n و k دارد اگر و فقط اگر
اگر فرض کنیم در حالت m<0 یا r<m آنگاه می توان در رابطه فوق از n به جای min[n,r] استفاده نمود.
5
جلسه هشتم
توزیع فوق هندسی
مثال 20: اگر خط مشی پذیرش بسته های ده تایی یک قطعه الکترونیکی انتخاب تصادفی 3 قطعه ااز آن و پذیرش در صورت سالم بودن هر 3 قطعه باشد و بدانیم در 30 از بسته ها 4 قطعه خراب و در بقسه 1 قطعه خراب داریم احتمال پذیرش بسته ها چقدر است؟
پاسخ: اگر A پیشامد پذیرفتن یک بسته و B1 و B2 به ترتیب پیشامد های موجود بودن 4 قطع خراب و یک قطعه خراب در بسته باشد داریم:
6
جلسه هشتم
توزیع فوق هندسی
خواص توزیع فوق هندسی
قضیه: در توزیع فوق هندسی با پارامترهای N، n و k رابطه زیر برقرار است:
اثبات:
7
جلسه هشتم
توزیع فوق هندسی
خواص توزیع فوق هندسی
نتیجه: با فرض r=1 و r=2 داریم
8
جلسه هشتم
توزیع فوق هندسی
خواص توزیع فوق هندسی
نتیجه: با فرض r=1 و r=2 داریم
توجه نمایید اگر k/N را برابر p فرض کنیم آنگاه میانگین این توزیع معادل میانگین توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p خواهد بود و واریانس آن (N-n)/(N-1) برابر واریانس توزیع دوجمله ایست به این مقدار ضریب تصحیح جمعیت محدود گویند و اگر n نسبت به N کوچک باشد این ضریب به سمت 1 میل می کند و در این حالت می توان به جای توزیع فوق هندسی از توزیع دوجمله ای استفاده نمود.
9
جلسه هشتم
توزیع هندسی
تعریف: یک آزمایش هندسی عبارت است از یک فرایند برنولی که به محض رسیدن به نتیجه موفقیت پایان می یابد.
مثال 25: اگر احتمال بازمانی موتور یک هواپیما در طول یک ساعت از کارکردن برابر 0.02 باشد، احتمال اینکه موتور هواپیما دوساعت بدون بازمانی کارکند را پیدا کنید.
پاسخ:
10
جلسه هشتم
توزیع هندسی
خواص توزیع هندسی
قضیه: میانگین و واریانس توزیع هندسی با پارامتر p به ترتیب عبارت است از 1/p و (1-p)/p2
اثبات:
11
جلسه هشتم
توزیع هندسی
خواص توزیع هندسی
قضیه: تابع مولد گشتاور توزیع هندسی با پارامتر p عبارت است از
اثبات:
12
جلسه هشتم
توزیع هندسی
خواص توزیع هندسی
تنها توزیع احتمال جرمی دارای خاصیت بی حافضگی توزیع هندسی است به عبارت دیگر
یعنی اگر در تا آزمایش صدم به موفقیت نرسیده باشیم احتمال آنکه در آزمایش 110ام به موفقیت برسیم برابر است با حالتی که هیچ آزمایشی انجام نداده ایم و می خواهیم در 10امین آزمایش به موفقیت برسیم.
13
جلسه هشتم
توزیع دو جمله ای منفی(پاسکال)
تعریف: یک آزمایش دوجمله ای منفی عبارت است از یک فرایند برنولی که به محض رسیدن به kامین k=0,1,2,… نتیجه موفقیت پایان می یابد.
X که معرف تعداد آزمایش های لازم برای رسیدن به kامین موفقیت است دارای توزیع دوجمله ای منفی است و داریم
مثال 31: یک مطالعه زمین شناسی نشان داده است که چاه اکتشافی نفت در ناحیه خاصی با احتمال 0.2 به نفت می رسد. در اینصورت احتمال اینکه پنجمین چاه اکتشافی به سومین چاه نفت منتج شود چقدر است؟
پاسخ:
14
جلسه هشتم
توزیع دو جمله ای منفی(پاسکال)
خواص توزیع دو جمله ای منفی(پاسکال)
قضیه: میانگین و واریانس توزیع هندسی با پارامترهای k و p به ترتیب عبارت است از k/p و k(1-p)/p2
اثبات: با توجه به اینکه یک متغیر تصادفی دوجمله ای منفی با پارامترهای k و p جمع k متغیر تصادفی هندسی مستقل با پارامتر p است بنابراین داریم
15
جلسه هشتم
توزیع دو جمله ای منفی(پاسکال)
خواص توزیع دو جمله ای منفی(پاسکال)
مثال 34: در یک هواپیمای پیشرفته 3 دستگاه کامپیوتر وجود دارد که فقط یکی مورد نیاز برای هدایت هواپیماست و دو دستگاه دیگر ذخیره هستند. در یک ساعت پرواز هواپیما احتمال اینکه کامپیوتر فعال خراب شود 0.0005 است. اگر کنترل هر ساعت پرواز هواپیما مستقل از ساعات دیگر باشد میانگین زمان خرابی سیستم فوق چقدر است؟ احتمال اینکه در طول 5 ساعت پرواز هر سه کامپیوتر خراب شوند چیست؟
پاسخ: اگر X تعداد ساعات مورد نیاز تا زمان خرابی هر سه کامپیوتر باشد و X1، X2 و X3 به ترتیب تعداد ساعات عمل کامپیوترهای اول، دوم و سوم باشد آنگاه X=X1+X2+X3 و هر یک از Xiها دارای یک توزیع هندسی با پارامتر 0.0005 است بنابراین X دارای توزیع دوجمله ای منفی با پارامترهای k=3 و p=0.0005 است در نتیجه داریم:
16
جلسه هشتم
توزیع پواسون
یکی از مفیدترین و پرکاربردترین توزیع های احتمال گسسته است.
فرض کنید به دنبال توزیع جرمی احتمال تعداد تصادفات در هفته یک چهارراه خاص باشیم.
اگر دوره زمانی را به زیرفاصله های ناسازگاری تقسیم کنیم به نحوی که در هر یک احتمال رخ دادن یک تصادف برابر p، احتمال رخ ندادن تصادف 1-p و احتمال رخ دادن بیش از یک تصادف 0 باشد. آنگاه:
تعداد کل تصادفات دارای یک توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p است.
هر چه تعداد زیرفاصله ها بیشتر باشد احتمال p کمتر است و هرچه این تعداد کمتر باشد مقدار p بیشتر است. اگر فرض کنیم np ثابت است در صورتی که n به سمت بی نهایت برود داریم:
17
جلسه هشتم
توزیع پواسون
18
جلسه هشتم
توزیع پواسون
تعداد غلطهای چاپی یک یا چند صفحه از یک کتاب
تعداد زمین لرزه ها در فاصله زمای معین
تعداد ترکها در بخشی از سطح یک بزرگراه
تعداد پرچهای خراب در سطح بال یک هواپیما
تعداد زدگی های موجود در سطح در یک یخچال
…
مثال 36: فرض کنید تعداد غلطهای چاپی در یک صفحه از کتاب توزیع پواسون با پارامتر 0.5 دارد احتمال اینکه دستکم یک غلط چاپی در یک صفحه از کتاب وجود داشته باشد چقدر است؟
پاسخ:
19
جلسه هشتم
توزیع پواسون
تعریف: یک فرآیند پواسون دارای ویژگی های زیر است:
پیشامدها به صورت تصادفی در نقاط خاصی از زمان/مکان رخ می دهند.
احتمال اینکه دقیقا یک نتیجه از پیشامد مورد نظر در فاصله زمانی/مکانی به طول به دست آید برابر است که در آن چنان است که
(متوسط تعداد نتایج بدست آمده در واحد زمان ثابت است)
احتمال اینکه پیشامد مورد نظر بیشتر از یک نتیجه در فاصله ای به طول داشته باشد برابر است. (احتمال به دست آوردن بیش از یک نتیجه در یک فاصله زمانی کوچک قابل اغماض است)
به ازای هر یک از اعداد صحیح مانند n و به ازای هر مجموعه از زیرفاصله های ناسازگار j1،j2،… و jn اگر Ei پیشامدی باشد که دقیقا ji عدد از پیشامد موردنظر در iامین زیرفاصله قرار می گیرند، آنگاه Eiها مستقل از یکدیگرند. (تعداد نتایج حاصله در زمان معینی مستقل از تعداد نتایج حاصله در دوره زمانی ناسزگار با دوره قبلی است)
20
جلسه هشتم
توزیع پواسون
حال با استفاده از فرضیات فوق نشان می دهیم که تعداد پیشامدهایی که در فاصله زمانی t رخ می دهد دارای یک توزیع پواسون با پارامتر که در آن میانگین آهنگ ورود یا میانگین آهنگ وقوع نیز می نامند.
اگر N(t) تعداد پیشامدها در بازه زمانی [0,t] باشد به دنبال فرمولی برای محاسبه P(N(t)=x)=Px(t);x=0,1,2,… هستیم.
اگر x=0 باشد آنگاه
اگر x>0 آنگاه احتمال رخ دادن x نتیجه تا زمان برابر است با احتمال رخ دادن x نتیجه تا زمان t ضربدر احتمال رخ ندادن هیچ نتیجه ای در زمان + احتمال رخ دادن x-1 نتیجه تا زمان t ضربدر احتمال رخ دادن یک نتیجه در زمان
21
جلسه هشتم
توزیع پواسون
مثال 39: فرض کنید زمین لرزه بر اساس یک فرآیند پواسون با آهنگ 2 زمین لرزه در هفته رخ می دهد در اینصورت احتمال اینکه دستکم 3 زمین لرزه در طول 2 هفته رخ دهد چقدر است.
پاسخ:
22
جلسه هشتم
توزیع پواسون
محاسبه احتمالات تجمعی توزیع پواسون
قضیه: اگر X توزیع پواسون با پارامتر داشته باشد داریم
اثبات:
23
جلسه هشتم
توزیع پواسون
خواص توزیع پواسون
قضیه: میانگین و واریانس متغیر تصادفی X که توزیع پواسون با پارامتر دارد برابر است با
اثبات:
24
جلسه هشتم
توزیع پواسون
خواص توزیع پواسون
قضیه: تابع مولد گشتاور متغیر تصادفی X که توزیع پواسون با پارامتر دارد برابر است با
قضیه: اگر X1، X2، … و Xk متغیرهای تصادفی مستقل و هر یک دارای توزیع پواسون با پارامترهای باشد و Y=X1+X2+…+Xk تعریف گردد آنگاه Y یک توزیع پواسون با پارامتر خواهد داشت.
اثبات: