1
2
تئوری الاستیسیته
Theory of Elasticity
3
مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
4
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
1 – مقدمه
تاکنون در فصل اول به آنالیز تنش (Stress Analysis) و آنالیز کرنش (Strain Analysis) پرداختیم. در فصل دوم نیز به استخراج معادلات و روابط بنیادی در تئوری الاستیسیته پرداخته و روابط تنش-کرنش را استخراج نمودیم.
همچنین در فصل دوم به ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی پرداختیم و معادلات تئوری ارتجاعی بر حسب تغییر مکان ها (معادلات ناویه Navier) و نیز معادلات تئوری ارتجاعی بر حسب تنش ها (معادلات سازگاری بلترامی- میشل Beltrami-Michell) را استخراج نمودیم.
– اکنون می توانیم در پرتو مباحث فوق الذکر، به بررسی و حل مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص بپردازیم.
5
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
– مسائل دو بعدی الاستیسیته از جمله مسائل خاص می باشند که در این فصل مورد بحث و بررسی قرار خواهد گرفت.
– منظور از مسائل دو بعدی الاستیسیته مسائلی هستند که استفاده از دو مختصات، برای حل آنها کفایت می کند.
– از یک دیدگاه مسائل دو بعدی به دو دسته عمده تقسیم بندی می شوند:
6
مسائل خاص دیگری که در این فصل ( با استفاده از مباحث تئوری ارتجاعی ارائه شده در فصول اول و دوم) مورد بحث و بررسی قرار خواهند گرفت، عبارتند از:
الف) خمش خالص میله ها،
ب) پیچش میله ها،
پ) حل مسائل تقارن محوری.
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
بحثی در مورد روش عناصر محدود و تئوری الاستیسیته و رابطه بین آنها به ویژه در ارتباط با توابع تغییر شکل
7
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
2- مسائل تئوری ارتجاعی دو بعدی
الف) کرنش مسطح (Plane Strain)
مساله کرنش مسطح، یک مساله خاص تئوری ارتجاعی با طبیعت دو بعدی می باشد که می تواند به عنوان مثال در دو نوع رفتار سازه ای خاص پیش آید:
*رفتار یک جسم استوانه ای شکل طویل که محور مولد آن موازی محور X3 (یا Z) در نظر گرفته می شود. سیستم بار توزیعی بر روی این استوانه به گونه ای است که مولفه سوم بردار جابجایی حذف و در عین حال دو مولفه دیگر جابجایی در راستای X3 ثابت بوده یعنی مستقل از X3 می باشند.
* رفتار یک سد طویل، نمونه دیگری از مساله کرنش مسطح می باشد.
8
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
9
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
بنابراین یک جسم هنگامی در وضعیت تغییر شکل مسطح یا کرنش مسطح است (به عنوان مثال موازی سطح X1X2) که مولفه U3 بردار تغییر مکان آن حذف و مولفه های U1 و U2 آن فقط تابعی از متغیرهای X1 و X2 بوده یعنی مستقل از X3 باشند. به عبارت دیگر تغییر شکل مسطح توسط روابط زیر مشخص می شود:
و
10
– با توجه به روابط ذکر شده، روابط کرنش – تغییر مکان زیر را خواهیم داشت:
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
و به صورت اندیسی داریم:
11
از روابط تنش-کرنش نیز داریم (بر حسب ضرایب لامه):
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
12
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
برحسب ضرایب هوک نیز داریم:
که عکس آنها به صورت زیر در می آید:
13
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
بنابراین معادلات تعادل تنش به صورت زیر در می آید:
14
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در حالت کرنش مسطح، از شش رابطه سازگاری کرنش ها، فقط یک رابطه باقی می ماند که به صورت زیر است:
معادلات ناویه یا معادلات تئوری ارتجاعی برحسب مولفه های تغییر شکل نیز به صورت زیر درمی آیند :
15
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
معادلات بلترامی- میشل یا معادلات تئوری ارتجاعی برحسب مولفه های تنش نیز به صورت زیر در می آیند:
که در آنها داریم:
16
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
شرایط مرزی مربوط به تنش ها نیز به صورت زیر در می آیند:
مشخص است که نیروی سطحی T با مولفه های T1 و T2 و T3 فقط باید تابعی از X1 و X2 باشد. همچنین روشن است که در یک مسئله کرنش مسطح، مولفه سوم نیروهای سطحی اعمالی می تواند صفر نباشد.
17
در مختصات استوانه ای برای حالت کرنش مسطح داریم:
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
روابط کرنش – تغییر مکان در دستگاه مختصات استوانه ای عبارتند از:
18
معادلات تعادل تنش ها عبارتند از:
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
تنها رابطه سازگاری که باقی می ماند عبارت است از:
طبیعی است که BZ باید مساوی صفر باشد.
19
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در دستگاه مختصات استوانه ای، روابط تئوری ارتجاعی برحسب مولفه های تغییر مکان به صورت زیر در می آیند (معادلات ناویه):
در دستگاه مختصات استوانه ای، روابط تئوری ارتجاعی برحسب مولفه های تنش بصورت زیر در می آیند (معادله سازگاری بلترامی – میشل):
20
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
ب) تنش مسطح (Plane Stress)
مسئله تنش مسطح، یک مسئله خاص تئوری ارتجاعی با طبیعت دو بعدی می باشد که می تواند به عنوان مثال در سه نوع رفتار سازه ای خاص پیش آید:
* رفتار یک صفحه تحت اثر نیروهای درون صفحه ای (In-plane Forces)،
* تیر تحت اثر کنش های درون صفحه ای،
* دیوارهای برشی.
21
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
بنابراین در حالت تنش مسطح، مولفه های تنش در راستای X3 حذف و مولفه های تنش در راستای X1 و X2 صرفاً توابعی از X1 و X2 می باشند. به عبارت دیگر داریم:
22
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
از طرف دیگر داریم:
روابط مذکور به صورت معکوس به صورت زیر در می آیند:
23
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
معادلات تعادل به صورت زیر در می آید:
بنابراین در یک مسئله تنش مسطح، نیروی حجمی در راستای X3 بدون مولفه بوده و مولفه های آن در دو راستای دیگر یعنی B1 و B2 مستقل از X3 می باشند.
از روابط سازگاری، فقط چهار رابطه باقی می ماند:
24
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
که در آن C0 و C1 و C2 ضرایب ثابتی هستند.
معادلات ناویه یا معادلات تئوری ارتجاعی برحسب مولفه های تغییر شکل نیز به صورت زیر در می آیند:
25
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
معادلات بلترامی – میشل یا معادلات تئوری ارتجاعی برحسب مولفه های تنش نیز به صورت زیر در می آیند:
شرایط مرزی مربوط به تنش ها نیز به صورت زیر نوشته می شوند:
بنابراین در یک مسئله تنش مسطح، مولفه سوم نیروهای اعمالی سطحی، صفر می باشد.
26
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در مختصات استوانه ای برای حالت تنش مسطح داریم:
معادلات بلترامی – میشل برای تنش مسطح:
معادلات بلترامی – میشل برای کرنش مسطح:
27
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
روابط بین کرنش – تغییر مکان به صورت زیر
نوشته می شوند:
روابط تنش – کرنش و معادلات تعادل و معادلات ناویه هم به راحتی به دست می آیند.
معادلات سازگاری بلترامی – میشل برای حالت تنش مسطح به صورت زیر در می آید:
28
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
پ) تابع تنش ایری (Airy's Stress Function)
در بخش های قبلی معادلات تعادل برای مسائل کرنش مسطح و تنش مسطح توسعه داده شد.
در هر دو حالت تنش مسطح و کرنش مسطح نشان دادیم که مولفه های سوم نیروهای حجمی ((B3 بایستی صفر باشند و مولفه نیروهای حجمی B1 و B2 صرفاً تابعی از X1 و X2 می باشند.
29
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در این صورت معادلات تعادل (چه در حالت تنش مسطح و چه در حالت کرنش مسطح) به صورت زیر بیان می شوند:
مشخص است که با این انتخاب، معادلات تعادل (چه در حالت تنش مسطح و چه در حالت کرنش مسطح) ارضاء می شوند.
30
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
از طرفی معادلات بلترامی – میشل (یا معادلات تئوری ارتجاعی برحسب مولفه های تنش) در حالت کرنش مسطح به صورت زیر در آمده بودند:
یا به اختصار می توان نشان داد که:
31
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در غیاب نیروهای حجمی و یا در صورت ثابت بودن آنها خواهیم داشت:
در ارتباط با مسئله تنش مسطح گفتیم که معادلات بلترامی – میشل یا معادلات تئوری ارتجاعی به صورت زیر در آمدند:
32
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در غیاب نیروهای حجمی و یا در صورت ثابت بودن آنها خواهیم داشت:
33
در بررسی مسائل تنش مسطح گفتیم که از روابط سازگاری برای حالت تنش مسطح، فقط چهار رابطه زیر باقی می مانند:
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
از رابطه اول، همان معادله بلترامی – میشل زیر به دست می آید:
از سه رابطه دیگر سازگاری نیز روابط زیر برحسب تابع تنش بدست می آید:
34
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
که در آن C1 تاC3 سه ضریب ثابت اختیاری هستند.
35
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
ت) نحوه حل مسائل الاستیسیته دوبعدی با استفاده از تابع تنش ایری
معمولاً برای حل مسائل دوبعدی تئوری ارتجاعی (تنش مسطح و کرنش مسطح)، باید با توجه به شرایط مرزی مربوط به تنش ها، تابع تنش ایری مناسب را حدس زد. روش رایج برای این منظور در نظر گرفتن تابع چند جمله ای برای تابع تنش ایری است.
به عنوان مثال اگر چند جمله ای زیر را در نظر بگیریم:
36
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
به عنوان مثال تابع تنش را به صورت زیر در نظر می گیریم:
37
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
مولفه های تنش را محاسبه کنیم، خواهیم داشت:
38
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
یعنی تنش ها در کلیه نقاط جسم ثابت می باشند، بنابراین تابع مذکور برای شرایطی مناسب است که نمایانگر تنش یکنواخت در محدوده جسم مورد مطالعه باشد. واضح است که در این صورت تنش های مرزی جسم نیز بایستی به شکلی، گویای مولفه های تنش مذکور ارائه شده باشد. یعنی:
39
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
اگر یک چند جمله ای درجه 3 به صورت زیر که در آن a1 تا a3 و b1 تا b4ضرایب ثابتی هستند، مورد استفاده قرار دهیم، در این صورت خواهیم داشت:
مولفه های تنش از روابط مربوطه به صورت زیر بدست می آیند:
40
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
عبارات فوق نشان دهنده تغییرات خطی هر سه مولفه تانسور تنش در هر دو راستای x1 و x2 می باشد. واضح است که در این صورت تنش های مرزی جسم نیز بایستی به شکلی، گویای مولفه های تنش مذکور ارائه شده باشند.
برای یک صفحه مستطیلی اگر فرض شود که تمامی ضرایب به جز b4 مساوی صفر باشند، در این صورت خواهیم داشت:
مولفه های تنش به صورت زیر بدست می آیند:
که بیانگر حالت خمش خالص می باشد، یعنی داریم:
41
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
اکنون باید بررسی کنیم که آیا تابع انتخاب شده تنش، شرایط مرزی را ارضاء می کند یا نه؟ مشخص است که شرایط مرزی به شرطی کاملاً روی تمامی سطوح ارضاء می شود که در روی سطوح x1=0 و x1=L داشته باشیم:
که در آن A سطح مقطع است.
شرایط مرزی دوم با جایگذاری مقدار تنش به صورت زیر به دست می آید:
42
با توجه به اینکه داریم:
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
43
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
به عنوان مثال اگر تابع تنش را بصورت چند جمله ای درجه 4 اختیار کنیم:
44
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
مولفه های تنش در این حالت عبارتند از:
بدیهی است که ضرایب a4 و b4 و c4 و d4 ضرایب اختیاری می باشند و با تنظیم آنها می توان شرایط متنوع بارگذاری یک صفحه مستطیلی را به دست آورد.
بنابراین توزیع بارگذاری زیر به دست می آید:
45
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
به همین ترتیب اگر چند جمله ای از مرتبه 5 را به صورت زیر برای تابع تنش تصور کنیم:
مولفه های تنش نیز عبارتند از:
بدیهی است با تنظیم ضرایب اختیاری می توان شرایط متنوع بارگذاری یک صفحه مستطیلی را به دست آورد.
46
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
3- خمش تیر یک سرگیردار تحت اثر بار متمرکز – مقطع مستطیلی
تیر یک سر گیردار را با مقطع مستطیلی یکنواخت در نظر گرفته و فرض می کنیم که این تیر تحت اثر بار متمرکز P در انتهای آزاد خود می باشد.
47
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
مسئله مذکور را به عنوان یک مسئله تنش مسطح تلقی نموده و آن را برای حالت بدون نیروی حجمی حل می کنیم.
ابتدا شرایط مرزی را برای این مسئله مشخص می نماییم.
در خواهیم داشت:
در x =0 نیز خواهیم داشت:
از آنجا که لنگر خمشی در هر مقطع تیر تابع خطی x بوده و از طرفی می دانیم که لنگر مقطع بایستی توسط تنش های σx خنثی گردد، بنابراین به سهولت می توان دریافت که تابع تنش عمودی σx یک تابع خطی از x خواهد بود. پس خواهیم داشت:
48
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
با انتگرال گیری از این معادلات داریم:
چون توابع f1(x) و f2(x) فقط بستگی به x دارند، لذا معادله مذکور در صورتی ارضا می شود که روابط زیر برقرار باشند:
49
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
که کلیه ضرایب به کار رفته در معادلات فوق ضرایب ثابتی می باشند که با استفاده از شرایط مرزی تعیین می شوند. پس تابع تنش به صورت زیر در می آید:
با داشتن تابع تنش فوق می توان مولفه های تنش را محاسبه نمود:
یا می توان آنها را به صورت زیر نوشت:
50
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
اکنون با داشتن مولفه های تانسور تنش، شرایط مرزی را اعمال می نماییم.
بنابراین تابع تنش ایری به شکل زیر خواهد بود:
که در معادله مذکور، با توجه به بی اثر بودن درجه کمتر از یک، جملات مذکور حذف شده اند.
51
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در نتیجه مولفه های تنش به شکل زیر هستند:
در x=0 داریم:
52
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
بنابراین با جانشین نمودن C4 در عبارات مربوط به مولفه های تنش، خواهیم داشت:
با داشتن مولفه های تنش می توان مولفه های کرنش را نیز استخراج نمود:
53
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
حال مولفه های تغییر مکان u و v را تعیین می نماییم:
توابع f(y) و g(x) به عنوان ثابت های انتگرال گیری هستند.
همچنین داریم:
54
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
یا می توان نوشت:
با توجه به آنکه در معادله بالا، F(x) تابعی از x و G(y) تابعی از y بوده و حاصل جمع این دو تابع برابر مقدار ثابت K می باشد، لذا هریک از دو تابع فوق، به تنهایی مقدار ثابتی خواهند داشت، به عبارت دیگر داریم:
که می توان آن را به صورت کلی زیر نوشت:
55
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در این صورت خواهیم داشت:
در نقطه B در انتهای تیر، حرکت صلب جسمی در راستای x و y مقید شده باشد، به عبارت دیگر باید داشته باشیم:
56
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
شرط دیگر، مربوط به دوران صفر در انتهای x=l است، به عبارت دیگر باید داشته باشیم:
57
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
بنابراین u و v به صورت زیر به دست می آیند:
با انتخاب y=0 در معادله مربوط به v، معادله تغییر مکان محور خنثی به دست می آید:
با انتخاب y=0 در معادله مربوط به u، معادله تغییر مکان محور خنثی به دست می آید، که در تطابق با مفهوم محور خنثی می باشد:
58
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
4- حل مسائل متقارن محوری (Axisymmetric)
مسئله متقارن محوری، مسئله ای است که در آن هندسه و بارگذاری و در نتیجه میدان تغییر شکل و تنش، تقارن محوری داشته باشد.
به عنوان مثال استوانه جدار ضخیم که تحت فشار داخلی Pi و فشار خارجی Pe قرار دارد، نظیر مخازن تحت فشار و لوله های انتقال سیال، از نوع مسائل متقارن محوری است.
معمولاً مسائل متقارن محوری در دستگاه مختصات استوانه ای حل می شود.
59
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
قبلاً روابط کرنش – تغییر مکان و روابط تعادل را برای دستگاه مختصات استوانه ای به صورت زیر استخراج نمودیم:
60
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در مسائل متقارن محوری داریم:
61
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
به عبارت دیگر مولفه های کرنش عبارتند از:
معادلات تعادل نیز به صورت زیر به دست می آیند:
62
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
هرگاه مقطع عمود بر z یکنواخت و بار اعمالی مستقل از z بوده و همچنین بار وارده فاقد مولفه در راستای z باشد، در این صورت مولفه های کرنش عبارت خواهند بود از:
و تنها معادله تعادل باقی مانده به صورت زیر به دست می آید:
که در غیاب نیروی حجمی نیز به صورت زیر در می آید:
63
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
مثال: حل یک استوانه جدار ضخیم تحت فشار
روش اول: روش تغییر مکان ها (معادلات ناویه Navier )
روابط تنش – کرنش و کرنش- تغییرمکان برای این مسئله متقارن محوری عبارتند از:
64
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
و به این ترتیب معادله دیفرانسیل تعادل تنها برحسب یک مجهول بدست می آید که با حل آن و اعمال شرایط مرزی مناسب، تابع ur مشخص می شود:
که جواب آن عبارت است از:
65
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
که در آن ضرایب C1 و C2 ثابت های انتگرال گیری می باشند. با در نظر گرفتن تابع فوق، مولفه های تنش به صورت زیر در می آیند:
شرایط مرزی نیرویی را مطابق زیر در نظر می گیریم:
با اعمال شرایط مرزی مذکور، ضرایب C1 و C2 به صورت زیر به دست می آیند:
66
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
روش دوم: روش تنش ها (معادلات سازگاری بلترامی – میشل)
پیش از این در مبحث تنش و کرنش مسطح، معادلات سازگاری بلترامی – میشل برای حالات تنش مسطح و کرنش مسطح به صورت زیر بدست آمدند (در غیاب نیروهای حجمی):
67
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
که در آن داریم:
که در این صورت معادله تعادل زیر ارضا می شود.
68
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
که در آن داریم:
این معادله دیفرانسیل، همان معادله دیفرانسیل اولر است که دارای جوابی به صورت زیر می باشد:
که در آن c1 تا c4 ثابت های انتگرال گیری هستند. c4 هیچ اثری در حل مسائل نداشته و c1 تا c3 نیز بایستی از شرایط مرزی ( نیرویی و تغییرمکانی) تعیین گردند.
69
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
5- پیچش
الف) پیچش اعضاء با مقطع یکنواخت (توپر)
یکی دیگر از حالات خاص مسائل تئوری ارتجاعی، پیچش میله ها است.
در این بخش به پیچش اعضاء با مقطع یکنواخت می پردازیم (در این مرحله مقطع یکنواخت فرض می شود، ولی تمایزی را بین مقاطع مختلف قائل نمی شویم).
برای این منظور، عضو مورد نظر را مطابق شکل زیر همراه با دستگاه محورهای مختصاتی که محور z آن موازی مولدهای عضو باشد، اختیار کرده و فرض می کنیم که محور پیچش مقطع و محور z منطبق بر یکدیگر می باشند.
70
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
که در آن φ زاویه پیچش در واحد طول مورد نظر است.
71
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
Saint-Venant (سنت ونان) مولفه های تغییر مکان نقطه P را به صورت زیر تعریف نمود:
در مورد مولفه سوم – – ذکر دو نکته ضروری است:
اول: اینکه با توجه به یکنواخت بودن مقطع و عدم تمایز مقاطع مختلف، تغییر مکان در راستای z مستقل از z فرض می شود.
دوم: اینکه این تغییر مکان متناسب با زاویه پیچش در واحد طول است.
72
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
اینک مولفه های تانسور کرنش را محاسبه می نماییم. در حالت پیچش اعضاء با مقطع یکنواخت داریم (توابع در نظرگرفته شده برای u و v و w نیز صحت این حالات کرنش را نشان می دهند):
با در نظر داشتن معادلات تنش – کرنش، تنش ها به صورت زیر به دست می آیند:
73
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
اگر تنش های مذکور را در معادلات تعادل جایگذاری نماییم، خواهیم داشت (در غیاب نیروهای حجمی)( در واقع فقط معادله سوم را باید مورد استفاده قرار دهیم):
که همان معادله لاپلاس است. بنابراین می توان چنین بیان کرد که برای حفظ تعادل، تابع تابیدگی بایستی معادله لاپلاس را (برای کلیه مقاطع) ارضاء نماید.
74
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
که معادله سازگاری برحسب کرنش ها می باشد.
معادله سازگاری برحسب تنش ها نیز به صورت زیر به دست می آید:
75
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
مشخص است که این عبارات، معادله تعادل را ارضاء می نمایند:
اگر این عبارات را در معادله سازگاری (برحسب تنش ها) جایگذاری نماییم، خواهیم داشت:
این معادله، معادله پواسون نامیده می شود.
76
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
برای حل معادله پواسون، نیاز به شرایط مرزی مناسب به شکلی است که این شرایط برحسب تابع تنش ψ نوشته شوند.
در شکل زیر، مولفه های تنش برشی در روی مقطعی از یک عنصر یکنواخت تحت پیچش در نقطه ای روی محیط آن نشان داده شده است:
طبیعی است که اگر معادله پواسون حل شود (یعنی تابع تنش پرانتل ψ تعیین گردد)، در این صورت با استفاده از روابط زیر می توان مولفه های تنش برشی را روی مقطع عضو با مقطع یکنواخت تعیین نمود:
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
مشخص است که هرگاه ds مثبت باشد، مقدار dy مثبت و dx منفی خواهد بود.
به عبارت دیگر باید داشته باشیم:
در نتیجه در روی محیط خواهیم داشت:
معادله فوق نشان می دهد که مقدار ψ روی کانتور محیطی مقطع، مقدار ثابتی دارد.
78
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
شرط مرزی دیگری که در ارتباط با لنگر پیچشی وارده در امتداد انتهای عضو قابل ارائه است در شکل زیر بیان می شود:
در عنصر با طول و عرض dx و dy مقدار لنگر پیچشی عبارت است از:
که در آن dT دیفرانسیل گشتاور پیچشی T روی مقطع است. با انتگرال گیری از معادله فوق خواهیم داشت:
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
در این صورت خواهیم داشت:
به این ترتیب سختی پیچشی یک عضو با مقطع یکنواخت به صورت زیر به دست می آید:
80
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
مثال: در این قسمت به عنوان مثال در نظر داریم حل مسئله پیچش یک استوانه بیضی شکل را ارائه دهیم:
مقطع مورد نظر در شکل زیر با قطر بزرگ تر 2a و قطر کوچکتر 2b نشان داده شده است:
81
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
82
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
83
یا خواهیم داشت:
که در آن داریم:
بنابراین در نهایت خواهیم داشت:
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
( توجه شود که اکنون می توان توابع تغییرمکان u و v و در نتیجه توابع کرنش را به دست آورد).
84
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
اکنون می توان مولفه های تنش را از روی روابط مربوطه بدست آورد:
ماکزیمم مقدار تنش در روی دورترین نقطه قطر کوچک بیضی به وجود می آید که مقدار آن چنین است:
85
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
86
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
با انتگرال گیری از معادله مذکور داریم:
87
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
با توجه به اینکه مقدار تابیدگی در مرکز مقطع برابر با صفر است، بنابراین می توان در حالت کلی نتیجه گرفت که:
و در نهایت داریم:
88
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
به عنوان مثال استوانه با مقطع دایروی توخالی را در نظر می گیریم. مقطع مورد نظر به شعاع داخلی a و شعاع خارجی b تحت اثر لنگر پیچشی T حول محور مرکزی z خود قرار دارد. می خواهیم مولفه های تانسور تنش را به دست آوریم.
ب) پیچش اعضاء با مقطع یکنواخت (توخالی)
89
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
90
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
از طرف دیگر مطابق رابطه مربوط به پیچش میله های منشوری سوراخ دار خواهیم داشت:
که در آن داریم:
A0 = سطح کل میله منشوری،
mi= مقدار تابع تنش ψ در مرز داخلی سوراخ،
Ai = سطح سوراخ.
برای مقطع مورد نظر خواهیم داشت:
91
فصل سوم: مسائل تئوری ارتجاعی در حالات خاص
بنابر این تابع ψ به صورت زیر به دست می آید:
اکنون می توان مولفه های تنش را با استفاده از روابط زیر به دست آورد:
با به دست آوردن توابع تنش σxz و σyz می توان توابع کرنش γxz و γyz و نیز توابع تغییرمکان را به دست آورد.