بسم الله الرحمن الرحیم
بسم الله الرحمن ا لرحیم
فصل هفتم
تکانه زاویه ای
فهرست مطالب
1.7 ویژه مقادیر و عناصر ماتریسی
2.7 شکل صریح عملگر های تکانه زاویه ای
4.7 اسپین
3.7 اندازه حرکت زاویه ای
5.7 چرخش های محدود
6.7 چرخش به اندازه
7.7 جمع تکانه زاویه ای
8.7 حرکت چرخشی یک جسم صلب
1.7 ویژه مقادیروعناصر ماتریسی
این سه عملگر خود الحاقی (هرمیتی) هستند.
این ها معادلات ویژه مقداری اند
برای هر مقدار از j، تعداد
تا m وجود دارد
میدانیم که:
2.7 شکل صریح عملگر های تکانه زاویه ای
تابع حالت یک مولفه ای
وارون ماتریس دوران
فقطمحدود به دوران حول محور
Z
R
عملگر یکانی دوران
به اندازه زاویه باشد
=
تابع حالت چند مولفه ای
که ماتریس هرمیتی است.
قسمت مداری هر کدام از مولفه ها را دوران می دهد و قسمت اسپینی ترکیب خطی ایجاد می کند:
ازمقایسه با تعریف داریم:
R
3.7 اندازه حرکت زاویه ای
4.7 اسپین
ماتریس های پائولی هستند .
S=
حالت
ویژه مقادیر
ویژه بردار
ها ی
و
Tr =1
ازباز کردن ماتریس داریم :
را بردار قطبش می نامیم a
حالت های خالص متناظربا
وحالت های امیخته متناظر با است.
a=1
a=0
حالت ناخالص
حالت خالص
حالت S=1
مثلا
5.7 چرخشهای محدود
دوران کلی
تبدیل یافته دوران اول است پس همان است.
u
ماتریس های چرخش
=
=
j=1
ماتریس چرخش هنگامی ظاهر میشود که یک عملگر چرخش روی یک ویژه بردار
اندازه حرکت اعمال میشود
رابطه برای هماهنگ های کروی
در نمایش مختصات
ها در نمایش مختصات
دوران به اندازه
پس همه مشاهده پذیرها با دوران به اندازه جابه جامیشوند
7.6
دوران حول محور به اندازه
x
y
z
زیر فضای مناسب با غیر صحیح
زیر فضای مناسب با صحیح
j
j
محاسبه عناصرماتریسی در دو زیر فضای و
A
بنا بر این عناصر ماتریسی در پایه های و صفراست که قاعده ابرانتخاب نام دارد.
جمع اندازه حرکت زاویه ای
7.7
دستگاهی شامل دو ذره 1و2را با تکانه زاویه ای و درنظر می گیریم.
چهار عملگر با یکدیگر جابه جا شده ومجموعه کامل
عملگر های جابه جا شونده را تشکیل میدهندکه ویژه بردارهای مشترک انها است.
تکانه زاویه ای کل
چهار عملگر نیزبا یکدیگر جابه جا شده ومجموعه کامل
عملگر های جا به جا شونده را تشکیل می دهند که ویژه بردار
مشترک انها است.
به ازای Mهای مختلف چه تعداد بردار وجوددارد؟
.می خواهیم درجه تبهگنی را برای به ازای مقادیر مختلف بدست اوریم.
M
اگر
اگر انگاه به بیشترین مقدار میرسد
g
ضرایب Clebsch -Gordan
بسط بردارهای پایه جدید بر حسب پایه های قبل :
Clebsch –Gordanضرایب بسط
ماتریس مربوط به ضرایب بالا یونیتاری است.
شرایط غیر صفر بودن ضرایب:
یک عدد صحیح
*
می خواهیم ضرایب را بدست اوریم:
: ساده ترین حالت (1
Top state:J=M=1
از *
ویژه بردارها باید نرمالایز باشند در نتیجه ضریب بسط که حقیقی ومثبت
است باید یک باشد.
بنابراین
راروی اثر می دهیم
دوباره را روی حالت بدست امده در بالا اثر میدهیم.
سه حالت بدست امده نسبت به جابه جایی دو ذره متقارن اندکه به انها
حالت های سه تایی ( )می گویند .
triplet
این حالت نسبت به جابجایی دو ذره متقارن نیست.
حالت یکتایی
از شرط تعامد
این زیر فضای مربوط به است که باید بر زیر فضای
عمود باشد (شرط تعامد ویژه بردارها)
J=1
J=0
نماد
3-j
عملگرهای تانسورهای کاهش نا پذیر
K=0
مولفه های یک عملگر تانسوری کاهش نا پذیر
برای مثال :
اسکالر های فیزیکی تحت دوران ناوردا باقی میمانندوجابجایی انها
بادوران صفر است
(1)
K=1
بردار سه مولفه کروی دارد.
در رابطه (1) به جای چرخش های بی نهایت کوچک را در نظر میگیریم
با جایگذاری به رابطه زیر میرسیم:
R
کت با ویژه مقدار است
از طرفی داریم:
سه مختلف در نظر می گیریم:
n
فرض کنید:
=
بر حسب ضرایب بسط میدهیم.
CG
را روی دو طرف معادله اثر میدهیم.
R
A
A=
حاصل ضرب ماتریس های چرخش به حاصل جمع ماتریس های چرخش
تبدیل میشود.
Clebsch-Gordan Series”
:قضیه تعامد
*
عناصرماتریس عملگرهای تانسوری
:نمایش ماتریسی عملگر تانسوری
با استفاده ازرابطه داریم:
*
به رابطه اخیر میگویند
ساده ترین مثال قضیه
نمایش ماتریسی عملگر اسکالر قطری است
:WE
Wigner-Eckart
عنصر ماتریسی کاهش یافته
CG
ضرایب
ضرب تانسورها
دو عملگر تانسوری کاهش ناپذیر
:تانسورکاهش ناپذیرمرتبه
L
ضرایب
CG
این رابطه نشان میدهد که حاصل ضرب دو عملگر برداری
اسکالر خواهد بود
بااستفاده از روابط قبل داریم:
با تشکر فراوان از استاد ارجمند دکتر جلالی