تبدیل فوریه
تبدیل فوریه، نامیده شده به اسم ریاضیدان فرانسوی ژوزف فوریه، یک تبدیل انتگرالی است که هرتابع f(t) را به یک تابع دیگرF(ω) منعکس می کند. در این صورت، به F(ω) تبدیل فوریه ی تابع f(t) می گویند. حالت خاص تبدیل فوریه، سری فوریه نام دارد و آن زمانی کاربرد دارد که تابع f(t) متناوب باشد. چنان چه تابع متناوب نباشد و یا به عبارتی تناوب آن برابر بی نهایت باشد، از سری فوریه به راحتی عبارت زیر به دست می آید:
F(ω)=1/√2π ∫_(-∞)^(+∞)▒〖f(t) e^(-iωt) dt〗
f(t)=1/√2π ∫_(-∞)^(+∞)▒〖F(ω) e^iωt dω〗
تبدیل گسسته ی فوریه (Discrete Fourier Transform- DFT)
به وسیله ی تبدیل گسسته ی فوریه میتوان توابع و سیگنال های گسسته را از حوزه ی زمان به حوزه ی فرکانس و یا از حوزه ی مکان به حوزه ی عدد موج تبدیل کرد.
تبدیل سریع فوریه(Fast Fourier transform – FFT)
FFT نام الگوریتمی است برای انجام تبدیلات مستقیم و معکوس گسسته ی فوریه به صورتی سریع و بسیار کارآمد. تبدیل فوریه ی سریع، تجزیه ی یک رشته از مقادیر به مولفه هایی با فرکانس های متفاوت است. این عملیات در بسیاری از رشته ها مفید است اما محاسبه مستقیم آن از تعریف، گاهی اوقات در عمل بسیار کند است. تبدیل فوریه ی سریع یک راه برای محاسبه ی همان نتایج به طور سریع تر است. محاسبه ی تبدیل فوریه ی گسسته برای n نقطه با استفاده از تعریف O(n^2 ) عملیات ریاضی نیاز دارد در حالی که تبدیل فوریه ی سریع می تواند همان نتایج را در O(n〖log〗^n ) عملیات، محاسبه نماید
این تفاوت در سرعت، مخصوصا برای مجموعه داده های بزرگ ،می تواند بسیار چشمگیر باشد. در جایی که n ممکن است درعمل هزاران میلیون باشد، زمان محاسبه در برخی موارد می تواند به اندازه ی چند مرتبه کاهش پیدا کند و بهبود آن در حدود n/〖log〗^n مرتبه است. این بهبود عظیم موجب شده است تا بسیاری از الگوریتم های عملی تبدیل فوریه ی گسسته را به صورت تبدیل فوریه ی سریع پیاده سازی نمایند. بنابراین تبدیل فوریه ی سریع در محدوده ی متنوعی از کاربردهااز پردازش سیگنال دیجیتال و حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی تا ضرب مقادیر بزرگ صحیح به کار می رود.
تبدیل فوریه ی سریع تبدیل فوریه ی گسسته را محاسبه میکند و دقیقا همان نتایجی را تولید میکند که مستقیما با تعریف تبدیل فوریه ی گسسته به دست می آید. تنها تفاوت آن این است که بسیارسریع تر است. اگر اعداد مختلط 〖 X〗_0 〖….X〗_(N-1) را در نظر بگیریم تبدیل فوریه ی گسسته با فرمول زیر تعریف می شود:
X_k=∑_(n=0)^(N-1)▒〖x_n e^(-2πk n/N) 〗 k=0,…,N-1
f_j=∑_(k=0)^(n-1)▒〖x_n e^((-2πi)/n jk) 〗 j=0,…,n-1
محاسبه ی مستقیم با این تعریف نیازمند O(n^2 ) عملیات است درحالی که N خروجی X_k و هر خروجی نیازمند جمع N جمله است. یک تبدیل فوریه سریع روشی است برای محاسبه همان نتایج در زمان O(n〖log〗^n ) عملیات. به طور دقیق تر، همه ی الگوریتم های شناخته شده تبدیل فوریه سریع نیازمند O(n〖log〗^n ) عملیات هستند.
مهم ترین کاربرد FFT ، یا تبدیل سریع فوریه، در پردازش سیگنال است که در آن، سیگنال به صورت تابعی از زمان به شدت سیگنال است. همانطور که میتوان (برخی از) توابع را به صورت بسط تیلور از توابع چند جمله ای نوشت. حال تبدیل شکل سیگنال به سری فوریه با روش های تبدیل سریع فوریه انجام می شود.
برای یک سیگنال پیوسته در زمان، تبدیل فوریه ی آن به صورت زیر تعریف می شود:
X(f)=∫_(-∞)^(+∞)▒〖x(t)e^(-j2πft) 〗 dt
تبدیل فوق دقیقا همان رفتارهای تبدیل لاپلاس را دنبال می کند.
ارتباط تبدیل فوریه سریع و فرکانس
در یک نگاه کلی، هدف از اعمال یک تبدیل ریاضی بر یک سیگنال، بدست آوردن اطلاعات اضافه ای است که در سیگنال خام اولیه قابل دسترس نمی باشند. شایان ذکر است که واژه ی سیگنال به مفهوم عام آن بیان شده است. اکثریت سیگنال های مورد استفاده در عمل، در حوزه ی زمان هستند. به عبارت دیگر، درایه های سیگنال، جدای از آنچه سیگنال مورد بحث اندازه گیری میکند، تابعیت زمانی خواهد داشت. بدین سان به هنگام رسم سیگنال، دامنه مقادیر مختلف سیگنال بر حسب زمان رسم میگردند. طبیعتا این نحوه ی نمایش، بهترین شکل توصیف یک سیگنال نخواهد بود. در بسیاری موارد، اطلاعات سودمند سیگنال در محتوای فرکانسی آن نهفته اند که اصطلاحا به آن طیف سیگنال گفته می شود. به بیان ساده تر طیف یک سیگنال نشان دهنده ی فرکانس های موجود درآن سیگنال است. از دیدگاه علمی، اگر یک متغیر ریاضی یا فیزیکی دارای تغییراتی سریع باشد، به آن پرفرکانس یا فرکانس بالا گفته می شود و در مقابل اگر تغییرات سیگنال ناچیز باشد، اصطلاحا سیگنال را فرکانس پایین می نامند. به بیان صریح تر میتوان گفت که مفهوم فرکانس در حقیقت نشان دهنده ی نرخ تغییرات متغیر متناظر با آن است. همواره یک سیگنال در حوزه ی زمان را می توان در حوزه ی فرکانس نیز نمایش داد. در دیدگاه مهندسی کار با حوزه ی فرکانس بر حوزه ی زمان ارجحیت دارد.
فرکانس را با معیار سیکل بر ثانیه (هرتز) اندازه میگیرند. به عنوان مثال، فرکانس برق شهر، 50 هرتز می باشد که نشان دهنده این است که جریان الکتریسیته در هر ثانیه، 50 بار سیکل سینوسی را طی می کند. با توجه به مفهوم فرکانس می بایست ابزاری برای سنجش محتوای فرکانسی یک سیگنال داشت. این ابزار همان تبدیل فوریه است.
آنالیز در حوزه فرکانس
در قرن 19 میلادی،ژوزف فوریه نشان داد که هرتابع متناوب را می توان برحسب مجموع نامتناهی از توابع پایه سینوسی و کسینوسی و یا توابع نمای متناوب مختلط نوشت. سال ها بعد از کشف این خاصیت شگفت انگیز توابع متناوب، این ایده تحت عنوان تبدیل فوریه(Fourier Transform) به سایر توابع نیز تعمیم داده شد. پس از این تعمیم بود که تبدیل فوریه به عنوان ابزاری کارآمد درمحاسبات کامپیوتری وارد گردید.
در سال 1965 یعنی نزدیک به 150 سال بعد از آنکه ژوزف فوریه ایده ی خود را مطرح نمود، یک الگوریتم جدید با نام تبدیل فوریه ی سریع(FFT) جای خود را در محاسبات کامپیوتری باز کرد. تبدیل فوریه، یک سیگنال را به مجموعی از نامتناهی تابع نمایی مختلط افراز می کند که هرکدام از آنها دارای فرکانس های مختلفی می باشند. طبق تعریف، تبدیل فوریه سیگنال پیوسته در زمان x(t) به صورت زیر به دست می آید:
X(f)=∫_(-∞)^(+∞)▒〖x(t)e^(-j2πft) 〗 dt (1)
که در آن t زمان و f فرکانس است. رابطه ی بالا تبدیل فوریه ی سیگنال x(t) را نشان می دهد. با استفاده از تبدیل فوریه، می توان سیگنال زمانی را به صورت یکتا به نحو زیر تعیین نمود که در اصطلاح، عکس تبدیل فوریه ی سیگنال نامیده می شود:
x(t)=∫_(-∞)^(+∞)▒〖X(f)e^(+j2πft) 〗 dt
با دقت در رابطه (1) می توان دید که سیگنال x(t) در یک جمله ی نمایی با فرکانس معین f ضرب شده است و سپس بر تمام زمان ها انتگرال گرفته شده است. باید دقت نمود که جمله نمایی را می توان به صورت زیر نوشت:
e^j2πft= cos〖(j2πft)+j sin〖(j2πft)〗 〗
عبارت بالا شامل یک جمله ی حقیقی کسینوسی با فرکانس f و یک جمله ی موهومی سینوسی با فرکانس f می باشد. بنابر این آنچه درتبدیل فوریه صورت می پذیرد در حقیقت ضرب نمودن سیگنال زمانی در یک تابع نمایی مختلط است که در واقع ترکیبی از دو تابع تناوبی با فرکانس f می باشد. در گام بعد از این حاصلضرب انتگرال گیری زمانی می شود. به بیان دیگر تمام نقاط این حاصلضرب با یکدیگر جمع می شوند. در نهایت اگر حاصل این انتگرال گیری ( که چیزی جز نوعی جمع نامتناهی نیست) عددی بزرگ باشد، آنگاه می گوییم سیگنال x(t) یک مولفه ی فرکانسی برجسته در فرکانس f دارد. اگر حاصل مقداری کوچک باشد گوییم مولفه ی فرکانسی f در این سیگنال غالب نیست. صفر بودن حاصل انتگرال نیز به معنای عدم وجود چنین فرکانسی در سیگنال است. برای آنکه بررسی دقیق تری نسبت به عملکرد این انتگرال گیری داشته باشیم، فرض کنید سیگنال دارای مولفه ی فرکانسی غالب در فرکانس مشخص f باشد. با ضرب این سیگنال در جمله ی سینوسی با همان فرکانسf، مولفه ی فرکانسی غالب و جمله ی سینوسی بر یکدیگر انطباق یافته اند و لذا مقدار عددی حاصل ضرب نسبتا بزرگ خواهد بود که نشان می دهد سیگنال در فرکانس f یک مولفه ی برجسته دارد.
شایان ذکر است، انتگرال تبدیل فوریه بر روی متغیر زمان گرفته می شود حال آن که سمت چپ این معادله بر حسب فرکانس است. بنابراین را بطه ی 1 باید به ازای کلیه ی مقادیر f محاسبه گردد. دقت به این نکته که حدود انتگرال رابطه ی1 از -∞ تا +∞ می باشد از اهمیت ویژه ای برخوردار است. چرا که با این تعبیر، هیچ تفاوتی ندارد که فرکانس f در کجای زمان حضور داشته باشد. به بیان دیگر، یک فرکانس غالب، صرف نظر از این که در چه زمان هایی در سیگنال ظاهر شود، حاصل انتگرال را به یک میزان تحت تاثیر قرار میدهد. این نکته، ناکارآمدی تبدیل فوریه را در آنالیز سیگنال هایی که فرکانس متغیر دارند نشان می دهد. این گونه سیگنال ها در اصطلاح نا ایستا(non-stationary) نامیده می شوند.
می توان چنین نتیجه گرفت که تبدیل فوریه تنها بیان کننده ی این است که فرکانس f در سیگنال مورد نظر وجود دارد یا خیر. اما هیچ نوع اطلاعاتی در مورد بازه زمانی متناظر با پدیداری آن فرکانس در اختیار نمی گذارد. لذا توجه به ایستا بودن یا نبودن سیگنال، پیش از انجام آنالیز فوریه الزامی است.
کاربرد آنالیز فوریه در مهندسی زلزله
در طراحی لرزه ای سازه ها، تجزیه و تحلیل محتوای فرکانسی امواج ارتعاشی زمین از اهمیت بالایی برخوردار است. به منظور مطالعه ی محتوای فرکانسی، آنالیز طیفی با استفاده از تبدیل فوریه یکی از ابزارهای کارآمد در مهندسی زلزله به شمار می رود. طیف فوریه اهمیت فرکانس های موجود را بدون اطلاعاتی در زمینه ی زمان وقوع فرکانس ها نشان می دهد. از طرفی طیف فوریه میزان انرژی امواج ناشی از ارتعاشات زمین را در فرکانس های مختلف بیان میکند. مطالعات نشان داده است آنالیز فوریه نتایج خوبی را برای سیگنال های پریودیک منظم ارایه می کند. مطالعه ی سیگنال هایی با پیک های نامنظم و ناگهانی با این روش مناسب نمی باشد. تحقیقات چند سال اخیر در این زمینه، محدودیت های این تکنیک را به ویژه در مورد امواج غیر ایستگاهی و سیستم های غیر الاستیک نشان داده است. یکی از کاربردهای آنالیز فوریه در مهندسی زلزله، شبیه سازی شتاب نگاشت های مصنوعی می باشد. در این روش، بر اساس ویژگی های مکانی و خصوصیات مسیر انتشار امواج، ویژگی های غیر ایستگاهی تکان نیرومند زمین لحاظ می شود. میتوان به منظور پردازش داده های خام شتاب نگارها و فیلترسازی آنها از آنالیز فوریه بهره برد. همچنین به منظور ارزیابی اثر مودهای بالاتر و بررسی وع الگوی خسارت وارد بر سازه، به ویژه در ساختمان های بلند، میتوان از طیف بعد فوریه کمک گرفت. این طیف فرکانس های اصلی و حاکم بر سازه را نشان می دهد.
پایه های فوریه به صورت ابزارهایی اساسی، با کاربردهای مختلف و ارزشمند مطرح می باشد. این ابزار به صور گوناگون در علوم مختلف و به ویژه شاخه ی مهندسی، پیشرفت قابل توجهی داشته است. مهندسی زلزله نیز از این قاعده مستثنی نمی باشد و همواره در تحقیقات، اهمیت این تکنیک مطرح بوده است. یک روش مناسب برای مشخص کردن محتوی فرکانسی یک تکان ثبت شده ی زمین، بیان محدوده ی فرکانسی ارتعاش با استفاده از طیف فوریه می باشد. این طیف، ویژگی های فرکانسی مهمی را از تکان ثبت شده زمین نشان می دهد. طیف فوریه ی شتاب زمین به صورت رابطه ی 3 بیان می شود:
F(ω)=∫_0^(T_0)▒〖a_g (t) e^(-iωt) dt〗 (3)
که F(ω) تبدیل فوریه ی شتاب زمین، ω فرکانس زاویه ای برحسب رادیان بر ثانیه، T_0 مدت زمان می باشد. از طرفی طبق رابطه ی 4 میتوان شتاب زمین را با توجه به تبدیل فوریه ی آن بدست آورد.
a_g (t)=1/2π ∫_(-∞)^(+∞)▒〖F(ω)e^iωt 〗 dω (4)
در صورتی که رابطه ی 4 را بصورت گسسته بنویسیم رابطه ی5 بدست خواهد آمد:
a(t_k )=∑_(n=(-N)/2+1)^(N/2)▒〖F(ω_n ).exp(iω_n t_k)〗 (5)
در رابطه ی فوق a(t_k ) مقدار تاریخچه ی زمانی شتاب در زمان t_k می باشد. F(ω_n ) ، تبدیل فوریه گسسته در فرکانس ω_n می باشد و N مرتبه ی تبدیل فوریه ی گسسته می باشد. رابطه ی 3 را میتوان به صورت رابطه ی 6 بیان کرد.
F(ω)=∫_0^(T_0)▒a_g (t) cosωtdt-i∫_0^(T_0)▒a_g (t) sinωtdt (6)
C(ω)=∫_0^(T_0)▒a_g (t) cosωtdt (7)
S(ω)=∫_0^(T_0)▒a_g (t) sinωtdt (8)
با توجه به رابطه ی 6 مشخص است که عددی مختلط می باشد. معمولا در کاربردهای مهندسی، طیف فوریه توسط بعد و زاویه ی فاز آن مطالعه می شود. FAS(ω) طیف بعد فوریه و Φ(ω) طیف فاز فوریه می باشد. باید توجه داشت به منظور ایجاد شتاب نگاشت اصلی از روی طیف بعد فوریه داشتن اطلاعات مربوط به نسبت بعدها و زاویه فاز ضروری می باشد. طیف فوریه به مقدار فرکانس بستگی دارد و با توجه به مختلط بودن آن، به ازای هر فرکانس متوسط، دو مقدار مشخص می شود. ولی طیف پاسخ توسط یک مقدار مشخص می گردد. طیف فوریه، یک تابع خطی از شتاب نگاشت ورودی و طیف پاسخ یک تابع غیر خطی از آن می باشد
FAS(ω)=√(〖S(ω)〗^2+〖C(ω)〗^2 )
Φ(ω)=-〖tg〗^(-1) ((S(ω))⁄(C(ω))
در طیف بعد فوریه یک تابع، گاه مشارکت ترم سینوسی و بعضی اوقات مشارکت ترم کسینوسی نمایان تر می شود. در صورت ملاحظه طیف فوریه نمی توان در مورد میزان مشاکت ترم سینوسی یا کسینوسی نظر داد. در ارتعاش ماندگار (Residual) فرکانس های بالا حاکم می باشد. بعد ارتعاشی مربوط به هر فرکانس، قدرت آن را در مشارکت موج لرزه ای بیان می کند.
تبدیل فوریه در متلب
برنامه ی زیر یک مثال با داده های کاملا فرضی برای نمایش تبدیل فوریه می باشد
b=rand(100,1)
L=18000;
NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y
y1 = fft(b,NFFT);
% Plot single-sided amplitude spectrum.
z1=abs(y1(1:NFFT/2));
H=.01:50/(16383):50.01; % 50/((next power 2 l)/2-1)=50/8191
plot(H,z1) ;
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)')
xlabel('frequency (1/s)')
ylabel('fast fourier transform ')