بسم الله الرحمن الرحیم
فیزیک پایه 1 ( مکانیک )
رشته کامپیوتر
3 واحد درسی
دانشگاه پیام نور
مولف : هریس بنسون ، انتشارات دانشکاه پیام نور
تهیه و تنظیم : سید محمود نجفیان رضوی
( عضو هیات علمی مرکز آران و بیدگل )
فهرست مطالب
فصل 1 : مقدمات
فصل 2 : بردارها
فصل 3 : حرکت یک بعدی
فصل 4 : حرکت دو بعدی
فصل 5 : دینامیک ذره ، 1
فصل 6 : دینامیک ذره ، 2
فصل 7 : کار و انرژی
فصل 8 : پایستگی انرژی
فصل 9 : تکانه خطی
فصل 10 : سیستم ذرات
فصــــل اول
مقدمـــــات
فیزیک چیست ؟
فیزیک علم اندازه گیری است و با رفتار و اجزای سازنده ماده وبرهمکنشهای
آن در بنیادی ترین سطوح سرو کار دارد .
قلمرو آن از درون هسته اتم تا ابعاد کهکشانها ست و به مشاهدات و چگونگی
انجام رویدادها می پردازد .
سه شاخه عمده فیزیک کلاسیک
مجموعه موضوعاتی که بین سالهای 1600 تا 1900 در علم فیزیک تدوین شد فیزیک کلاسیک نامیده می شود و شامل سه شاخه عمده است :
1- مکانیک کلاسیک
2- ترمو دینامیک
3- الکترو مغناطیس
مواردی که در هر یک از شاخه های عمده فیزیک کلاسیک مورد بررسی قرار می گیرند :
1- حرکت ذرات و شاره ها در مکانیک کلاسیک
2- مطالعه دما ، انتقال گرما و خواص مجموعه ذرات در ترمو دینامیک
3- الکتریسیته و مغناطیس و امواج الکترو مغناطیس و اپتیک در الکترو مغناطیس
نظریه های مهمی که در فیزیک جدید از اوایل قرن بیستم شکل گرفت :
1- نسبیت خاص ( توضیح رفتار ذرات با سرعتهای بسیار زیاد )
2- مکانیک کوانتومی ( توضیح دنیای بسیار کوچک یا زیر میکروسکوپ در رابطه با رفتار اتمها و ذرات درون آنها )
3- نسبیت عام ( ارتباط نیروی گرانشی به خواص هندسی فضا )
فیزیکدانها تمام پدیده های فیزیکی را امروزه بر حسب چهار نوع نیرو یا برهمکنش توضیح می دهند :
1- گرانشی
2- الکترو مفناطیسی
3- قوی
4- ضعیف
برهمکنش الکترو ضعیف
دو نیروی الکترو مغناطیس وضعیف نمودهای متفاوت برهمکنش بنیادی واحدی هستند به نام الکترو ضعیف
نظریه وحدت بزرگ
تلفیق نیروی هسته ای با نیروی الکترو ضعیف در قالب نظریه ای به نام نظریه وحدت بزرگ حاصل شده است .
اصطلاحاتی که در فیزیک با آنها سرو کار داریم :
مفاهیم : هر کمیت فیزیکی که برای تحلیل پدیده ها طبیعی به کار می رود .
اصول و قوانین
قانون : روابط ریاضی بین کمیتهای فیزیکی است و محدود به زمینه خاصی است .
اصل مفهوم کلی تری درباره رفتار طبیعت است .
مدلها : مشابه ساده و مناسب برای نمایش و توصیف سیستم فیزیکی واقعی است
( مدل وقتی اعلام می شود که نظریه کامل شده است )
نظریه : مجموعه ای از اصول و فرضهای اولیه که برای رسیدن به نتایج یا قوانین خاص در قالب یک مدل با هم ترکیب شده اند .
تعریف عملیاتی چیست ؟
هر گاه کمیتی را با استفاده از روشی که برای اندازه گیری آن به کار می رود تعریف کنیم به آن تعریف عملیاتی می گوییم .
مثال : تعریف بار الکتریکی به وسیله نیرویی که اجسام باردار برهم وارد می کنند .
واقعیت تجربی همیشه و به تنهایی برای رسیدن به نظریه کافی نیست بلکه بصیرت و ذهن خلاق لازم دارد .
درمقایسه مدل زمین مرکزی و خورشید مرکزی ، مدل مورد قبول امروزی ( خورشید مرکزی ) مستقیما از داده های نجومی و مشاهدات تجربی نتیجه گیری نشده است .
توقف گلوله ای که با سرعت اولیه روی سطح افقی به حرکت در آورده ایم ، از نظر ارسطو برای ادامه حرکت عاملی لازم است ، از نظر گالیله اگر اصطکاک کامل حذف شود گلوله به حرکتش ادامه می دهد .
فیزیک به چگونگی انجام رویدادها می پردازد نه به چرایی آنها
به عنوان مثال با پذیرفتن مفهوم بار الکتریکی و اینکه بارهای همنام یکدیگر را دفع وبارهای غیر همنام یکدیگر را جذب می کنند می توانبم قانون کولن را به دست آورده و بسیاری از برهمکنشهای بین ذرات باردار را توضیح دهیم ولی قانون کولن وحتی کل نظریه الکترو مغناطیس نمی تواند توضیح دهد که بار الکتریکی چیست و چرا بارها به هم نیرو وارد می کنند .
پایه های علم فیزیک ( علم اندازه گیری ) کمیتهای فیزیکی هستند که به دو دسته تقسیم می شوند :
کمیتهای اصلی
کمیتهای فرعی
طول ، جرم ، زمان ، دما ، جریان الکتریکی ، شدت روشنائی ، مقدار ماده
سایر کمیتها که ترکیبی از کمیتهای اصلی هستند .
برای یک اندازه گیری بایستی کمیت مورد نظر را بر حسب استاندارد یا یکای معینی بیان کنیم .
با توجه به اینکه دربخش مکانیک در دستگاه بین المللی یکاها ( متریک یا SI بیشتر از سه کمیت طول ، جرم ، زمان استفاده می کنیم ، یکاهای این سه کمیت در این دستگاه به ترتیب عبارتند از:
متر ( m ) ، کیلوگرم ( kg ) ، ثانیه (s )
یکای طول در دستگاه SI متر است .
1 – یک ده میلیونیوم فاصله استوا تا قطب بر روی نصف النهاری که از پاریس می گذرد .
2 – فاصله دو خراش ظریف روی دو انتهای طلایی میله ای از آلیاژ پلاتین – ایریدیوم که در شرایط مناسبی در دفتر بین المللی اوزان و مقیاسها در فرانسه نگهداری می شود .
3 – فاصله ای معادل 1،650،763،73 برابر طول موج نارنجی گسیل شده ازکریپتون 86
4 – مسافتی که نور در خلاء در مدت ثانیه طی می کند .
یکای جرم در دستگاه SI کیلوگرم است .
1 – جرم یک لیتر آب است .
2 – جرم استوانه معینی از آلیاژ پلاتین – ایریدیوم که در دفتر بین المللی اوزان و مقیاسها در فرانسه نگهداری می شود .
یکای جرم اتمی ( a.m.u ) با u نشان داده می شود و جرم یک اتم کربن 12 است .
یکای زمان در دستگاه SI ثانیه است .
1 – روز متوسط خورشیدی
2 – زمانی که در آن زمان تابش معینی که از اتمهای سزیم گسیل می شود ، 9162631770بار ارتعاش کند .
استفاده از کسرهای واحد در تبدیل یکاها
الف –50 مایل بر ساعت معادل چند متر بر ثانیه است ؟
نتایج اندازه گیری ها همیشه با مقداری خطا یا عدم قطعیت همراه است .
مثال : اگر نتیجه اندازه گیری طول معینی m6/15 و عدم قطعیت آن 2% باشد ، مقدار
واقعی طول مورد نظر احتمالا بین m 6/15 و m 9/15 یعنی است .
گاهی عدم قطعیت در نتیجه اندازه گیری را با استفاده از ارقام با معنی نشان می دهند .
مثال : 6/15 سه رقم با معنی دارد که رقم 6 قطعیت ندارد .
مثال : 624/15 پنج رقم با معنی دارد که رقم 4 قطعیت ندارد .
صفرهایی که نماینده توانهای ده هستند جزء ارقام با معنی نیستند ولی صفرهای آخر به حساب می آیند .
مثال : 002560/0 دارای چهار رقم با معنی است .
مثال : 0/12000 دارای شش رقم با معنی است .
مثال : دارای دو رقم با معنی است .
مثال : 12000 تعداد ارقام با معنی مشخصی نیست .
در عملیات ضرب و تقسیم ، تعداد ارقام با معنی در نتیجه نهایی باید برابر با کمترین تعداد ارقام بامعنی باشد که در عوامل این عملیات موجود است .
مثال :
در عملیات جمع و تفریق ، فقط باید کمترین تعداد رقمهای اعشاری در نتیجه نهایی منظور شود .
مثال :
مکان یک جسم همیشه نسبت به یک دستگاه مختصات مشخص می شود که این دستگاه مختصات به یک چهار چوب مرجع ( هر موجود فیزیکی ) متصل است .
دستگاه مختصات دکارتی :
در دو بعد : مکان نقطهP با مختصات دکارتی (x,y)
دستگاه مختصات قطبی :
مکان نقطهP در مختصات قطبی دو بعدی با مشخص می شود که مکان نقطه و زاویه ای است که در خلاف جهت عقربه ساعت نسبت به جهت مثبت محور در نظر گرفته می شود .
ارتباط بین مختصات قطبی و دکارتی در دو بعد
فصــــل دوم
بــــــردارها
معرفی ابزار مفید و کار آمدی به اسم بردار می تواند به روابط پیچیده کمیتهای فیزیکی و اختصار و ساده سازی آنها کمک کند .
همچنین معادله ای که بر حسب بردارها بیان شد با عوض شدن دستگاه مختصات تغییر نمی کند . ( قوانین فیزیکی مستقل از دستگاه مختصات انتخاب شده اند .)
کمیتهای فیزیکی تقسیم بندی دیگری نیز دارند :
کمیتهای نرده ای ( اسکالر )
برای بیان آنها تنها گفتن مقدار ، اندازه یا بزرگی کافی است .
کمیتهای برداری
برای بیان آنها علاوه بر مقدار ، اندازه یا بزرگی بایستی جهتی هم مشخص گردد .
مثال برای کمیتهای نرده ای و برداری
کمیتهای نرده ای ( اسکالر )
طول ، جرم ، زمان ، دما ، کار ، انرژی ، جرم حجمی ، تندی و …
کمیتهای برداری
نیرو ، سرعت ، شتاب ، جابجایی ، گشتاور ، تکانه خطی ، تکانه زاویه ای و …
مثال 1 :
می گوییم دما زیر صفر یا بالای صفر ، یا می گوییم ده سال بعد از هجرت یا ده سال قبل هجرت .
آیا به نظر شما دما و زمان کمیتهای اسکالرند یا برداری ؟
حل مثال 1 :
هر دو کمیت اسکالرند زیرا هر گاه مبدا دما را به جای صفر درجه سلسیوس ، صفر مطلق و مبداء زمان را به جای آغاز هجرت ، آغاز خلقت در نظر بگیریم دیگر دمای کمتر از صفر مطلق یا زمان پیش از آغاز خلقت مفهومی ندارد .
فرق تندی با سرعت و جابجایی با طول ؟
سرعت کمیتی برداری است که یک اندازه و یک جهت دارد ، مقدار یا اندازه آن را تندی می نامیم .
جابجایی کمیتی برداری است که یک اندازه و یک جهت دارد ، مقدار یا اندازه آن را طول می نامیم .
هر بردار را با خطی جهت دار نشان می دهیم که طول آن مشخص کننده اندازه اش و فلش جهت آن را نشان می دهد .
در این درس برای نمایش بردار از حروف کوچک یا بزرگ با نماد فلش روی آن استفاده می کنیم ، ( یا ) و برای اندازه بردار از حروف کوچک یا بزرگ بدون نماد فلش روی آن استفاده می کنیم ( یا )
یا
جمع بردارها
الف ) روش مثلث
ب ) روش متوازی الااضلاع
جمع دوبردار به روش مثلث
ابتدا همسنگ بردار و از انتهای آن همسنگ بردار دیگر را رسم می کنیم .
جمع دو بردار برداری است که ابتدای آن مبدا و انتهایش ، انتهای آخرین بردار است .
جمع بیش از دوبردار به روش مثلث
ابتدا همسنگ بردار و از انتهای آن همسنگ بردار دوم و از انتهای آن همسنگ بردار سوم و بهمین ترتیب … . سپس از مبدا به انتهای آخرین بردار ، برداری رسم می کنیم . برای مثال به جمع سه بردار توجه کنید .
جمع دوبردار به روش متوازی الاضلاع
از یک نقطه مبدا همنسگ دو بردار را رسم می کنیم و متوازی الاضلاعی می سازیم که این دو بردار دو ضلع مجاورش باشد . قطر متوازی الاضلاع که از مبدا می گذرد برایند دو بردار است .
جمع بیش از دوبردار به روش متوازی الاضلاع
ابتدا همسنگ تمام بردارها را از یک نقطه مبدا رسم می کنیم سپس قطر متواری الاضلفاعی که از دو بردار ساخته می شود با بردار سوم در نظر می گیریم و به همین ترتیب … . برای مثال به جمع سه بردار توجه کنید .
مثال 2 :
در جمع دو بردار به روش متوازی الاضلاع اگر زاویه بین دو بردار که از یک نقطه می گذرد باشد . ثابت کنید حاصلجمع دو بردار از رابطه زیر به دست می آید .
حل مثال 2 :
مثلث oab :
مثلث dab :
مثال 3 :
در جمع دو بردار به روش مثلث اگر زاویه بین دو بردار که از پشت سر هم رسم شده اند باشد . ثابت کنید حاصلجمع دو بردار از رابطه زیر به دست می آید .
حل مثال 3 :
مشخص کردن جهت یک بردار یعنی زاویه آن نسبت به جهت مثبت محور x ها در جهت پاد ساعتگرد با توجه به روشهای مثلث و متوازی الاضلاع مشکل و یا طولانی است . بنابراین معمولا از روش تحلیلی جمع بردارها برای تعیین اندازه و جهت بردار حاصلجمع استفاده می کنیم .
(الف)
اندازه و جهت برایند دو بردار به روش تحلیلی
(ب)
(د)
(ج)
یا
یا
مثال 4 :
اندازه و جهت برایند دو بردار را تعیین کنید در صورتی که
حل مثال 4 :
در روش تحلیل جمع بردارها هر برداری مثل بردار در هر ربع مثلثاتی که باشد می توانیم به دو طریق مولفه هایش را تعیین کنیم :
الف ) با توجه به زاویه ای که با جهت مثبت محور x در جهت پاد ساعتگرد دارد .
ب) با توجه به زاویه ای که با یک محور دارد و جهت مولفه ها .
مثال 5 :
مولفه های بردار را در شکل زیر به دو طریق به دست آورید.
حل مثال 5 :
الف )
ب)
در صورتی که اندازه و جهت برداری به صورت زیر به دست آمده باشد :
نمایش صحیح بردار
برای رسم صحیح بردار نبایستی علامتها را در کسر مربوطه به ساده کنیم .
نمایش غیر صحیح بردار
اگر باشد ، روابط مورد استفاده در تعیین اندازه و جهت عبارتند از:
اگر باشد ، روابط مورد استفاده در تعیین اندازه و جهت عبارتند از:
ضرب معمولی اسکالر دو بردار
حاصلضرب معمولی اسکالر K در بردار ( ) برداری است که اندازه آن K برابر اندازه بردار و جهت آن به علامت اسکالر K بستگی دارد .
اگر K>0
اگر K<0
بردار همجهت با بردار
بردار در خلاف جهت بردار
با توجه به این که اگر اندازه برداری K برابر شود اندازه مولفه هایش نیز K برابر می شود اندازه و جهت بردار از رابطه زیر به دست می آیند :
که است .
تفریق بردار از یعنی جمع بردار با و منفی یک بردار برداری برابر با بردار ولی در خلاف جهت آن است و چون با تغییر جهت بردار ، جهت مولفه هایش نیز تغییر می کند ، اندازه و جهت بردار از رابطه زیر به دست می آید :
مثال 6 :
در روش تحلیلی برای تعیین اندازه و جهت بردار از چه روابطی استفاده می کنیم ؟
حل مثال 6 :
تمرین 1 :
در شکل زیر اندازه بردارها ی به ترتیب 2و3ویک واحد فرض می شوند .
الف ) اندازه و جهت بردار
ب ) اندازه و جهت بردار
ج ) چه برداری را با بردار جمع کنیم تا بردار بدست آید ؟
حل تمرین 1 :
چون
حل تمرین 1 : الف )
حل تمرین 1 : ب )
حل تمرین 1 : ج )
بردارهای یکه
برای ساده سازی عملیات برداری و نشان دادن جهت هر بردار در فضا از بردارهای یکه در جهت مثبت محور x ها ، در جهت مثبت محور y ها و در جهت مثبت محور z ها استفاده می شود که اندازه آنها واحد و بدون یکا هستند .
نمایش بردارها در فضا با استفاده از بردارهای یکه
نمایش بردارها در فضای سه بعدی به طور کلی
اندازه یک بردار در فضای سه بعدی
تمرین 2 :
بردار مکان ذره ای به صورت اگر زاویه میان این بردار و هر یک از محورهای x,y,z را به ترتیب با مشخص کنیم . نشان دهید که :
حل تمرین 2 :
تمرین 3 :
دو بردار مفروضند مطلوب است :
الف ) اندازه و جهت بردار
ب ) چه برداری را با بردار جمع کنیم تا بردار بدست آید .
حل تمرین 3 :
بردار واحد در جهت منفی محور x است .
الف )
ب)
حاصلضرب اسکالر ( نرده ای) دو بردار ، کمیتی نرده ای است .
حاصلضرب اسکالردو بردار بر حسب مولفه های دو بردار :
چون
در نتیجه
رابطه ای برای زاویه دو بردار
تمرین 4 :
دو بردار مفروضند مطلوب است :
الف ) اندازه هر بردار
ب ) برداری یکه در جهت هر بردار
ج ) حاصلضرب اسکالر دوبردار
د ) زاویه بین دو بردار
حل تمرین 4 :
ب )
الف )
حل تمرین 4 :
د )
ج )
ضرب برداری دو بردار :
برداری است که اندازه آن عبارت است از حاصلضرب اندازه های دو بردار در سینوس زاویه کوچکتر بین آنها و امتداد آن بر صفحه دو بردار عمود است و جهت آن با استفاده از قانون شست و چهار انگشت خمیده دست راست یا پیچ راست گرد تعیین می شود .
قانون پیچ راستگرد
حاصلضرب برداری دو بردار جابجایی ناپذیر است .
حاصلضرب دو بردار توزیع پذیر است .
محورهای راست گرد و چپ گرد
هر گاه محورهای مختصات x,y,z را به ترتیب دوره ای بر مبنای حروف الفبا در جهت عکس عقربه ساعت در نظر بگیریم محورها را راستگرد می گویند . ( الف )
اگر جهت یکی از محورهای مختصات راستگرد را عوض کنیم محورها چپ گرد می شوند .( ب )
اگر جهت دو محور مختصات راستگرد را عوض کنیم محورها راست گرد می شوند .( ج )
( ج )
( ب )
(الف)
با توجه به حاصلضرب برداری دو بردار ، برای بردار های یکه در محورهای مختصات داریم :
حاصلضرب برداری دو بردار بر حسب بردارهای یکه و مولفه های هر بردار
حاصلضرب برداری دو بردار را می توان از روی ماتریس 3*3 زیر به دست آورد :
که در سطر اول بردارهای یکه و در سطر دوم مولفه های بردار اول و در سطر سوم مولفه های بردار قرار داده می شوند .
تمرین 5 :
دو بردار مفروضند بردار یکه ای که بر دو بردار مذکور عمود باشد مشخص کنید .
حل تمرین 5 :
فصــــل سوم
حرکت یک بعــــدی
مکانیک از سه بخش اصلی تشکیل می شود :
الف ) سینماتیک : از حرکت اجسام صحبت می شود بدون در نظر گرفتن عامل آن
ب ) دینامیک : از حرکت اجسام صحبت می شود با در نظر گرفتن عامل آن
ج ) از تعادل اجسام در حال سکون صحبت می شود .
سینماتیک یک بعدی ذره
در این فصل جسم را که ممکن است حرکت انتقالی ، دورانی ، ارتعاشی یا ترکیبی از اینها داشته باشد ذره ( نقطه مادی بدون بعد ) فرض می کنیم و ابتدا در حرکتی انتقالی بر روی یک خط مستقیم ، ارتباط بین a,v,t,x را بدون در نظر گرفتن عامل حرکت بررسی می کنیم .
انتقال
ارتعاش
دوران
مسافت طی شده
جابجایی برداری است که فقط به مکانهای اولیه و نهایی بستگی دارد و به جزئیات حرکت و نوع مسیر وابسته نیست .
مسافت طی شده بین دو نقطه همیشه با اندازه بردار جابجایی بین همان دو نقطه برابر نیست .
جابجایی
تندی متوسط و سرعت متوسط
تندی متوسط عبارت است از مسافت طی شده تقسیم بر زمان سپری شده و سرعت متوسط برداری است که با بردار جابجایی ذره هم جهت است .
اگر در لحظه موقعیت جسمی و در لحظه موقعیتش باشد سرعت متوسط بین این دو موقعیت عبارت است از :
اندازه سرعت متوسط بین دو نقطه از روی نمودارx-t
شیب وتر بین دو نقطه در نمودار x-t
سرعت لحظه ای
اندازه سرعت لحظه ای
سرعت دریک لحظه همان سرعت متوسط بین دو لحظه بسیار نزدیک است . به عبارت دیگر وقتی میل می کند ، شیب وتر بین دو نقطه به شیب مماس در لحظه مورد نظر نزدیک می شود .
مشتق مسافت نسبت به زمان
شیب مماس بر نمودار x-t در لحظه مورد نظر
شتاب
الف ) اندازه سرعت تغییر کند
شتاب یعنی عجله در این درس وقتی حرکت جسمی شتابدار است که سرعتش تغییر کند :
ب ) جهت سرعت تغییر کند
ج) اندازه و جهت سرعت هر دو تغییر کند
شتاب خطی یا مماسی
شتاب مرکز گرا
دو شتاب داریم که شتاب کل برآیند آنهاست .
شتاب متوسط
اگر در لحظه سرعت جسمی و در لحظه سرعتش باشد شتاب متوسط بین این دو لحظه عبارت است از :
اندازه شتاب متوسط بین دو نقطه از روی نمودارv-t
شیب وتر بین دو نقطه در نمودار v-t
شتاب لحظه ای
اندازه شتاب لحظه ای
شتاب دریک لحظه همان شتاب متوسط بین دو لحظه بسیار نزدیک است . به عبارت دیگر وقتی میل می کند ، شیب وتر بین دو نقطه به شیب مماس در لحظه مورد نظر نزدیک می شود .
مشتق سرعت نسبت به زمان
شیب مماس بر نمودار v-t در لحظه مورد نظر
مثال 1 :
معادله حرکت ( رابطه x-t ) جسمی بر روی خط مستقیم به صورت تعریف می شود مطلوب است :
الف ) تندی متوسط جسم بین دو لحظه
ب ) تندی جسم در لحظه
حل مثال 1 :
الف )
ب )
مثال 2 :
در مثال 1 مطلوب است :
الف ) شتاب متوسط جسم بین دو لحظه
ب ) نسبت مسافت طی شده در ثانیه سوم به مسافت طی شده در ثانیه اول
حل مثال 2 :
الف )
ب )
مثال 3 :
نمودار تغییرات x-t برای حرکت جسمی به صورت زیر است نمودارهایی تقریبی برای تغییرات v-t و a-t این حرکت رسم کنید . ( قسمتهای منحنی سهمی فرض می شوند )
حل مثال 3 :
سرعت از روی نمودار مکان – زمان و شتاب از روی نمودار سرعت – زمان
مساحت هر نوع منحنی را می توانیم به تقریب برابر با مجموع مساحتهای تعدادی مستطیل به ارتفاعهای مختلف در نظر بگیریم .
از رابطه نتیجه می شود که مساحت زیر منحنی v بر حسب t برای یک مدت معین برابر تغییر موقعیت در آن مدت است .
از رابطه نتیجه می شود که مساحت زیر منحنی a بر حسب t برای یک مدت معین برابر تغییر سرعت در آن مدت است .
سرعت متغیر است .
حرکت یکنواخت مستقیم الخط ( حرکت با سرعت ثابت )
هرگاه متحرکی در زمانهای مساوی مسافتهای مساوی را طی کند ، حرکتش یکنواخت است .
سرعت ثابت است ، بنابراین :
معادله حرکت یکنواخت
با فرض
اگر در لحظه t=0 جسم در مبدا مکان باشد یعنی نمودار x-t از مبدا بگذرد ، معادله حرکت یکنواخت به صورت x=vt خواهد بود ، در غیر این صورت متحرک در لحظه t=0 در مبدا نخواهد بود .
حرکت با شتاب ثابت بر روی خط مستقیم
حرکت تند شونده ( شتاب ثابت و مثبت )
شتاب ثابت است ، بنابراین :
سرعت جسم در زمانهای مساوی به طور یکسان تغییر می کند ( افزایش می یابد )
معادله سرعت در حرکت با شتاب ثابت
با فرض
اگر در لحظه t=0 سرعت جسم صفر یا جسم در حال سکون باشد یعنی نمودار v-t از مبدا بگذرد ، معادله سرعت به صورت v=at خواهد بود ، در غیر این صورت نمودار v-t از مبدا نمی گذرد .
معادله حرکت با شتاب ثابت
معادله سرعت
چون در حرکت با شتاب ثابت ، سرعت متوسط بین دو نقطه برابر با میانگین سرعتها بین دو نقطه است :
سرعت متوسط بین دو نقطه
اگر در باشد در نتیجه معادله حرکت :
معادله مستقل از زمان در حرکت با شتاب ثابت
اگر متحرک در مبدا زمان در مبدا مکان باشد ، در نتیجه داریم :
حرکت کند شونده ( شتاب ثابت و منفی )
شتاب ثابت است ، بنابراین :
سرعت جسم در زمانهای مساوی به طور یکسان تغییر می کند ( کاهش می یابد )
معادله حرکت با شتاب ثابت
ب ) کند شونده
الف ) تند شونده
زمان تا توقف و مسافت تا توقف
در حرکت کند شونده ای که منجر به توقف می شود ، v=0 بنابراین :
تمرین 1 :
هواپیمائی با سرعت 72km/hبر روی باند مستقیم فرودگاهی می نشیند و پس از 10ثانیه سرعتش به 36km/h می رسد ، در صورتیکه حرکتش با شتاب ثابت باشد ، مطلوب است :
الف ) مسافتی که در10 ثانیه اول طی می کند ؟
ب ) زمان و مسافت طی شده از لحظه فرود تا هنگام توقف
حل تمرین 1 :
الف )
ب )
تمرین 2 :
دو هواپیما یکی با سرعت 6000km/h و دیگری با سرعت 4500km/h هر دو همزمان از آسمان شهر A می گذرند اگر هواپیمای تندرو یک ثانیه زودتر از آسمان شهر B بگزرد . مطلوب است ؟
الف ) زمانی که هر دو هواپیما مسافت AB را طی می کنند .
ب ) فاصله AB
حل تمرین 2 :
الف )
ب )
تمرین 3 :
اتومبیلی درسر چهار راهی پشت چراغ قرمزمتوقف است ، همزمان با سبز شدن چراغ کامیونی با سرعت 10m/sبدون توقف از چها راه می گذرد و اتومبیل با شتاب 1m/sشروع به حرکت می کند . پس ا زچند ثانیه و در چه فاصله ای از چها راه اتومبیل به کامیون میرسد ؟
حل تمرین 3 :
تمرین 4 :
اتومبیلی باسرعت 72km/hدر جاده ای مستقیم در حرکت است در یک لحظه راننده متوجه مانعی در جاده می شود و ترمز می گیرد . اگر زمان واکنش راننده 0.4ثانیه باشد و حرکت اتومبیل با شتاب1متربرمجذورثانیه کند شود و در کنار مانع متوقف شود از لحظه دیدن مانع تا توقف ، اتومبیل چه مسافتی را طی کرده است و چند ثانیه طول کشیده است ؟
حل تمرین 4 :
سقوط آزاد اجسام در خلاء : حرکتی با شتاب ثابت و در خط مستقیم و در نزدیکی سطح زمین است .
سقوط آزاد اجسام در خلاء
به جرم و جنس اجسام بستگی دارد .
در راستای قائم صورت می گیرد .
با شتاب ثابت g صورت می گیرد .
حرکت سقوط آزاد اجسام در خلاء ،حرکتی با شتاب ثابت ( تند شونده ) ، g=9.8m/s صورت می گیرد . بنابراین برای حل مسائل مربوط به آن از معادلات زیر استفاده می کنیم .
حرکت در راستای قائم به سمت بالا با شتاب ثابت ( کند شونده ) ، g=9.8m/s صورت می گیرد . بنابراین برای حل مسائل مربوط به آن از معادلات زیر استفاده می کنیم .
زمان تا اوج و ارتفاع تا اوج
در حرکت در راستای قائم به سمت بالا ، در صورتیکه در t=0 جسم در مبدا باشد . در نقطه اوج v=0 است .
بنابراین
روش حل مسائل سقوط آزاد و پرتاب در راستای قائم به سمت بالا ، در خلاء
روش اول
روش دوم :
در صورتیکه حرکت سقوطی باشد از روابط حرکت تند شونده استفاده می شود .
در صورتیکه حرکت در راستای قائم به سمت بالا باشداز روابط حرکت کند شونده استفاده می شود .
چه حرکت سقوطی باشد چه صعودی ( چه تند شونده چه کند شونده ) با استفاده از قرار داد زیر از روابط حرکت تند شونده استفاده می شود .
قرارداد برای حل مسائل سقوط آزاد و پرتاب در راستای قائم به سمت بالا ، در خلاء
روابط مورد استفاده :
– محل پرتاب یا سقوط جسم را مبدا فرض کنید .
– تمام سرعتهای رو به بالا را مثبت و تمام سرعتهای رو به پایین را منفی قرار دهید .
– چه حرکت به سمت بالا و چه حرکت به سمت پایین باشد همیشه مقدار y را منفی قرار دهید .
– تمام مسافتهای بالای مبدا را مثبت و تمام مسافتهای زیر مبدا را منفی قرار دهید .
تمرین 5 :
گلوله ای را از ارتفاع 20 متری سطح زمین با سرعت 5m/s در راستای قائم به سمت بالا پرتاب می کنیم . موقعیت و سرعت گلوله را در زمانهای 0.5s, 1s,2s پس از پرتاب تعیین کنید . (g=10m/s2 )
m20
حل تمرین 5 :
الف ) از طریق حرکتهای کند شونده و تند شونده :
در فاصله 25/21 :
نقطه اوج :
گلوله در مبدا است :
ده متری سطح زمین
حل تمرین 5 :
ب) از طریق قرارداد :
در فاصله 25/21 :
نقطه اوج :
گلوله در مبدا است :
ده متری سطح زمین
تمرین 6 :
در تمرین 5 گلوله پس از چه کدت از لحظه پرتاب و با چه سرعتی به زمین برخورد می کند ؟
حل تمرین 6 :
الف ) از طریق حرکتهای کند شونده و تند شونده :
پس از 0.5sثانیه گلوله در ارتفاع 21/25 متری ( نقطه اوج ) قرار دارد و از این نقطه آزادانه سقوط می کند .
20m
21.25m
حل تمرین 6 :
ب) از طریق قرارداد :
جهت سرعت به سمت پایین است .
دو نکته در حرکت جسم در راستای قائم به سمت بالا
د رهر سطح پرواز
الف ) زمان تا اوج برابر است با زمان از اوج تا آن سطح پرواز
ب ) سرعت به سمت بالا برابر است با سرعت در همان سطح پرواز ، هنگام بازگشت از نقطه اوج
سرعت حد
وقتی که جسم زیاد سبک نباشد و از ارتفاع کم سقوط کند ، چشم پوشی از مقاومت هوا معقول است ، در غیر اینصورت شتاب حرکت جسم در حال سقوط ثابت نمی ماند و در ارتفاعی به صفر می رسد که در این نقطه سرعت آنها سرعت حد نامیده می شود که به وزن و شکل جسم و چگالی هوا بستگی دارد .
نمودار V-T برای سقوط جسم در خلاء و در هوا و سرعت حد
فصــــل چهارم
حرکت دو بعــــدی
روابط برداری حرکت دو بعدی ذره در حالت کلی
الف ) بردار تغییر مکان :
، بردار مکان ذره در صفحه xy در لحظه
، بردار مکان ذره در صفحه xy در لحظه
، بردار تغییر مکان ذره در زمان عبارت است از :
ب ) بردارهای سرعت متوسط و سرعت لحظه ای در حالت دو بعدی
ج ) بردار تغییر سرعت :
الف ) بردار تغییر مکان :
، بردار سرعت ذره در صفحه xy در لحظه
، بردار سرعت ذره در صفحه xy در لحظه
، بردار تغییر سرعت ذره در زمان عبارت است از :
د ) بردارهای شتاب متوسط و شتاب لحظه ای در حالت دو بعدی
با توجه به اینکه کمیتهای برداری مکان ، سرعت و شتاب و تغییرات آنها را می توان در حالت دو بعدی بر حسب مولفه هایان نوشت . معقول است که در بررسی حرکت ذره در صفحه xy چگونگی حرکت تصاویر آن را روی دو محور بررسی کرده و از تلفیق انها در مورد حرکت ذره در صفحه اظهار نظر کنیم .
برای مثال حرکت ذره ای را بررسی می کنیم که تصاویر آن روی هر یک از محورها حرکتی با شتاب ثابت به ترتیب برابر دارد .
معادلات حرکت هر یک از تصویرها در راستای دو محور
از تلفیق معادلات حرکت تصاویر برروی دو محور x.y معادلات حرکت جسم در مثال فوق به صورت زیر به دست می آیند .
در این مثال فرض شده است .
حرکت پرتابی در سطح قائم در حالت خاص
الف ) پرتابه را ذره در نظر می گیریم چون فقط حرکت انتقالی آن مد نظر است .
ب ) حرکت پرتابه را در ارتفاعهای محدود در نظر می گیریم تا بتوانیم از تغییرات شتاب جاذبه زمین صرفنظر کنیم .
ج ) به منظور دوری از روابط پیچیده ، از مقاومت هوا صرفنظر کرده و حرکت پرتابه را در خلاء فرض می کنیم .
پرتابه ای را با سرعت اولیه تحت زاویه اولیه نسبت به افق با شرایط فوق در سطح قائم پرتاب می کنیم .
معادلات حرکت تصویر پرتابه روی محور y
معادلات حرکت تصویر پرتابه روی محور y
مثال 1 :
پرتابه ای را از سطح زمین با سرعت اولیه 20m/s تحت زاویه 37 درجه نسبت به افق ، در سطح قائم و در خلاء پرتاب می کنیم مطلوب است اندازه و جهت سرعت پرتابه یک ثانیه پس از پرتاب (g=10m/s2,sin37=0.6,cos37=0.8)
حل مثال 1 :
مثال 2 :
پس از چه مدت پرتابه مثال 1 ، به بالاترین نقطه مسیرش ( ارتفاع اوج) می رسد و این نقطه در چه ارتفاعی از سطح افقی قرار دارد ؟
حل مثال 2 :
زمان اوج :
ارتفاع اوج :
زمان اوج و ارتفاع اوج در حرکت پرتابی :
مثال 3 :
در چه زمانهایی پرتابه مثال 1 در ارتفاع 4 متری سطح افق خواهد بود ؟
حل مثال 3 :
مثال 4 :
پس از چه مدت پرتابه مثال 1-4به حداکثر فاصله افقی از سطح تراز اولیه ( زمان برد ) می رسد ؟
حل مثال 4 :
در دو موقعیت یکی در مبدا و یکی در زمانy=0, t=2.4s است.
در حرکت پرتابی ، زمان برد ، دو برابر زمان اوج است :
در حداکثر فاصله افقی از سطح تراز اولیه y=0 است .
مثال 5 :
حداکثر فاصله افقی پرتابه در مثال 1 ، از سطح تراز اولیه ( برد حرکت پرتابی ) چقدر است ؟
همچنین نشان دهید برد حرکت پرتابی از رابطه دست می آید.
حل مثال 5 :
معادله مسیر در حرکت پرتابی ، یعنی رابطه بین x,y :
که معادله یک سهمی است .
مثال 6 :
در چه ارتفاعی پرتابه مثال 1 < در فاصله افقی 16متری از مبدا قرار دارد ؟
حل مثال 6 :
یا
پرتاب افقی در سطح قائم :
پرتاب افقی از روی میز
شلیک موشک به طور افقی از هلی کوپتر ساکن
بمب رها شده از هواپیمایی که با سرعت ثابت افقی حرکت می کند .
در هر سه مورد و معادلات مورد استفاده این حرکت عبارتند از:
معادله مسیر
معادلات مورد استفاده برای پرتاب زیر افق :
حرکت دورانی یکنواخت در سطح افق
متحرک روی مسیری دایره ای در سطح افقی در زمانهای مساوی قوسهای مساوی طی می کند یا در این حرکت زاویه ای که خط واصل بین مرکز مسیر متحرک در واحد زمان طی می کند مقدار ثابتی است . یا حرکتی است که در آن فقط جهت سرعت تغییر می کند ولی اندازه سرعت ثابت است .
در یک حرکت دورانی یکنواخت شتاب داریم :
با رسم همسنگ بردارهای سرعت از یک نقطه دیده می شود که در زمان به علت تغییر در جهت بردار سرعت ، بردار تغییر سرعت داریم و چون است ، پس این حرکت بعلت تغییر در جهت سرعت دارای شتاب است .
اگر بتدریج کوچک شود و به سمت صفر میل کند . در این حد جهت بردار یا در واقع به جهتی میل می کند که بر امتداد بردارهای سرعت عمود است یعنی به سمت جانب مرکز است .
جهت شتاب در حرکت دورانی یکنواخت به جانب مرکز مسیر است ( شتاب مرکز گرا )
متحرک را بین دو لحظه در نظر می گیریم به طوری که میل کند . از یک نقطه همسنگ دو بردار سرعت را رسم می کنیم در این حد که متحرک با سرعت ثابت وتر یا طول قوس را در زمان طی می کند ، از تشابه دو مثلث متساوی الساقین ایجاد شده داریم .
اندازه شتاب مرکز گرا در حرکت دورانی یکنواخت در سطح افق
شتاب بعلت تغییر در اندازه سرعت ( شتاب مماسی)
بردار شتاب در یک حرکت منحنی الخط در حالت کلی در هر لحظه برایند دو شتاب جانب مرکز ( شعاعی ) و شتاب مماسی ( خطی) خواهد بود .
سرعت نسبی در حرکت یک بعدی
سرعت نسبی در حرکت دو بعدی
بردارهای مکان A در دو چهار چوب E,F با رابطه زیر به یکدیگر مربوطند :
اگر هم ذره A و هم چهار چوب F نسبت به چهر چوبE در حرکت باشد و از رابطه فوق نسبت به زمان مشتق بگیریم همان رابطه مربوط به حرکت یک بعدی به دست می آید :
دو مثال برای سرعت نسبی در حرکت دو بعدی
الف ) قایقی که در رودخانه در حرکت است ، قایق جسم یا متحرک A ، آب رودخانه سیستم F و ساحل همان سیستم ساکن یا زمین (E) است .
ب ) هواپیمایی که در هوا در حرکت است ، هواپیما جسم یا متحرک A ، هوا سیستم F و زمین سیستم ساکن (E) است .
د رهمه جا برای ساده بودن مسائل سرعتها ثابت فرض می شوند .
مثال 7 :
سرعت آب رودخانه ای که در جهت شرق در جریان است ، برابر 3m/s می باشد . قایقی می خواهد از یک ساحل درست به ساحل مقابل برود ، قایقران سرعت سنج قایق را روی m/s 5 تنظیم کرده است :
الف ) قطب نمای قایق چه جهتی را نشان می دهد ؟
ب ) سرعت دور شده قایق از ساحل چقدر است ؟
ج ) اگر عرض رودخانه 2000 متر باشد ، پس از چه مدت قایق به ساحل مقابل می رسد ؟
حل مثال 7 :
جهت قطب نمای قایق یعنی جهت بردار AF 37درجه غرب محور شمال و 53 درجه شمال محور غربی است .
ب )
ج )
الف )
شرق
شمال
غرب
جنوب
فصــــل پنجم
دینامیک ذره – قسمت اول
در این فصل از حرکت اجسام و روابط بین a,t,v,x و همچنین عامل حرکت اجسام ( نیرو ) نیز در غالب قوانین نیوتن صحبت می شود . باید دانست که قوانین نیوتن قوانینی تجربی هستند .
نیرو می تواند باعث تغییر شکل و یا تغییر سرعت اجسام شود و هر نیرو یا نیروی تماسی است یا کنش از راه دور ، برای اندازه کیری و مقایسه نیروها می توانیم از یک فنر استاندارد و مدرج شده به عنوان نیروسنج استفاده کنیم .
نیرو کمیتی برداری است .
قانون اول نیوتن
هرگاه برآیند نیروهای خارجی وارد بر ذره ای صفرباشد اگر جسم ساکن باشد ساکن می ماند و اکر متحرک باشد به حرکت مستقیم الخط یکنواختش ادامه می دهد .
قانون اول نیوتن را قانون لختی یا ماند هم می نامند ، هر جسمی در غیاب نیروهای خارجی تمایل دارد حالت حرکت خود را حفظ کند یعنی اگر ساکن باشد ساکن بماند و اگر متحرک باشد به حرکت مستقیم الخط خود ادامه دهد .
گاهی به قانون اول نیوتن شرط اول تعادل گفته می شود بنابر شرط اول تعادل یاتعادل انتقالی هرگاه جسمی ساکن یاحرکتش مستقیم الخط یکنواخت باشد ، دارای تعادل انتقالی است و آن وقتی است که برآیند نیروهای خارجی وارد بر جسم صفر باشد .
شرط تعادل انتقالی یا قانون اول نیوتن برای یک جسم در دو بعد عبارت است از :
یکای نیرو
یا نیوتن است و آن نیرویی است که اگر به جسمی به جرم 1kg وارد شود شتابی برابر 1m/s2به آن می دهد .
یا دین است و آن نیرویی است که اگر به جسمی به جرم 1gr وارد شود شتابی برابر 1cm/s2به آن می دهد .
جرم ( m ) :
ماند یا لختی تمایل به حفظ حالت حرکت یا مقاومت در مقابل تغییر تندی را ماند یا لختی می گویند که بستگی به مواد تشکیل دهنده جسم دارد ، هر چه مواد تشکیل دهنده جسم بیشتر یا به اصطلاح جرم جسم بیشتر باشد و به طور کلی اندازه مقاومت جسم در مقابل تغییر تندی را جرم جسم می نامند .
واحد جرم اتمی جرم اتم کربن 12
تغییر سرعت جسم با جرمش نسبت عکس دارد .
یکای جرم
قانون دوم نیوتن
هرگاه برآیند نیروثابتی به ذره ای به جرم m اثر کند ، شتابی به آن ذره می دهد که با برایند نیرو نسبت مستقیم و با جرم نسبت عکس دارد .
با استفاده از ماشین آتوود ، ریل هوا و … می توانیم درستی قانون نیوتن را تحقیق کنیم .
وزن ( W )
برایند نیروهای جاذبه ای که از مرکز زمین به تک تک ذرات یک جسم اثر می کند و می خواهد آن را به سمت مرکز زمین بکشاند . باید دانست که این تعریفی است که فقط در نزدیکی زمین صدق می کند .
رابطه وزن و جرم
هر گاه جسمی به جرم m در نزدیکی سطح زمین در حال سقوط در نظر بگیریم ، با چشم پوشی از مقاومت هوا تنها نیروی موثر بر آن نیروی ثقل زمین یا وزن جسم است که بنابر قانون دوم نیوتن شتاب جسم با نیرو نسبت مستقیم و با جرم نسبت عکس دارد .
وزن جسم کمیتی برداری است که درنقاط مختلف تغییر می کند درصورتیکه جرم جسم کمیتی اسکالر است که درنقاط مختلف تغییر نمی کند .
قانون سوم نیوتن
هر عملی عکس العملی دارد مساوی و مختلف الجهت با آن ، نیروهای عمل و عکس العمل به دو جسم مختلف وارد می شوند .
نیروهای عمل و عکس العمل
سقف به نخ با نخ به سقف
زمین به جسم با جسم به زمین
جسم به نخ با نخ به جسم
تفنگ به گلوله
گلوله به تفنگ
نخ به سقف
سقف به نخ
جسم به نخ
نخ به جسم
زمین به جسم
نیروهای نگهدارنده به سقف
نیروهای عمل و عکس العمل در راستای افقی
برای نخ سبک و در حال کشش ، نخ فقط نقش انتقال دهنده نیرو را دارد و در حالت تعادل هر چهار نیرو برابرند .
همچنین کشش یک نخ در حال کشش در تمام قسمتهای نخ یکسان است .
نخ
دست
سطح بدون اصطکاک
نخ به جسم
نخ به دست
دست به نخ
جسم
جسم به نخ
روش حل مسائل دینامیک :
1- رسم شکل ساده
2- در نظرگرفتن اجسام ، نقاط مشخص ، گره نخها به عنوان نقاط جرم داری که بر آنها نیرو وارد می شود .
3- رسم دیاگرام ازاد هر جسم یعنی مشخص کنیم به هر جسم از جانب سایر احسام چه نیروهایی وارد می شود .
4- در نظر گرفتن محورهای مختصات مناسب و تصویر نیروها بر روی این محورها
5- استفاده از روابط سینماتیک و دینامیک
مثال 1 :
کشش هر نخ در شکل زیر ؟
حل مثال 1 :
مثال 2 :
شتاب حرکت یک جسم بر روی سطح شیبدار بدون اصطکاک ؟
حل مثال 2 :
مثال 3 :
در شکل زیر صطوح تماس بدون اصطکاک هستند ، شتاب حرکت دستگاه و کشش نخ را تعیین کنید ؟( g=10m/s2 )
حل مثال 2 :
آسانسور و وزن ظاهری
زمین به شخص
آسانسور با شتاب ثابت تند شونده بالا می رود .
آسانسور با شتاب ثابت کند شونده پایین می رود .
آسانسور با شتاب ثابت تند شونده پایین می رود .
آسانسور با شتاب ثابت کند شونده بالا می رود .
وزن ظاهری=نیروسنج نشان می دهد=شخص به کف=کف به شخص
قرارداد :
حرکت به سمت بالا ( مثبت )
حرکت به سمت پایین ( منفی )
حرکت کند شونده ( منفی )
حرکت تند شونده ( مثبت )
تند شونده بالا
کند شونده پایین
تند شونده پایین
کند شونده بالا
در فرمول
فصــــل ششم
دینامیک ذره – قسمت دوم
اصطکاک
نیروی اصطکاک هم لازم و گاهی نیز مزاحم است ، هنگام نوشتن یا راه رفتن لازم و هنگام ایجاد ساییدگی یا خوردگی و سرو صدا زاید است و باید به طریقی کاهش یابد . دراینجا بیشتر اصطکاک لغزشی مورد نظر است و اصطکاک غلتشی به اختصار بیان می شود .
منشا نیروی اصطکاک نیروهای الکتریکی بین سطوح تماس استو در عین حال :
نیروی اصطکاک
به جنس سطوح تماس بستگی دارد .
به اندازه واقعی سطوح تماس بستگی دارد .
با مولفه عمودی نیروی عکس العمل سطح متناسب است .
ضریب اصطکاک ایستایی و دینامیکی
جسم در آستانه حرکت
جسم ساکن و بزرگتر
جسم ساکن و کوچک
جسم ساکن
در آستانه حرکت حداکثر مقدارش رادارد و تجربه نشان می دهد که و ضریب تناسب ضریب اصطکاک ایستایی نامیده می شود
در حالت کلی
در حالت که تحت تاثیر جسم به حرکت در آید ، تجربه نشان می دهد که است .
قبل از آستانه حرکت
در آستانه حرکت
تغییر نیروی اصطکاک با نیروی اعمال شده
لغزش گیردار
لغزش روان
سکون
اصطکاک غلتشی
از اصطکاک جنبشی ( لغزشی بسیار کوچکتر است .
غلتش
الف ) واداشته : جهت اصطکاک غلتشی رو به جلو در جهت حرکت چرخ است .به جنس سطوح تماس بستگی دارد .
ب ) آزاد : نیروی اصطکاک غلتشی به طرف عقب اثر می کند و حرکت چرخ را کند می کند .
اگر نیروی چرخانده بیش از باشد ، غلتش با لغزش همراه است .
لاستیک به جاده
اصطکاک غلتشی (جاده به به لاستیک )
مثال 1 :
درهر یک از شکلهای زیر اگر جرم جسم m=4kg باشد ، اندازه نیروی F چقدر باشد تا جسم
الف ) با شتاب a=1m/s2 به سمت بالا حرکت کند ؟
ب ) باسرعت ثابت به سمت بالا حرکت کند ؟
حل مثال 1 :
الف )
ب )
شکل (1) :
حل مثال 1 :
الف )
ب )
شکل (2) :
حل مثال 1 :
الف )
ب )
شکل (3) :
مثال 2 :
در شکل زیر اگر ضزیب اصطکاک سطح شیبدار باشد ، شتاب حرکت و کشش نخ را تعیین کنید ؟
حل مثال 2 :
مثال 3 :
مهره کوچکی را روی لبه صفحه ای به شعاع cm 15 که با سرعت 30 دور در دقیقه می چرخد قرار می دهیم ، حداقل ضریب اصطکاک چقدر باشد تا مهره روی صفحه نلغزد ؟
حل مثال 3 :
مثال 4 :
حداقل ضریب اصطکاک بین لباس شخصو دیواره گردونه ای به شعاع r و سرعتv چقدر باشد تا شخص سقوط نکند ؟
حل مثال 4 :
حرکت در پیچ جاده :
الف ) جاده شیب عرضی ندارد و دارای اصطکاک عرضی است .
رابطه بین سرعت اتومبیل و شعاع مسیربا ضریب اصطکاک عرضی چگونه است ؟
حرکت در پیچ جاده :
ب ) جاده شیب عرضی ندارد و دارای شیب عرضی است .
رابطه بین سرعت اتومبیل و شعاع مسیرو زاویه شیب عرضی چگونه است ؟
محاسبه زمان تناوب آونگ مخروطی
گلوله در سطح افقی در مسیر دایره ایحرکت یکنواخت دارد .
دوران در سطح قائم
کشش نخ
شتاب مماسی
کشش نخ و شتاب مماسی در نقاط خاص از حرکت دورانی در سطح قائم
استوای مسیر
پایین ترین نقطه
بالاترین نقطه
دوران در سطح قائم بدون نخ
عکس العمل عمودی نیروی موتوریا عکس العمل صندلی خلبان
نیروی گرانشی
ثابت جهانی گرانش
شتاب جاذبه در نزدیکی زمین
الف ) برای جرمهای نقطه ای صادق است .
ب ) از قانون عمل و عکس العمل پیروی میکند .
سرعت مداری و زمان تناوب حرکت ماهواره
سرعت ماهواره ای که نزدیک سطح زمین دوران می کند .
قوانین کپلر در مورد حرکت سیارات به دور خورشید
1 ) مدار سیارات به دور خورشید بیضی است که خورشید در یکی ازکانونهای آن قرار دارد .
2 ) سطحی که خط واصل بین سیاره و خورشید در واحد زمان باروپ می کند ، مقداری است ثابت .
3 ) مجذور زمان تناوب حرکت سیاره با مکعب شعاع متوسط مسیر حرکت متناسب است :
خورشید
زمین
مختصات لخت ( اینرسی ) یا غیر لخت ( غیراینرسی )
تمام دستگاههای مختصاتی که نسبت به ستارگان ثابت دور دست ساکن یا حرکت یکنواخت دارند دستگاه لخت یا اینرسی نامیده می شود .
قوانین نیوتن در مورد دستگاههای مختصات لخت صادق است . اگر بخواهیم مساله ای را نسبت به دستگاه مختصات غیر اینرسی با استفاده از قوانین نیوتن حل کنیم بایستی از نیروهای اینرسی یا شبه نیرو در نظر بگیریم . ( نیروی گریز ازمرکز یک شبه نیرو است )
تمام دستگاههای مختصاتی که حرکتشان شتابدار است ، مختصات غیر اینرسی یاغیرلخت نامیده می شود .
فصــــل هفتم
کــــار و انــــــرژی
اهمیت کار وانرژی
برخی از مسائل مکانیک از طریق کار و انرژی ساده تر حل می شود ، به خصوص وقتی که نیروهای وارد بر ذره متغیر باشند یا نسبت به زمان و مکان تغییر کند .
مطرح شدن اصل پایستگی انرژی ، که انرژی از بین نمی رود و تنها از صورتی به صورت دیگر تبدیل می شود .
کار نیروی ثابت
حاصلضرب نیرو ، تغییر مکان در کسینوس زاویه بین آن دو
حاصلضرب تغییر مکان در تصویر نیرو در راستای تغییر مکان
حاصلضرب نیرو در تصویر مکان در راستای نیرو
کارممکن است مثبت ، منفی یا صفر باشد .
کارنیروی کشش نخ در حرکت دورانی صفر است .
کار نیروی وزن در حرکت جسم به سمت بالا منفی است .
کار نیروی وزن در حرکت جسم به سمت پایین مثبت است .
کار نیروی اصطکاک
کار نیروی اصطکاک با نیروی مقاوم در مقابل حرکت معمولا منفی است .
کارنیروی اصطکاک ممکن است در برخی موارد مثبت باشد .
درشکل مقابل در حالی که اصطکاک ایستایی بین A,B به اندازه کافی نباشد ، A به سمت چپ می لغزد . در نتیجه اصطکاک مقاوم در مقابل حرکت آن به سمت راست و تغییر موقعیت A نسبت به میز نیز به سمت راست خواهد بود .
کار نیروی ثقل
جسمی به جرم m رااز ارتفاع ازسطح زمین تا ارتفاع باسرعت ثابت بالامی بریم ، دراین جابجایی کار نیروی ثقل چقدر است .
کار نیروی وزن فقط به مکانهای های اولیه ونهایی بستگی دارد و مستقل از مسیر است . بعلاوه کارنیروی وزن در یک مسیر بسته صفر است .
کار نیروی وزن در مسیرهای افقی صفر است .
کار برایند نیروهای وارد بر جسم برابر است با مجموع کارهای تک تک نیروها :
برایند
برایند
کار نیروی متغیر :
سطح زیر نمودار =
مثال 1 :
بر جسمی نیروی متغیری در راستای محور x همجهت با تغییر مکان وارد می شود ، اگر نمودار نیرو بر حسب فاصله به صورت زیر باشد ، کار انجام شده بین دو مکان چقدر است ؟
حل مثال 1 :
مثال 2 :
معادله تغییرات F بر حسب X برای جسمی که در راستای محور X ها عبارت است از : کار نیروی F را بین دو مکان تعیین کنید ؟
حل مثال 2 :
قانون هوک
هر گاه فنری را از وضعیت تعادل به اندازه x بکشیم یا متراکم کنیم نیروی بازگرداننده فنر با جابجایی در دو جهت مختلف و با یکدیگر متناسبند .
یکای ضریب ثابت فنر N/m و به جنس وابعاد فنر بستگی دارد . علامت منفی فقط نشان می دهد که جهت نیروی فنر با تغییر مکان مخالف است .
کار نیروی فنر
فنری به ضریب ثابت k را از مکان از وضعیت تعادل تا مکان بر روی سطح بدون اصطکاک با سرعت ثابت می کشیم ، در این جابجایی کار نیروی فنر چقدر است ؟
کار نیروی فنر فقط به مکانهای اولیه و نهایی بستگی دارد و مستقل از مسیر است ، بعلاوه کار نیروی فنر در یک مسیربسته صفر است .
قضیه کارو انرژی یا قضیه انرژی جنبشی در یک بعد
کار برآیند نیروهای وارد بر جسم برابر است با تغییرات انرژی جنبشی جسم
الف ) وقتی نیرو ثابت است :
ب ) وقتی نیرو متغیر است :
با فرض هم جهت بودن نبرو وتغییر مکان
اگر انرژی جنبشی ، باشد .
توان
توان متوسط :
در حالت کلی : آهنگ انتقال انژی از یک جسم به جسم دیگر یا آهنگ تبدیل انرژی از شکلی به شکل دیگر :
توان لحظه ای ، مقدار حدی وقتی میل می کند .
برای یک جابجایی بینهایت کوچک کار نیروی F روی جسم :
کار و انرژی در سه بعدی
در فضای سه بعدی ذره ای تحت اثر نیرویی متغیر روی مسیرمنحنی در حرکت است ، کار این نیرو در جابجایی بینهایت کوچک :
کار کل در مسیرA تا B :
فصــــل هشتم
پایستگــــــــی انرژی
جسمی رااز سطح زمین با سرعت ثابت تا ارتفاع y بالا می بریم در این جابجایی ما چقدر کار انجام داده ایم ؟
انرژی پتاتسیل ثقلی عبارت است از کاری که لازم است انجام دهیم تا جسمی را از سطح زمین باسرعت ثابت باارتفاع y بالا ببریم .
بنابراین کار نیروی ثقل در جابجایی از ارتفاع تا عبارت است از :
فنری را با سرعت ثابت از وضعیت تعادل به اندازه x منبسط یا متراکم می کنیم ، در این جابجایی ما چقدر کار انجام داده ایم ؟
انرژی پتانسیل کشسانی فنر عبارت است از کاری که لازم است انجام دهیم تا فنری را از وضعیت تعدل به اندازه x منبسط یا متراکم کنیم .
بنابراین کار نیروی ثقل در جابجایی از تا عبارت است از :
نیروهای پایستار
نبروهایی که کار آنها به مسیر بستگی ندارد و فقط به نقاط ابتدایی و انتهایی بستگی دارد یا نیروهایی که کار آنها در مسیر بسته صفر است .
یا نیروهایی که انری جنبشی را در یک رفت و برگشت کامل ثابت نگاه می دارند .
یا نیروهایی که کار آنها در مسیر بسته صفر است .
نیروهای وزن ، کشسانی فنر ، گرانش و … نیروهای پایستارند .
نیروهای مقاوم نیروی اصطکاک که یکی از شرایط فوق را ندارند ، نیروهای غیر پایستارند .
اصل پایستگی انرژی مکانیکی وقتی که فقط نیروی وزن کار انجام دهد و کار سایر نیروها صفر باشد .
کاهش انرژی پتانسیل ثقلی برابر است با افزایش انرژی جنبشی
ثابت
مثال 1 :
جسمی را از بالای مسیر منحنی بدون اصطکاکی به ارتفاع 20 متر بدون سرعت اولیه رها می شود ، سرعت جسم در پایین مسیر چقدر است ؟
حل مثال 1 :
مثال 2 :
در شکل زیر جسمی به جرم 2kg را از ارتفاع 20 متری روی مسیر منحنی با سرعت به سمت پایین می لغزانیم در نقطه B :
سرعت جسم چقدر است ؟
عکس العمل مسیر چقدر است ؟
شعاع قسمت دایره ای انتهای مسیر یک متر است .
حل مثال 2 :
اگر علاوه بر نیروی وزن نیروی اصطکاک نیز کار انجام دهد و کار سایر نیروها صفرباشد آیا اصل پایستگی انرژی مکانیکی برقرار است ؟
اصل پایستگی انرژی برقرار نیست ؟
بنابراین :
برایند
برایند
اصل پایستگی انرژی مکانیکی وقتی که فقط نیروی کشسانی فنر کار انجام دهد و کار سایر نیروها صفر باشد .
کاهش انرژی پتانسیل برابر است با افزایش انرژی جنبشی
ثابت
برایند
برایند
مثال 3 :
فنری به ضریب ثابت را از یک انتها روی سطح افقی بدون اصطکاک مطابق شکل به نقطه ای متصل کرده ایم ، اگر جرم 0.2kg منصل به انتهای دیگر فنر را که ابتدا به اندازه بیست سانتیمتر منبسط کرده ایم ، رها کنیم در فاصله پنج سانتیمتری وضعیت تعادی چه سرعتی خواهد داشت ؟
حل مثال 3 :
هنگام رها کردن جسم ، تنها نیروی کشسانی فنر کار انجام می دهد و کار سایر نیروها صفر است . بنابراین :
انرژی پتانسیل و نیروهای پایستار
در حالت کلی تغییر انرژی پتانسیل را می توانیم بر حسب کار نیروی پایستار (کنسرواتیو با علامت c ) نشان دهیم :
علامت منفی نشان می دهد که کار مثبت نیروی پایستار منجر به کاهش انرژی پتانسیل وابسته به آن می شود .
در حالت سه بعدی که نیروی پایستار می تواند هم از نظر اندازه و هم جهت تغییر کند ، برای یک تغییر بسیار کوچک در انرژی پتانسیل که در اثر جابجایی کوچک ds ایجاد می شود ، داریم :
و تغییر انری پتانسیل وقتی جسم از َA به B حرکت می کند برابر منفی کاری است که نیروی پایستار انجام می دهد .
تعیین نیروی پایستاروابسته به یک تابع انرژی پتانسیل
در یک بعد ، مثلا در مورد توابعی که شامل یک مختصه اند ،مثل یا :
هر مولفه نیروی پایستار برابر منفی مشتق تابع انرژی پتانسیل در جهت همان محور است ، علامت منفی نشان می دهد که نیرو در جهت کاهش انرژی پتانسیل است .
با داشتن انرژی پتانسیل ثقلی و انرژی پتانسیل کشسانی فنر ، نیروی پایستار مربوط به این نیروها عبارتند از :
مثال 4 :
در سیستم شکل زیر جرم نخ ناچیز و قرقره هابدون اصطکاک هستند ، و در ابتدا روی زمین و در فاصله از زمین قرار دارد ، اگر را رها کنیم با چه سرعتی به زمین می خورد ؟
حل مثال 4 :
مثال 5 :
تخته ای به جرم m=0.8kg به یک فنری با ثابت K=20N/m متصل است و روی سطح بدون اصطکاکی قرار دارد ، فنر را به اندازه 12cm می کشیم و رها می کنیم :
الف ) بیشترین سرعت تخته چقدر است ؟
ب ) وقتی فنر هشت سانتیمتر متراکم شده باشد سرعت تخته چقدر است ؟
ج ) در چه مکانهایی انرژی جنبشی تخته با انرژی پتانسیل فنر برابر است ؟
د ) در چه نقاطی سرعت تخته نصف سرعت ماکزیمم آن است ؟
حل مثال 5 :
الف )
حل مثال 5 :
ب ) با استفاده از اصل پایستگی انرژی مکانیکی
حل مثال 5 :
ج ) اگر انرژی های پتانسیل و جنبشی با هم برابر باشند ، هر یک باید نصف انرزی کل باشد ، یعنی
حل مثال 5 :
د ) می خواهیم نقاطی را پیدا کنیم که در آنها باشد ، ( با توجه به قسمت الف ) .
با استفاده از اصل پایستگی انرژی داریم :
پس به ازای هر سرعتی دو نقطه داریم که به طور قرینه در دو طرف مبدا واقع شده اند .
فصــــل نهم
تکـــانه خطــــــــی
تکانه خطی یک ذره به جرم m و سرعت
جهت : جهت سرعت ذره
یکا :
اندازه :
اصل پایستگی تکانه خطی در مورد یک ذره ( وقتی که جرم ثابت باشد )
اگر برایند نیروهای خارجی وارد بر ذره صفر باشد .
ثابت
پایستگی تکانه خطی در مورد دو ذره ، در صورتی که نیروها فقط نیروهای داخلی باشند :
نیروی وارد از به
نیروی وارد از به
ثابت
وقتی توپ تنیسی را به دیوار می زنیم از لحظه پرتاب تا بازگشت آن ممکن است ده ثانیه طول بکشد ولی زمان تاثیرمتقابل یا برخورد توپ و دیواریعنی زمان برخورد بسیار کوتاه است و نسبت به کل زمان ازمایش بسیار کوتاه است که در این زمان کوتاه تاثیر نیروهای خارجی ( اصطکاک و جاذبه زمین ) وارد بر سیستم ناچیز و اصل پایستگی تکانه خطی برقرار است .
همچنین منظور از برخورد تماس فیزیکی در جسم نیست ( آزمایش راترفورد )
رابطه پایستگی تکانه خطی یک رابطه برداری است و می توان این رابطه را برحسب مولفه هایش نوشت :
اصل پایستگی تکانه خطی در مورد یک سیستم ذرات :
اگر در برخورد دو ذره نیروهای خارجی هم به ترتیب به وارد شوند در برخورد این دو ذره :
برای
برای
اگر باشد در نتیجه ، ثابت
چون
کل
کل
انواع برخورد
الف ) برخورد الاستیک و یا کشسان
الف ) برخورد غیر کشسان ، فقط اصل پایستگی تکانه خطی صادق است زیرا انرژی جنبشی کل ذرات تغییر می کند و مقداری از آن صرف تغییر شکل یا تغییر ساختار یا تبدیل به سایر انرژیها می شود .
اصل پایستگی انرژی را در صورتی می توانیم بنویسیم که بخشی از انرژی تغییر شکل یافته را نیز در نظر بگیریم .
الف ) برخورد غیر کشسان کامل ، در این نوع برخورد ، دو جسم کاملا به یکدیگر جفت شده یا می چسبند و فقط اصل پایستگی تکانه خطی برقرار است .
راهنمای حل مسائل مربوط به پایستگی تکانه خطی
1) طرحی از سیستم کشیده و در آن جهت همه سرعتها را قبل و بعد از برخورد مشخص کنید ، محورهای مختصات را انتخاب کنید .
2) تکانه خطی برداری است ، باید قانون پایستگی را برای هر مولفه بنویسید ، انرژی جنبشی اسکالر است و فقط برای برخوردهای الاستیک پایسته می ماند .
3) علامت سرعتها ، در معادلات مولفه ای باید با جهتهایی که در طرح برخورد برای سرعتها مشخص کرده اید سازگار باشد ؛ سرعت مجهول به صورت نوشته می شود و علامتها ی درست از حل معادلات معلوم می شود .
مثال 1 :
اتومبیل 1 به جرم m=2000kg که با سرعت 10m/s به طرف شرق در حرکت است با اتومبیل 2 به جرم m=1000kg که با سرعت 25m/s به طرف غرب می رود به طور کاملا غیر الاستیک برخورد می کند ، اگر از اصطکاک جاده صرفنظر شود :
الف ) سرعت مشترک دو اتومبیل پس از برخورد چقدر و در چه جهتی خواهد بود ؟
ب ) چه کسری از انرژی جنبشی تلف می شود ؟
حل مثال 1 :
جهت سرعت نهایی به طرف غرب است ، در صورتی که سرعت نهایی منفی به دست می آید به معنای اشتباه گرفتن جهت سرعت نهایی است .
الف )
حل مثال 1 :
تغییر نسبی انرژی جنبشی
ب )
98 درصد از انرژی جنبشی اولیه در برخورد از میان رفته است .
مثال 2 :
اتومبیل 1 به جرم m=1400kg که با سرعت 72m/s به طرف شمال در حرکت است با اتومبیل 2 به جرم m=1600kg که با سرعت 108m/s به طرف غرب می رود این دو اتومبیل در سر چهار راهی به طور غیر کشسان کامل با یکدیگر برخورد می کنند ، اندازه و جهت سرعت دو اتومبیل را بعد از برخورد تعیین کنید .
حل مثال 2 :
آونگ بالستیک
تعیین سرعت گلوله از روی ارتفاعی که آونگ بالا می رود .
در برخورد الاستیک یک بعدی سرعت نسبی قبل از برخورد با سرعت نسبی بعد از برخورد برابر است .
در یک برخورد الاستیک اگر جرمها مساوی باشند نتیجه می شود که دو جسم در برخورد سرعتهایشان را عوض می کنند .
تکانه :
سرعت نسبی :
در یک برخورد الاستیک اگر جرمها نامساوی باشند و گلوله دوم ساکن باشد سرعتها بعد از برخورد از چه روابطی به دست می آیند ؟
تکانه :
سرعت نسبی :
در یک برخورد الاستیک اگر گلوله دوم ساکن باشد و فرض شود ، نتیجه می شود :
جسم سنگین پس از برخورد با همان سرعت اولیه اش به حرکت ادامه می دهد و جسم خیلی سبک که ساکن بوده است با دو برابر سرعت گلوله سنگین به راه می افتد .
در یک برخورد الاستیک اگر گلوله دوم ساکن باشد و فرض شود ، نتیجه می شود :
یعنی جسم سبک سرعتش معکوس می شود و جسم سنگین ثابت می ماند .
ضربه :
ضربه وارد بر یک ذره عبارت است از تغییر تکانه آن ذره :
ضربه کمیتی برداری است ، یکای آن همان یکای تکانه خطی و جهت آن جهت تغییر تکانه است .
رابطه ضربه ای که یک ذره در یافت می کند با نیروی خالص وارد بر آن
د ربرخورد ، اگر زمان تاثیر نیرو یا تداوم ضربه خیلی کوتاه باشد ، نیروی ضربه ای آنقدر بزرک است که در مقابل آن از بقیه نیروهایی که ممکن است به ذره اثر کند می توانیم صرفنظر کنیم .0
ضربه به عنوان مساحت زیر نمودارF بر حسب t
هرگاه نمودارF بر حسب t را برای یک نیروی ضربه ای در بازه زمانی رسم کنیم ، شکل نمودار روشن نیست ، بنابراین معمولا نیروی متوسطی را در نظر می گیرند که در آن بازه زمانی اثر کند به طوری که مساحت زیر نمودار با مساحت زیر منحنی واقعی مساوی باشد .
تعبیر مساحتی ضربه نشان می دهد که یک تغییر تکانه معین می تواند از نیروی بزرگی که در مدت زمان کوتاهی اثر می کند ، یا از نیروی کوچکی که در زمان درازی اثر می کند ناشی شده باشد یعنی در یک ضربه معین هرچه زمان کوتاهتر باشد نیرو بزرکتر است و برعکس .
مقایسه تکانه خطی با انرژی جنبشی
هر چند هر دو تابعی از جرم و سرعتند ولی :
1) پایستگی تکانه در مورد تمام برخوردها و پایستگی انرژی جنبشی فقط در مورد برخوردهای الاستیک صادق است .
2) تکانه خطی برداری و انرژی جنبشی اسکالر است .
3) تکانه خطی و انرژی جنبشی به نحوی به تلاش لازم برای تغییر دادن سرعت ذره مربوط می شود .
نیرو به عبارتی آهنگ تغییر تکانه خطی نسبت به زمان است و به عبارتی آهنگ تغییر انرژی جنبشی نسبت به مکان است .
اگر نیرو ثابت نباشد ، از دو عبارت اخیر برای متوسط نیرو مقادیر متفاوتی به دست می آید ، جون یکی میانگین زمانی است و یکی میانگین مکانی
در حرکت دورانی یکنواخت می توانیم بدون تغییر انرژی جنبشی ، تکانه خطی ذره در حال دوران را تغییر دهیم . ولی نمی توانیم انرژی جنبشی ذره ای را بدون تغییر تکانه اش تغییر دهیم .
فصــــل دهم
سیستــــــــم ذرات
وقتی حرکت انتقالی باشد مدل ذره ای کفایت می کند ، اگر حرکتی شامل دوران و ارتعاش باشدباید جسم را به عنوان سیستم یا مجموعه مشخصی از ذرات دانست .
با آنکه ذرات یک سیستم می تواند حرکتهای پیچیده ای داشته باشد امادر هر سیستم نقطه خاصی وجود دارد که حرکت انتقالی ساده ای دارد که به آن نقطه مرکز جرم سیستم می گوییم. بنابراین جسم را می توانیم به صورت ذره ای با جرم کل سیستم مستقر در مرکز جرم در نظر بگیریم .
میانگین طولی
هرگاه چهار میله هر یک به طول 10cm و 6 میله هر یک به طول هشت سانتیمتر داشته 0باشیم و بخواهیم این ده میله را دنبال هم چیده و از آنهاده میله با طول مساوی ( طول میانگین ) بسازیم ، این طول میانگین به صورت زیر به دست می آید .
مختصه مرکز جرم دو جسمی در راستای محور x
مختصه مرکز جرم دو جسمی در راستای محور y
مختصه مرکز جرم دو جسمی در راستای محور x,y
مختصه مرکز جرم یک سیستم ذرات در حالت سه بعدی
مرکز جرم اجسام یکنواختی که شکل منظم هندسی داشته باشند همان مرکز هندسی آنهاست .
مرکز جرم جسم یکنواختی که محور تقارن داشته باشد ، در نقطه ای روی این محور است .
مرکز جرم صفحه ای که شکل هندسی ندارد به روش تجربی با آویختن آن از دو نقطه متفاوت ( که روی مرکز جرمش نباشد ) و تعیین محل تلاقی دو خطی که از نتاط تعلیق می گذرند ، به دست می آید .
مثال 1 :
بردار مکان مرکز جرم یک سه جسمی به جرمهای را مطابق شکل زیر در سه راس یک مثلث قائم الزاویه قرار دارند ، به دست آورید .
حل مثال 1 :
مثال 2 :
میله باریک یکنواختی به طول L 3 را در یک سوم طولش طوری خم کرده ایم که زاویه قائمه ای تشکیل شده است ، محل مرکز جرم را نسبت به راس زاویه پیدا کنید ؟ ( L=2m )
حل مثال 2 :
مرکز جرم هر بازو درست در وسط آن است ، هر بازو را جرمی نقطه ای واقع در مرکز جرمش در نظر می گیریم ، بنابراین :
اگر
(جرم کل ) باشد .
مرکز جرم اجسام جامد ( توزیع پیوسته جرم )
که جرم i امین جزء و فاصله آن از مبدا مختصات است ، در حد که یا
داریم :
درمحاسبه انتگرالهای مربوط به تعیین مرکز جرم توزیعهای پیوسته جرم را بایستی بر حسب مختصات x,y,z بیان کنیم برای این منظور از تعریف چگالی استفاده می کنیم :
چگالی خطی یا جرم واحد طول :
چگالی سطحی یا جرم واحد سطح :
چگالی حجمی یا جرم واحد حجم :
مثال 3 :
میله باریک یکنواختی به چگالی خطی کیلوگرم برمتر را خم کرده و به صورت نیمدایره ای به شعاع در آورده ایم ، مرکز جرم این جسم را پیدا کنید .
حل مثال 3 :
با توجه به تقارن مساله داریم : یعنی مرکز جرم روی محور y ها قرار دارد .
مثال 4 :
مرکز جرم مخروطی توپر و یکنواخت به ارتفاع h و زاویه نیم راس را پیدا کنید ؟
حل مثال 4 :
مرکز جرم با توجه به تقارن مساله روی محور y ها است ، مخروط را به قرصهایی به شعاع x و ضخامت dy تقسیم می کنیم .
جرم کل مخروط
جرم قرص
حجم قرص
با قرار دادن مقدار M نتیجه می شود :
رابطه بین بردار مکان مرکز جرم سیستمی از ذرات با بردار های مکان تک تک ذرات سیستم
تکانه خطی مرکز جرم سیستم ذرات
تکانه خطی کل یک سیستم ذرات با تکانه خطی ذره ای فرضی به جرم M که با سرعت حرکت می کند برابر است .
یا
شتاب مرکز جرم یک سیستم ذرات
نیروی خالص وارد بر ذره i ام است با فرض این که نیروهای داخلی بین ذرات سیستم یکدیگر را خنثی کنند .
یعنی مرکز جرم سیستم طوری شتاب می گیرد که انگار تک ذره ای فرضی به جرم M در مرکز جرم قرار گرفته و بر آیند نیروهای خارجی بر آن اثر می کند .
قانون اول نیوتن در مورد یک سیستم ذرات
یعنی آهنگ تغییر تکانه خطی یک سیستم ذرات برابراست با نیروی خالصی که از خارج به سیستم اثر می کند .
اگر درنتیجه :
اگربرایند نیروهای خارجی وارد بر سیستمی صفر باشد ، سرعت مرکز جرم سیستم ثابت می ماند ( مکان مرکز جرم ثابت می ماند )
ثابت
ثابت
یا
مثال5 :
شخصی به جرم شصت کیلوگرم در قسمت عقب قایق ساکنی به جرم kg 40 که 3 متر طول دارد ایستاده است . در این حالت فاصله سر قایق از ساحل 2 متر است . اگر این شخص تا قسمت جلول قایق قدم بزند ، فاصله سر قایق با ساحل چقدر می شود ؟
حل مثال 5 :
چون بر ایند نیروهای وارد بر سیستم صفر است ، مکان مرکز جرم ثابت است ( یا حرکت یکنواخت دارد ) ، از طرفی چون تکانه خطی کل سیستم نیز ثابت است ، قایق باید درخلاف جهت حرکت شخص جابجا شود .
از مساوی قرار دادن دو عبارت نتیجه می شود :
انرژی جنبشی ذره i ام از یک سیستم ذرات نسبت به مبدا ثابت
مشتق می گیریم ، در نتیجه :
انرژی جنبشی ذره I ام نسبت به o
مکان ذره i ام نسبت به مبدا ساکن o :
انرژی جنبشی یک سیستم ذرات نسبت به مبدا ثابت مجموع دو انرژی است ، یکی انرژی جنبشی مرکز جرم نسبت به مبدا ثابت و دیگری انرژی جنبشی ذرات سیستم نسبت به مرکز جرم :
در جمله آخر تکانه کل سیستم ذرات نسبت به مرکز جرم یا است و چون سرعت مرکز جرم نسبت به خو.دش صفر است ، پس جمله اخر حذف می شود ، در نتیجه :
انرژی جنبشی ذرات سیستم نسبت به مرکز جرم می تواند شامل دوران ، نوسان یا انتقال نسبت به مرکز جرم باشد .
انرژی جنبشی کل سیستم :
پایان