به نام یگانه لایق پرستش
1
پروژه مربوط به درس پردازش سیگنال دیجیتال
ارائه شده به:
موضوع: تبدیل فوریه زمان کوتاه(STFT)
پیروز گرجیان تهیه کننده :
2
فهرست مطالب
روند تبدیل فوریه زمان کوتاه
STFT با پیوستگی زمانی
STFT با گسستگی زمانی
تحلیل تبدیل فوریه زمان کوتاه
سنتز تبدیل فوریه زمان کوتاه
تحلیل / سنتز اندازه تبدیل فوریه زمان کوتاه (STFTM)
بهینه سازی سنتز STFT/STFTM
کاربرد
3
تبدیل فوریه زمان کوتاه (Short-time Fourier transform) که به اختصار STFT نامیده می شود، یک تبدیل مرتبط با فوریه است که برای مشخص کردن فرکانس سینوسی و فاز مناطق محلی یک موج در حال تغییر استفاده می شود.
4
روند تبدیل فوریه زمان کوتاه
5
در اﻳﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻳﻚ ﺳﺮی اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ ﺑﻪ ﺑﺨﺸﻬﺎی ﻛﻮﭼﻚ ﺗﻘﺴﻴﻢ می ﺷﻮد و ﺳﭙﺲ از ﻫﺮ ﺑﺨﺶ تبدیل ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ میﺷﻮد.
از ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠـﺮه اﺳـﺘﻔﺎده ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺎ ﺿﺮب ﻛﺮدن آن در ﺳﺮی اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ ﻣﻲﺗﻮان آن را در ﻓﻀﺎی آرﮔﻮﻣﺎن ﻣﺤـﺪود ﻛـﺮد. اﮔـﺮ از ﻧﺘﻴﺠـﻪ اﻳـﻦ ﺣﺎﺻﻠـﻀﺮب ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد. ﻣﻲ ﺗﻮان از ﻃﻴﻒ حاﺻﻠﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻃﻴﻒ ﺳﺮی اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ در ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه ﺗﻌﺒﻴﺮ ﻛﺮد . از اﻳﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن ﻛﻮﺗﺎه ﻧﺎم ﺑﺮده میﺷﻮد.
6
ﻣﺸﻜﻞ ﻣﻮﺟﻮد درSTFT اﻧﺘﺨﺎب ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه اﺳﺖ . آﻧﭽﻪ ﻣﺴﻠﻢ اﺳﺖ، اﻳﻨﺴﺖ ﻛﻪ ﺑﺮای رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪی زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎﻳـﺪ از ﻳﻚ ﭘﻨﺠﺮه ﻛﻮﭼﻚ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد و ﺑﺮای اﻧﺪازهﮔﻴﺮی دﻗﻴﻖ ﻳﻚ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻳﺪ از ﻳﻚ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ اﻧﺪازه ﻛـﺎﻓﻲ ﺑـﺰرگ اﺳـﺘﻔﺎده ﻛـﺮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻳﻚ راﺑﻄﻪ ﻋﻜﺲ ﺑﻴﻦ دﻗﺖ زﻣﺎﻧﻲ و دﻗﺖ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ وﺟﻮد دارد.
7
STFT با پیوستگی زمانی
در حالت زمان پیوسته، تابعی که تبدیل می شود ابتدا در یک تابع پنجره که تنها در یک زمان بسیار کوتاه صفر نیست، ضرب می شود. با لغزاندن تابع پنجره بر روی محور زمان، از سیگنالی که از نتیجه این ضرب به دست می آید تبدیل فوریه (که یک تابع یک بعدی است) گرفته می شود که درواقع نمایش دو بعدی از تابع را ایجاد می کند. به زبان ریاضی:
8
در اینجا w(t) تابع پنجره است.
x(t)نیز سیگنالی است که تبدیل خواهد شد.
X(τ,ω)که همان تبدیل فوریه x(t)w(t-τ)است در واقع تابعی مختلط بوده که فاز و اندازه سیگنال نسبت به زمان را مشخص می کند.
9
STFT با گسستگی زمانی
در حالت زمان گسسته، داده های تابعی که تبدیل می شود را می توان به راحتی به تکه های جدا تقسیم کرد (این تکه ها معمولاً با هم تداخل دارند تا از وقوع خطا در قسمت های مرزی بین دو تکه جلوگیری شود). هر تکه جداشده با فوریه تبدیل می شود و نتایج مختلط به دست آمده به یک ماتریس افزوده می شوند که فاز و اندازه سیگنال در هر زمان و فرکانس را نگه داری می کند. به زبان ریاضی:
10
به همین ترتیب در اینجا نیز x[n] سیگنال ورودی تبدیل و w[n] تابع پنجره می باشد. در این حالت متغیر mگسسته و متغیر W پیوسته است. اما از آنجایی که این تبدیل معمولاً در رایانه ها برای محاسبه تبدیل فوریه سریع استفاده می شود، هر دو متغیر گسسته خواهند بود.
11
تحلیل تبدیل فوریه زمان کوتاه
با توجه به سری زمانی x[n] , STFT در زمان n به این صورت است :
12
که W[n] پنجره سیگنال است فرض می شود در فاصله [0,n-1] غیر صفر است
STFT گسسته بدست آمده با نمونه برداری X(n,w) در طول یک دوره واحد :
که درآن Nعامل نمونه گیری فرکانس است و 2𝜋/𝑁 فاصله نمونه گیری فرکانس است
13
مبادلات رزولوشن زمان – فرکانس:
STFT را همچنین می توان به این صورت نوشت :
m می باشد با توجه به W[n-m] تبدیل فوریه W(-𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑛 باشد و می x[m] تبدیل فوریهX(𝜔)
14
تاثیر اندازه W[N] بر رزولوشن زمان – فرکانس STFT :
15
یک مشکل اساسی از STFT و دیگر روش های تجزیه و تحلیل زمان – فرکانس انتخاب پنجره برای رسیدن به یک موازنه خوب میان زمان و رزولوشن فرکانس است.
16
برای مثال :
17
تاثیر طول پنجره سیگنال بر روی تبدیل فوریه گسسته از فرکانس مدوله شده خطی سینوسی از 25 میلی ثانیه , که فرکانس از 1250 هرتز به 625 هرتز کاهش می یابد.
18
سنتز تبدیل زمان کوتاه
STFT را می توان معکوس کرد
برای هر n , ما تبدیل فوریه معکوس از (X(n,𝜔 از STFT می گیریم سپس به دست می آوریم
𝐹 𝑛 [m]= X[n]W[n-m]
ارزیابی 𝐹 𝑛 [m] در m=n , به دست آوردن X[n]W[0] , با فرض اینکه W[0] مخالف صفر باشد ما داریم:
X[n]= 𝐹 𝑛 [m]/W[0]
19
معادله سنتز زیر بدست می آید:
برای کاهش پیچیدگی محاسباتی، STFT در هر نمونه زمانی قابل محاسبه نیست، بلکه در نرخ زمان میرایی خاصی.
در برخی موارد،STFT گسسته ممکن است وارون نداشته باشد ، یعنی محدودیت خاصی در فرکانس نمونه برداری و نرخ زمان میرایی وجود دارد.
20
دو روش معمول برای سنتز STFT وجود دارد , از روش جمع فیلتر بانک (FBS) و روش همپوشانی-اضافه (OLA)با توجه به محدودیت زمان، جزئیات بیشتر حذف می شوند.
دوگانگی میان FSB و محدودیت های OLA :
21
اندازه تبدیل فوریه زمان کوتاه
اندازه STFT به توان دو , طیف نگاره (spectrogram) نامیده می شود یا تبدیل فوریه زمان کوتاه (STFTM)
اگر چه اطلاعات فاز در STFT حذف خواهند شد، اما بسیاری از سیگنال ها می تواند هنوز هم منحصر به فرد از STFTM سنتز شوند
ارتباط میان STFTM و همبستگی زمان کوتاه r[n,m] :
22
که در آن m همبستگی “ تاخیر “ است
r[n,m] = 𝑭 𝒏 [m] * 𝑭 𝒏 [-m]
r[n,m] = 𝑭 𝒏 [m] x[m] w[m-n]
23
سیگنال برآورد از بهینه سازی STFT و STFTM
فرض کنید x(n,w) STFT اصلاح شده با یک تابع H(n,w) :
این مطابق با یک بخش زمان کوتاه جدید است
که در آن h[n,m] را می توان به عنوان یک پاسخ ضربه سیستم متغیر با زمان در نظر گرفت .
روش های ابتکاری سنتز: برآورد سیگنال از STFT اصلاح شده است که توسط ترکیب FBA و OLA انجام شده و برآورد از STFTM اصلاح شده به روش برون یابی متوالی انجام شده است
24
در حداقل مجذور خطای روش برآورد سیگنال , ما میانگین مجذور خطا (mse) میان y(n,w) و(n,w) 𝑋 𝑒 STFT را به حداقل می رسانیم با برآورد سیگنال(n) 𝑋 𝑒
نتایج بهینه سازی در راه حل زیر برای 𝑿 𝒆 (n) :
25
که در آن 𝐹 𝑚 [n] معکوس تبدیل فوریه از یک بخش زمان کوتاه در زمان m است ، مربوط به STFT اصلاح شده می باشدY(m,w)
کاربردی از STFT :
زمان در مقیاس اصلاح و بهبود گفتار
زمان در مقیاس اصلاح – تغییر نرخ بیان
شکل مدلی برای تغییر یکنواختی در نرخ بیان می باشد , نرخ بیان توسط یک عامل از این دو افزایش یافته است، بنابراین منبع و گفتار شکل موج را به نصف طول اولیه خود کاهش می دهند
26
27
توجه داشته باشید شکل موج گفتار به سادگی فشرده سازی یا گسترش یافته نشده است . شکل موج شکل خود را حفظ می کند با کاهش و یا افزایش تعداد دوره های زیر و بمی صدا در طی به صدا درآوردن و بی صداها شدن کوتاه تر یا طولانی تر شده است.
28
STFT در سیگنال گفتار
که در آن U(n,w) و H(n,w) , STFT ها از منبع و زمان های مختلف سیستم دستگاه صوتی، به ترتیب
می باشند برای یک عامل زمان تغییر مقیاس از
ما ابتدا از , سپس با صرفنظر یا تکرار برشهای طیفی برای تشکیل یک STFT جدید
خصوصیات منبع و سیستم (طیف تارهای صوتی) تقریبا محفوظ می ماند.
29
30
شکل فشرده سازی در مقیاس زمان با روش فیربنکس را نشان می دهد.
بخش زمان کوتاه متناوب دور انداخته می شوند و آنهایی که باقی مانده همپوشانی و اضافه شده است
31
در روش اضافه کردن همپوشانی همزمان (SOLA)، قاب های متوالی همبسته – متقابل همپوشانی می شوند اوج همبستگی تابع همزمان با شیفت زمانی دو قاب با هم تداخل دارند و بنابراین بطور منسجم اضافه می شوند
32
منابع
repository.cmu.edu
wikipedia.org
www.eee.hku.hk
acronymfinder.com
33
با تشکر از توجه شما