پاورپوینت تئوری احتمال و کاربرد آن جلسه سوم

تئوری احتمال و کاربردآن

2
جلسه سوم
مقدمه
تعریف یک متغیر تصادفی
متغیرهای تصادفی گسسته، پیوسته و آمیخته
توزیعهای احتمال گسسته
توابع توزیع جمعی
توابع توزیع جمعی گسسته
توزیعهای احتمال پیوسته
توابع توزیع جمعی پیوسته
توزیعهای احتمال آمیخته
متغیرهای تصادفی چندبعدی

3
جلسه سوم
مقدمه
نتیجه برخی از پدیده ها تصادفی زیر مجموعه اعداد حقیقی است.
زمان رسیدن مشتری به یک فروشگاه
عمر انسان
…
در مواردی که نتایج عددی نیستند علاقه مند به نتایج عددی هستیم
تعداد شیرها در سه بار پرتاب سکه

4
جلسه سوم
تعریف یک متغیر تصادفی
آزمایشی با فضای نمونه S را در نظر بگیرید. اگر به هر نقطه مانند e موجود در S عددی حقیقی مانند X(e) نسبت دهیم رابطه ای بین S و R تعریف می گردد که به آن متغیر تصادفی گویند.
هر متغیر تصادفی تابعی با دامنه S و بردی زیرمجموعه R است.
مثال 1: در آزمایش مربوط به پرتاب یک سکه اگر X تعداد شیرها را نشان دهد آنگاه داریم:
X(H H H)=3، X(H H T)=2 ,…
مثال 2: مقادیر متغیر تصادفی Y که تعداد توپهای قرمز در انتخاب 2 توپ بدون جایگذاری از ظرفی شامل 4 توپ قرمز و 3 توپ سیاه است به شرح زیر می باشد:
Y(RR)=2، Y(RB)=1، Y(BR)=1 و Y(BB)=0
مثال 4: در مثال 1 احتمال مربوط به هر یک از مقادیر متغیر تصادفی X عبارتند از:
P(X=1)=P{TTH,THT,HTT)=3/8, P(X=0)=P{TTT)=1/8, P(X=2)=P{THH,HTH,HHT)=3/8, P(X=3)=P{HHH}=1/8
مثال 6: احتمال شیر آمدن در پرتاب یک سکه برابر p است سکه را آنقدر پرتاب می کنیم تا یا به شیر برسیم یا n بار پرتاب کرده باشیم اگر X متغیر تصادفی تعداد دفعات پرتاب سکه باشد آنگاه داریم:
P(X=1)=P{H}=p
P(X=2)=P{T,H}=(1-p)p
P(X=n-1)=P{T,T,T,..,T,H}=(1-p)np
P(X=n)=P{T,T,T,…,T}یا P{T,T,T,…,T,H}=(1-p)n+(1-p)n-1p=(1-p)n-1

5
جلسه سوم
متغیرهای تصادفی گسسته، پیوسته و آمیخته
اگر برد متغیر تصادفی X شامل تعداد محدود یا نامحدود ولی شمارش پذیر از نقاط باشد آنگاه متغیر تصادفی X یک متغیر تصادفی گسسته نامیده می شود.
مثال 8: در مثال 2 مقادیر ممکن متغیر تصادفی Y عبارت است از 0، 1 و 2 بنابراین Y گسسته است.
مثال 9: اگر متغیر تصادفی X تعداد پرتابهای لازم یک سکه برای رسیدن به نتیجه شیر باشد آنگاه برد تابع N است و X گسسته می باشد.
اگر برد متغیر تصادفی X شامل تعداد نامحدودی از نقاط باشد آنگاه متغیر تصادفی X یک متغیر تصادفی پیوسته نامیده می شود.
مثال 10: اگر بتوان طول را با هر دقتی اندازه گیری نمود آنگاه مسافت پیموده شده توسط یک خودرو به ازای هر 10 لیتر بنزین یک متغیر تصادفی پیوسته است.
در صورتی که فضای نمونه آمیخته داشته باشیم می توانیم متغیرهای تصادفی آمیخته داشته باشیم به این معنا که برخی از مقادیر محدود(یا نامحدود ولی شمارش پذیر) باشند و برخی از مقادیر نامحدود و شمارش ناپذیر

6
جلسه سوم
توزیعهای احتمال گسسته
اگر X یک متغیر تصادفی گسسته باشد آنگاه P(X=x) که آنرا با fX(x) یا f(x) نشان می دهند به ازای مقادیر مختلف x احتمالی را تخصیص می دهد و چگونگی توزیع احتمال را به ازای مقادیر مختلف x نمایش می دهد. به آن که یک تابع است تابع احتمال یا تابع توزیع احتمال متغیر تصادفی X می گویند.
تعریف: مجموعه زوجهای مرتب (x,fX(x)) توزیع احتمال متغیر تصادفی گسسته X نام دارد، اگر برای هر یک از مقادیر ممکن x داشته باشیم:
0<=fX(x)<=1

P(X=x)=fX(x)
تعبیر مکانیکی تابع توزیع احتمال گسسته عبارت است از جرم مقادیر مختلف متغیر تصادفی X که روی محور اعداد حقیقی به صورت fX(xi),i=1,2,3,… توزیع شده اند به همین دلیل توابع توزیع احتمال گسسته به نامه توابع جرمی احتمال نیز معروفند و با pmf نشان داده می شوند.

7
جلسه سوم
توزیعهای احتمال گسسته
مثال 12: فرض کنید مایل به انتخاب کمیته ای 2 نفره از میان 3 مرد و 3 زن هستیم اگر Y متغیر تصادفی نشان دهنده تعداد مردها باشد توزیع احتمال آن چیست؟
پاسخ:

بهترین پاسخ:

8
جلسه سوم
توابع توزیع جمعی
در بسیاری از موارد علاقه مند به محاسبه احتمال اینکه متغیر تصادفی X کوچکتر یا مساوی مقدار معلوم x باشد هستیم بنابراین داریم:
FX(x)=F(x)=P(X<=x)
به آن تابع توزیع تجمعی یا به اختصار cdf گویند.
خواص آن به شرح زیر می باشد:

خاصیت دوم به معنای غیر نزولی بودن و خاصیت پنجم به معنای پیوستگی تابع از سمت راست است.

9
جلسه سوم
توابع توزیع جمعی

10
جلسه سوم
توابع توزیع جمعی
مثال 14: تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی X عبارت است از:

در این صورت P(X<3) و P(X=1) و P(X>1/2) و P(2<X<=4) را بدست اورید.
پاسخ:

11
جلسه سوم
توابع توزیع جمعی
توابع توزیع تجمعی گسسته
تعربف: متغیر تصادفی گسسته X با توزیع احتمال f(x) مفروض است تابع توزیع تجمعی X به شرح زیر قابل ارائه می باشد:

مثال 15: اگر متغیر تصادفی گسسته X تعداد شیرهای بدست آمده از 4 بار پرتاب مستقل یک سکه باشد در این صورت می توان نشان داد که تابع توزیع جرمی احتمال X به شرح زیر است

12
جلسه سوم
توابع توزیع جمعی
و داریم
FX(0)=P(X<=0)=f(0)=1/16
FX(1)=P(X<=1)=f(0)+f(1)=5/16
FX(2)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)=11/16
FX(3)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=15/16
FX(3)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1

13
جلسه سوم
توزیعهای احتمال پیوسته
اگر X یک متغیر تصادفی پیوسته داشته باشیم احتمال اینکه متغیر ما برابر یک مقدار خاص گردد صفر است.
P(a<x<=b)=P(a<x<b)+P(X=b)=P(a<x<b)+0=P(a<x<b)
توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X را با f(x) نشان داده و به آن تابع چگالی احتمال یا به اختصار pdf گویند.
f(x) از رابطه مقابل به دست می آید.

تعریف: تابع f(x) چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته X است اگر روابط زیر برقرار باشد

14
جلسه سوم
توزیعهای احتمال پیوسته
مثال16: فرض کنید خطای اندازه گیری دما در یک آزمایش شیمیایی متغیر تصادفی . پیوسته مانند X با چگالی احتمال زیر است:
f(x)=x2/3 ; -1<x<2
ابتدا نشان دهید f(x) واقعا یک چگالی احتمال است و آنگاه P(0<X<=1) را پیدا کنید
پاسخ: چون f(x) مربع کامل است شرط اول را دارد

15
جلسه سوم
توزیعهای احتمال پیوسته
مثال19: مدت زمانی که یک رایانه قبل از خراب شدن کار می کند با متغیر تصادفی X معرفی می شود که چگالی احتمال زیر را دارد.

احتمال اینکه رایانه بین 50 و 150 ساعت کار کند چیست؟
احتمال اینکه رایانه کمتر از100 ساعت کار کند چیست؟
پاسخ:

16
جلسه سوم
توزیعهای احتمال پیوسته
توابع توزیع تجمعی پیوسته
تعریف: توزیع تجمعی متغیر تصادفی پیوسته X با چگالی احتمال f(x) عبارت است از:

یعنی چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته برابر است با مشتق تابع توزیع تجمعی آن

17
جلسه سوم
توزیعهای احتمال پیوسته
توابع توزیع تجمعی پیوسته
مثال 23: مدت زمان مورد نیاز برای کامل شدن یک فرایند شیمیایی متغیر تصادفی X با تابع توزیع تجمعی زیر است:
F(X)=1-e-0.1x ; x>=0
F(X)=0 ; X<0
چگالی احتمال متغیر تصادفی X چیست؟
احتمال اینکه یک فرآیند در کمتر از 200 هزارم ثانیه کامل شود را محاسبه کنید.
پاسخ: با توجه به اینکه چگالی احتمال متغیر تصادفی مشتق تابع توزیع تجمعی آن است برای x<0 این مقدار صفر است و برای x>=0 داریم
f(x)=0.01e-0.01x

18
جلسه سوم
توزیعهای احتمال آمیخته
اگر X متغیر تصادفی آمیخته باشد و تابع توزیع تجمعی قسمت گسسته آن F1(x) و تابع توزیع تجمعی قسمت پیوسته آن F2(x) باشد آنگاه داریم FX(x)=c1F1(x)+ c2F2(x) که c1 جمع احتمالات همه نقاط گسسته و c2=1-c1 جمع احتمالات همه نقاط پیوسته است.
مثال 24: فرض کنید متغیر تصادفی X عمر مفید نوعی قطعه الکترونیکی باشد که به احتمال 25% از همان ابتدا خراب است و در غیر اینصورت عمر مفید آن دارای چگالی احتمال f(x)=e-x ;x>=0 است. P(X>10) را به دست آورید.

19
جلسه سوم
متغیرهای تصادفی چندبعدی
احتمال موفقیت در تحصیلات دانشگاهی بر اساس مولفه های معدل، رتبه کنکور و شهرستان محل فراغت از تحصیل
تعریف: اگر S فضای نمونه آزمایش و X1، X2، … و Xn توابعی باشند که به صورت همزمان فقط و فقط یک n تایی مرتب متشکل از اعداد حقیقی x1=X1(e)، x2=X1(e)،… و xn=Xn(e) را به هر یک از عناصر e موجود در S نسبت دهند آنگاه [X1,X2,…,Xn] یک بردار تصادفی n بعدی خواهد بود در اینصورت برد بردار تصادفی فوق عبارت است از حاصل ضرب دکارتی بردهای متغیرهای تصادفی موجود در بردار تصادفی که مجموعه ای از n تایی های مرتب به صورت زیر است.

مثال 25: آزمایشی برای انتخاب 2 توپ به صورت تصادفی و بدون جایگذاری از جعبه ای شامل 3 توپ آبی، 2 توپ قرمز و 3 توپ مشکی را در نظر بگیرید. اگر متغیر تصادفی X را به عنوان تعداد توپهای آبی انتخاب شده و متغیر تصادفی Y را به عنوان تعداد توپهای قرمز انتخاب شده در نظر بگیریم آنگاه برد بردار تصادفی [X,Y] به صورت مجموعه {[0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[0,2],[2,0]} خواهد بود.