1
2
تئوری الاستیسیته
Theory of Elasticity
کریم عابدی
3
فصل چهارم:
روش های انرژی
4
فصل چهارم: روش های انرژی
1) تعاریف بنیادی
الف) کار (Work)
ب) کار مجازی (Virtual Work)
5
فصل چهارم: روش های انرژی
پ) کار مکمل مجازی (Complementary Virtual Work)
6
2) اصل تغییر مکان های مجازی (Principle of Virtual Displacements)
فصل چهارم: روش های انرژی
جسم الاستیک شکل زیر را در نظر می گیریم که محدوده حدی یا خارجی این جسم کاملاً به دو قسمت عمده مجزا تقسیم می شود:
قسمت اول که با St نشان داده می شود، قسمتی است که بر روی آن نیروهای خارجی اعمال شده است. البته محدوده نیروی صفر نیز به عنوان محدوده نیرو یا وضعیت حدی نیرویی تلقی می شود.
قسمت دوم که با Su نشان داده می شود و منظور قسمتی است که به عنوان تکیه گاه از آن نام برده می شود و عموماً دارای تغییر مکان صفر یا جابجایی از پیش تعیین شده می باشد.
7
فصل چهارم: روش های انرژی
حال چنانچه صحبت از یک میدان تغییرمکان مجازی در جسم فوق باشد، این میدان را به صورتی مجسم می کنیم که در روی مرز حدی Su که قیود تکیه گاهی سیستم قرار گرفته است، شرایط حدی سینماتیکی ارضاء شود. چنین میدان تغییرمکان مجازی را میدان مجاز یا قابل قبول (admissible) نامند.
8
فصل چهارم: روش های انرژی
هرگاه عنصری از جسم شکل بالا را درنظر بگیریم، با پدید آوردن میدان تغییرمکان مجازی، تنش های واقعی موجود در روی این المان به دلیل تغییرشکل مجازی پدید آمده، مقداری کار مجازی انجام می دهند. چنانچه کل جسم را تحت اثر نیروهای اعمالی خارجی در حال تعادل فرض کنیم، کار مجازی صورت گرفته شده کل، به دلیل صفر بودن منتجه تنش در روی هر المانی از آن صفر می باشد. به عبارت دیگر کار مجازی کل که با نمایش داده می شود، به صورت زیر به دست می آید:
معادله مذکور را می توان به صورت زیر نوشت:
9
فصل چهارم: روش های انرژی
با استفاده از قضیه دیورژانس، جمله اول سمت راست را می توان به انتگرال روی سطح تبدیل کرد. به عبارت دیگر داریم:
St مساحت قسمتی از سطح جسم است که در روی آن نیرو تعریف شده است.
معادله بالا را می توان به صورت زیر نیز نوشت:
10
فصل چهارم: روش های انرژی
اگر دقت کنیم که نیروهای خارجی اعمالی به سیستم، متشکل از نیروهای سطحی qi و نیروهای حجمی Bi است، کار مجازی خارجی را می توان به صورت زیر فرموله کرد (کار مجازی توسط نیروهای خارجی اعم از نیروهای سطحی و نیروهای حجمی):
بنابراین داریم:
11
فصل چهارم: روش های انرژی
هرگاه یک جسم الاستیک تحت اثر نیروهای وارده در حال تعادل باشد و تغییر مکان اختیاری مجازی سازگار با شرایط تکیه گاهی خود را تجربه نماید، در این صورت کار مجازی انجام یافته توسط نیروهای خارجی اعمالی به آن، مساوی کار مجازی انجام یافته توسط نیروهای داخلی آن می باشد.
چنین اصلی مستقل از خواص ماده است و در طی تحمل تغییر مکان مجازی، نیروها ثابت هستند.
شرط لازم و کافی برای تعادل یک جسم الاستیک، برابر بودن کار خارجی مجازی صورت گرفته شده توسط نیروهای اعمالی به آن با کار داخلی مجازی انجام یافته توسط میدان تنش آن در طی تجربه کردن یک میدان تغییر مکان مجازی قابل قبول است.
12
فصل چهارم: روش های انرژی
3) اصل نیروهای مجازی (Principle of Virtual Forces)
با ارائه اصل تغییر مکان های مجازی، به وضوح دیدیم که چگونه می توان با در نظر گرفتن یک میدان تغییر مکان مجازی قابل قبول و استفاده از اصل مزبور، به حل مسائل ارتجاعی پرداخت.
شکل زیر یک جسم ارتجاعی را نشان می دهد که این جسم علاوه بر اینکه تحت اثر یک سیستم نیروی حقیقی قرار دارد که این سیستم نیرو باعث یک میدان تنش کاملاً متعادل می شود، تحت اثر یک سیستم نیروی مجازی نیز قرار گرفته است که این سیستم نیز متعادل بوده و منجر به یک میدان تنش مجازی متعادل می شود (سیستم نیروی حقیقی در شکل نشان داده نشده است):
اکنون شکل دیگری از اصل کار مجازی را که تحت عنوان اصل نیروهای مجازی شناخته می شود، مورد دقت قرار می دهیم و نشان خواهیم داد که چگونه با در نظر گرفتن یک سیستم نیروی مجازی متعادل در روی یک جسم ارتجاعی می توان به یک میدان تغییرمکان سازگار دست یافت.
13
فصل چهارم: روش های انرژی
14
فصل چهارم: روش های انرژی
که در آن داریم:
15
فصل چهارم: روش های انرژی
شرط لازم و کافی برای سازگار بودن میدان تغییر شکل یک سیستم الاستیک، مساوی بودن کار مجازی مکمل انجام یافته بر روی آن توسط یک سیستم نیروی مجازی در حال تعادل، با کار داخلی مجازی مکمل انجام یافته توسط تنش های مجازی در طی تحمل میدان کرنش واقعی است. در مرحله تحمل نیروهای مجازی، تغییر شکل سیستم ثابت است.
بنابراین اصل نیروهای مجازی به صورت زیر است:
16
فصل چهارم: روش های انرژی
4) قانون بتی
در یک جسم الاستیک خطی با دو سیستم متفاوت بارگذاری، کار انجام یافته توسط سیستم اول نیروها در طی تغییر مکان های حاصل از سیستم دوم مساوی است با کار انجام یافته توسط سیستم دوم نیروها در طی تغییر مکان های حاصل از سیستم اول.
17
فصل چهارم: روش های انرژی
اکنون تغییرمکان حاصل از اعمال سیستم اول نیروها را به عنوان تغییرمکان مجازی برای سیستم دوم نیروها و برعکس تغییرمکان حاصل از اعمال سیستم دوم نیروها را به عنوان تغییرمکان برای سیستم اول نیروها تلقی کرده و اصل تغییرمکان مجازی را به کار می بریم.
برای سیستم اول نیروها و تغییرمکان متناظر این نیروها که از سیستم دوم نیروها حاصل می شود، معادله اصل تغییرمکان مجازی به صورت زیر در می آید:
برای سیستم دوم نیروها و تغییرمکان متناظر این نیروها که از سیستم اول نیروها حاصل می شود، معادله اصل تغییرمکان مجازی به صورت زیر در می آید:
18
فصل چهارم: روش های انرژی
با در نظر داشتن رابطه کلی تنش-کرنش و متقارن بودن تانسور Cijkl نسبت به دو اندیس اول و آخر می توان نوشت:
بنابر این سمت راست معادلات اصل کار مجازی در دو حالت مذکور عبارتند از:
مشاهده می شود که طرفین سمت راست این روابط یکسان می باشند. بنابر این داریم:
19
فصل چهارم: روش های انرژی
معادله فوق تحت عنوان قانون بتی به صورت زیر بیان می شود:
در یک جسم ارتجاعی خطی با دو سیستم بارگذاری متعادل متفاوت 1 و 2 که تغییر مکان های حاصل نیز به ترتیب با 1 و 2 علامت گذاری می شود، کار انجام یافته توسط سیستم نیروهای 1 در طی تغییر مکان های حاصل از سیستم بارگذاری 2، مساوی است با کار انجام یافته توسط سیستم نیروهای 2 در طی تغییر مکان های حاصل از سیستم بارگذاری 1.
حالت خاص قانون بتی، به عنوان معادله متقابل ماکسول شناخته می شود که به صورت زیر تعریف می گردد:
در یک جسم ارتجاعی خطی، تغییر مکان نقطه i براثر اعمال نیروی واحد در نقطه j مساوی است با تغییر مکان نقطه j بر اثر اعمال نیروی واحد در نقطه i (تغییر مکان ها در راستای نیروهای تعمیم یافته اندازه گیری می شوند).
20
فصل چهارم: روش های انرژی
5) اصل انرژی پتانسیل مینیمم
در این قسمت به معرفی تابعک (تابع تابع) انرژی پتانسیل کلی می پردازیم و سپس نشان خواهیم داد که این تابعک در حالت تعادل، دارای کمترین مقدار نسبت به حالت های تصوری دیگر خواهد بود. این بیان تحت عنوان قضیه انرژی پتانسیل مینیمم مشهور است و یکی از مهمترین قضایای انرژی است که از آن در حل مسائل ارتجاعی استفاده می گردد.
جسم ارتجاعی زیر را در نظر می گیریم:
21
فصل چهارم: روش های انرژی
اگر در جسم ارتجاعی نشان داده شده، انرژی ارتجاعی واحد حجم در یک نقطه غیرخاص را با U0 نشان دهیم، مقدار U0 بستگی به تانسور کرنش در نقطه مذکور خواهد داشت. به عبارت دیگر داریم:
با دقت در این که تانسور کرنش برحسب میدان تغییر مکان ui قابل ارائه است، به سادگی می توان بیان داشت که انرژی ارتجاعی، وابسته به میدان تغییر مکان است. از این رو نتیجه می گیریم که چگالی انرژی ارتجاعی به صورت یک تابعک (تابع تابع) ظاهر می شود که با تغییر میدان تغییر مکان، مقدار آن تغییر می کند.
22
فصل چهارم: روش های انرژی
فرض کنیم که در میدان تغییر مکان یک سیستم، تغییری به شکل زیر به وجود می آید، آنگاه خواهیم داشت:
به عبارت دیگر خواهیم داشت:
می توان رابطه فوق را چنین تفسیر کرد که اگر تغییرات تانسور کرنش به عنوان یک میدان کرنش مجازی تلقی شود، در این صورت تغییر در انرژی ارتجاعی جسم، چیزی جز انرژی ارتجاعی مجازی نخواهد بود.
23
فصل چهارم: روش های انرژی
با در نظر داشتن معادله مذکور، تغییرات انرژی پتانسیل که حاصل از تغییرات در جابجایی جسم می باشد (نیروها در طی این تغییرات ثابت در نظر گرفته می شوند) و با علامت δV نوشته می شود، از معادله زیر محاسبه می گردد:
حال چنانچه در سیستم مورد نظر، قبل از اعمال سیستم نیروهای q، انرژی پتانسیل نیروها را صفر فرض کنیم، از آنجا که نقطه اثر نیروها در فرایند اعمال به جسم به اندازه u جابجا شده و به همین ترتیب نیروهای حجمی نیز نقطه اثر خود را تغییر می دهند، لذا در صورتی که انرژی پتانسیل نیروهای خارجی اعم از سطحی و حجمی با V نشان داده شود، می توان نوشت:
24
فصل چهارم: روش های انرژی
اما با توجه به معادله اصل تغییر مکان های مجازی خواهیم داشت:
بنابراین اگر بنویسیم:
یعنی انرژی پتانسیل مانا (Stationary)می شود. معادله فوق دارای بیانی به صورت زیر است:
در بین تمام وضعیت های ممکن تغییر شکل سازگار با شرایط مرزی Su، تنها تغییر شکل حقیقی سیستم (تغییر شکلی که تعادل را ارضا می کند) منجر به مانا شدن انرژی پتانسیل کلی سیستم می شود.
25
فصل چهارم: روش های انرژی
برای بررسی در مورد حداقل یا حداکثر بودن انرژی پتانسیل کلی در شرایطی که این انرژی مانا است، وضعیت تعادل و وضعیت مجاور آن را در نظر می گیریم.
یا داریم:
26
فصل چهارم: روش های انرژی
با جایگذاری معادله فوق در معادله اصلی مربوط به Δ∏ خواهیم داشت:
با توجه به اصل تغییرمکان های مجازی عبارت زیر مساوی صفر است:
27
فصل چهارم: روش های انرژی
بنابراین Δ∏ به صورت زیر در میآید :
هرگاه انرژی ارتجاعی یک سیستم را در حالتی که آزاد از نیرو باشد، صفر فرض کنیم، در این صورت چگالی انرژی ارتجاعی آن در مجاورت وضعیت بدون بار یا وضعیت δeij از معادله زیر به دست می آید:
28
فصل چهارم: روش های انرژی
بنابراین می توان قضیه زیر را بیان نمود:
در بین تمام وضعیت های ممکن تغییرشکل سازگار با شرایط مرزی تغییر مکانی، تنها تغییر شکل حقیقی سیستم (که معادلات تعادل را ارضاء می کند) منجر به حداقل شدن مقدار انرژی پتانسیل کلی می شود.
بنابراین Δ∏ نیز همواره مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر در می یابیم که انرژی پتانسیل کلی وضعیت مجاور تعادل، نسبت به انرژی پتانسیل کلی وضعیت تعادل افزون تر است و در نتیجه می توان اظهار داشت که در وضعیت تعادل، انرژی پتانسیل کلی در حداقل مقدار خودش است.
29
فصل چهارم: روش های انرژی
6) قضیه اول کاستیلیانو
پیش از این نشان دادیم که هرگاه برای یک سیستم ارتجاعی، تابعک انرژی ارتجاعی داخلی U0 وجود داشته باشد، مولفه های تنش با مشتق گیری از این تابعک به شکل زیر حاصل می گردد:
معادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود:
قضیه: مشتق تابعک چگالی انرژی ارتجاعی U0 نسبت به هریک از مولفه های کرنش آن، مساوی با مولفه تنش هم نام آن مولفه کرنش است.
اینک با استفاده از قضیه انرژی پتانسیل کلی مینیمم، به استخراج معادله ای نظیر معادله فوق برای نیروها و تغییرمکان های یک سیستم می پردازیم.
30
فصل چهارم: روش های انرژی
جسمی را در نظر بگیرید که تحت اثر نیروهای F1 تا FN در حال تعادل بوده و تغییرشکل حقیقی خود را دارا باشد. هرگاه تغییرمکان نقطه اثر این سیستم نیرو را با u1 تا uN نشان دهیم، روشن است که انرژی ارتجاعی U تابعی از کلیه متغیرهای u1 تا uN خواهد بود و از اینرو می توان نوشت:
از طرف دیگر داریم:
δVبه صورت زیر نمایش داده می شود:
تغییرات انرژی پتانسیل کلی به صورت زیر نمایش داده می شود:
31
فصل چهارم: روش های انرژی
معادله مذکور همان قضیه اول کاستیلیانو است که به صورت زیر بیان می شود:
مشتق تابعک انرژی ارتجاعی یک جسم الاستیک نسبت به هر یک از اجزاء تغییر مکان آن، برابر نیروی اعمال شده هم راستا با آن تغییر مکان در نقطه مورد نظر است.
* از این قضیه برای استخراج ضرایب ماتریس نرمی در روش نیروها استفاده می شود.
پس از جایگذاری خواهیم داشت:
و چون تغییرات δui اختیاری است، نتیجه می گیریم که:
32
فصل چهارم: روش های انرژی
7) اصل انرژی پتانسیل مکمل مینیمم
در یک جسم ارتجاعی، انرژی مکمل در واحد حجم در یک نقطه خاص را با U0* نشان می دهیم. مقدار U0*بستگی به تانسور تنش در نقطه مذکور خواهد داشت. به عبارت دیگر داریم:
در این قسمت به معرفی تابعک (تابع تابع) انرژی پتانسیل مکمل می پردازیم و سپس نشان خواهیم داد که این تابعک در حالت تعادل دارای کمترین مقدار نسبت به حالت های تصوری دیگر خواهد بود. این بیان تحت عنوان قضیه انرژی پتانسیل مکمل مینیمم مشهور است و یکی از مهمترین قضایای انرژی است که از آن در حل مسائل ارتجاعی استفاده می گردد.
فرض کنیم که در میدان نیروی یک سیستم، تغییری به شکل زیر به وجود می آید، آنگاه خواهیم داشت:
33
می توان رابطه فوق را چنین تصویر کرد که اگر تغییرات تانسور تنش به عنوان یک میدان تنش مجازی تلقی شود، در این صورت تغییر در انرژی ارتجاعی مکمل جسم، چیزی جز انرژی مجازی مکمل نخواهد بود.
فصل چهارم: روش های انرژی
در این صورت خواهیم داشت:
چگالی انرژی ارتجاعی U0 و چگالی انرژی ارتجاعی مکمل U0* را می توان در نمودار تنش-کرنش به صورت زیر نشان داد:
34
فصل چهارم: روش های انرژی
تغییر در انرژی پتانسیل V که حاصل تغییری متعادل در سیستم نیروهای اعمالی است (در حالیکه جابجایی ها ثابت می مانند)، به صورت زیر تعیین می شود:
بدیهی است که برای اجسام ارتجاعی خطی خواهیم داشت:
35
فصل چهارم: روش های انرژی
بنابراین می توان بیان کرد که:
در بین تمام وضعیت های ممکن میدان تنش که شرایط تعادل و شرایط مرزی Stرا ارضاء می کنند، تنها وضعیتی بیانگر سیستم حقیقی تنش است (یعنی شرایط سازگاری را ارضا می کند) که منجر به مانا شدن انرژی پتانسیل مکمل کلی شود.
مشخص است که با استفاده از اصل نیروهای مجازی داریم:
36
فصل چهارم: روش های انرژی
برای بررسی در مورد حداقل یا حداکثر بودن انرژی پتانسیل مکمل کلی در شرایطی که این انرژی مانا است، وضعیت تعادل و وضعیت مجاور آن را در نظر می گیریم.
یا داریم:
37
فصل چهارم: روش های انرژی
با توجه به اصل نیروهای مجازی عبارت زیر مساوی صفر است:
38
فصل چهارم: روش های انرژی
هرگاه انرژی ارتجاعی مکمل یک سیستم را در حالتی که آزاد از نیرو باشد، صفر فرض کنیم، در این صورت چگالی انرژی ارتجاعی مکمل آن در مجاورت وضعیت بدون بار یا وضعیت δσij از معادله زیر به دست می آید:
39
فصل چهارم: روش های انرژی
بنابراین می توان قضیه زیر را بیان نمود:
در بین تمام سیستم های مجاز تنش که شرایط تعادل و شرایط مرزی نیرویی را ارضاء می کنند، تنها سیستم حقیقی تنش (یعنی سیستمی که شرایط سازگاری را ارضا می کند)، منجر به حداقل شدن انرژی پتانسیل مکمل کلی می شود.
40
فصل چهارم: روش های انرژی
8) قضیه دوم کاستیلیانو
معادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود:
هرگاه رفتار ماده ارتجاعی، خطی باشد، در این صورت به راحتی می توان نوشت:
به عبارت دیگر برای اجسام ارتجاعی خطی داریم:
41
فصل چهارم: روش های انرژی
از طرف دیگر داریم:
δVبه صورت زیر نمایش داده می شود:
تغییرات انرژی پتانسیل کلی مکمل به صورت زیر نمایش داده می شود:
اینک با استفاده از قضیه انرژی پتانسیل مکمل کلی مینیمم، به استخراج معادله ای نظیر معادله فوق برای نیروها و تغییرمکان های یک سیستم می پردازیم.
42
فصل چهارم: روش های انرژی
معادله مذکور همان قضیه دوم کاستیلیانو است که به صورت زیر بیان می شود:
مشتق تابعک انرژی ارتجاعی (مکمل) یک جسم الاستیک خطی نسبت به هر یک از اجزاء نیروهای اعمال شده، برابر تغییرمکان هم راستا با آن نیرو در نقطه مورد نظر است.
* از این قضیه برای استخراج ضرایب ماتریس سختی در روش تغییرمکان ها استفاده می شود.
پس از جایگذاری خواهیم داشت:
و چون تغییرات δFi اختیاری است، نتیجه می گیریم که:
برای اجسام ارتجاعی خطی نیز خواهیم داشت:
با تشکر از توجه شما …