Theory of Elasticity
تئوری الاستیسیته
سرفصل های مصوب:
فصل بندی مباحث مطروحه در این درس
فصل اول : تحلیل تنش و تحلیل کرنش
تعریف تنش بر روی یک سطح، معادلات تعادل، تنش در یک نقطه، تغییر شکل نسبی(کرنش)، کرنش در یک نقطه، رابطه تغییر شکل نسبی با مولفه های تغییر مکان.
– فصل دوم : روابط و معادلات بنیادی و ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
روابط عمومی تنش و کرنش، تعیین تنش ها و تغییر شکل های اصلی، شرایط سازگاری کرنش ها و بیان آنها بر حسب تنش، ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی.
– فصل سوم : حل مسائل خاص در حالت ارتجاعی
تنش مسطح و کرنش مسطح و کاربرد آنها در مسائل دو بعدی در مختصات کارتزین و قطبی، خمش خالص میله ها و ورق ها، پیچش در میله های منشوری و با مقاطع بیضوی، پیچش مقاطع تو خالی.
-فصل چهارم : روش های انرژی
انرژی تغییر شکل نسبی ، اصل کار مجازی
مراجع و منابع: به زبان فارسی
1) مبانی تئوری الاستیسیته، تالیف دکتر محمد مهدی سعادت پور
2) تئوری ارتجاعی، تالیف دکتر محمد رحیمیان
، ترجمه دکتر کریم عابدیK. D. Hjelmestad 4) مبانی مکانیک سازه، تالیف
3) تئوری الاستیسیته و مدل سازی رفتار مصالح، تالیف Wai-Fah Chen، ترجمه دکتر محمود یحیایی
مراجع و منابع: به زبان انگلیسی
1) Theory of Elasticity, By: S.P.Timoshenko, J.N.Goodier, 1982.
2) Theory of Elasticity, By: P.D.S.Verma, 1997.
3) Elasticity in Engineering Mechanics, By: A.P.Boresi, K.P.CHong, Second Edition, 2000.
4) Mathematical Theory of Elasticity, By: I.S.Sokolnikoff, 1956.
تئوری الاستیسیته چیست؟
تئوری الاستیسیته رفتار محیط های جامد را که بعد از باربرداری ( Unloading) شکل اولیه ( Original Shape) خود را باز می یابند، مورد مطالعه قرار می دهد. این چنین محیط ها یا مواد، الاستیک (Elastic) نامیده می شوند. تقریباً تمام مصالح مهندسی دارای یک میزان معینی از خاصیت الاستیسیته (Elasticity) هستند. اگر بارهای خارجی که موجب ایجاد تغییر شکل (Deformation) می شوند، از یک حد معینی (Certain Limit) تجاوز ننمایند، در این صورت با حذف (Removal) نیروها، تغییرشکل ها از بین می روند و محیط یا ماده به شکل اولیه خود باز می گردد.
در تئوری الاستیسیته، پاسخ مکانیکی مصالح (Mechanical Response of Material) به هنگام وقوع تغییرشکل های الاستیک قابل برگشت ((Elastic Recoverable Deformations مدل می شود. بنابراین در یک نگاه کلی، تئوری الاستیسیته شاخه ای از علم مکانیک است که با محاسبه تنش ها (Stresses) و کرنش ها (Strains) در یک جسم الاستیک سرو کار دارد.
وجوه ممیزه تئوری الاستیسیته از مقاومت مصالح کدام موارد هستند و اساسا علاوه بر مقاومت مصالح چه نیازی به تئوری الاستیسیته وجود دارد؟
وجه ممیزه اول: کلی نگری در تئوری الاستیسیته، جزئی و خاص نگری در مکانیک جامدات
تئوری الاستیسیته در واقع مفاهیم حاکم بر محیط های جامد را در یک قالب فراگیرتر از آنچه که در دوره های کارشناسی تحت عناوین مقاومت مصالح ( Strength of Material) یا مکانیک جامدات (Solid Mechanics) تدریس می شود، ارائه می دهد.
در استخراج روابط بار- تنش و بار- خیز با استفاده از تئوری الاستیسیته، غالباً از یک عنصر حجمی بینهایت کوچک (Infinitesimal Volume Element) در یک نقطه از جسم با وجوهی عمود بر محورهای مختصات استفاده می شود. شرایط تعادل به وسیله معادلات دیفرانسیل تعادل و شرایط سازگاری به وسیله معادلات دیفرانسیل سازگاری نمایش داده می شوند. روابط مشخصه (Constitutive Relations) به وسیله روابط تنش- کرنش مناسب نمایش داده می شوند. اگر معادلات دیفرانسیل تعادل و معادلات دیفرانسیل سازگاری تحت اثر روابط مشخصه تنش- کرنش و شرایط مرزی مشخص (Specified Boundary Conditions) حل شوند، در این صورت حالت تنش و تغییر مکان برای هر نقطه ای از جسم به دست می آیند.
وجوه ممیزه تئوری الاستیسیته از مقاومت مصالح کدام موارد هستند و اساسا علاوه بر مقاومت مصالح چه نیازی به تئوری الاستیسیته وجود دارد؟
وجه ممیزه دوم: توانمندی در حل مسائل پیچیده
برای بسیاری از مسائل مقدماتی نظیر خمش خالص و پیچش خالص، استخراج روابط بار- تنش (Load-Stress) و بار- خیز (Load-Deflection) از طریق روش کلاسیک مکانیک مصالح (Mechanics of Materials) امکان پذیر است. بسیاری از مسائل پیچیده نظیر پیچش میله های غیر مدور (Noncircular Torsion)، تحلیل صفحات، تحلیل پوسته ها، تحلیل استوانه های جدار کلفت، تنش های تماسی (Contact Stresses) و تمرکز تنش (Stress Concentration) از چنان پیچیدگی های حالت تنش برخوردار هستند که روش کلاسیک مکانیک مصالح در حل آنها و استخراج روابط بار- تنش و بار- خیز کارایی ندارد.
بحثی در مورد رابطه بین
تئوری الاستیسیته مبتنی بر روش های تحلیلی (Analytical Methods) و روش های عددی (Numerical Methods)
تئوری الاستیسیته
Theory of Elasticity
کریم عابدی
فصل اول:
تحلیل تنش و کرنش
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
1 – مقدمه
تحلیل های تنش و کرنش، مبانی مورد نیاز را برای تحلیل رفتار سیستم سازه ای (Structural system) که تحت اثر بارگذاری قرار دارد، فراهم می نماید.
تحلیل تنش
مفاهیم بنیادی تنش
تانسور تنش
تبدیلات در تانسور تنش
تنش های اصلی
تنش های برشی ماکزیمم یا مینیمم
معادلات تعادل
تحلیل کرنش
مفاهیم بنیادی کرنش
تانسور کرنش
تبدیلات در تانسور کرنش
کرنش های اصلی
کرنش های برشی
معادلات سازگاری
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
2 – تحلیل تنش
الف) تعریف تنش
یک جسم عمومی دلخواه را در نظر بگیرید که تحت اثر نیرو های عمل کننده در سطح آن قرار دارد ( نیرو های گسترده p1 و p2 و نیرو های متمرکز P1 و P2 و P3 ). یک صفحه دلخواه موهومی Q را از میان جسم عبور دهید. این صفحه جسم را در امتداد سطح A برش می دهد. یک سوی صفحه Q را با علامت (+) و سوی دیگر را با علامت منفی (-) نمایش می دهیم.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
قسمتی از جسم در سمت مثبت Q نیروهایی را به قسمت دیگر از جسم در سمت منفی Q اعمال می نماید. این نیروها از طریق صفحه Q به وسیله تماس مستقیم دو قسمت جسم در دو سمت Q منتقل می شوند. نیرویی را که از طریق سطح جزیی ΔA از A به وسیله سمت راست Q منتقل می شود با ΔF نمایش می دهیم.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
مقدار متوسط نیرو در واحد سطح عبارتند از:
( تنش متوسط )
( تنش نرمال متوسط )
( تنش برشی متوسط )
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
و بطور مشابه بردار تنش نرمال و بردار تنش مماسی به صورت زیر تعریف می شوند:
( تنش نرمال )
( تنش برشی یا مماسی )
اکنون با شناختی که از بردار تنش بدست آوردیم، می توان چهار مشخصه زیر را برای آن بیان کرد :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
بردار تنش از جنس نیرو در واحد سطح است.
2) بردار تنش در هر نقطه، نمایانگر عمل نیروهای یک طرف مقطع خاص برش گذرنده از آن نقطه به طرف دیگر است.
3) بردار تنش در هر نقطه، روی سطحی عمل می کند که راستای آن سطح از ابتدا در ارزیابی بردار تنش موثر بوده است.
4) بردار تنش در یک نقطه محدود به یک راستا و جهت خاص نمی باشد ( یعنی در یک نقطه بی نهایت تنش می توان تعریف کرد).
از آنجا که در یک نقطه در فضای سه بعدی، بیش از سه راستای مستقل نمی توان تشخیص داد، در نتیجه هرگاه در نقطه ای سه بردار تنش مربوط به سه راستای مستقل مشخص باشند، می توان بردار تنش مربوط به هر راستای اختیاری را تعیین کرد.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
ب) تانسور تنش
بارهایی که در جسم آزاد مذکور عمل می کنند به دو نوع تقسیم می شوند:
1- نیروهای سطحی (Surface Forces)که در سطح جسم آزاد عمل می کنند، نظیر نیروهای تماسی که شامل بارهای متمرکز و واکنش ها در یک نقطه می باشند و بارهای گسترده.
2- نیروهای حجمی (Body Forces)که در حجم جسم آزاد عمل می کنند، نظیر نیروهای ثقلی و نیروهای اینرسی.
برای مشخص نمودن حالت تنش (State of Stress) در یک نقطه از دیاگرام چسم آزاد استفاده می کنیم. این جسم آزاد به صورت یک مکعب مستطیل با ابعاد بی نهایت کوچک dx و dy و dz در نظر گرفته می شود، به عبارت دیگر نقطه مورد نظر به صورت یک مکعب مستطیل با ابعاد بینهایت کوچک فرض می شود که وجوه آن موازی با محورهای x و y و z می باشند (توضیحی در مورد صفحاتی که از نقطه مورد نظر عبور می کنند).
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
برای سادگی و سهولت ارائه مطالب، عنصر بینهایت کوچک را با یک گوشه در مبدا O نشان می دهیم و فرض می کنیم که مولفه های تنش در سرتاسر عنصر حجمی یکنواخت (ثابت) می باشند.
(توضیح در مورد صفحاتی که از نتطه مورد نظر عبور می کنند و تجزیه مولفه برشی نیرو به دو مولفه)
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور x تنش های σxx و σxy و σxz را داریم.
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور y تنش های σyx و σyy و σyz را داریم.
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور z تنش های σzx و σzy و σzz را داریم.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
در ارتباط با مفهوم حالت تنش در یک نقطه، نه مولفه تنش به صورت زیر وجود دارند:
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور x :
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور y :
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور z :
توجه شود که در σab ، a نمایش دهنده امتدادی است که بر صفحه عمود است و b نمایش دهنده امتداد مربوط به مولفه تنش است.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
تانسور تنش را می توان به شکل زیر تعریف کرد:
بطور اختصار تانسور تنش را بصورت نشان می دهند. ( نمایش تانسوری )
1 بیانگر محور x ها
2 بیانگر محور y ها
3 بیانگر محور z ها
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
انواع کمیت ها:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
خواص تانسور تنش عبارتند از:
1- تانسور تنش در یک نقطه مورد بحث قرار می گیرد ،
2- عناصر قطر اصلی تانسور، مولفه های قائم تنش هستند،
3- عناصر واقع در غیر قطر اصلی، مولفه های برشی ( مماسی ) هستند،
4- تانسور تنش یک اصطلاح ریاضی است که به موجودیتی فیزیکی به نام تنش اطلاق می شود،
5- تانسور تنش متقارن است.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
می توان اثبات کرد که تانسور تنش از خاصیت تقارن برخوردار است. به عبارت دیگر داریم:
برای اثبات خاصیت تقارن، معادله تعادل مکعب تنش را می نویسیم. مطابق معادلات تعادل، باید لنگر نیروهای وارد بر مکعب حول هر یک از محورها و نسبت به هر نقطه، معادل صفر گردد. به عبارت دیگر داریم:
در معادلات بالا از نیروهای ناشی از شتاب و وزن جسم صرف نظر شده است، ولی می توان نشان داد که نتیجه به دست آمده در حالت کلی نیز صحیح است. معادلات تعادل بالا نشان می دهند که کمیت های تنش های برشی واقع در دو سطح عمود مجاور هم، همیشه مساوی هستند و جهت آنها طوری است که یا به طرف همدیگر بوده یا این که از همدیگر دور می شوند.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
پ) مولفه های تنش در یک صفحه با راستای اختیاری
اینک بردار تنش در یک صفحه مایل دلخواه P را که از مکعب تنش بریده شده است، مورد ملاحظه قرار می دهیم.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
بردار نرمال واحد عمود بر صفحه P عبارت است از:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
مولفه های بردار تنش در یک صفحه مایل دلخواه P را می توان از تعادل ایستایی یک چهاروجهی بی نهایت کوچک که از این صفحه مایل و صفحات مختصات تشکیل شده است، به دست آورد.
در شکل مذکور، تنش ها را در سه صفحه مختصات نشان داده ایم. مساحت مثلث بی نهایت کوچک ABC را با ΔA نشان می دهیم. در این صورت مساحت وجوه AOB و COB و AOC به ترتیب برابر هستند با mΔA و lΔA و nΔA. بردار عمل کننده در وجه ABC را با S نمایش می دهیم و مولفه های x و y و z آن را با Sx و Sy و Sz نشان داده شده اند.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
از تعادل نیروها در راستای x داریم:
بطور مشابه از تعادل نیروها در راستای y و z نتایج زیر حاصل خواهند شد:
با استفاده از نمادگذاری تانسوری، مولفه های تنش در صفحه مایل را به صورت زیر نمایش می دهیم:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
سه معادله مذکور، محاسبه مولفه های تنش در هر صفحه مایل را که به وسیله بردار نرمال واحدN تعریف می شوند میسر می سازد، به شرط این که شش مولفه تنش معلوم باشند.
بنابراین خواهیم داشت:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
ت) تنش های اصلی و صفحات اصلی ( Principal Stresses & Principal Planes )
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
در این صورت معادلات مربوط به مولفه های تنش در یک صفحه مایل به صورت زیر در خواهد آمد:
به صورت نماد گذاری تانسوری نیز داریم:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
برای اینکه معادلات مذکور دارای جواب غیر صفر به ازای l و m و n باشند، باید دترمینان ضرایب آن مساوی صفر باشد. به عبارت دیگر داریم:
از بسط دترمینان مذکور، یک معادله درجه سومی ( Cubic Equation ) به ازای S خواهیم داشت:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
که در آنها داریم:
مجموع قطر تانسور تنش) )
(مجموع کوفاکتور های قطر تانسور تنش(
(دترمینان تانسور تنش)
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
می توان ثابت کرد که معادله بالا دارای سه ریشه حقیقی (Real Root) است و در نتیجه حداقل سه تنش اصلی وجود دارند که به صورت σ1 و σ2 و σ3 نشان داده می شوند. از جایگذاری پسرفتی این جواب ها در معادلات مربوط به مولفه های تنش در یک صفحه مایل، کوسینوس های هادی متناظر l و m و n به دست می آیند، البته با شرط:
اگرسه ریشه σ1 و σ2 و σ3 متمایز باشند، در این صورت سه راستای اصلی متناظر، منحصر بفرد خواهند بود و بر یکدیگر متعامد (Orthogonal) خواهند بود. اگر دو ریشه از این سه ریشه مساوی باشند، در این صورت یک راستا منحصر بفرد خواهد بود و دو راستای دیگر می تواند هر دو راستای دلخواهی باشند که بر نخستین راستا متعامد می باشند. اگر هر سه ریشه مساوی باشند، در این صورت هیچ راستای منحصر بفردی وجود نخواهند داشت و هر سه راستای متعامد دلخواهی می توانند انتخاب شوند. این وضعیت تنش به عنوان حالت تنش هیدرواستاتیک معروف است.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
فرض کنید که به جای سه محور x و y و z، یک مجموعه متفاوت محورهای x´ و y´ و z´ را در نقطه O در نظر بگیریم. در این صورت معادله تعیین تنش های اصلی مانند معادله درجه سومی ذکر شده خواهد بود، به جز این که I1 و I2 و I3 بر حسب تنش های σ´x و σ´y و σ´y نسبت به محورهای جدید تعریف خواهند شد. به عنوان مثال داریم:
اما تنش های اصلی، کمیت های فیزیکی می باشند و واضح است که بستگی به محورهای مختصات انتخاب شده ندارند. بنابراین مقادیر I1 و I2 و I3 باید در هر دستگاه مختصاتی یکسان باشند تا این که مقادیر مشابهی را برای σ1 و σ2 و σ3 به دست دهند. بنابراین به عنوان مثال خواهیم داشت:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
I1 و I2 و I3 به ترتیب ناورداهای (Invariants) اول و دوم و سوم تانسور تنش نامیده می شوند.
اگر راستاهای اصلی را به عنوان محورهای مختصات در نظر بگیریم، در این صورت ناورداهای تنش، فرم ساده زیر را به خود خواهند گرفت:
باید یادآور شد که ناورداهای I1 و I2 و I3 که در معادلات بالا ظاهر می شوند، سه کمیت مستقل هستند که حالت تنش و نیز σ1 و σ2 و σ3 را مشخص می نمایند. به عبارت دیگر با معلوم بودن σ1 و σ2 و σ3 می توان کمیت های I1 و I2 و I3 را محاسبه نمود و با داشتن I1 و I2 و I3 نیز می توان σ1 و σ2 و σ3 را به دست آورد.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
ث) تبدیل تنش ( Transformation of Stress )
فرض کنید (x , y , z) و (X ,Y , Z) نمایشگر دو دستگاه مختصات دکارتی با مبدا مشترک باشند.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
کوسینوس های زوایای بین محورهای مختصات (x , y , z) و ( (X ,Y , Z در جدول زیر درج شده اند. هر درایه این جدول عبارت است از زاویه بین محورهای مختصات که در بالای ستون و سمت چپ سطر مربوطه. زوایای مذکور از محورهای (x , y , z) به محورهای(X , Y , Z) اندازه گرفته می شوند. به عنوان مثال داریم:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
از آنجاکه محورهای x , y , z) ) و (X ,Y , Z) متعامدند، از این رو کوسینوس های هادی جدول مذکور باید روابط زیر را ارضا نماید:
برای عناصر سطری داریم:
برای عناصر ستونی نیز داریم:
مولفه های تنش σXX و σYY و σZZ نسبت به محورهای (X ,Y , Z) تعریف می شوند، همان گونه که تنش های σxx و σyy و σzz نسبت به محورهای x , y , z) ) تعریف می شوند.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
از نتایج روابط مولفه های تنش در یک صفحه با راستای دلخواه می توان نوشت:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
به صورت نماد تانسوری نیز می توان نوشت:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
ج) تنش های برشی ماکزیمم
فرض کنید که محورهای مختصات مورد نظر خود را همان محورهای اصلی اختیار کرده ایم. در این صورت تنش های برشی مربوط به این محورهای مختصات صفر می باشند. تنش های نرمال و برشی در صفحه ای مایل با کوسینوس های هادی نسبت به این محورها ( l و m و n) عبارتند از:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
با حل معادلات فوق می توان جدول زیر را بدست آورد:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
خ ) معادلات دیفرانسیل تعادل (Equilibrium differential equations)
در این بحث، معادلات دیفرانسیل تعادل را در یک جسم تغییر شکل پذیر (Deformable body) استخراج می کنیم .این معادلات در هنگام کاربرد تئوری الاستیسیته در استخراج روابط بار- تنش و بار – خیز ضروری می باشند.
بدین منظور، یک جسم عمومی تغییر شکل پذیر را در نظر می گیریم ویک عنصر حجمی دیفرانسیلی (Differential volume element ) در نقطه O درجسم را به صورتی که در زیر نشان داده شده است، انتخاب می کنیم :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
برای نوشتن معادلات تعادل، هر مولفه تنش باید در سطحی که در آن عمل می کند ضرب شود و هر نیروی حجمی باید در حجم عنصر ضرب گردد. بنابر این معادلات تعادل برای این عنصر حجمی از طریق روابط زیر به دست آیند:
پیش از این در مبحث تانسور تنش از معادلات تعادل لنگر برای نمایش تقارن تانسور تنش استفاده نمودیم. به عبارت دیگر داشتیم:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
و به طور کلی به صورت نمایش تانسوری داریم :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
معادلات تعادل در دستگاه مختصات استوانه ای :
در دستگاه مختصات استوانه ای محور های Ox و Oyو Ozتبدیل به محورهای Orو θ و Oz می شوند .
تانسور تنش در این دستگاه مختصات عبارت است از :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
درنتیجه :
به عنوان مثال داریم:
معادلات دیفرانسیل تعادل در دستگاه مختصات استوانه ای از معادلات تعادل زیر بدست می آیند :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
تانسور تنش در دستگاه مختصات کروی :
معادلات تعادل در دستگاه مختصات کروی :
در دستگاه مختصات کروی محور های Ox و Oyو Ozتبدیل به محورهای Orو θ و Φ می شوند .
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
معادلات دیفرانسیل تعادل در دستگاه کروی از سه معادله تعادل زیر به دست می آیند:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
3- تحلیل کرنش (Strain Analysis)
الف) مقدمه
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
بردار PP´ را بردار تغییرمکان نقطه ی P از جسم می نامند. واضح است که اگر جسم مورد نظر شکل پذیر باشد، در این صورت تغییرمکان نقاط مختلف آن باهم مساوی نیستند. عدم تساوی تغییرمکان های نقاط یک جسم، باعث تغییرشکل (Deformation) آن می شود.
تغییر شکل یک جسم، توسط کمیت مولفه های مختلف کرنش در هر نقطه از جسم بیان می گردد.
مولفه های کرنش مانند مولفه های تنش عبارتند از :
کرنش محوری (Axial Strain)
کرنش برشی (Shear Strain)
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
ب) کرنش محوری (Axial Strain)
– هنگامی که یک جسم تغییرشکل می یابد، یک ذره در نقطه P به مختصات (x , y , z) به نقطه P´ به مختصات (x+u , y+v , z+w) انتقال می یابد. همچنین ذره ای در نقطه Q به مختصات (x+dx , y+dy , z+dz) به نقطه Q´ به مختصات (x+dx+u+du , y+dy+v+dv , z+dz+w+dw) انتقال می یابد و عنصر خطی بینهایت کوچک PQ=ds به صورت عنصر خطی P´Q´ به طول ds´ در می آید.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
– کرنش محوری لاگرانژی (Lagrangian axial strain) در نقطه P به صورت زیر تعریف می شود که در تغییر شکل های بزرگ کاربرد دارد:
-کرنش محوری مهندسی (Engineering axial strain) در نقطه P به صورت زیر تعریف می شود:
این کرنش در مقاومت مصالح و تئوری های ابتدایی و تئوری های تغییرشکل کوچک کاربرد دارد.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
کرنش محوری را می توان به وسیله تغییرات تغییر مکان نقطه Pبیان نمود. فرض می کنیم که کرنش لاگرانژی محوری نقطه Pدر امتداد محور xها مورد توجه باشد، در این صورت به موازات محور Ox بردار PQ را در نظر می گیریم.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
در این صورت کرنش محوری لاگرانژی در نقطه ی P درجهت محور Ox عبارت است از:
به همین ترتیب کرنش محوری لاگرانژی در نقطه Pدر جهت محورهای Oy و Ozعبارتند از:
طول PQو P'Q' به صورت زیر محاسبه می شود :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
کرنش محوری مهندسی در نقطه ی Pدرجهت محورهای Oz , Oy , Oxعبارت است از:
در واقع اگر از جملات درجه دومی موجود در کرنش محوری لاگرانژی صرف نظر کنیم، به کرنش محوری مهندسی می رسیم و این امر در واقع در تغییرشکل های بسیار کوچک امکان پذیر است و اساسا کرنش های محوری مهندسی و لاگرانژی هنگامی مساوی فرض می شوند که تغییر شکل ها و یا کمیت کرنش ها کوچک باشند.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
پ) کرنش زاویه ای یا برشی
کرنش برشی در واقع تغییر شکل زاویه ای جسم را نشان می دهد.
در نقطه ی Pیک زاویه ی قائم در نظر می گیریم. پس از تغییر شکل جسم، زاویه ی قائم تغییر خواهد کرد. مقدار زاویه ی جدید توسط کوسینوس آن مشخص می گردد.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
همانند کرنش محوری، دو تعریف برای کرنش برشی وجود دارد:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
کرنش برشی را می توان در صفحات مختلف معین نمود. به عنوان مثال، کرنش برشی لاگرانژی نقطه P در صفحه ای به موازی صفحه Oxy تابعی است از تغییرمکان های مختلف نسبت به متغیرهای x و y. برای این کار زاویه ی قائمه ی QPSرا موازی صفحه Oxy درنظر می گیریم، به گونه ای که اضلاع آن نیز موازی محورهای مختصات باشند.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
مختصات نقاط Pو Q و S عبارتند از:
P(x , y , z)
Q(x+dx , y , z)
S(x , y+dy , z)
مختصات نقاط P'و Q'و S' عبارت اند از:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
در این صورت مولفه های P'Q'و PQعبارتند از :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
ضرب داخلی این دو بردار عبارتند از :
نکته جالب این است که اگر اندیس های x و y جابجا شوند، در مقدار کرنش برشی لاگرانژی تغییری حاصل نمی گردد، به عبارت دیگر داریم:
در نتیجه مقدار کرنش برشی لاگرانژی در نقطه ی Pموازی محور Oxyبه صورت زیر در می آید:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
کرنش برشی مهندسی در نقطه ی P در صفحات Oxy , Oxz , Oyz عبارت اند از :
به همین ترتیب می توان کرنش برشی لاگرانژی نقطه ی P را در صفحه ای به موازی Oxz و Oyz نیز به دست می آورد:
در واقع اگر از جملات درجه دومی موجود در کرنش برشی لاگرانژی صرف نظر نماییم، به کرنش برشی مهندسی می رسیم و این در تغییرشکل های کوچک امکان پذیر است. اساسا کرنش های برشی مهندسی و لاگرانژی هنگامی مساوی فرض می شوند که تغییر شکل ها و یا کمیت کرنش ها کوچک باشند .
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
رابطه ی اندیسی کرنش های محوری و برشی مهندسی :
i , j =1,2,3
رابطه ی اندیسی کرنش های محوری و برشی لاگرانژی :
i , j , k =1,2,3
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
تانسور کرنش مهندسی عبارت اند از:
ت) تانسور کرنش و خواص آن:
تغییرشکل در نقطه ی P را می توان از طریق مولفه های کرنش در آن نقطه در یک تانسور به نمایش گذاشت.
طبیعی است که تانسور تنش و تانسور کرنش شباهت هایی داشته باشند.
تانسور کرنش لاگرانژی عبارت است از:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
در مطالعه تنش در یک نقطه دریافتیم که حداقل سه صفحه که متقابلا متعامدند وجود دارند که در آن تنش برشی صفر است(صفحات اصلی).
این سئوال مطرح می شود که آیا صفحاتی وجود دارند که در آنها کرنش برشی صفر باشد؟ یعنی صفحه ای که جهت نرمال های آنها بعد از تغییرشکل جسم تغییری نمی کند. بنابراین برداری مانند A که در ابتدا عمود بر آن صفحه است، یا کوتاه می شود یا بلند، ولی راستای ان تغییری نمی کند.
جواب مثبت است. چنان صفحاتی، صفحات اصلی نامیده می شوند که راستاهای نرمال بر آنها راستاهای اصلی هستند و کرنش های متناظر با این صفحات نیز، کرنش های اصلی نامیده می شوند.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
اگر به طریقه مشابه یافتن تنش ها و صفحات اصلی عمل کنیم، در نهایت به معادله درجه سومی مشابه زیر می رسیم:
ناورداهای تانسور کرنش:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
روابط تبدیل کرنش همانند تنش می باشند. به عنوان مثال:
ناورداهای کرنش نسبت به کرنش های اصلی نیز عبارتند از :
باز هم به طور مشابه با حالت تنش، می توان کرنش های برشی ماکزیمم را به صورت زیر به دست آورد:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
ث) کرنش در دستگاه مختصات استوانه ای : (کرنش های کوچک )
مولفه های تغییرمکان در دستگاه مختصات استوانه ای:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
مولفه های کرنش در دستگاه مختصات استوانه ای عبارتند از (تئوری تغییرشکل های کوچک):
1- کرنش محوری موازی محور z ها (ezz) :
2- کرنش محوری موازی محور r ها (err) :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
3- کرنش حلقوی – محیطی (eθθ) :
ab یا AB به ضلع a´I (تصویر a´b´) تغییر می یابد.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
4- کرنش برشی موازی صفحه rθ :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
جمع بندی: روابط کرنش – تغییرمکان در دستگاه مختصات استوانه ای
5- کرنش برشی موازی صفحه zθ :
6- کرنش برشی موازی صفحه rz :
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
تانسور کرنش مهندسی در دستگاه مختصات استوانه ای :
ج) کرنش در دستگاه مختصات کروی: (کرنش های کوچک )
مولفه های تغییرمکان در دستگاه مختصات کروی:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
روابط کرنش – تغییرمکان در دستگاه مختصات کروی:
تانسور کرنش مهندسی در دستگاه مختصات کروی:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
ج) معادلات دیفرانسیل سازگاری (Compatibility differential equations)
تانسور کرنش مهندسی eij شش مولفه کرنش را بر حسب u و v و w بیان می کند، مثلا داریم:
روشن است که اگر تغییر مکان های u و v و w به عنوان توابع پیوسته از x و y و z مشخص باشند، در این صورت می توان از روابط شش گانه eij، مولفه های کرنش را به صورت منحصر بفردی به دست آورد. اکنون عکس این حالت را در نظر می گیریم: به عبارت دیگر فرض بر این است که مولفه های کرنش eij در دست هستند و می خواهیم تغییرمکان های u و v و w را به دست آوریم. روشن است که در این حالت با دشواری مواجه خواهیم شد.
شش معادله نمایشگر eij ، دارای سه مجهول u و v و w می باشند. بنابر این روشن است که این معادلات به ازای یک مجموعه کرنش های شش گانه اختیاری، جوابی منحصر بفرد نخواهند داست، به عبارت دیگر نمی توان سه مولفه تغییرمکانی u و v و w را به طور منحصر بفرد از انتگرال گیری معادلات eij به دست آورد. بنابر این باید از طریق روابطی، محدودیت هایی در کرنش ها اعمال شوند تا این که معادلات نمایشگر eij به طور منحصر بفرد دارای جواب باشند. روابط مذکور، روابط یا معادلات دیفرانسیل سازگاری نامیده می شوند.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
برای استخراج معادلات سازگاری، به جهت سادگی، حالت کرنش مسطح را در نظر می گیریم:
در این حالت کرنش با این شرط تعریف می شود که مولفه های تغییرمکان uو vصرفا توابعی از xو y می باشند و wثابت است. شرط سازگاری کرنش را می توان از حذف دو مولفه تغییر مکان uو vاز سه رابطه کرنش – تغییرمکان حالت کرنش مسطح به دست آورد.
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
درحالت کلی اگر از شش معادله eij، سه مولفه ی تغییرمکان uو vو wرا حذف کنیم، به معادلات سازگاری زیر در حالت کلی می رسیم:
فصل اول : تحلیل تنش و کرنش
معادلات شش گانه سازگاری که در بالا ارائه گردیدند، معادلات سازگاری کرنش برای تئوری تغییرمکان های کوچک نامیده می شوند. می توان نشان داد که اگر مولفه های کرنش exx و eyy و ezz و exy و exz و eyz در معادلات سازگاری صدق کنند، در این صورت مولفه های تغییرمکان های u و v و w به طور منحصر بفرد وجود دارند که جواب معادلات شش گانه کرنش می باشند.
معادلات سازگاری در دستگاه مختصات استوانه ای:
89
فصل دوم:
روابط و معادلات بنیادی
و
ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
90
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
1 – مقدمه
در بخش اول فصل پیشین، وضعیت تنش در نقطه ای اختیاری (Arbitrary Point) از یک جسم که تحت اثر نیروهایی قرار دارد، مورد بررسی و مطالعه قرار گرفت و ضمن استخراج تانسور تنش، خواص مختلف آن تشریح گردید.
در بخش دوم فصل پیشین، وضعیت کرنش (یا تغییر شکل نسبی) در نقطه ای اختیاری مورد مطالعه قرار گرفت و این در حالی بود که اصولاً هیچ سوالی در مورد علت ایجاد یا عامل بوجود آورنده تغییر شکل مطرح نگردید. اساساً مساله بررسی کرنش در نقطه ای دلخواه از یک جسم، یک مساله صرفاً ریاضی بود.
اما واقعیت این است که تغییر شکل جسم به علت تحریک جسم توسط عاملی که به آن کنش (Action) گفته می شود، بوجود می آید. این کنش ممکن است مستقیماً به صورت نیرو بوده و یا اینکه عاملی دیگر مانند درجه حرارت باشد که در هر صورت علت پیدایش میدان تنش است.
بخش اول : روابط و معادلات بنیادی
91
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
یکی از قدم های اساسی در حل مسائل الاستیسیته، استخراج معادلاتی است که اجزاء تانسور کرنش را به اجزاء تانسور تنش مربوط می سازند. چنین معادلاتی که ممکن است به عنوان تعمیم قانون هوک به آنها توجه شود، به نام معادلات بنیادی (Fundamental Equations) خوانده می شود.
هدف در این فصل بررسی اولیه معادلات بنیادی یا شناسایی روابط بین تنش و کرنش در مورد مصالح ارتجاعی ایزوتروپیک است تا با شناخت آنها کلیه مقدمات لازم برای حل مسائل الاستیسیته فراهم شده باشد.
برای ارتباط تنش در یک نقطه در یک مصالح مادی با کرنش متناظر در آن نقطه، خواص مصالح (Material Properties) مورد نیاز می باشند. این خواص در معادلات بنیادی یا روابط تنش – کرنش به عنوان ضرایب مصالح (Material Coefficients) وارد می شوند.
92
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
مبنای نظری استخراج روابط و معادلات بنیادی مذکور، قانون اول ترمودینامیک (First Law of Thermodynamics) است.
قانون اول ترمودینامیک بیان می کند که مجموع کار انجام یافته در یک سیستم مکانیکی به وسیله نیروهای خارجی و نیز گرمایی که از بیرون به درون سیستم جریان می یابد، برابر است با مجموع افزایش انرژی داخلی و افزایش انرژی جنبشی.
به طور نمادین قانون اول ترمودینامیک (که در واقع بیان دقیق قانون بقای انرژی است) به صورت زیر بیان می شود:
93
فصل دوم – بخش اول : روابط و معادلات بنیادی
2- انرژی کرنشی (ارتجاعی) در اجسام الاستیک
هنگامی که یک جسم الاستیک تحت اثر نیرو قرار می گیرد، نه تنها در هر نقطه آن تنش ایجاد می شود، بلکه این نیروها باعث می شود که جسم تغییر شکل (Deformation) داده و وضعیت نقاط مختلف آن نسبت به یکدیگر با وضعیت اولیه تفاوت کند.
تغییر نقطه اثر نیروهای اعمالی به سیستم باعث می شود که در هنگام اعمال این نیروها مقداری کار انجام گیرد. کار مزبور که توام با تغییر شکل جسم در وضعیت تنش می باشد باعث ذخیره مقداری انرژی به صورت انرژی ارتجاعی در جسم می گردد. هرگاه رفتار جسم یک رفتار الاستیک باشد با حذف نیروهای خارجی انرژی ارتجاعی نیز آزاد شده و هیچ نوع تغییر شکلی در جسم باقی نمی ماند.
مطالعه در مورد انرژی ارتجاعی با بهره گیری از قانون اول ترمودینامیک قابل درک بوده و فرموله کردن آن ممکن می گردد.
94
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
فرض بر این است که تغییر مکان نقاط جسم معلوم است و به وسیله مولفه های تغییر مکان u و v و w در هر نقطه در راستای مختصات دکارتی x و y و z مشخص می شود.
95
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
این تغییرات تغییر مکان اختیاری می باشند، جز اینکه دو یا چند ذره نمی توانند نقطه یکسانی را در فضا اشغال نمایند یا اینکه یک ذره منفرد نمی تواند بیش از یک نقطه در فضا را اشغال نماید (به عبارت دیگر جسم پاره نمی شود). به علاوه، تغییر مکان های نقاط مشخصی (مانند شرایط تکیه گاهی) از پیش تعیین شده می باشند.
96
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
97
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
از طرف دیگر می دانیم که:
98
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
انتگرال روی سطح (مربوط به نیروهای سطحی) را می توان با استفاده از قضیه دیورژانس به انتگرال روی حجم تبدیل نمود.
99
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
طبق قضیه دیورژانس داریم:
که در آن n بردار یکه عمود بر سطح S و به سمت خارج در هر نقطه می باشد که به صورت زیر نیز نمایش داده می شود:
100
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
یا به صورت نماد تانسوری می توان نوشت:
101
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
تغییر انرژی داخلی به صورت زیر در می آید:
با توجه به قانون اول ترمودینامیک داریم:
102
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
یا به صورت نماد تانسوری می توان نوشت:
بنابراین اگر تغییرات δu و δv و δw در تغییرمکان های u و v و w اعمال شوند، در این صورت مولفه های کرنش نیز تغییرات δexx و δeyy … را به خود می گیرند و در نتیجه تغییر در چگالی انرژی کرنشی به صورت زیر در می آید:
103
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
با توجه به روابط استخراج شده و مقایسه آنها می توان به صورت نماد اندیسی نوشت:
104
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
3- رابطه تنش – کرنش در اجسام ارتجاعی خطی
می توان نوشت:
105
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
از طرفی داریم:
با فرض خطی بودن رابطه تنش و کرنش در تئوری الاستیسیته، رابطه مذکور به شکل زیر درمی آید:
106
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
و در این حالت چگالی انرژی داخلی عبارت است از:
بنابراین انرژی داخلی اجسام ارتجاعی خطی، تابع درجه دوم از کرنش می باشد.
107
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
رابطه بین تنش و کرنش را می توان به صورت ماتریسی زیر نشان داد:
108
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
که با نماد ماتریسی به صورت زیر نشان داده می شود:
که در آن ماتریس C ماتریس ضرایب مصالح یا ماتریس ضرایب الاستیک یا ماتریس مشخصه مصالح نامیده می شود.
چون دو رابطه مذکور به ازای کلیه مقادیر کرنش ها صادق می باشند، از اینرو باید داشته باشیم:
109
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
110
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
اما می دانیم که:
111
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
بدین ترتیب تعداد ضرایب ماتریس C به 21 کاهش می یابد.
یاد آوری می شود که برای تبدیلات برداری (تانسور از مرتبه اول) داریم:
برای تبدیلات تانسور تنش و کرنش (تانسور از مرتبه دوم) نیز داریم:
112
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
113
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
اجسام الاستیک را از نظر تقارن به سه نوع می توان تقسیم بندی کرد:
اجسام مونوکلینیک با تقارن نسبت به یک صفحه،
اجسام ارتوتروپیک با تقارن نسبت به دو سطح متعامد،
– اجسام ایزوتروپیک با تقارن نسبت به دو محور متعامد (به بیانی دیگر موادی که دارای دو محور تقارن متعامد باشند، این خاصیت را دارند که ضرایب ارتجاعی آنها مستقل از محورهای مختصات می باشند).
اکنون به عنوان یک نمونه، حالت اجسام مونوکلینیک با تقارن نسبت به یک صفحه را مورد بررسی قرار می دهیم.
114
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
الف) مواد مونوکلینیک
115
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
که رابطه اش به ازای کلیه مقادیر i و j و k و l صحت دارد. چون فقط سه مولفه کوسینوس های هادی مخالف صفر داریم. یعنی1 n11 = و n22 =1 و1 -= n33.
از طرف دیگر به عنوان مثال باید داشته باشیم:
که غیر ممکن است، چون:
116
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
117
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
118
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
به همین ترتیب برای مواد ارتوتروپیک (تقارن نسبت به سطوح Ox2x3 و Ox1x2) خواهیم داشت:
119
ب) مواد ایزوتروپیک:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
مواد ایزوتروپیک موادی هستند که خواص الاستیسیته آنها مستقل از جهات انتخاب شده برای تعریف این خواص هستند. به عبارت دیگر مواد ایزوتروپیک دارای ضرایب ارتجاعی اند که مستقل از جهت محورها می باشد.
به بیانی دیگر موادی که دارای دو محور تقارن متعامد باشند، این خاصیت را دارند که ضرایب ارتجاعی آنها مستقل از محورهای مختصات می باشند.
با تکرار استدلال هایی نظیر آنچه که آمد، می بینیم که در این گونه مواد علاوه بر خاصیت تقارن نسبت به یک محور – مثلاً محور Ox3 – ، تقارن نسبت به محور Ox2 و Ox3 نتایج زیر را به دست می دهد:
120
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
بنابراین ضرایب ارتجاعی به دو عدد تقلیل می یابد:
121
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
5- نمایش های مختلف ضرایب ارتجاعی در مورد مصالح ارتجاعی خطی ایزوتروپیک
ملاحظه نمودیم که مصالح ارتجاعی خطی ایزوتروپیک را می توان با دو ضریب مشخص نمود. این دو ضریب به سه صورت نمایش داده می شوند:
122
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
در این صورت خواهیم داشت:
در این صورت رابطه ماتریسی تنش – کرنش به صورت زیر در خواهد آمد:
123
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
با استفاده از قرارداد اندیس های تکراری، رابطه بین تنش و کرنش برای مصالح ارتجاعی خطی ایزوتروپیک به صورت زیر نوشته می شود:
می توان نشان داد که رابطه زیر نیز برای رابطه تنش- کرنش صحیح است:
124
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
– اگر درمورد اجسام ارتجاعی خطی ایزوتروپیک، به جای ضرایب لامه از ضرایب E و ν به صورت زیر استفاده کنیم:
125
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
که می توان آن را با استفاده از قرارداد اندیسی به صورت زیر نیز نشان داد:
126
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
می توان نشان داد که رابطه تنش – کرنش زیر نیز صادق است:
127
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
پ) مدول حجمی و مدول برشی
در ابتدا لازم است که تغییر حجم واحد حجم یا کرنش حجمی را تعریف نماییم. کرنش حجمی عبارت است از :
اگر تنش های وارد بر جزئی از جسم به صورت هیدرواستاتیکی باشند، یعنی:
128
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
با توجه به تعریف کرنش حجمی نتیجه می شود که:
که در آن k ضریب انبساط و انقباض حجمی و یا ضریب تغییر حجم ماده و یا مدول حجمی نامیده می شود .
129
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
روابط تنش – کرنش را می توان بر حسب دو ضریب k و G نیز تعریف کرد.
130
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
پس ضریب ارتجاعی E همواره مثبت است.
131
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
132
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
ولی در عمل مقادیر ضریب پواسون منفی در طبیعت یافت نمی شود، بنابراین می توان نوشت:
133
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
درمختصات کروی نیز داریم :
134
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
6) چگالی انرژی کرنشی اجسام ارتجاعی خطی ایزوتروپیک برحسب ضرایب ارتجاعی
135
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
از طرف دیگر برحسب ضرایب k و G داریم:
از طرف دیگر با استفاده ضرایب لامه داریم:
136
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنیادی
از رابطه بالا نتیجه می شود که همیشه چگالی انرژی کرنشی و در نتیجه کل انرژی ذخیره شده در تمام اجسام مقداری مثبت است.
137
فصل دوم – بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
7) مسائل تئوری ارتجاعی
الف) مقدمه
– هنگامی که صحبت از حل مسائل الاستیسیته می شود، در حالت کلی هدف، تعیین تنش ها، کرنش ها و تغییر مکان ها در جسم جامد الاستیکی است که به صورتی خاص بار گذاری شده است.
– برای حل مسائل محیط الاستیک، ابتدا بایستی مانند هر مسئله دیگر، مجهولات مسئله شناخته شده و سپس معادلات لازم برای رسیدن به حل مسئله، مورد استفاده قرار گیرند.
– برای حل یک مسئله ارتجاعی باید شش مولفه تنش، شش مولفه کرنش و سه مولفه تغییر مکان در کلیه نقاط جسم تعیین گردد. بنابراین در هر نقطه از جسم 15 مجهول وجود دارد. برای تعیین این مجهولات از 15 معادله حاکم بر مسئله استفاده می شود. این 15 معادله عبارتند از:
بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
138
فصل دوم – بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
– هرگاه برای حل معادلات فوق، آنها را برحسب مولفه های تغییر مکان تنظیم نماییم، از آنجا که مولفه های مزبور به عنوان متغیرهای مستقل به کار گرفته می شوند، احتیاجی به بکار گرفتن معادلات سازگاری نیست. ولی اگر معادلات مذکور برحسب مولفه های تنش یا کرنش تنظیم گردند، با توجه به اینکه مولفه های مزبور مستقل از یکدیگر نیستند، از اینرو استفاده از معادلات سازگاری الزامی می باشد.
139
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
– شرایط مرزی نیرویی در سطح جسم یا مرز سیستم،
– شرایط مرزی تغییر مکانی در سطح جسم یا مرز سیستم،
– ترکیب شرایط مرزی نیرویی و شرایط مرزی تغییر مکانی در سطح جسم یا مرز سیستم.
– برای حالت اول ترجیح داده می شود که کلیه معادلات حاکم بر مسائل تئوری الاستیسیته را برحسب تنش ها بیان نمود. چون عامل بوجود آورنده مجهولات مورد نظر، نیروهای حجمی و سطحی اعمال شده به جسم می باشند.
140
– برای حالت دوم ترجیح داده می شود که کلیه معادلات حاکم بر مسائل تئوری الاستیسیته را برحسب مولفه های تغییر مکانی بیان نمود. چون عامل بوجود آورنده مجهولات مورد نظر تغییر مکان های اعمال شده به جسم می باشند.
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
– برای حالت سوم می توان کلیه معادلات حاکم بر مسائل تئوری الاستیسیته را برحسب تنش ها بیان نمود یا برحسب مولفه های تغییر مکانی.
ب) معادلات تئوری ارتجاعی برحسب تغییر مکان ها (روش تغییر مکان Displacement Method – )
– 15 معادله حاکم بر مسائل تئوری ارتجاعی را می توان به سه معادله مولفه های تغییر مکان ها تقلیل داد. برای این منظور کافی است که روابط بین تنش ها و کرنش ها را در معادلات تعادل قرار داد و سپس کرنش را بر حسب مولفه های تغییر مکان نوشت.
141
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
روابط تنش – کرنش عبارتند از:
معادلات تعادل عبارتند از:
روابط کرنش – تغییر مکان عبارتند از:
– ابتدا eij را در روابط تنش – کرنش قرار می دهیم ( فرض می شود که مصالح ارتجاعی خطی ایزوتروپیک و جسم همگن می باشد، بدین معنی که مستقل از مختصات نقاط می باشند):
142
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
توجه شود که داریم:
143
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
معادلات مذکور به عنوان معادلات ناویه (Navier Equations) مشهور است.
– با حل معادلات دیفرانسیل مذکور و ارضای شرایط مرزی (تغییر مکانی و نیرویی)، سه مولفه تغییر مکان در کلیه نقاط جسم مشخص می گردند. بعد از به دست آوردن مولفه های تغییر مکان، با استفاده از روابط کرنش – تغییر مکان، کرنش ها به صورت منحصر بفرد به دست می آیند و با استفاده از روابط تنش – کرنش، تنش ها حاصل می شوند. لازم به یادآوری است که در اینجا ضروری نمی باشد که معادلات سازگاری کرنش ها کنترل شوند، چون کرنش ها، مستقیماً از تغییر مکان ها به دست می آیند.
شرایط مرزی نیرویی را می توان به صورت زیر بیان نمود:
(Ti شدت نیروهای سطحی در واحد سطح STاست).
( nj کوسینوس های هادی سطح ST است که نیروی Pi بر آن سطح وارد می شود).
144
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
یا داریم:
رابطه مذکور با در نظر گرفتن این نکته به دست آمده است که توزیع تنش در جسم باید به گونه ای باشد که علاوه بر این که معادلات تعادل داخلی جسم را ارضاء نماید، نسبت به نیروهای خارجی وارد بر سطح جسم نیز در حال تعادل باشد. اگر نیروهای خارجی وارد بر جسم را به طور فرضی ادامه تنش های داخلی تصور نماییم، براحتی معادلات تعادل مورد نظر به دست می آیند (تعادل چهار وجهی بی نهایت کوچک در سطح جسم):
145
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
– بنابراین شرایط مرزی بر حسب تغییر مکان ها عبارتند از:
از بسط رابطه مذکور، سه شرط مرزی زیر را خواهیم داشت:
146
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
پ) معادلات تئوری ارتجاعی برحسب تنش ها ( روش نیروها – Force Method)
– بدیهی است که چنانچه تنش ها مشخص باشند، می توان با استفاده از روابط کرنش – تنش، کرنش ها را محاسبه نمود. اما ملاحظه نمودیم که هر نوع توزیع کرنش در جسم امکان پذیر نمی باشد، زیرا در حقیقت توزیع کرنش در جسم، باید معادلات سازگاری را ارضاء نماید تا این که مولفه های تغییر مکانی منحصر به فردی به دست آیند. ابتدا معادله سازگاری زیر را در نظر می گیریم:
فرض می کنیم که:
(1)
147
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
که پس از ساده کردن آن به رابطه زیر خواهیم رسید:
از معادلات دوم و سوم تعادل خواهیم داشت:
معادله دوم
معادله سوم
(3)
(2)
(4)
148
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
اگر از معادله دوم تعادل نسبت به x2 و از رابطه سوم تعادل نسبت به x3 مشتق بگیریم و نتایج حاصل را با هم جمع نماییم، خواهیم داشت:
(6)
همچنین از معادله اول تعادل نسبت به x1 مشتق می گیریم:
(5)
149
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
حاصل را در معادله (5) جایگذاری می کنیم:
(7)
معادله (7) را در معادله (2) قرار می دهیم و نتیجه زیر را بدست می آوریم:
(8)
150
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
– اگر دو معادله سازگاری مشابه دیگر را استفاده کنیم و عملیات مشابهی را روی آن انجام دهیم، خواهیم داشت:
(9)
(10)
از جمع سه رابطه مذکور (8 و 9 و 10) خواهیم داشت:
(11)
151
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
رابطه (11) را در روابط (8 و 9 و 10) جایگزین می کنیم و نتایج زیر در نهایت حاصل می شوند:
(14)
(13)
(12)
152
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
به روش مشابه می توان سه معادله سازگاری را به صورت زیر به دست آورد:
153
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
شش رابطه اخیر را می توان با استفاده از نماد اندیسی به صورت یک معادله زیر نوشت:
که در آن داریم:
شش رابطه اخیر در حقیقت همان معادلات سازگاری می باشند که بر حسب مولفه های تنش بیان شده اند و به معادلات سازگاری بلترامی – میشل (Beltrami – Michell) معروف می باشند.
154
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
– بنابراین توزیع تنش در یک جسم باید روابط زیر را ارضاء نماید:
الف) سه معادله تعادل
ب) شش معادله سازگاری Beltrami – Michell
پ) شرایط مرزی نیرویی
در حالتی که نیروهای حجمی وجود نداشته باشند یا مقادیر ثابتی باشند، معادلات سازگاری Beltrami – Michell به صورت زیر در می آیند:
(در دستگاه مختصات دکارتی)
155
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
معادلات سازگاری بلترامی – میشل در غیاب نیروهای حجمی، در دستگاه مختصات استوانه ای به صورت زیر نوشته می شوند:
156
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
157
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
ت) منحصر بفرد بودن جواب برای مسائل تئوری ارتجاعی
هدف این است که نشان دهیم که جواب مسائل تئوری ارتجاعی، منحصر بفرد می باشند (فرض می شود که تغییر شکل ها کوچک بوده و روابط تنش – کرنش خطی می باشند).
برای اثبات منحصر بفرد بودن جواب از برهان خلف استفاده می کنیم:
158
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
که باید 15 معادله حاکم بر مسئله و شرایط مرزی یکسانی را ارضاء نمایند. بنابراین برای جواب سری اول باید داشته باشیم:
روی ST
روی SU
و برای جواب سری دوم نیز باید داشته باشیم:
روی ST
روی SU
159
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
اگر روابط مذکور را به طور متناظر از همدیگر کم نماییم، در این صورت خواهیم داشت:
سه رابطه حاصل، توزیع جدیدی را از تنش نشان می دهند که با نیروهای سطحی صفر و نیروهای حجمی صفر در حال تعادل بوده و در روی سطح Su تغییر مکان صفر دارند.
چنانچه جسمی تحت تاثیر هیچ گونه نیروهای خارجی (سطحی و حجمی) نباشد و بر آن تغییر مکان هایی نیز اعمال نگردد، بدیهی است که انرژی کرنشی در آن ذخیره نمی گردد. پیش از این نشان دادیم که چگالی انرژی U0 همیشه مثبت بوده و تابع درجه دوم کرنش ها می باشد.
160
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
وقتی انرژی کرنشی در جسمی صفر باشد، اجباراً چگالی انرژی در کلیه نقاط آن باید صفر باشد و این در صورتی امکان دارد که کلیه مولفه های کرنش ها صفر باشند. وقتی کلیه مولفه های کرنش در کلیه نقاط جسم صفر باشند، در این صورت با توجه به روابط تنش –کرنش، باید کلیه مولفه های تنش در کلیه نقاط جسم صفر باشند. بنابراین در کلیه نقاط جسم (با توجه به اصل اجتماع اثر قوا) باید داشته باشیم:
بنابراین دو سری جواب در نظر گرفته شده برای مسئله باید یکسان باشند و از اینجا یکتا بودن و منحصر بفرد بودن جواب مسائل تئوری ارتجاعی (در حالت تغییر شکل های کوچک و روابط خطی تنش – کرنش) نتیجه می شود.
پایان
161