فیزیک پایه 1( مکانیک)
درس 4 واحدی
(رشته های ریاضی ، شیمی و کامپیوتر)
درس 3واحدی (حذف فصل 12و13)
(رشته کامپبوتر)
هریس بنسون
ترجمه و تدوین: محمد رضا بهاری
هدفهای کلی درس
آشنایی با:
فیزیک ، مفهوم، مدل ، قانون ونظریه
بردارها: ضرب نرده ای وبرداری
ا نواع حرکت: یک بعدی و دوبعدی
حرکت سقوطی آزاد و دایره ای
حرکت نسبی
دینامیک ذره : قوانین نیوتن و اصطکاک
مفاهیم کار ، انرژی وتوان
پایستگی انرژِ ی : نیروهای پایستارو غیر پایستار
انرژی جنبشی و پتانسیل
تکانه خطی و قانون پایستگی تکانه خطی
سیستم ذرات : مرکز جرم ، حرکت مرکز جرم
دوران جسم صلب حول محورثابت : سینماتیک دورانی
دینامیک دورانی :تکانه زاویه ای و پایستگی آن
گرانش : قانون گرانش نیوتن
حل مسائل فیزیک مکانیک
فصل دهم
مرکز جرم وتکانه خطی
درس ا مروز ما:
انرژی پتانسیل و نیرو
سیستم ذرات
مرکز جرم
سرعت و شتاب مرکز جرم
دینامیک مرکز جرم
تکانه خطی
چند مثال
انرژی پتانسیل و نیرو
برای نیروی پایستار انرژی پتانسیل را اینگونه تعریف می کنیم::
بنابراین:
چند تابع انرژی پتانسیل را در نظر گرفته و نیرو را حساب کنید:
فنر :
جاذبه مجاور زمین:
جاذبه نیوتن :
بسیار خوب!!
نمودارهای انرژی پتانسیل
جسمی را در نظر بگیردید که روی یک سطح بدون اصطکاک می لغزد و به یک فنر آرمانی وصل شده است:.
نمودارهای ا نرژی پتانسیل
جسمی را در نظر بگیردید که روی یک سطح بدون اصطکاک می لغزد و به یک فنر آرمانی وصل شده است:.
F = -dU/dx = -شیب
نمودارهای ا نرژی پتانسیل
انرژی پتانسیل جسم مشابه انرژی پتانسیل جسمی است که درون یک “کاسه ” می لغزد:
Ug = mgy = 1/2 kx2 = Us
برابراست با ا رتفاع جسم در وضعیت x
تعادل
F = -dU/dx = -شیب
لذا F = 0 اگر شیب= 0 باشد .
واین متناظر با حالت بیشینه یا کمینه انرژی پتانسیل U(x)است .
و این حالت تعادل جسم است .
اگر جسم را در وضعیت x = 0, قرار دهیم جسم حرکت نخواهد کرد..
تعادل
اگر جابه جایی از وضعیت تعادل سبب ایجاد نیرویی شود که بخواهد جسم ر ا به وضعیت تعادل برگرداند این نوع تعادل را پایدار میگویند..
واین متناظر با حالت کمینه انرژی پتانسیل U و وضعبت تعادل جسم است .
به زبان ریاضی درحالت پایدار انحنا مثبت ( مشتق دوم منحنی) مثبت است ..
تعادل
فرض کنید که تابع U(x) چنین باشد:
این دو وضعیت تعادل دارد یکی پایدار (+ انحنای ) ویکی ناپایدار ( انحنای -) است .
جسم کوچکی را در نظر بگیردید که روی سطح U(x) می لغزد:
اگر بعد از تکان کوچکی به آن بخواهد به لغزش خود ادامه بدهد دراینصورت تعادل آن ناپایدار است.
اگر بعداز یک ضربه آرام بخواهد به وضعیت تعادل بگردد می گوییم که تعادش پایدار است.
اگر انحنا صفر باشد (سطح تخت ) در اینصورت تعادل خنثی خواهد بود. (
سیستم چند ذره ای :
تاکنون رفتارسیستم های بسیار ساده (متشکل از یک یا دو ذره ) را بررسی کردیم.
ولی سیستم های حقیقی بسیار جالب تر هستند!
مثلا یک دیسک چرخنده را در نظر بگیرید.
یک جسم گسترده صلب را می توان فرض کرد که از چند قسمت تشکیل شده است دراین صورت حرکت هرقسمت بستگی به این دارد که کجا قرار گرفته است!. !
سیستم چند ذره ای : تعریف مرکز جرم
”وضعیت ” یک جسم متشکل از چند قسمت را چگونه توصیف کنیم ؟
مرکز جرم را تعریف کنید (وضعیت میانگین ) :
برای N ذره مشابه و جدا ازهم که جرم و موقعیت آنها را می دانیم:
سیستم چند ذره ای : تعریف مرکز جرم
اگر سیستم فقط از دو ذره تشکیل شده باشددراین صورت :
که M = m1 + m2
بنابراین:
سیستم چند ذره ای : تعریف مرکز جرم
اگر سیستم فقط از دو ذره تشکیل شده باشد:
y
x
r2
r1
m1
m2
RCM
r2 – r1
که M = m1 + m2 است
+
سیستم چند ذره ای : تعریف مرکز جرم
اگر سیستم فقط از دو ذره تشکیل شده باشد
x
که M = m1 + m2 است
اگر m1 = 3m2 باشد:
مرکز جرم CM به جرم سنگین نزدیک تر است.
سیستم ذرات : مرکز جرم
مرکز جرم جایی است که در آ ن سیستم درتعادل است !!
درشکل زیر به مرکز جرم توجه کنید:.
حرکت سر بالا ! چرا؟؟
سیستم ذرات : مرکز جرم
مولفه های مرکزجرم را RCM به طور جداگانه در نظر بگیرید:
یک مثال :
توزیع جرم زیر را در نظر بگیرید:
(24,0)
(0,0)
(12,12)
m
2m
m
RCM = (12,6)
سیستم ذرات : مرکز جرم
در مورد یک جسم صلب از انتگرال استفاده می کنیم :
y
x
dm
r
که dm یک عنصر کوچک از جرم است:
مولفه های مرکزجرم یک جسم صلب :
سیستم ذرات : مرکز جرم
مرکز جرم در واقع ” مرکز ” جسم است .
y
x
RCM
سیستم ذرات : مرکز جرم
موقعیت مرکز جرم یک خصیت ذاتی جسم است !!
(بستگی به انتخاب دستگاه مختصتات ندارد!).
RCM
می دانیم که مرکز جرم یک جسم ” مرکز ” جسم است :.
سیستم ذرات : مرکز جرم
از قدرت ابتکار خود برای یافتن مرکز جرم یک جسم استفاده می کنیم :
مرکز جرم بر مرکز هندسی جسم منطبق است !
+
CM
+
+
+
+
+
سیستم ذرات : مرکز جرم
مرکز جرم ترکیبی از اشیا برابر با میانگین مراکز جرم آن اشیا است :
x
بنابراین در مورد دو شیئ:
چند مثا ل:
مرکز جرم چهار جرم نقطه ای که در شکل زیر نشان داده شده است محاسبه کنید:
میله باریکی به طول را 3L در یک سوم طولش مطابق شکل خم کرده ایم . محل مرکز جرم
را نسبت به راس زاویه پیدا کنید. L را برابر با 1.2 متر بگیرید:
3- میله باریک و یکنواختی به چگالی خطی کیلوگرم بر متر را خم کرده
و به صورت نیمدایره ای به شعاع R در آورده ایم . مرکز جرم این میله را
پیداکنید:
تمرین مرکز جرم:
دیسک شکل (1) بوضوح مرکز جرم CM آن در مرکزش قرار دارد.
فرض کنید که این دیسک را به دو قسمت تقسیم کرده و مطابق شکل (2) روی هم قرار دهیم.
مرکز جرم CM (2) در مقایسه با شکل (1) مطابق با کدام گزینه است ؟
الف -بالاتر ب- پائین تر ج- یکسان است
(1)
(2)
پاسخ:
مرکز جرم CM نیمه دیسک به قسمت تخت نزدیکتر از قسمت خمیده قرار دارد
(1)
(2)
واین مرکز جرم بالاتراز مرکز جرم دیسک قراردارد:
سیستم ذرات : مرکز جرم
مرکز جرم (CM) یک شیئ جایی است که آزادنه می توان شیئ را روی آن به طور متعادل قرار داد.
نیروی جاذبه به مرکز جرم CM یک جسم وارد می شود (بعدا نشان خواهیم دارد)
اگر جسم را روی محور دیگری غیراز مرکز جرم قرار دهیم
جسم طوری منحرف می شود که مرکز جرم پائین تراز آن محور قرار گیرد
ازاین خاصیت برای یافتن مرکز جرم یک جسم می توان استفاده کرد.
سیستم ذرات : مرکز جرم
جسمی را از چند محور مختلف آویزان کنید و خط شاقولی که از آن محور ها می گذرد رسم کنید محل تقاطح این خطوط شاقولی مرکز جرم جسم است !
pivot
محل تقاطع این خطوط دقیقا مرکز جرم جسم است CM.
مرکز جرم
جسمی از سه میله هم جرم که با هم زوایای مساوی تشکیل می دهند روی محوری مطابق شکل قرار می دهیم این جسم دارای چه نوع تعادلی است ؟
الف – پایدار
ب- خنثی
ج- ناپایدار
پاسخ:
مرکز جرم این شیئ دقیقا در مرکز و روی سیم قراردارد.
اگر جسم را اندکی به راست یا چپ منحرف کنیم مرکز جرم آن بالای سیم قرار نداشته ونیروی جاذبه سبب افتادن آن می شود.
حالتی را در نظر بگیرید که در آن به انتهای دومیله دو جرم مساوی آویزان کرده ایم :
ادامه حل:
دراین حالت مرکز جرم زیر میله قرار دارد
اگر جسم را اندکی منحرف کنیم نیروی جاذبه نیروی برگرداننده لازم برای برگرداندن جسم به وضعیت تعادل ایجاد می کند.
سرعت و شتاب مرکز جرم
اگر ذرات حرکت کنند مرکز جرم آن ذرات نیز حرکت خواهد کرد.
اگر بردار موقعیت ri هر ذره از سیستم را بدانیم دراین صورت:
بنابراین:
و:
سرعت و شتاب مرکز جرم سیستم میانگین وزنی سرعت و شتاب ذرات سیستم است
تکانه خطی:
تعریف: برای یک ذره تکانه p چنین تعریف می شود:
طبق قانون دوم نیوتن :
F = ma
p = mv
(p یک بردار است زیرا v یک بردار است )
چون px = mvx وغیره است.
dv
یکای تکانه خطی kg m/sاست .
تکانه خطی:
برای یک سیتم ذره ای تکانه خطی کل P جمع بردار تکانه خطی ذرات است
ولی نشان دادیم که :
بنابراین :
تکانه خطی:
بنابراین تکانه کل یک سیتم ذره ای برابر است با جرم سیتستم در سرعت مرکز جرم آن سیستم
توجه کنید:
ما به کمیت علاقمندیم لذا با ید را محاسبه کنیم
تکانه خطی:
فرض کنید که یک سیستم سه ذره ای که برهم اثر متقابل دارند داشته باشیم و بر ذره اول یک نیروی خارجی وارد شود:.
(طبق قانون سوم نیوتن نیروهای اثر متقابل همدیگر را خنثی می کنند)
کلیه نیروهای داخلی (نیروهای عمل و عکس العمل همدیگر) را خنثی می کنند
وفقط نیروی خارجی بر سیستم اثر می کند!!
با این انیمیشن کوتاه قانون پایستاری تکانه خطی
را مورد بررسی قرار دهید:
روی شکل کلیک کنید:
آونگ نیوتن :
تکانه خطی :
فقط نیروی خارجی کل وارد بر سیستم حائز اهمیت است!!
که معادل است با:
قانون دوم نیوتن در مورد این سیستم ها نیز کاربرد دارد!
حرکت مرکز جرم : یادآوری
قانون زیر را برای حرکت مرکز جرم داریم ::
واین دارای چند پیامد می باشد::
این قانون می گوید که مرکز یک سیستم گسترده مانند یک جرم نقطه ای تحت تاثیر نیروهای خارجی حرکت می کند.
این رابطه نیرو F وشتاب A مطابق معمول به همدیگر مربوط می کند.
طبق این رابطه اگر FEXT = 0, باشد تکانه کل سیستم تغییر نخواهد کرد
تکانه کل سیستم پایستار می ماند اگر بر سیستم نیروی خارجی اثر نکند!.
مثال :فضانورد و طناب
دو فضانورد در فضا به وسیله طنابی به همدیگر متصلند و طناب را می کشند . این دو فضانورد در کجا به همدیگر می رسند؟
مثال :فضانورد و طناب…
انها از سکون شروع به حر کت می کنند لذا: VCM = 0.
VCM ثابت می ماند زیرا نیروی خارجی به سییتم وارد نمی شود..
بنابراین مرکز جرم حرکت نمی کند!
وآنها در مرکز جرم به همدیگر می رسند!
یافتن مرکز جرم:
اگر فضانورد درسمت چپ و درنقطه x = 0 باشد:
حرکت مرکز جرم :
وزن یک شخص باوزن قایق او به طول 6 متر برابر است : .
او ابتدا در مرکز قایق و به فاصله 6متر از ساحل ایستاده است . او به طرف ساحل حرکت می کند تا به انتهای قایق برسد..
دراین حالت فاصله او از ساحل چقدراست ؟(هیچ نیروی افقی از طرف آب به قایق وارد نمی شود)
الف – 3 متر ب – 5/4 متر ج- 1/94 متر
پاسخ:
x
درابتدا مرکز سیستم در فاصله 6 متری از ساحل قراردارد.
ادامه پاسخ:
چون هیچ نیرویی در جهتX به سیستم وارد نمی شود لذا مرکز جرم سیستم دراین راستا نمی تواند تغییر کند!
x
بنابراین شخص به فاصله 5/1 متر سمت چپ مرکز
جرم سیستم و مرکز جرم قایق به فاصله 5/1 متر در سمت راست مرکز جرم سیستم قرارد خواهد داشت.
لذا با ساحل 5/4 متر فاصله خواهد داشت .
یادآ وری درس ا مروز:
انرژی پتانسیل و نیرو
سیستم ذرات
مرکز جرم
سرعت و شتاب مرکز جرم
دینامیک مرکز جرم
تکانه خطی
چند مثال
مطالب کتاب درسی و مساءل آن را مرور کنید!