ارتعاشات آزاد پیچشی
هدف آزمایش :
تحقیق در مورد صحت رابطه که در آن T پریود نوسانات ، I ممان اینرسی و kl ضریب ارتجاعی پیچشی است .
تئوری ازمایش :
سیستمی را مطابق شکل روبرو شامل یک دیسک و یک میله
در نظر میگیریم که به تکیهگاه وصل شده است .اگر این سیستم را از حالت
تعادل خارج کنیم و به آن یک نوسان پیچشی داده ، تغییر مکان زاویهای لحظهای آن را بنامیم خواهیم داشت :
گشتاور اینرسی و گشتاور مقاوم که
با در نظرگرفتن اینکه جهت و یکی است داریم :
که معادله یک سیستم هارمونیک ساده است که I : ممان اینرسی دیسک ، پریود نوسانات ، d : قطر میله ، l : طول میله و و G : مدول صلبیت میله و ضریب ارتجاعی پیچشی میله میباشد .
از رابطه پیچش میدانیم که :
در صورتیکه سیستم شامل دو روتور باشد ، رابطه بصورت در میآید که در آن ( ممان اینرسی معادل ) میباشد .
اثبات :
با فرض < خواهیم داشت :
شرح دستگاه :
سیستم پیچشی با یک روتور عبارت است از یک یک چرخ طیار سنگین (A) که اینرسی سیستم را تامین میکند و توسط بلبرینگ (B) به قاب (C) متصل شدهاست به همراه یک میله گرد (D) که از یک طرف به دیسک (A) متصل شده و از طرف دیگر توسط گیره (E) بصورت صلب به قاب (C) متصل میشود . گیره (E) در امتداد شاخه پایینی قاب میتواند حرکت کند و به این وسیله طول میله (D) قابل تغییر است . در سیستم پیچشی با دو روتور ، گیره (E) با یک چرخ طیار دیگر (G) که در بلبرینگ (F) قرار دارد جایگزین میشود . در این حالت طول میله ثابت خواهد بود . برای تغییر اینرسی چرخ طیار (A) میتوان از وزنه های H1 و H2 استفاده نمود . این وزنه های استوانه ای به ترتیب دارای 1850 gr و 3250 gr جرم میباشند . وسایلی که در این آزمایش به کار گرفته میشوند عبارت است از : دو عدد میله گرد به قطر 1/4 in و 3/16 کورنومتر ، خط کش یا متر فولادی به همراه چرخ طیارها ، وزنه ها و گیره نامبرده شده در بالا .
روش انجام آزمایش :
الف – تعیین ممان اینرسی چرخ طیار
ابتدا چرخ طیار (A) را روی قسمت خارجی قاب میبندیم . روی هر چرخ یک زائده برای آویزان کردن نخ تعبیه شده است . یک سر نخ را که بصورت حلقه در آوردهایم به این زائده متصل کرده ، نخ را دور دیسک میچرخانیم . طول این نخ برابر ارتفاعی است که وزنه از آن ارتفاع رها شده است . در این حال تعداد دوری که نخ دور دیسک پیچیده شده است را اندازه میگیریم . سپس وزنه را از حال سکون رها کرده پارامتر های زیر را اندازه میگیریم :
زمانی که وزنه ارتفاع h را میپیماید .
تعداد دوری که چرخ تا رسیدن به حالت سکون پس از رسیدن وزنه به زمین میزند .
زمان لازم برای این تعداد دور .
این اعداد در جدول زیر ثبت شده است :
طول نخ
زمان افتادن وزنه
زمان چرخیدن چرخ
تعداد دور چرخ
81 cm
4.10 s
1:42.46 s
30
چرخ کوچک
81 cm
4.40 s
2:01.24 s
26
چرخ بزرگ
حال با استفاده از رابطه انرژی ، ممان اینرسی چرخ طیار را محاسبه میکنیم :
که در آن v=2h/t1 سرعت برخورد وزنه با زمین ، m جرم وزنه ، w=v/r سرعت زاویه ای ماکزیمم چرخ ، و I ممان اینرسی چرخ طیار میباشد . داریم :
الف : چرخ کوچک
ب: چرخ بزرگ
ب – بررسی ارتعاشات :
برای انجام این مرحله از آزمایش ابتدا بین روتور بزرگ و گیره یکی از میله های ارتجاعی را قرار میدهیم . با ایجاد نوسان با دامنه کوتاه در آن ، مدت زمان 15 نوسان کامل میله را اندازه میگیریم . این کار را برای 5 طول متفاوت از میله انجام میدهیم . سپس میله را عوض نموده این عمل را با میله دیگر نیز انجام میدهیم . در مرحله بعد روتور کوچک (A) را روی قاب قرار داده ، همانند قبل میله را بین روتور و گیره قرار میدهیم و زمان 15 نوسان آن را برای طول های مختلف میله اندازه گیری میکنیم . سپس با استفاده از وزنه های استوانهای ممان اینرسی آن را تغییر داده آزمایش را برای این حالت نیز تکرار میکنیم . با وزنه های دیگر نیز همین عمل را انجام میدهیم . در انتها برای آزمایش ارتعاش با دو درجه آزادی ، گیره را از روی قاب برداشته ، میله را بین دو روتور میبندیم . همانند قبل زمان 15 نوسان را برای سه حالت بدون وزنه ، با وزنه های کوچک و با وزنه های بزرگ اندازه میگیریم . این نتایج در جداول زیر ثبت شدهاند . با استفاده از این اعداد پریود نوسانات را به دست میآوریم .
نمونه محاسبات :
برای محاسبه kt در میلههای 1/4" و 3/16" ابتدا J را محاسبه میکنیم :
برای میله 1/4" :
و برای میله 3/16" :
برای چرخ بزرگ (G) داریم :
برای میله نازک :
برای میله ضخیم :
برای چرخ کوچک(A) بدون وزنه اضافی داریم :
برای میله نازک :
برای میله ضخیم :
در صورت اضافه کردن وزنه های H1 وH2 ، ابتدا باید ممان اینرسی وزنه ها را حساب کرده به ممان اینرسی چرخ اضافه کنیم . خواهیم داشت :
d=0.2285 m , r1=0.0755 m , m1=1.850 kg
r2= 0.101 m , m1=3.250 kg
بدین ترتیب خواهیم داشت :
برای وزنه کوچکتر :
برای میله نازک :
برای میله ضخیم :
برای وزنه بزرگتر :
برای میله نازک :
برای میله ضخیم :
برای ارتعاشات دو درجه آزادی باید I معادل را محاسبه کنیم :
بدون وزنه اضافی :
برای میله نازک :
برای میله ضخیم :
با اضافه کردن وزنه های کوچک : برای میله نازک :
برای میله ضخیم :
با اضافه کردن وزنه های بزرگ : برای میله نازک :
برای میله ضخیم :
با استفاده از روابط فوق و نتایج آزمایشگاهی جداول زیر را خواهیم داشت :
چرخ بزرگ
میله نازک
تعداد نوسان
زمان(S)
طول میله(CM)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
7.73
20
0.515333333
1.04021882
15
10.01
30
0.667333333
1.27400267
15
11.85
40
0.79
1.47109157
15
11.93
50
0.795333333
1.64473037
15
12.87
60
0.858
1.80171185
میله ضخیم
تعداد نوسان
زمان(S)
طول میله(CM)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
5.4
20
0.36
0.58584981
15
6.23
30
0.415333333
0.71751655
15
7
40
0.466666667
0.82851675
15
8.14
50
0.542666667
0.92630988
15
9.18
60
0.612
1.01472164
چرخ کوچک :
میله نازک
تعداد نوسان
زمان(S)
طول میله(CM)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
7.89
30
0.526
0.583872
15
6.29
35
0.419333
0.630654
15
6.68
40
0.445333
0.674198
15
7.34
45
0.489333
0.715095
15
7.37
50
0.491333
0.753776
میله ضخیم
تعداد نوسان
زمان(S)
طول میله(CM)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
4.45
30
0.296667
0.328634
15
4.68
35
0.312
0.354965
15
5.42
40
0.361333
0.379473
15
5.01
45
0.334
0.402492
15
5.18
50
0.345333
0.424264
چرخ کوچک همراه با وزنه های کوچک :
میله نازک
تعداد نوسان
زمان(S)
طول میله(CM)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
11.48
30
0.765333
1.473374
15
12.36
35
0.824
1.591425
15
13.31
40
0.887333
1.701305
15
14.09
45
0.939333
1.804507
15
14.76
50
0.984
1.902117
میله ضخیم
تعداد نوسان
زمان(S)
طول میله(CM)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
7.72
30
0.514667
0.827061
15
8.36
35
0.557333
0.893328
15
8.98
40
0.598667
0.955008
15
9.48
45
0.632
1.012939
15
10.56
50
0.704
1.067731
چرخ کوچک همراه با وزنه های بزرگ :
میله نازک
تعداد نوسان
زمان(S)
طول میله(CM)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
14.29
30
0.952667
1.988233
15
16.34
35
1.089333
2.147537
15
16.51
40
1.100667
2.295814
15
17.72
45
1.181333
2.435078
15
19.58
50
1.305333
2.566798
میله ضخیم
تعداد نوسان
زمان(S)
طول میله(CM)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
9.89
30
0.659333
1.117354
15
10.56
35
0.704
1.20688
15
11.24
40
0.749333
1.290209
15
11.78
45
0.785333
1.368474
15
12.78
50
0.852
1.442498
ارتعاشات دو درجه آزادی :
جرم بزرگ میله نازک
جرم بزرگ میله ضخیم
تعداد نوسان
زمان(S)
پریود تجربی
پریود تئوری
تعداد نوسان
زمان(S)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
12.06
0.804
1.577
15
7.8
0.52
0.886
جرم کوچک میله نازک
جرم کوچک میله ضخیم
تعداد نوسان
زمان(S)
پریود تجربی
پریود تئوری
تعداد نوسان
زمان(S)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
10.61
0.7073
1.415
15
10.58
0.7053
0.795
بدون جرم اضافی میله نازک
بدون جرم اضافی میله ضخیم
تعداد نوسان
زمان(S)
پریود تجربی
پریود تئوری
تعداد نوسان
زمان(S)
پریود تجربی
پریود تئوری
15
9.78
0.652
0.788
15
10.81
0.7207
0.443
15
ارتعاسات آزاد پیچشی