فهرست مطالب
معادله های متغیر مشتق جزئی (جانبدارانه) و کاربرد 3
محاسبه یک مجموعه Fourier و کاربرد 6
در فاصله π ≤x≤ π – 6
بسط و گسترش های سینوسی و کسینوسی و کاربرد 7
توابع زوج و فرد : 7
مجموعه های سینوس و کسینوسی Fourier در یک نیم فاصله و کاربرد: 8
فرم پیچیده سری مجموعه Fourier و کاربرد 11
توسعه عیر رسمی (بی قاعده) دگرگونی Fourier و کاربرد 13
وارونگی قضیه Fourier و کاربرد 13
ویژگیهای دیگر دگرگونی فوریه و کاربرد 20
ویژگیهای اصلی و کاربرد 20
فرمول Plancherd 23
فیلترهای خطی و کاربرد 24
به شرح و تفسیر فیزیکی و کاربرد: 27
فرضیه نمونه گیری و کاربرد 28
دلایل کاربردی (علمی زیادی ) برای توضیح یک تابع به صورت یک جمع مثلثاتی وجود دارد . اگر f(4) یک نشان یا علامت باشد (برای یک ولتاژ الکتریکی) وابسته به زمان و یا صدایی که از یک ساز (دستگاه موسیقی می آید ) پس تجزیه f به یک جمع مثلثاتی فراوانی اجزای ترکیب دهنده ان را توضیح میدهد . اینجا ، ما اجازه می دهم (f) یک متغیر مستقل باشد . (نمایش زمان) به جزء x یک موج سینوسی مانند Sin(kt) ، دوره ای از 2kπ و فراوانی (تناوب) از 0≥t≤2πدرفاصله K در ها زمان و i.e) نوسان می کند) یک سیگنال مانند :
2 sin〖(t)〗-50 sin〖(3t)+10sin(200t)〗
اجزای فرکانسی را در بر دارد که بین 1و 3 و 200 مرتبه در هر 2π (طول فاصیه زمانی) ، نوسان می کند . در تصویر سایز و اندازه ضرایب ، نوسان اجزای ترکیب کننده در یک فرکانس به سایر اجزا ترکیب کننده فرکانس چیده می شود .
یک وظیفه عمومی در آنالیز و تحلیل سیگنال ، حذف فرکانسهای بالای صدا است
یک راه این است که f را از طریق جمع مثلثاتی بیان کنیم
f(t)=a_0+∑_K^ ▒(a_(k ) cos(Kt)+b_k sin〖(Kt〗 )
وسپس ضرایب فرکانس بالا را (b_(k , ) a_(k, ) برای k بزرگ) مساوی 0 قرار دهیم .
یک وظیفه عمومی دیگر تحلیل سیگنال تراکم و فشردگی داده ها است اینجا هدف این است که یک سیگنال در مسیری که کمترین انتقال داده نیاز است فرستاده شود .یک راه این است که مانند قبل سیگنال f را در عبارت های یک افزایش (فزایی) مثلثاتی بیان کنیم ، و سپس فقط آن ضرایب را ، a_k و b_(k , ) ، که بزرگتر (در یک عدد جبری مطلق) از برخی توانایی های تعیین شده بفرستیم . ضرایبی که کوچک هسنتد و بطور اساسی در f شریک نیستند را میتوان کنار گذاشت . اینکه تعداد نامحدودی از ضرایب بزرگ بمانند هیچ خطرناک نیست زیرا ما (در موضوع ریمان لبزگو در قضیه نشان خواهیم داد که b_(k , ) 〖 a〗_(k ) در 0 به هم نزدیک می شوند. مانند K→∞ .
معادله های متغیر مشتق جزئی (جانبدارانه) و کاربرد
مسائل مثلثاتی هنگام مطالعه معادله های متغیر های مشتق جزئی جانبدارانه نیز بوجود می آیند . اگرچه معادله های متغیر مشتق جزئی (جانبدارانه) موضوع اصلی این کتاب نیست ، اندکی از بحث منحرف می شویم تا مسائل ساده ولی مهمی را ارائه دهیم . معادله گرما را ملاحظه کنید
t>0 , 0≤ x≥π (X,T) (U_(T(X,T)=U_(XX ) )
U(x,0)=f(x) 0 ≤x≤π
U(0,t)=A
U(π,t)=B
پاسخ ، (x,t) u ، در این معادله ، متغیر مشتق دمای میله ای به طول π در موققعیت x و زمان t نشان میدهد ، با دمای ابتدایی t=0)) که با f(x) ارائه شده و جایی که در پایان میله دما x= π و x=0 است و در b, a حفظ شده و آماده است . ما پاسخ این معادله متغیر مشتق را در شرایط ویژه ای که B=0 , a=0 باشند ، محاسبه خواهیم کرد . بسط و توسعه f در مجموعه های مثلثاتی نقش قاطعی را در بدست آوردن نتیجه بازی می کند.
جدایی متغیر ها ، برای حل معادله گرما ما از تکنیک جای متغیر ها استفاده می کنیم که فرض می کند پاسخ از این فرم گرفته شده است
U(X,T)= X(X) T(T)
جایی که T(t) تابعی از X(x) , t≥0 تابعی از π, x 0≥x ≥ است . جایگزاری این عبارت به تعریف برای U در معادله متغیر مشتق =〖 U〗_XX U_T جواب می دهد :
( T ́(t))/(T ́(t)) = (x^((2)) (x))/(X(x)) یا X(x)T(t)=X^'' (x)T(t)
سمت چپ فقط به T وسمت راست فقط به X مربوط است . تنها راهیکه دو تابع می توانند برای همه ارزش های X , T با هم برابر باشند این است که هردو تابع ثابت باشند (چرا که X,T ارزش های مستقل هستند ) . سپس ما دو معادله زیر را بدست می آوریم( T ́(t))/(T(t)) =C (x^2 (x))/(X(x))=C اینجا C یک جمله ثابت و پایدار است . از معادله T =CT ، بدست می آید T(t)=Ce ^ct برای هر مقدار ثابت C برای ملاحظات فیزیکی ، جمله ثابت C باید منفی باشد .} در غیر این صورت |T(t)| و بنا بر این دما |U(x,t)| باید بصورت نامحدودی افزایش یابد } بنابر این می نویسیم 0 > C=〖-λ〗^2 و داریم T(t)Ce^(-λ2t) معادله متغیر مشتق برای x میشود
X^'' (x)+λ^2X(x)=0 , 0≤x≤π , X(x=0) , x(π)=0
حدود وضعیت بر (π)x =0=(0)x دلالت می کند زیرا دمای u(x,t)=x(x)t(t) مقروض است که در x = 0 , π صفر باشد . پاسخ این معادله متغیر مشتق این است .
X(x)= a cos(λx)+b sin(λx)
حدود شرط و وضعیت X(0)=0 بر این دلالت می کند که جمله ثابت a باید صفر باشد .
حدود وضعیتπ)=b sin(λπ)=0 x( دلالت می کند بر اینکهλ باید یک عدد صحیح باشد که ما با ان نام k را می دهیم . توجه داشته باشید که ما نمی خواهیم b را برار 0 قرار دهیم ، چرا که اگر A,B هر دو صفر باشند ، تابعx هم صفر خواهد بود . و بنابر این دمای u نیز صفر میشود . این امر زمانی معنی می دهد که دمای اولیه میله f(x) صفر باشد .
بطور خلاصه باید گفت ما نشان داده ایم که تنها ارزش قابل قبول برای λ یک عدد صحیح k با پاسخ های متناظر
sin(kx) , 〖t 〗_k (t)=e^(〖-k〗^2 t) (x)=b_k X_(k )
هر تابعT_k(t)=b_k e^(〖-k〗^2 t)sin(kx) U_(k )(x,t)=X_(k )(x)
یک راه حل برای معادله گرما است و حدود وضعیت (شرط) π,t)=0 u(0,t)=u( را پاسخ می دهد تنها شرط لحاظ نشده جمله ابتدایی f(x) =(0وx ( u است که ما میتوانیم با ملاحظه جمع U_kآن را مرتب و جمع و تعدیل می کنیم .
〖U 〗_(k )(x , t )= ∑_(k=1)^∞▒〖〖u 〗_(k ) 〗(x , t) (1.2)
(1.3) =∑_(k=1)^∞▒〖〖 b 〗_(k ) e^(〖-k〗^2 t) 〗sin(kx)
با مساوی قرار دادنu(x , t = 0 ) با f(x) این معادله بدست می آید.
(1.4) f(x)= ∑_(k=1)^∞▒〖 b_(k ) 〗 sin(kx)
معادله (1.4) بسط سینوسی Fourier f نامیده میشود . در بخش بعد توضیح می دهیم که چگونه چنین بسط هایی را پیدا کنیم . i.e ) و چگونه 〖 b 〗_(k ) را پیدا کنید . ضریب Fourier 〖 b 〗_(k )) ) می تواند در(103) جایگزین شود تا جواب کامل معادله گرما را بدست دهد .
بنابر این ، مسئله بسط دادن یک تابع در جملات سینوسی و کسینوسی مسئله مهم نیست ف نه فقط از منظر تاریخی بلکه برای مسائل عملی در آنالیز سیگنال و معادله های متغیر مشتق جزئی
محاسبه یک مجموعه Fourier و کاربرد
در فاصله π ≤x≤ π –
در این بخش ضرایب Fourier ، 〖 a 〗_(k ) ,〖 b 〗_(k ) ، را در مجمو عه های Fourier محاسبه می کنیم .
f(x)= 〖 a 〗_(0 )+∑_(k=1)^∞▒〖 〖a 〗_(k ) 〗 cos(kx)+∑_(k=1)^∞▒〖 b_(k ) 〗 sin(kx)
ما به نتیجه ای که در پی می آید در زاویه قائمه (90^0) توابع مثلثاتی نیاز داریم .
قضیه 101 روابط انتگرالی که در پی می آید ، در بر دارد.
برای هر عدد صحیح n,k : 1/π ∫_(-π)^π▒〖cos(nx) cos(kx)dx={█(1 n=k≥1@2 n=k=0@0 others)┤ 〗
برای هر عدد صحیح n,k : 1/π ∫_(-π)^π▒〖sin(nx) sin(kx)dx={█(1 n=k≥1@@0 others)┤ 〗
یک را مشابه برای توضیح این قضیه این است که مجموعه زیر یک مجموعه توابع نرمال متعامد بهنجار ارتو از توابعی در (π]وπ-[)L^2 است.
, (SIN(X ))/√(π ) , (SIN(2X ))/√(π ) , …} , (1 )/√(2π ) , (COS(X ))/√(π ) …,(COS(2X))/√(π )}
فرضیه .1.2 اگر ∑_(k=1)^∞▒〖 〖 a〗_(k ) 〗 COS(kx)+b_ksin(kx) f(x) = a_(0 ) +
∫_π^π▒〖 f(x)dx〗 =1/π a_(0 )
∫_π^π▒〖 f(x) cos(nx)dx〗 =1/π a_( n )
∫_π^π▒〖 f(x) sin(nx)dx〗 =1/π 〖 b〗_( n )
〖 b〗_( n ), a_( n ) ضرایب Fourier تابع f نامیده میشود.
قضیه 1.4 اگر ∑_(k=1)^∞▒〖 〖 a〗_(k ) 〗 COS(kπx/a)+b_ksin(k π x/a) f(x) = a_(0 ) + در فاصله -a ≤x≤a ، پس :
∫_(-a)^(a )▒〖 f(t)dt〗 =1/( 2a) a_(0 )
∫_(-a)^a▒〖 f(t) cos(nπt/a)dt〗 =1/( a) a_( n )
∫_(-a)^a▒〖 f(t) cos(nπt/a)dt〗 =1/( a) 〖 b〗_( n )
بسط و گسترش های سینوسی و کسینوسی و کاربرد
توابع زوج و فرد :
قضیه 1.8: 0 اگر f(x) یک تابع زوج باشد مجموعه Fourier آن در فاصله -a , a }} تنها شامل کسینوس ها خواهد شد
که هست :
∑_(k=1)^∞▒〖 〖 a〗_(k ) 〗 COS(kπx/a) f(x) = a_(0+)
∫_( 0)^a▒〖 f( x) dx〗 =1/( a) 〖a_0〗_
∫_0^a▒〖 f(x) cos(kπx/a)dx 〗 =2/( a) 〖 a〗_k
اگر f(x) یک تابع فرد باشد مجموعه Fourier آن تنها شامل سینوس ها خواهد بود که هست.
∑_(k=1)^∞▒〖 〖 b〗_(k ) 〗 sin(kπx/a) f(x) = _( )
f(x) sin (kπx/a)dx =2/( a) 〖 b〗_k
مجموعه های سینوس و کسینوسی Fourier در یک نیم فاصله و کاربرد:
فرض کنید f در فاصله 0 , a }} تعریف شده است . با ملاحظه زوج و فردهای اضافه شده به f ما می توانیم f را مانند یک مجموعه کسینوس یا سینوسی بسط دهیم برای بیان f بصورت یک مجموعه کسینوسی ، به بسط مثبت f توجه می کنیم .
≤x ≤a 0اگر f(x)
f_e(x) =
-a≤x ≤0 اگر f(-x)
تابع f_e یک تابع مثبت است که در [-a,a] تعریف شده است ، بنا براین فقط جملات کسینوسی در بسط و گسترش Fourier آن ظهور می کند و دیده می شود .
∑_(k=1)^∞▒〖 〖 a〗_(k ) 〗 COS(kπx/a) -a≤x ≤a f(x) = a_(0+)
a_0=1/( a) ∫_( 0)^a▒〖 f( x) dx〗
∫_0^a▒〖 f(x) cos(kπx/a)dx 〗 =2/( a) 〖 a〗_( k )
همچنین برای بیان f به صورت یک مجموعه سینوسی ، بسط منفی f و ملاحظه قرار می دهیم
≤x ≤a 0اگر f(x)
f_( 0)(x) =
-a≤x ≤0 اگر f(-x)
تابع فردf_( 0) در بسط و گسترش Fourier آن تنها جملات سینوسی دارد . از آنجا که
f(x) =f_0(x) برای 0≤x ≤a می توان بسط سینوسی زیر را برای f بدست آورد .
∑_(k=1)^∞▒〖 〖 b〗_(k ) 〗 sin(kπx/a) 0≤x ≤a = f(x)
جایی که 〖 b〗_(k ) در فرضیه 108 ارائه شده است.
∫_0^a▒〖 f(x) sin(kπx/a)dx〗 =2/( a) 〖 b〗_( k )
مثال قسمت بعد این نظریه ها را روشن می کند.
مثال 1.10: موج اره ای (دندانه دار ) که در شکل 7 ارائه شده را ملاحظه کنید فرمول f در فاصله 0≤x ≤π ارائه می شود با :
≤x ≤π/2 0اگر x f(t) =
π/2≤x ≤π اگرπ -x
, و مانند یک تابع زوج (در فاصله π ≤x ≤0 – بسط پیدا می کند تنها جملات کسینوسی غیر صفر هستند با استفاده از قضیه 1.8 ضرایب آنها هست
(انتگرال گیری لازم نیست )
∫_( 0)^( π )▒〖 f(x) 〖 d〗〖( x )=〗 (π )/( 4)〗 =1/( π) a_0
برای 0 j >
∫_0^π▒〖 f(x) cos(jx )dx 〗 =2/( π) 〖 a〗_j
∫_( π/2)^( π)▒〖 f(〗 π-x)cos(jx)dx ∫_( 0)^( π/2 )▒〖f(x)cos(jx)dx+2/π 〗 =(2 )/( π)
پس از انجام انتگرال گیری های لازم ما داریم :
برای 0 < j (4 cos(jπ/2)-2 cos〖(jπ)-2〗)/( πj^2 ) aj=
تنها 〖 a〗_( 4k+2 ) غیر صفر است . اینض ضرایب ساده می شوند به:
(-2)/( π〖(2K+1)〗^2 ) = 〖 a〗_( 4k+2 )
بنابراین مجموعه Fourier برای موج دندانه دار این است .
∑_(k=0)^∞▒〖 1/( 〖(2K+1)〗^2 ) 〗 cos((4k+2)x) 2/( π)- ( π)/( 4) = f(x)
موج دندانه دار دوره ای و متناوب است بنابر این سری Fourier آن f(x) برابر است با موج دندانه دار f(x) برای هر x به وسیله این اصول تعیین شده است .
در مجموع نرخ همگرایی از آنچه در مثال 1.9 دیدیم بسیار سریعتر است . برای شرح و توضیح نرخ همگرایی جمع های دو جمله نخست در مجموعه Fourier آنرا در شکل آمده ارائه کرده ایم.
〖 S〗_2 (x)= π/4 – (2cos(2x))/π
جمع ها فقط 2 جمله از این مجموعه Fourier شباهت و تخمین بسیار دقیقتری از موج دندانه دار نشان می دهد . نسبت به 10 یا 50 یا حتی 1000 جمله از مجموعه Fourier مثال قبل که منقطع و غیر مداوم بود .
فرم پیچیده سری مجموعه Fourier و کاربرد
اغلب بسیار راحت است که مجموعه های Fourier را در شکل پیچیده و مرکب که مجموعه های توانی بکار می برند ، توضیح دهیم e^inx و Z n ∈ ، به واسطه محاسبه و شمارش خواص این توابع مجموعه های توابع در ادامه تعریف شده اند .
تعریف 1.15 مجموعه توابع برای هر عدد واقعی t می شود .
e^it =cos(t)+ j sin(t)
اینجا j=√(-1)
این تعریف با جانشین کردن x=it در مجموعه معمولی تیلور برایe^( x) برانگیخته میشود.
e^( x)=1+x+ 〖 x〗^( 2)/2!+〖 x〗^( 3)/3!+〖 x〗^( 4)/4!+…
〖 (it)〗^( 2 )/2!+〖 (it)〗^( 3 )/3!+〖 (it)〗^( 4 )/4!+… =1+(it)+ e^( it) : با X=it
سپس جملات واقعی و جملاتی که مقوله فرضی آنها صفر نباشد را جمع میکنیم و بدست می آوریم:
e^( it)=(1-〖 t〗^( 2 )/2! + 〖 t〗^( 4 )/4! +…) + i(t- 〖 t〗^( 3 )/3!+ 〖 t〗^( 5 )/5!- …)
تعریف های تیلور برای سینوس و کسینوس را به کار ببرید . cos(t) + j sin(t) =
موضوع بعدی نشان می دهد که خانواده ویژگیهای توان واقعی در توان پیچیده هم وجود دارد این ویژگیها از تعریف مشترک با اتحادهای مثلثاتی اصلی و پایه ای منتج می شوند .
قضیه 1.17
مجموعه توابع
( e^( int) )/√( 2π ) , n=…-2, -100 , 1 , 2 , …}}
یک تابع نرمال ارتو (متعامد بهنجار ) در 〖L 〗^( 2) ([-π , π]) است .
قضیه 1.18 اگر F(T) =∑_(N =-∞)^∞▒〖 〖 a〗_n e^( int) 〗 در فاصله -π ≤T ≤π باشد
بنا براین
〖 a〗_n=(1 )/( 2π) ∫_( -π)^( π)▒〖f(t) e^(-int) dt 〗
توسعه عیر رسمی (بی قاعده) دگرگونی Fourier و کاربرد
وارونگی قضیه Fourier و کاربرد
دراین بخش ، ما یک توسعه بی قاعده از دگروگونی Fourier و معکوس آن را ارائه می دهیم توضیحات دقیق در ضمیمه A داده شده است.
برای بدست آوردن دگرگونی یا تغییر Fourier ، ما تمایل داریم که مجموعه Fourier از یک تابع در محدوده -L≤X≤L توضیح داده شود و سپس اجازه داده شود که تا بی نهایت پیش برود .
از قضیه 1.20 (با l= a) به خاطر می آوریم که تابعی که در فاصله -L≤X≤L تعریف شده باشد می تواند اینگونه بیان شود که .
∑_( n=-∞ )^∞▒〖 a_n e^(inπ/L) 〗 ( π)/( 4) = f(x)
〖 a〗_n=(1 )/π ∫_( -L)^( L)▒〖f(t) e^(-inπ/L) dt 〗
اگر f روی خطی کامل و بدون نقص و واقعی تعریف شده باشد و پس این میل وجود دارد تا بی نهایت برود و ببینیم که چطور تقدم فرمول تحت تاًثیر قرار می گیرد . با جایگزینی تعریف A_N در جمع فرمول قبلی بدست می آوریم .
[∑_(n=-∞)^∞▒〖( 1/2L 〗 ∫_( -L)^( L)▒〖f(t) e^(-inπt/l) e^( inπx/l) dt 〗 ] □(LIM/(L→ ∞)) = f(x)
[∑_(n=-∞ )^∞▒〖( 1/( 2L) 〗 ∫_( -L)^( L)▒〖f(t) e^(-inπ(x-t)/l) dt 〗] □(LIM/(L→ ∞)) =
هدف ما این است که جمع فرمول سمت راست را بصورت یک فرمول جمع فرمول Riemann از یک انتگرال بشناسیم برای این هدف 〖, λπ〗_(n=nπ/l) ∆λ=λ_(n+1 )-λ_(n )=x/l قرار دهید که بدست می آوریم:
■(lim& @l →∞& ) ∑_(n=-∞)^∞▒〖 [∫_(-l)^l▒ ■( & & @ &f(t) e^(λni(x-t))&dt@ & & )]∆λ〗 = f(x)
بگذارید.
f_l(λ)=1/(2π ) ∫_(-L)^l▒〖f(t)e ^λi(x-t) dt.〗
جمع فرمول (2.1) اکنون اینگونه است :
∑_(n=-∞)^(∞ )▒〖f_L 〗(λ_n)∆λ
این جمله به تعریف جمع فرمول ریمان از انتگرالf_L (λ)dλ ∫_(-∞)^∞▒ شباهت دارد. با همگرا شدن با ∞ مقدار∆λ با0 همگرا می شود. و بنابراین∆λ در انتگرال∫_(-∞)^∞▒ f_L (λ)dλ به dλ تبدیل می شود پس (2.1) می شود
■(lim@L→∞)∫_(-∞)^∞▒ f_L (λ)dλ f(x)=
همچنانکه →∞ L و) (λ f_L رسماً به انتگرال∫_(-∞)^∞▒〖 f(t) e^(Iλ(x-t)) dt〗 1/(2π ) تبدیل می شود .
بنابراین
f(x)=1/√2π ∫_(-∞)^∞▒ ∫_(-∞)^∞▒ f(t) e^(Iλ(x-t)) dtdλ
f(x)=1/√2π ∫_(-∞)^∞▒〖(1/√2π 〗 ∫_(-∞)^∞▒ f(t) e^(iλt ) dt)e^(iλx ) dx
ما اجازه می دهیم کهf ̂ (λ) مقدار داخل پرانتز باشد که هست .
(λ)=1/√2π ∫_(-∞)^∞ f(t) e^(lλt ) dt f ̂
تابع که f ̂ (λ)(شکل پیچیده یا مرکب )دگرگونی فوریه ، اشاره می شود از این رو f(x) را به عنوان انتگرالی که دگرگونی فوریه یf را شامل می شود توضیح می دهد.
قضیه 2.1
اگر f با f(t)|dt<∞ |∫_(-∞)^∞▒ یک تابع دائماً قابل تغییر است پس .
f(x)=lim┬(L→∞)∫_(-∞)^∞▒〖f_l (λ)dλ〗
جایی که f ̂(λ) (دگرگونی فوریه ی f ) این گونه ارائه شده است .
f(x)= 1/√2π ∫_(-∞)^∞▒ f(t) e^(iλt ) dt
توضیحات قبلی محکم و قطعی نیست از این رو ما چند مرحله هم تراز و توجیه شده که همگرایی نامناسب انتگرال ∫_(-∞)^∞▒ f _l (λ)dλ را شامل شود نداریم همچنان که مجموعه های فوریه توسعه می یابند (در قضیه 1.28) ببینید اگر تابعf(x) ناپیوستگی را نشان داده باشد ، مانند یک تابع پله ای پس فرمول قبلی با جابجایی میانگین محدوده های سمت راست و چپ نگه داشته می شود [(f(x+0)+f(x-0)]/2 اثبات محکم و قطعی ارائه شده است .
فرض ∫_(-∞)^∞▒〖|f(x)|dt<∞ 〗 در قضیه 2.1 لازم است برای اینکه خارج از تعریف تابع نامناسب f ̂ معقول و قابل فهم باشد آن هست.
(λ)|≤1/√2π ∫_(-∞)^∞▒〖| 〗 f(t) e^(iλt ) |dt |f ̂
|e^(-iλt)|=1 در صورتی که dt <∞ ∫_(-∞)^∞▒| f(t)| 1/√2π=
مقایسه مجموعه های فوریه فرم پیچیده (مرکب) دگرگونی فوریه یf وفرمول وارونگی متناظر در قالب فرم پیچیده مجموعه های فوریه ی f در فاصله -L≤X≤L قابل مقایسه هستند
جاییکه ∫_(- l)^( l)▒ f(t) 〖e^((-inπ )/( l ) t ) dt 〗^ 1/(2l ) f ̂=
متغیر λ در فرمول وارونگی فوریه (2.3) نقش nπ/(l ) را در (2.4) بازی می کند . حاصل جمع بالای n از ∞ – در (2.4) بوسیله یک انتگرال در رابطه با λ که از – ∞ تا ∞ تعریف شده است جایگزین شده است فرمول هایf ̂(n) قابل مقایسه است با انتگرال روی(∞ و∞-) در f ̂(λ) در مورد مجموع های فوریه وf ̂(n) اجزاءf را که در فرکانسn نوسان دارد را اندازه گیری میکند به علاوهf ̂(λ) اندازه فرکانس اجزای f را که فرکانس λ نوسان می کند می سنجد.
اگر f در یک فاصله متناهی و محدود تعریف شده باشد مجموعه فوریه ی آن تجزیه f به مجموعه گسسته ای از نوسان های فرکانس است.
f ̂(n) و برای هرعدد صحیح n برای یک تابع روی یک فاصله نامحدود یک رشته از فرکانسهایλ که اجزای فرکانس f ̂(λ) برای هرعدد واقعی(λ) تعریف شده است . این ایده و نظر در مثال پیش را شرح می دهد . شده است .
مثال های 2.1.2
مثال 2.2
در مثال اول ما دگرگونی فوریه موج مستطیلی را محاسبه می کنیم.
≤t ≤π π – اگر x F(t) =
Others 0
اکنون ما داریم f(t)e^(-iλt) = f(t) (cosλt-i sin〖λt)〗 از آنجائیکه f یک تابع زوج است f(t)sin(λt) یک تابع فرد است و تابع آن بروی خط واقعی صفر است . بنابراین دگرگونی f تبدیل می شود به .
f ̂(λ)=1/√2π ∫_(-∞)^∞▒ f(t) cos( λt)dt
=1/√2π ∫_(-π)^π▒ cos( λt) dt
=√( 2 sin(λπ))/(√( π) λ)
همانطور که قبلاً اشاره شده دگرگونی فوریه ی f ̂(λ) فرکانس اجزاءf را که با فرکانسλ
می لرزد اندازه گیری می کند . در این مثال f یک تابع پایدار تکه ای است . از آنجا که تابع پایدار با فرکانس 0 حرکت می کند و می لرزد باید بپذیریم که بالاترین ارزش f ̂(λ) زمانی رخ
می دهد که λ نزدیک صفر است .
مثال 2.3
اجازه دهید
≤t ≤π π – اگر cos 3t
f(t) =
0 other
از آنجا که f یک عدد زوج است فقط قسمت کوسینوس دگرگونی به کار می رود :
f ̂(λ)=1/√2π ∫_(-∞)^∞▒ f(t) cos( λt) dt=1/√2π ∫_(-π)^π▒〖cos〖(3t) cos(λt)dt 〗 〗
Cos(u+v)= cos u cos v – sin u sin v
Cos(u-v)= cos u cos v + sin u sin v
را در حالی که v= λt , u=3t جمع کنید و سپس انتگرال بگیرید نتیجه می دهد .
(√2λ sin〖(λπ)〗)/(√( π)(9-λ ^(2)) )=f ̂(λ)
توجه داشته باشید که دگرگونی فوریه در λ=-3 λ=3 , به اوج می رسد این رفتار اید زمانی که f(t) = cos(3t) با فرکانس 3 روی فاصله ≤t ≤π π – می لرزد مورد انتظار باشد.
مثال 2.4
اجازه دهید
≤t ≤π π – اگر sin 3t
f(t) =
0 other
از آنجا که f یک تابع فرد است ، فقط قسمت سینوس از دگرگونی ، بکار می رود . (که کاملاً خیالی و تصوری ) است . دگرگونی اینگونه است :
=(-l)/√2π ∫_(-∞)^∞▒ f(t) sin( λt) dt f ̂(λ)
=(-l)/√2π ∫_(-π)^π▒〖sin〖(3t) sin(λt)dt 〗 〗
(-3√2i sin〖(λπ)〗)/(√( π)(9-λ ^(2)) )=
مثال 2.5
مثال بعدی یک موج مثلثی (سه گوش) است که تصویر ان در نمودار 5 داده شده است .
فرمول جبری این نمودار به این صورت ارائه می شود.
≤t ≤0 π – اگر t + π
0≤t ≤π اگر π – t f(t) =
0 others
این تابع زوج است پس دگرگونی فوریه به این صورت نشان داده می شود :
f ̂(λ)=2/√2π ∫_( 0 )^∞▒ f(t) 〖 cos〗( λt) dt=2/√2π ∫_( 0 )^π▒ f(π-t) 〖 cos〗( λt) dt
توجه داشته باشید که دگرگونی های فوریه در مثال های 2.4 و 2.5 در نرخ یا میزان /λ^21 مشابه→∞ λ دچار زوال و افت می شود .
که این زوال بسیار سریعتر از زوال و افت1/λ^ از که بوسیله دگرگونی فوریه در مثال های 2.2 و 2.3 نمایش داده شده است .
افت سریعتر در مثال های 2.4 و 2.5 از پیوستگی توابع در این مثال ها منتج می شوند .
ضرایب فوریه ی b_n,a_n ، برای تابع ناپیوسته مانند i/n زوال پیدا می کند ، در صورتیکه ضرایب فوریه برای تابع پیوسته i/n^2 زوال پیدا کند .
ویژگیهای دیگر دگرگونی فوریه و کاربرد
ویژگیهای اصلی و کاربرد
در این بخش به بسیاری از ویژگیهای اصلی دگرگونی فوریه اشاره می کنیم .
نخست ، نماد متناوب را برای دگرگونی فوریه یf معرفی می کنیم
F[f](λ)=f ̂(λ)
این نماد زماتی سودمند است که برخی از فواید عوامل (عمل کننده های نظری دگرگونی فوریه) مطرح می شود .
عامل فوریه f باید به مشابه یک نقشه برداری در نظر گرفته شود که قلمرو و دامنه تغییر است ان ، فضای توابع ارزشی – پیچیده ای است که روی خط واقعی تعریف شده است ورودی f یک تابع است که F گفته می شود و تابع دیگری باز می گردد و F[f]=f ̂ که بیرون داد ه آن است .
در یک روش ساده ، ما معکوس عمال دگرگونی فوریه را به این صورت توضیح می دهیم .
F^(-1)[f](x) =2/√2π ∫_(-∞ )^∞▒ f(λ) e^iλx dλ.
فرضیه 2.1 دلالت می کند که F^(-1) واقعی معکوس F است .
2.5
F^(-1) [F[f]]=f
زیرا با تعریف F
F^(-1) [F[f]](x)=F^(-1) [f ̂ ](x)
با تعریف F^(-1) [f ̂ ]
=2/√2π ∫_(-∞ )^∞▒ f ̂(λ) e^iλx dλ=f(x)
2.6
اگر f و g توابع قابل تغییر و تبدیلی باشند با f(t)=0 برای |t| وسیع ، روی خط واقعی تعریف شده باشد ویژگیهای پیش را دارند .
1. دگرگونی فوریه و معکوس آن عوامل خطی طولی هستند این برای هر c پایدار وجود دارد .
F[f+g]=F[f]+F[g] , F[cf] = cF[f]
F^(-1)[F+G]=F^(-1) [f]+F^(-1) [g] , F^(-1) [cf]=cF^(-1) [f]
2. دگرگونی فوریه حاصلضرب f با T^n ارائه میشود.
F[t^n f(t)](λ)=J^n d^n/〖dλ〗^n [F[f](λ)]
3. معکوس دگرگونی فوریه حاصلضرب f با λ^n ارائه می شود با .
〖F^(-1) [λ〗^n f(λ)](t)=(-〖I)〗^n d^n/〖dt〗^n [F^(-1) [f](t)]
4. دگرگونی فوریه از یک مشتق n ام ارائه میشود با.
F[f^n ]( λ)=(iλ)^nF[f]( λ)
اینجا F^((n)) نماینده مشتق n امf است.
5. معکوس دگرگونی فوریه از یک مشتق n ام ارائه میشود با.
〖F^(-1) [f〗^((n))] (t)=(-it)^n F^(-1) [f](t)
6. اگر دگرگونی فوریه از یک حرکت انتقالی ارائه می شود با .
F[f(t-a)](λ)=e^(-iλa) F[f](λ)
7. دگرگونی فوریه از یک رده ارائه می شود با :
F[f(f(bt)](λ)= 1/b F[f](λ/b)
8. اگر f(t)=0 برای t<0 پس :
F[f]( λ)=1/√2π L[f](iλ)
جایی که L[f] دگرگونی لاپلاس f است به اینصورت تعریف می شود.
L[f] (s) =∫_( 0 )^∞▒ f(t) e^(-ts) dt
دگرگونی فوریه یک حلقه است .
اکنون ما امتحان می کنیم که چطور دگرگونی فوریه تحت (زیر) حلقه ها (پیچیدگی ها) رفتار می کند . نخست تعریف حلقه پیچیدگی 2 تابع را تعریف می کنیم .
تعریف 2.9
فرض کنید که f و G دو تابع مربع قابل اتگرال گیری هستند حلقهF *G که بصورت نشان داده میشود ، به اینصورت تعریف می شود.
(F*G)(t)= ∫_(-∞ )^∞▒〖f(t-x)g (x)dx 〗
تعریف قبلی برابر است با :
(F*G)(T)= ∫_(-∞ )^∞▒〖f( x)g (t-x)dx 〗
تعویض متغیر های g=t-x را انجام دهید و سپس متغیر g را به x باز گردانید
قضیه پیش را در باره دگرگونی فوریه یک حلقه 2 تابع داریم.
فرض کنید f و g دو تابع قابل انتگرال گیری هستند ، سپس
(2.9) F [f*g] =√2π f ̂.g ̂
(2.10) f*g = 1/√2π [f ̂.g ̂ ] F^(-1 )
به خاطر آورید که ضمیمه عامل خطی w T:v→ بین دو فضای نتیجه (حاصلضرب) درونی ، یک عامل T:W→V است ، مانند این :
<V,T(w)>=<T(v), (w)>
در قضیه بعدی ، نشان میدهیم که ضمیمه دگرگونی فوریه ، معکوس دگرگونی فوریه است.
قضیه 2.11
تصور کنید g , f مربع قابل انتگرال گیری هستند پس :
<F[f], g>l^2=<f, F^(-1) [g]>l^2
فرمول Plancherd
این فرمول توضیح می دهد که دگرگونی فوریه نتیجه (حاصلضرب) درونیl^2 را حفظ می کند .
قضیه 2.12
فرض کنید g , f مربع های قابل انتگرال گیری هستند . پس .
(2.11 ) <F[f], F[g]>l^2=<f , g >l^(2 )
(2.12) <F^(-1) [f],F^(-1) [g]>l^2=<f,g>l^2
مخصوصاً
(2.13) ‖F[f]‖ l^2=‖f‖ l^2 .
فیلترهای خطی و کاربرد
2.3.1
دگرگونی فوریه نقش مرکزی را در طراحی فیلترها بازی می کند .یک فیلتر می تواند مانند جعبه سیاهی تصور شود که سیگنال اولیه را بیان می کند ، فرایند آن و سپس بازگشت سیگنال خروجی را که از بعضی جهات سیگنال اولیه را بهبود می بخشد . برای ارائه یک مثال از فیلترها می توان به تجهیزات انتقال صدا از یک سیگنال اشاره کرد . از دیدگاه ریاضیاتی ، یک سیگنال یک تابع f:R→c است که معمولاً یک امتداد تکه ای است .
یک فیلتر یک مبدل تغییر L است که یک سیگنال را طراحی میکند F، یه سیگنال دیگر (_F^∼) این مبدل باید 2 ویژگی زیر را نشان می دهد .
جمع پذیری: L[f+g]=L[f]+L[g]
همگنی ، همجنسی : L[cf]=cL[f]
یک پیوستگی پایدار است .c جاییکه
یک ویژگی عمومی برای بیشتر فیلترها وجود دارد . اگر ما یک نوار قدیمی خراش دار را در ساعت 3 بعد از ظهر امروز بگذاریم که شروع به خواندن کند و سیگنال را . درون یک فیلتر کاهش صدا بگذاریم ما یک خروجی تسویه و تمیز شده را می شنویم . تقریبآ همزمان با وقتی که نوار می چرخد . اگر ما همان نوا را ساعت 10 صبح روز بعد بگذاریم ، و همان فیلتر را بکار ببریم ، ما باید خروجی یکسانی را بشنویم دوباره تقریباً همزمان ، این ویژگی تغییر ناپذیری زمان نامیده می شود برای فرمول بندی این مفهوم ، ما نمادی که در پی می آید را معرفی می کنیم . برای تابع f(t) و عدد واقعی a ، اجازه دهید fa(t)=f(t-a) . fa یک انتقال و تغییر زمانی است ، بوسیله واحدهای a ، از سیگنال f.
تعریف 2.13 : تغییر شکل a به L (که بصورت سیگنال به سیگنال طراحی شده ) در زمان یکسانی انجام میشود اگر برای هرسیگنال f وهرعدد واقعی (t)=L[f_x ](t)=L[f(t-x)] برای همه t ها صدق کند (LF)_x=L[f_x ] یا به عبارت دیگرL زمان یکسانی است . اگر سیگنال درونی تغییر انتقال زمان ، در سیگنال خروجی تغییر (انتقال ) ، زمان به L تبدیل شود .
F→{█(→L→SHIFT→(LF)A@ @→SHIFT→L →L( F)A)┤
مثال 2.14
اگر L(t) یک تابع که تقویت محدودی دارد ، باشدL(t), خارج از یک t فاصله محدود صفر است.
برای هر t :
(Lf)(t)=(L*f)(t)= )= ∫_(-∞ )^∞▒〖L(t-x)F (x)dx 〗
این عامل خطی ، زمان ثابت است زیرا برای هر A∈R
سپس L را هر دو طرف بکار می بریم .
L[f (t)]= L[1/√2π ∫_(-∞ )^∞▒〖f ̂ (λ) E^IλT Dλ 〗 ](2.16)
انتگرال سمت راست میتواتند تقریباً نزدیک به یک جمع ریمان باشد .
(2.17) ≅L[1/√2π ∑_(i )^( )▒f ̂ (λ) e^λit ∆λ]
L[1/√2π ∫_(-∞ )^∞▒〖f ̂ (λ) e^iλt Dλ 〗 ]
از آنجا که خطی است ما می توانیم آنرا در جمع توزیع کنیم
(2.18) L[1/√2π ∑_(i )^( )▒f ̂ (λ) e^λit ∆λ ]=1/√2π ∑_(i )^( )▒f ̂ (λ) e^λit ∆λ
همچنان که تفکیک ها نازکتر و کمتر می شوند جمع ریمان در سمت راست یک انتگرال می شود و سپس فرم های (2.16) ، (2.17) ، (2.18) ما بدست می آوریم.
(Lf)(t)= [1/√2π ∫_(-∞ )^∞▒〖f ̂ (λ) 〖L{e〗^iλt} (t) dλ 〗 ]
به وسیله موضوع (2.16)
=1/√2π ∫_(-∞ )^∞▒〖f ̂ (λ)(√2π ) (λ) e^iλt 〗 dλ
به وسیله تعریف دگرگونی معکوس فوریه
=1/√2π f^(-1) {f ̂(λ) f ̂(λ)}(t)
به وسیله قضیه 1.10
=(f*h)(t)
حتی با اینکه بحث قبلی کاملاً محکم و قطعی نیست اما به هر محدودیت کوچک روی هر دو L نتیجه صحیح است و یا فضای سیگنال ها مورد ملاحظه قرار می گیرند ( برای جزئیات بیشتر مقاله مربوط به تحلیل های Fourier از استین و ویس را ببینید ) خلاصه این بحث در قسمت بعدی آمده است .
فرضیه 2.17
اجازه دهید L یک تبدیل زمان ثابت خطی روی فضای سیگنال هایی که تابع های مداوم تکه اس هستند باشد سپس آنجا یک تابع قابل انتگرال گیری به نام H وجود دارد . مانند این:
L(F) = F*H برای هر سیگنال F
به شرح و تفسیر فیزیکی و کاربرد:
هر دوی( λ) h(t) , h ̂توضیحات فیزیکی دارند . فرض کنید که h(t) یک سلسله یا رشته به هم پیوسته است δ یک عدد منفی کوچک L را برای این که سیگنال ضربه را دنبال کنیم به کار می بریم .
F_δ(t) ={█(1/2δ اگر -δ ≤t≤δ @0 others@ )┤
اگر 0< δ کوچک است ، پس f(δ) سیگنالی را نشان می دهد که بسیار قوی است ولی فقط یک مدت کوتاهی از زمان طول می کشد (مانند سیگنال صدایی که با ضربه چکش ایجاد می شود می یابد)
توجه داشته باشید که∫_(-δ )^δ▒〖fδ (t) dt=1 〗 با بکارگیری L برای f(δ) بدست می آوریم:
L[f_δ ](t)=F_δ*H(t)
=∫_(-∞ )^∞▒〖f_δ (t)h(t-τ)dτ 〗
(t)=0) f_δ برای (|t|≥δ =∫_(-δ )^δ▒〖f_δ (t)h( t-τ)Dτ 〗
از آنجا که h متداوم و پیوسته است h(t-τ ) تقریباً برابر است با h(t) برای |t|≤δ . بنا بر این
L (f_δ)(t)≈h(t)∫_(-δ )^δ▒〖f_δ (τ)dτ=H(t) 〗
بنابر این H(t) پاسخ تقریبی برای بکار بردن L در یک سیگنال ورودی (داخلی)که یک انگیزش یا ضربه است می باشد.
به همین دلیل H(t) تابع واکنش ضربه (انگیزش) نامیده می شود.
می بینیم که =1/√2π h ̂ (λ) e^iλt L[e^iλt ]
براساس یک عامل یا ضریب پایداره h ̂(λ) دامنه پاسخ به فرکانس خالص سیگنال e^iλt است h ̂ دستگاه تابع نامیده می شود.
فرضیه نمونه گیری و کاربرد
در این قسمت یک دسته از سیگنال ها را امتحان می کنیم سیگنالهایی که دگرگونی فوریه آنها خارج از یک محیط محدوده صفر است (Ω و Ω-) آنها (فرکانس) توابع یا باند محدود هستند . در محیط بیرون گوش انسان تنها می تواند صداهایی با فرکانس کمتر از 20 کیلو هرتز را بشنود
(1 کیلو هرتز= سیکل یا تناوب 1000 در هر ثانیه) بنابراین حتی در میان صداهایی با فرکانس بالاتر که ما ایجاد می کنیم نمیتوانیم چیزی بالاتر از 20 کیلو هرتز را بشنویم مکالمات تلفنی نمونه ای از سیگنال های باند محدود هستند . ما در ادامه نشان می دهیم که یک سیگنال باند نامحدود از توان و ارزش خودش ( و یا نمونه های دیگر) احیاء و تجدید شود . در یک دوره با فاصله های مرتب زمانی .( در زمان هایی با فاصله های مرتب و معین)
این نتیجه در امتداد و پیوستن به سیگنال دیجیتال ، اساسی و اصلی است.
تعریف 2.22
A تابع f فرکانس باند محدود نامیده می شود اگر یک ثابت 0< Ω وجود داشته باشد مانند این.
Ω |λ|> برای f ̂(λ)=0
وقتی که Ω کوچکتر فرکانس برای اینکه معادله برابر قبلی درست باشد است ، فرکانس طبیعی V:= Ω/(2π ) فرکانس Nyguist نامیده می شود V:= Ω/(2π )2 میزان و نرخ Nyguist .
فرضیه 2.23 (فرضه نمونه گیری شانون و ویتاکر)
فرض کنیدf ̂(λ) یک عدد دنباله دار هموار و صاف تله ای و=0 f ̂(λ) برای Ω |λ|> جایی که Ω چند توابع مثبت ثابت است پس f=F^(-1) [f] کاملاً معین است با مقدارهای آن در نقطه های j=0 , ±1,, ±2,….tj=jπ/Ω
بطور واضح تری باید گفت f توسعه و بسط مجموعه پیش رو را دارد.
(2.21) f(t)=∑_(j=-∞)^∞▒〖f(hπ/Ω)(sin(Ωt-jπ))/(Ωt-jπ)〗
جایی که مجموعه ها در سمت راست بطور یکسان و یکنواخت همگرا هستند .
این یک فرضیه جالب توجه است اجازه دهید ببینیم که چگونه باید آنرا برای انتقال چند مکالمه تلفنی به صورت همزمان در یک سیم سیگنال (با یک کانال ) بکار ببریم . حداکثر فرکانس ممکن (طبیعی) که ما می توانیم بشنویم تقریباً 20 کیلو هرتز است . بنابراین مکالمه تلفنی بطور موثری یک سیگنال باند محدود است . در حقیقت و بیشتر فرکانس های قالب و متعادل در مکالمات تلفنی کمتر از یک کیلو هرتز است که ما بعنوان فرکانس Nyguist خودمان خواهیم گرفت نرخ Nyguist = Ω/( π ) v در آن وقت دو برابر این است یا 2 کیلو هرتز پس ما باید در هر 1/( 2 ) هزارم ثانیه سیگنال را اندازه گیری کنیم . از این طریق ما چند گفتگوی تلفنی را می توانیم بفرستیم ؟ خطوط انتقال یطور نمونه حدود 26 هزار بیت از اطلاعات را در هر ثانیه می فرستند اگر هر نمونه از اطلاعات بتوانند با 7 بیت نشان داده شوند آنگاه ما میتوانیم 8 هزار نمونه را در هر ثانیه انتقال دهیم و یا هشت نمونه در هر هزارم ثانیه یا هر 4 نیم هزارم ثانیه بوسیله سیگنال های به هم بافته شده و دنباله دار و نوک دار میتوانیم نمونه های برای 4 گفتگوی تلفنی انتقال دهیم . در پایان وقتی که پیام ها رسیدند میتوانیم مجموعه های معادله 2.21 را برای نوسازی و احیای سیگنال ، استفاده کنیم با نمونه های که 1/( 2 ) j) f( برای j یک عدد صحیح باشد و زمان در یک هزارم های ثانیه در نظر گرفته شود (تنها یک عدد محدود و متناهی در طول مدت یک مکالمه تلفنی رخ می دهد مگر اینکه یک نوجوان روی خط باشد)
نرخ همگرایی در (2.21) نسبتاً آرام و کند از وقتی که ضرایب (در ارزش مطلق) مانند 1/j زوال می پذیرد . نرخ همگرایی می تواند افزایش یابد بطوری که جملات مانند 1/j^2 یا بهتر عمل می کند که با یک مهارت و شگردی معیار برجسته نامیده شده است که در تمرین 14 توضیح داده شده است در طرف دیگر اگر یک سیگنال پائینتر از نرخ Nyguist نمونه گیری شود سیگنال که از طریق معادله (2.21) احیاء شده تنها در اجزای فرکانس های بالا گم نخواهد شد ، بلکه در آن اجزاء انتقال یافته به فرکانس های پائین انرژی ای دارد که ممکن نیست در این سیگنال بوده باشد . این پدیده Aliasing می نامند.
مثال:2.24 :
تابع f را ملاحظه کنید که به این صورت تعریف می شود.
√2π (1- λ^2 ) اگر |λ|≤1
|λ|≥1 اگر 0 =f ̂(λ)
ما می توانیم f(t)=F^(-1) [f ̂ ] را حساب کنیم با محاسبه :
F(t)= 1/√2π ∫_(-∞)^∞▒〖f ̂(λ) e^iλt 〗 dλ
=∫_(-1)^1▒〖■( @ )(1-λ^2 ) e^iλt dλ〗
=(4 sin(t)- 4cos(t))/t^3
معادله آخر می تواند با انتگرال گیری قسمت های (و یا بکارگیری سیستم جبری کامپیوترتان) به دست آید .
2