مقیاس ریاضی برای کودکان MASC
برای اجرا در این پژوهش ابتدا پرسش نامه ی "مقیاس ریاضی برای کودکان" MASC" بر روی هر دو گروه آزمایش و کنترل به عنوان پیش آزمون اجرا شد. به این صورت که از دانش آموزان خواسته شد به سوالات پرسش نامه پاسخ بدهند . در ابتدا شرح داده شد که این آزمون نه جنبه ی ارزشیابی دارد و نه نیازی به آوردن نام و نام خانوادگی ست.بنابراین اطمینان حاصل شد که دانش آموزان بدون ترس و اضطراب و با احساس واقعی خود به سوالات پاسخ می دهند.
پس از اجرای پرسشنامه و جمع آوری داده ها،جلسات آموزشی و کار با آزمودنی های گروه آزمایش آغاز شد که به طور کلی شامل 8 جلسه آموزشی یک ساعت و نیمه بود.
جلسه ی اول: آموزش معلم کلاس برای اجرای روش، مراحل چهارگانه، مهارت های ضروری واشتباهات یادگیرندگان و فنون طرح ریزی برای تدوین طرح درس براساس این روش. (ضمیمه ب)
جلسه ی دوم: در جلسه ی اول فراگیران با مراحل اجرای روش حل مساله بر اساس روش جورج پولیا آشنا شدند. آشنایی در حد معرفی مراحل و بحث و گفت و گو با دانش آموزان بود.( ضمیمه پ)
جلسه ی سوم: به حل تمریناتی و مسائل از طریق روش حل مساله جورج پولیا پرداخته شد. از دانش آموزان خواسته شد که برای انجام مسائل و استفاده از این روش داوطلب شوند و جواب ها به شور گذاشته شد.در پایان جلسه تمریناتی برای جلسه ی بعد ارائه شد. (ضمیمه ی ت)
جلسه ی چهارم: در ابتدای جلسه تمرینات جلسه ی قبل در کلاس مطرح و به سوالات پاسخ داده شد. در ادامه فراگیران با راهبردهای حل مساله برای به کار گیری هرچه بهتر مراحل چهارگانه جورج پولیا آشنا شدند. قابل ذکر است که چند مورد از این راهبردها به تلخیص در هر چند درس کتاب ریاضی دانش آموزان تدریس شده بود. .( ضمیمه ث )
جاسه ی پنجم: بحث و تبادل نظر در رابطه با راهبردهای ارائه شده در جلسه ی پیش و حل تمرینات از طریق راهبردهای جدید مطرح شده. (با توجه به طولانی بودن مبحث 2 جلسه به آن اختصاص داده شد.ضمیمه ی ث)
جلسه ی ششم: آشنایی فراگیران با مهارت های ضروری حل مساله در کلاس درس. (ضمیمه ج )
جلسه ی هفتم: آشنایی فراگیران با اشتباهاتی که در حل مسائل با استفاده از روش چهار مرحله ای جورج پولیا مرتکب آن می شوند. (ضمیمه چ )
جلسه ی هشتم: مرور کلی جلسات قبل و حل تمرینات بیشتر ( ضمیمه ح)
طرح درس بر اساس روش تدریس حل مساله جورج پولیا
شماره ی طرح درس
نام و نام خانوادگی تهیه کننده
طول زمان تدریس
موضوع درس
پایه
عنوان درس
هدف کلی
تاریخ تدریس
رئوس مطالب:
اهداف جزئی:
هدف های رفتاری:
الف: هدف های رفتاری درحیطه ی شناختی:
دانش آموزان پس از مطالعه ی کتاب و ارائه درس و انجام فعالیت های معرفی شده ، بتوانند به 3سوال از4 سوال زیر پاسخ درست بدهند:
شماره هدف
دانش
درک
کاربرد
تجزیه
ترکیب
ارزشیابی
1
2
3
4
5
ب – هدف های رفتاری در حیطه روانی – حرکتی
دانش آموزان پس از مطالعه ی کتاب و ارائه درس و انجام فعالیت های معرفی شده ، بتوانند به 3سوال از4 سوال زیر پاسخ درست بدهند.
شماره هدف
تقلید
اجرای مستقل
دقت
هماهنگی
عادی شدن حرکت
1
2
3
4
ج – هدف های رفتاری در حیطه عاطفی:
دانش آموزان در جریان تدریس رفتارهای زیر را از خود نشان دهند:
شماره هدف
دریافت
واکنش و پاسخ
ارزش گذاری
سازماندهی
ارزش ها
تبلورارزشها
1
2
3
4
پیش بینی رفتارهای وردی: دانش آموزان در رابطه با موارد زیر مطالبی را می دانند:
ارزشیابی آغازین:
الف – آزمون رفتار ورودی:
(معلم از طریق پرسش و پاسخ سوالات زیر ، و سنجش معلومات دانش آموزان به نقطه ی شروع درس می رسد.)
1 . …….
2 . …….
3 . …….
ب – پیش آزمون
تدریس محتوا
الف) آمادگی و ایجاد انگیزه
ب) معرفی درس
ج)ارائه درس جدید
1. آنچه دانش آموزان باید انجام دهند
2. ایجاد یک طرح
3. اجرای طرح
4. نگاه به عقب
جمع بندی مطالب تدریس شده
دادن تکلیف و پایان درس
(ضمیمه ت )
مرحله نخست : درک و فهم مساله
در این مرحله معلم باید فراگیر را با مساله درگیرکند ؛ به دیگر سخن اینکه ، در این مرحله است که دانش آموز به صورت جدی به مساله می اندیشد و تفکر او حاصل تلاش های معلم است . معلم سوالهایی به دانش آموزان ارائه می دهد و راهبردهایی برای حل مساله پیشنهاد می کند . این دانش آموز است که در مجموع تصمیم به استفاده از راهبردها می گیرد . مثال : معلم فرضی این الگو در کلاس پنجم ابتدایی تصمیم می گیرد برای ژرفا بخشیدن به یادگیری حل مساله دانش آموزان ، مساله ای را برای آنان مطرح کرده ، دانش آموزان را با هدایت خود با مراحل مساله آشنا سازد ؛ تا در نهایت دانش آموز توانایی حل مساله را کسب کند .
مساله این است : ناصر 4 راس گاو در مزرعه نگهداری می کند هر کدام از گاوها محوطه جداگانه ای دارند اگر ناصر تصمیم بگیرد یکی از گاوها را بفروشد چهارخانه (محوطه ) شکل زیر به چه صورتی در می آیند ؟
نمودار شکل 1
معلم از دانش آموز می خواهد با برداشتن کمترین جزء از شکل بالا آن را به 3 خانه ی هم اندازه تبدیل کند؛ به هر صورت با ارائه مساله از جانب معلم ، دانش آموزان باید به درک و فهم مساله بپردازند و سوالاتی مانند سوالات زیر مطرح می شود :
– مساله چه چیزهایی نیاز دارد ؟
– آیا می توان از چوب کبریت برای حل مساله استفاده کرد ؟
– آیا هر 3 محصول باید یک اندازه باشد .
مرحله دوم و سوم : طرح و اجرای نقشه برای حل مساله
در الگوی حل مساله پولیا ، مرحله ی دوم و سوم ، تا حدود زیادی با هم اجرا می شوند ؛ بنابراین در اینجا آن دو مرحله یک جا و هم زمان درنظر گرفته می شود ، به این دلیل که ، طرح نقشه و اجرای نقشه از هم جدا نیستند . به هر صورت معلم باید زمینه ی حل مساله را در نظر بگیرد و آن را اجرا کند .
مثال : معلم فرضی ، دانش آموزان را با طرح پرسش هایی به ترتیب زیر به طرح و اجرای نقشه راغب می سازد . از چه راه هایی می توان به حل مساله ارائه شده پرداخت ؟چگونه با استفاده از چوب کبریت ، حل مساله را آسان می کنید ؟ آیا می توان الگوهای داده شده را تغییر داد ؟
دانش آموزان برای حل این مساله ، راهبردهایی به کار می برند که به آنها " دست ورزی " می گویند . حاصل از دست ورزی دانش آموزان به صورت نمودار نشان داده می شود .
از میان این اشکال شکل شماره ی 4 پاسخ مطلوب است .
مرحله چهارم : بازنگری ( پس نگری )
در این مرحله معلم می کوشد که ، دانش آموزان را ترغیب کند تا میزان اثرگذاری فرایند حل مساله را اندازه بگیرند . بنابراین به دانش آموزان می گوید که پاسخ های آنان باید با سوال یا مساله و اهداف آن هماهنگی داشته باشد ، بنابراین دانش آموزان ترغیب می شوند تا به طور مستقیم این کار را دنبال کنند . در این مرحله به دانش آموزان کمک می شود تا مسائل را دست مایه ی کار خود قرار دهند و به تفکر بپردازند و مهارت های خویش را به موقعیت های جدید انتقال دهند .
مثال : معلم در این مرحله دانش آموزان را برای بازنگری فرایند حل مساله دعوت می کند . از دانش آموزان می پرسد : آیا راه دیگری هم هست که بتواند محوطه های هم اندازه باحذف کمترین جزء از شکل را نشان دهید ؟ دانش آموزان ابتدا به صورت مرحله به مرحله راه حل هایی که در نظر گرفته اند را بررسی می کنند. افزون بر فعالیت هایی که انجام می شود ، معلم باید برای افزایش فعالیت ذهنی یادگیرندگان دو موقعیت دیگر را هم آماده می کند . معلم می پرسد : با حذف 2 و 3 جزء شکل محوطه به چه صورتی در می آید .
(ضمیمه ث )
(راهبردهای حل مساله)
1- یک طرح یا دیاگرام بکشید .
احتمالا به کاربردن این راهبرد به شما کمک می کند تا یک مساله روزمره را حل کنید ؛ شاید تا کنون مجبور بوده اید که به کمک یک سلسله دستورهای پیچیده ، منزل شخصی را پیدا کنید و برای این کار ، ابتدا طرحی از مسیرهایی را که باید بروید ، کشیده اید همین ممکن است خواسته باشید اثاثه یک اتاق را جابه جا کنید و برای این کار طرحی کشیده و جای هر شی را مشخص کرده باشید . این راهبرد راهی برای نمایش دادن اطلاعات مساله فراهم می کند تا ارتباطات میان عناصر آن آشکار گردد .
وقتی که این راهبرد را آموزش می دهید تاکید کنید که لزومی ندارد بچه ها جزییات تصویر را رسم کنند . آنان باید فقط چیزهایی را که در مساله ضروری هستند رسم کنند . بنابراین کشیدن مواردی مانند وسایل داخلی ، قفسه های بالای صندلی ها و جزییات بی موردی مانند اینها در تصویر اتوبوسی که برای کمک به حل مساله رسم شده است ضرورتی ندارد .
1- اتوبوسی 10 ردیف صندلی دارد . در هر ردیف 4 صندلی وجود دارد . در اتوبوس چندتا صندلی هست ؟
2- تعدادی آکروبات باز ، سرگرم طراحی بازی جدیدی هستند . آنان می خواهند به کمک یکدیگر یک هرم بسازند که طول قاعده آن از 15 نفر و ارتفاع آن نیز از 15 نفر تشکیل شده باشد . برای ساختن این هرم به چند نفر آکروبات باز نیاز است ؟ می توانید از این راهبرد به طور معکوس نیز استفاده کنید .
3- تصویری بکشید و از بچه ها بخواهید برای آن یک مساله بسازند .
– به دنبال الگو بگردید
در بسیاری از فعالیت های اولیه یادگیری کودکان با مشاهده ی تصادفی تصاویر یا اعداد خواستار مشخص کردن الگویی می شوند . شناسایی الگوها جستجویی بسیار جدی است که می توان یک راهبرد حل مساله در نظر آورد
دانش آموزان برای اجرای این کار اغلب جدولی رسم می کنند و سپس در آن به دنبال الگو می گردند .
1- اعداد مثلثی به این دلیل به این نام معروف اند که از تعدادی نقطه ، که یک مثلث را تشکیل می دهند، ساخته شده اند هر ضلع این مثلث از تعدادی نقطه مساوی به وجود می آید :
6 3
کدام عدد مثلثی است که در هر ضلع آن 10 نقطه وجود دارد ؟ کدام عدد مثلثی است که در هر ضلع آن 195 نقطه وجود دارد ؟
4- جدولی رسم کنید
سازمان دادن به داده ها از طریق جدول به ما یاری می کند تا بتوانیم الگویی در میان آنها کشف کنیم و اطلاعات مستتر در داده ها را مشخص کنیم . این کار یکی از روش های موثر برای دسته بندی و مرتب کردن مقدار زیادی از اطلاعات یا داده هاست و وسیله ای فراهم می آورد که با داشتن آن ، دیگر به بازگشت بی مورد به مساله یا انجام دادن محاسبات تکراری برای پاسخگویی به سوالات جدید نیازی نیست .
1- آیا می توانید یک سکه 25 سنتی را فقط به کمک 9 سکه خرد کنید ؟ با 17 سکه و با 6 سکه چطور ؟ به چند طریق می توان یک سکه 25 سنتی را خرد کرد ؟
2- در 400 سال گذشته عده ی اجداد شما چند نفر بوده است ؟
3- نجاری فقط صندلیهای 3 پایه و میزهای 4 پایه می سازد . در پایان یک روز کار او ، تعداد آنها 31 عدد است . او چند صندلی و چند میز ساخته است ؟
4- معلم می خواهد در روز اول مدرسه به شما 1 دقیقه تنفس بدهد ، در روز دوم 2 دقیقه ، در روز سوم 4 دقیقه و همین طور تا آخر در پایان دو هفته ، مقدار تنفس کلاس چقدر خواهد بود ؟
توجه کنید که اندیشه ی ریاضی مستتر در این مساله را می توان به صورتهای دیگر هم بیان کرد . چنین صورت بندی مجددی باعث اصلاح مساله از نظر سطح دشواری آن می گردد . همچنین کودکان را در شناسایی تشابهات در چهارچوب مساله توانا می کند و به حل کننده ی مساله دقیق بودن را می آموزد .
کتاب های درسی به طور مکرر بخشی از این راهبرد را آموزش می دهند :
آنها پس از معرفی یک الگو دانش آموزان را وا می دارند تا جدول را بخوانند یا آن را تکمیل کنند . برای دانش آموزان مهم است که خواندن یک جدول را یاد بگیرند و به همین دلیل مسائلی از این نوع عرضه می شود؛
5- برنامه ی فرضی حرکت یک اتوبوس را در اختیار کودکان بگذارید. چه زمانی این اتوبوس به نیویورک می رسد ؟ ( به همراه سوالات دیگری در مورد ورود حرکت و مدت سفر )
جدول را یاد بگیرند . آنان باید آنچه را که برای تشکیل جدول لازم است نزد خود محاسبه کنند ( برای مثال چند ستون لازم است ) ستونها یا سطرها چگونه باید ( عنوان گذاری ) شوند و مواردی از این نوع به این منظور می توانیم مسائلی را مطرح کنیم که برای حل آنها لازم باشد کودکان اطلاعاتی جمع آوری کنند و آنها را برای گزارش دادن در جدولی وارد سازند :
6- جدولی تشکیل دهید چه تعداد اتومبیل از چراغهای راهنمایی جنب مدرسه عبور می کنند .
همه ی امکانها را به طور اصولی برشمارید
این راهبرد گاه همراه راهبردهای " به دنبال الگو بگردید " و " جدولی تشکیل دهید " به کار می رود . ما مجبور نیستیم که همیشه تمام امکانهای گوناگون را بیازماییم ؛ در عوض می توانیم با روشی اصولی همه ی آنها را شمارش کنیم . ممکن است قادر باشیم پیش از آنکه به طور اصولی به جستجوی حالات مساعد بگردیم حالات ممکن را سازمان دهیم و طبقه بندی کنیم و سپس این طبقات را جدا سازیم از طرفی گاهی اوقات لازم است که همه ی حالات ممکن را بررسی کنیم .
1- به چند حالت متفاوت راننده یک اتوبوس می تواند از نقطه الف به نقطه ب برود ؟ همیشه جهت حرکت راننده به سوی نقطه ب است .
2- شما به 17 پوند کود نیاز دارید با توجه به شکل زیر محاسبه کنید که چگونه باید خرید کنید تا کمترین هزینه را بپردازید ؟
6- حدس بزنید و امتحان کنید
طی سال های متمادی کودکان از حدس زدن منع می شوند و با لحن تمسخرآمیزی به آنها گفته می شود تو فقط حدس می زنی اما حدس زدن راهبرد تسریع کننده رشد است از این طریق کودکان تشویق می شوند که همه ی آنچه را که می دانند از راه حدس زدن در یک جا گردآوری کنند به جای آنکه کورکورانه یا نامعقول حدس بزنند . حدس تربیت یافته برمبنای توجه دقیق به ظاهر مساله و دانشی که از ارتباط های آزموده شده قبلی بدست آمده استوار است دلایلی وجود دارد که انتظار ما را از اینکه حق به جانب ما باشد موجه می کنند با این حال برای اطمینان باید حدس خود را امتحان کرد .
1- فرض کنید هزینه پست کردن هر کارت تبریک 13 سنت و هر نامه معمولی 20 سنت است . بیل به 12 دوست خود نامه نوشت و برای این کار 05/2 دلار پرداخت کرد . او چند کارت تبریک و چند نامه معمولی فرستاده است ؟
2- دایره ای را چنان به دو قسمت تقسیم کنید که هر دو قسمت دارای مساحت های مساوی باشند ولی قابل انطباق نباشند ؟
3- اعداد 1 تا 9 را در مربع جادویی زیر چنان قرار دهید که مجموع آنها در هر جهت برابر 15 شود .
4- مارجی 4 نیزه دارت را به طرف صفحه آن پرتاب کرد هر دارت به یک شماره اصابت کرد و کل امتیاز او 25 شد دارت به کدام عددها اصابت کرده است ؟
5- این جعبه 2880 سانتی مترمکعب حجم دارد . جعبه های دیگری بیابید که دارای همین حجم باشند .
6- در شکل زیر اعداد 1 تا 6 را داخل دایره ها جایگزین کنید از هر عدد فقط یکبار استفاده کنید . مجموع هر ردیف باید 9 باشد .
وارونه عمل کنید .
بعضی از مسائل به گونه ای طرح شده اند که در آنها وضعیت نهایی یک عمل را در اختیار دارید و مساله در مورد چیزی است که به تازگی رخ داده است ممکن است در مسائل دیگر بتوانید نقطه ی پایانی مساله را بدست آورید و به طور معکوس عمل کنید .
1- جدول زیر را کامل کنید .
2- اگر دو عدد صحیح دارای مجموع 18 و حاصل ضرب 45 باشد آن دو عدد کدام اند ؟
3- سو مقداری کلوچه پخت نصف آنها را برای روز بعد کنار گذاشت . باقی کلوچه ها را به طور مساوی میان سه خواهرش تقسیم کرد . به هر کدام 4 کلوچه رسید او چند کلوچه پخته است ؟
8- خواسته ها ، مفروضات و اطلاعات مورد نیاز را مشخص کنید .
این راهبردها از دیرباز در کتابهای درسی مورد استفاده قرار گرفته است و شواهد نشان می دهد که این کار برای بسیاری از کودکان ارزشمند است ( ویلسون1 ، 1967) . آنان به جای کارکردن با اعداد در یک مساله تشویق می شوند که اطلاعات مربوط و نامربوط را در مساله دسته بندی کنند . همچنین موارد موردنیاز را از مواردی که قابل استفاده اند جدا می کنند . بیشتر مسائل مربوط به زندگی واقعی درهم و برهم هستند و نخستین وظیفه انتخاب اطلاعاتی است که در اختیار دارید . باید هدفی را اطلاعات ویژه ضروری را انتخاب کنید و فرایند مناسب را برگزینید .
یک مورد الحاقی در این راهبرد انجام دادن آزمایشی است که کودک باید از طریق آن در مورد جواب موجود تحقیق کند . این وضعیت در بسیاری از مسائل مربوط به زندگی روزمره اتفاق می افتد ؛ مانند وقتی که باید سوالاتی را پیش از آنکه کار را با جواب آغاز کنید مطرح سازید . کودکان نیز به مواجه شدن با مسائلی نیاز دارند که باید در آنها اطلاعات یا داده هایی را جمع آوری کنند . مسائلی که در کتابهای درسی مطرح می شود . حاوی تمام اطلاعات لازم است . درحالی که در وضعیت های روزمره باید داده های لازم را خودتان به دست آورید . مسائل مربوط به پروژه علوم و ریاضیات متحد شده در مدارس ابتدایی ( Usmes,1974. ) وضعیتهایی از این نوع را فراهم می آورد .
1- مشخص کنید که برای یک هدف بخصوص محصول کدام کارخانه بهترین خرید محسوب می شود ؟
2- طرخی برای بهبود به ایمنی پیاده روی نزدیک مدرسه ی خود ارائه دهید و سعی کنید شرایطی برای تغییر آن پیشنهاد دهید .
9- یک جمله ی باز بنویسید .
این راهبرد اغلب در کتابهای درسی تدریس می شود در حقیقت در بعضی کتابها تنها همین راهبرد تدریس شده است . تحقیقات مفید بودن این راهبرد را ثابت کرده است ( مری لین ، سیودام، 1981 ) .
اما مفید بودن آن به این معنی نیست که باید فقط آن را تدریس کرد . زمانی که بتوانید یک جمله ی باز بنویسید احتمالا می توانید مساله را به طور صحیح حل کنید . اما ممکن است نوشتن یک جمله در ابتدا دشوار به نظر برسد . به همین دلیل بعضی از مسائل را نمی توان به کمک این راهبرد حل کرد و گاه ممکن است راهبردهای دیگر حل مساله را برای روشن شدن راه حل مساله پیش از این راهبرد به کار گیریم . بخصوص برای اینکه بتوانیم جمله ای بنویسیم باید ارتباط میان اطلاعات داده شده و اطلاعات حاصل شده را دریابیم . هم چنین کودکان باید بیاموزند که گاهی برای حل یک مساله ممکن است به بیش از یک جمله نیاز باشد .
1- مورچه ای دور یک مستطیل راه می رود یک دور کامل این مورچه برابر 33 سانتی متر است . اگر طول این مستطیل دو برابر عرض آن باشد ، طول هر ضلع آن چقدر است ؟
2- دو سوم یک عدد 24 و یک دوم آن 18 است . آن عدد کدام است ؟
3- دیوید امروز 3 دلار به حساب بانکی خود واریز کرد . اواکنون 55 دلار پول دارد . دیوید دیروز چقدر در بانک پول داشت ؟
مساله ای حل کنید که از مساله اصلی ساده تر یا با آن هم ارز باشد .
بعضی مسائل چنان به سبب اعداد بزرگ یا الگوهای پیچیده دشوار شده اند که راه حل کردن آنها در ابتدا به هیچ وجه روشن نیست . برای چنین مسائلی ، ساختن یک مساله مسابه با ساختاری ساده تر ، در مشخص کردن راه حل آن موثر واقع می شود . با این حال می توانید مساله زیر را برای شاگردان کلاس های دوم یا سوم ، با قراردادن 3 سنت برای جین و 5 سنت برای جف ساده تر کنید :
1- جین 56/3 دلار و جف 27/5 دلار پس انداز کرده اند . جف چقدر بیشتر پس انداز کرده است ؟
ممکن است مجبور شوید مساله ای را به بخشهای کوچکتر تجزیه کنید . وقتی که مسائل به یک سلسله عملیات نیاز دارند غالبا کودکان برای فهمیدن پاسخ موردنظر دچار توهم می شوند . بنابراین باید برای مشخص کردن سوالاتی که باید به آنها پاسخ دهند آنان را یاری کنیم .
بسیاری از مسائل از نوعی هستند که اجزای آنها با هم ارتباط متقابل دارند . اطلاع از راه حل یک مساله معمولا به این معناست که ما قادر به حل مسائل مشابه با آن هستیم . بصیرت و درکی که ما را قادر به حل مسائل پیچیده تر می کند بر پایه ی حل مسائل ساده تری استوار است که ارتباط درونی میان اجزای این مسائل پیچیده را به سادگی نمایان می کند و به ما امکان می دهد که بتوانیم حل نهایی مساله را به وضوح بیشتری دریابیم . می توانیم به طور موقت مساله اصلی را کنار بگذاریم و روی حالات ساده تری کار کنیم . اگر به این طریق مساله را حل کرد می توان فرایند به کار رفته را در مسائل پیچیده تر نیز به کار برد .
2-اعداد 1 تا 19 را در 19 دایره ی زیر چنان جای دهید که مجموع هر سه عدد در ردیف ها برابر شود .
3- ضخامت یک دسته کاغذ چقدر است ؟ برای یافتن پاسخ فقط از خط کش استفاده کنید .
اغلب لازم است که کودکان مساله را با استفاده از کلمات خودشان بیان کنند . گاهی اوقات این کار سبب روشن شدن نکاتی در مورد مساله می شود که قبلا آن را درک نکرده بودند . شما می توانید برای روشن کردن این نکات به آنها کمک کنید در موارد دیگر صورت بندی مجدد به آنها کمک می کند که مقصود مساله را بفهمند و به این طریق مسیرهای ممکن برای یافتن جواب را تعیین کنند . این کار سبب خلاص شدن از لغات غیرقابل فهم و تغییر آنها به لغاتی شود که به سادگی قابل درک باشند .
4- سه عدد صحیح متفاوت پیدا کنید که مجموع معکوسهای آنها باز هم یک عدد صحیح شود .
( چگونه می توان این مساله را بازنویسی کرد تا بچه ها مقصود آن را درک کنند ؟ )
5- من در یک مغازه چند قلم جنس خریدم . همه ی آنها یک قیمت داشتند من به تعداد قیمت جنس ها بر حسب سنت خرید کردم . صورت حساب نهایی من 25/2 دلار شد . من چند قلم جنس خریده ام ؟ ( چگونه می توان این مساله را مجددا صورت بندی کرد تا کودکان فرایند آن را درک کنند ؟ )
11- دیدگاه خود را نسبت به مساله تغییر دهید .
این راهبرد اغلب پس از راهبردهایی به کار می رود که ناموفق بوده اند . هنگامی که روی بیشتر مسائل کار می کنیم تمایل دارین که دیدگاهی خاص یا فرضهایی معین را بپذیریم . ما غالبا به سرعت نقشه ای را برای یورش به مساله طرح می کنیم و آن را برای آزمودن موجه بودن جواب اجرا می کنیم . اگر طرح ما موفقیت آمیز نباشد تمایل داریم با همان دیدگاه قبلی به مساله بازگردیم تا برای حمله ی مجدد مهیا شویم . اماممکن است منطق ناصحیحی ما را به پذیرفتن دیدگاهی راهبردی کرده باشد . بنابراین باید مساله را از طریق کاملا متفاوتی مورد بررسی قرار دهیم . از خودتان چنین سوالاتی بپرسید : " مساله دقیقا چه چیزهایی را بیان می کند و چه چیزهایی را بیان نمی کند ؟ من چه چیزهایی را فرض کرده ام که ممکن است کاربرد داشته باشد یا نداشته باشد ؟ "
مساله مربوط به پیتزا (شماره 19 ) نمونه ای از مجموعه ی مسائل منطقی است که برای بیان این راهبرد مفید واقع می شود . مسائل زیر از مسائلی هستند که بیشتر دانش آموزان به سرعت و از روش خاصی به آن حمله می برند . فقط وقتی که مشخص شد جواب نادرستی به دست آمده است ( یا اصلا جوابی به دست نیامده است ) به ارزش راهبرد تغییر دیدگاه پی خواهند برد .
1- در یک صفحه ی شطرنج چند مربع وجود دارد ؟
2- بدون اینکه قلم خود را از روی کاغذ بلند کنید چهارپاره خط مستقیم رسم کنید که از میان 9 نقطه ی زیر را عبور کند .
3- درایالتی 750 مدرسه وجود دارد و شاگردان این مدارس می خواهند یک مسابقه ی بسکتبال به صورت یک حذفی برگزار کنند ( هر تیم با یک باخت حذف می شود ) برای مشخص شدن قهرمان بازیها چند بازی باید انجام شود ؟
اهمیت بازگشت به عقب
بعضی از بهترین زمینه های یادگیری حل مساله زمانی حاصل می شود که جواب مساله به دست آمده است. این مهم است که به چگونگی حل شدن یک مساله فکر کنیم .در حقیقت تحقیقات نشان داده است زمانی را که برای بحث کردن و بررسی مجدد مسیر تفکرمان صرف می کنیم نسبت به زمانی که صرف آموختن راهبرد به کودکان می کنیم تا از آنها حل کننده های بهتری برای مسائل بسازیم اهمیت بیشتری دارد . بنابراین این مرحله باید به طور مرتب دربرنامه های آموزشی ما منظور شود . ( مری لین ، سیودام، 1981 ) .
تعمیم دادن : ما از این راهبردبرای تعمیم جواب به شرایط کلی تر و دورتر استفاده می کنیم . تجزیه ی ساختهای مرکب یک مساله به جای تاکید صرف بر جزئیات اغلب سبب روشن بینی نسبت به شرایط خاص مطرح شده در یک مساله می شود بر مبنای تحقیقات توانایی مشاهده ی تشابهات در میان مسائل یکی از مشخصه های خوب حل کننده ی مسائل است .
1- حالت نخست : میوه فروشی فقط سه وزنه و یک ترازوی دو کفه ای در اختیار دارد . او می تواند به کمک این وزنه ها هرعدد صحیح بین 1 تا 13 را برحسب پوند وزن کند . وزنه های او چند پوندی است ؟
حالت دوم : فرض کنید وزنه ی چهارمی هم در اختیار او باشد . به کمک این وزنه اضافی می تواند چه وزن دیگری را به دست بیاورد ؟
2- مجموع 5 عدد متوالی برابر 155 است . آن اعداد را بیابید .
چگونه می توان این مساله را نمادگذاری کرد که کودکان دیگر هم بتوانند آن را بفهمند ؟
کودکان را مجاب کنید که بر ارتباطات موجود در یک مساله تاکید کنند و سپس این ارتباطها را به مسائل بدون عدد خاص مخصوص کودکان تعمیم دهید .
3- فروشگاهی توپهای پینگ پنگ را به صورت جعبه ای می فروشد . دیوید به ازای مقدار پولی که در اختیار دارد می تواند تعداد معینی از جعبه ها را خریداری کند . او باید برای هر توپ چه مقدار بپردازد ؟
جواب را امتحان کنید : از امتحان کردن جواب به این دلیل طرفداری شده است که آن را وسیله ای در نظر می گیرند که به کمک آن کودکان قادرند به دقت به اشتباهات خود اشاره کنند . این وسیله در زمانی که نمی تواند جواب را به سادگی ساخت و همین طور برای بررسی متوافق بودن جواب با مساله به کار می رود. یک راه برای امتحان کردن مرور مجدد عملکردهاست . راه دیگر بررسی قابل قبول بودن جواب است : آیا آن جواب به عنوان پاسخ به سوال مطرح شده در مساله قابل قبول است یا خیر؟ برآوردکردن جواب پیش از به دست آوردن آن به فرایند کمک خواهند کرد .
برای مساله ها راه حل دیگری بیابید : بیشتر مسائل را می توان از طریق راهبردهای متفاوتی حل کرد که استفاده از هر یک سبب افزایش درک ما از مساله می شود . احتمال دارد شما هم برای طبقه بندی کردن برخی از مسائل این فصل تحت یک یا چند راهبرد به زحمت افتاده باشید با این حال برای آن دسته از مسائلی هم که طبقه بندی آنها را با رضایت خاطر انجام داده اید احتمالا راه حل دیگری وجود دارد .( سعی کنید این کار را انجام دهید و نتیجه را ببینید ! )
برای مساله جواب دیگری بیابید : غالب اوقات مسائلی به کودکان داده می شود که برای آنها فقط یک راه حل صحیح وجود دارد . تقریبا همه مسائل کتابهای درسی از این گونه اند . در حالی که ممکن است در زندگی روزانه برای هر مساله بیش از یک جواب قابل قبول وجود داشته باشد ( این وضعیت گاهی به شرایط یا مفروضات بستگی دارد ) . شاید توجه کرده باشید که بعضی مسائلی که پیش از این مطرح کردیم چندین جواب دارند . ممکن است هرکس که به حل مساله ای می پردازد جواب متفاوتی برای آن بیابد .
1- مشخص کنید که شما چند روز ( یا چنددقیقه ) عمر می کنید .
فرایند یافتن جواب را بررسی کنید : این راهبرد کودک را یاری می کند تا دورنمای مساله را مورد توجه قرار دهد : تفکر در مورد کارهایی که در هر مرحله انجام شده است حقایقی که مورد توجه واقع نشده است راهبردهایی که به خدمت گرفته شده است و اعمالی که سودمند بوده یا نبوده اند . ارائه مسائل بدون عدد کمک موثری برای کودکان است تا از طریق آنها برفرآیندهایی که برای حل مساله تعقیب کرده اند تاکید ورزند به ارتباطات درونی مساله توجه کنند و ببینند که برای یافتن پاسخ چه تلاشی به خرج داده اند. دانش آموزان متفاوت را می توان به طرق گوناگون به عضویت در گروه دعوت کرد . زیرا از این طریق با سرعت بیشتری مساله را حل می کنند .
(ضمیمه ج)
مهارت های مورد نیاز یادگیرندگان ، برای حل مساله :
1. توانایی تشخیص موقعیت های مساله
2. توانایی تجزیه و تحلیل مساله و نیز تعریف آن .
3. توانایی فرضیه سازی برای موقعیت های یک ساله .
4. توانایی فعالیت مشترک با دیگران در موقعیت های گروهی .
5. در اختیارگذاشتن اطلاعات و اندیشه های خویش برای تدوین فرضیه ها .
6. توانایی قضاوت برای قبول و رد فرضیه ها و نیز آزمایش مجدد فرضیه ها در صورت لزوم .
7. توانایی های مورد تطابق با فرضیه های جدید ؛ هنگامی که ثابت شود ، ذخیره های موردنظردرست نیست .
8. توانایی درک اهمیت تدارک اطلاعات لازم برای یک فرضیه
9. توانایی آزمایش و اثبات ( اعتبار بخشی ) فرضیه ها
10. توانایی کارکردن با دیگران در آزمون فرضیه ها
11. توانایی استناد در تصورات خویش برای توسعه نتایج و فرضیه ها
12. توانایی حل مسائل طولانی و فرصت گیر
13. توانایی جمع آوری اطلاعات برای حل مساله
14. توانایی ابراز عقیده به شیوه ای دقیق و موثر
15. توانایی انتقاد از خود و ایجاد نگرش برای تشخیص و اصلاح اشتباهات
16. توانایی فهم مساله قبل از حل آن یا مهارت در اظهار نظر در تعاریف مسائل علمی
17. توانایی تعمیم دادن حل مساله ای خاص به مسائل مشابه
18. توانایی توسعه و گسترش فرضیه سازی جدید از اطلاعات جدید
19. توانایی جداسازی واقعیات از نظریه ها
20. توانایی تجزیه و تحلیل رویکرد حل مساله مورد نظر
21. عادت به کاربرد حل مساله
22. احساس خشنودی از قبول نتایج که از طریق واقعیت ها معتبر شناخته می شود .
(ضمیمه چ )
اشتباهاتی که یادگیرندگان ضمن حل مسائل مرتکب می شوند .
1. یادگیرندگان در مراحل حل مسائل ، ماهیت مساله را تعریف نمی کنند به آنان در مورد ماهیت مسائل به فعالیت می پردازند و نه در مورد خود مساله . این عمل سبب گیج شدن آنها می شود و در واقع ماهیت مساله از روی تفکر و اندیشه روشن نمی شود . در نتیجه فعالیت آنها در زمینه ی مسائل بدونهدف متمرکز می شود ، یا با انگیزه ی ضعیف خواهند کرد .
2. فرضیه ها را از روی نتایج تعیین می کنند ، یادگیرندگان باید فکر کنند و لازم است فرضیه های معتبری بسازند و در این صورت نتایج بعدا بدست خواهد آمد .
3. برای یادگیرندگان فاصله بین نظریه و نتایج روشن نیست . یادگیرندگان هریک از نتایج را می پذیرند ، زیرا یادنگرفته اند که چگونه اطلاعات خویش را ارزشیابی کنند .
4. نظر برخی از یادگیرندگان معطوف به نظرگروه است و خود درباره ی مساله تفکر نمی کنند .
5. برخی یادگیرندگان به جای تفکر درباره ی راه حل مساله به تفکرات و پاسخ های سایر یادگیرندگان توجه دارند .
6. بعضی از یادگیرندگان در زمان تلاش برای یافتن حل مساله همیشه می ترسند که در معرض اشتباه قرار گرفته باشند .
7. بعضی از فراگیرانی ، مسیر و مراحل مساله ای را طی نمی کنند و یکباره به گام آخر حل مساله ؛ یعنی نتیجه گیری جهش می کنند .
8. عده ای از فراگیران در مورد قضاوت خود اصرار می ورزند و تعصب بیش از حد دارند . رشد هیجان و خودعلاقگی بر قضاوت و تصمیم گیری اثر می گذارد .
9. برخی از فراگیران نظریات محکمی دارند ، زیرا آموخته اند که باید نظریات و عقیده خاصی در زندگی داشته باشند . باید به آنها گوشزد کرد که کمی انعطاف پذیر باشند .
10. برخی از فراگیران از مباحثه لذت می برند و در نتیجه تمایل دارند هنگام بحث حتی بر واقعیات شک کنند .
11. برخی فراگیران به جای تفکر درباره ی حل مناسب مساله ، به تهیه پاسخ برای نظریات مختلف دیگر یادگیرندگان می پردازند .
12. بعضی فراگیران غالبا نتایج را بدون توجه به واقعیات ، قبول می کنند .
13. برخی فراگیران ، برای ارائه مساله به دیگران گیج و گنگ می شوند .
( ضمیمه ح)
(مرور کلی جلسات قبل و حل تمرینات بیشتر)
– فرض کنید در داخل یک آسانسور هستید و آسانسور در طبقه اول است . فرض کنید شش طبقه بالا بروید و سه طبقه پایین بیایید ؛ دوباره 9 طبقه بالا ، 7 طبقه پایین ، 8 طبقه بالا ، 2 طبقه پایین و باز هم 5 طبقه پایین تر بیایید . حالا در طبقه چندم هستید ؟
1- برای پوشاندن سطح کلاس درس به چند مترمربع کفپوش احتیاج دارید ؟
2- تمبرهایی که ازاداره پست می خرید معمولا به همدیگر چسبیده اند . چند راه متفاوت برای خرید 3 تمبر چسبیده به هم وجود دارد ؟
3-دقیقه طول می کشد تا یک کنده ی درخت را با اره از وسط نصف کنیم . برای اینکه یک کنده را چهار قسمت تقسیم کنیم چقدر زمان لازم است ؟
4- چه مدتی طول می کشد تا یک شایعه در یک شهر 90000 نفری پخش شود در صورتی که هر فرد به محض شنیدن شایعه ظرف 15 دقیقه آن را به سه نفر دیگر بگوید ؟
5- جزیره ی کوچکی 1000 نفر جمعیت دارد . جمعیت این جزیره هر 30 سال دو برابر می شود . بعد از 30 سال ، جمعیت این جزیره چند نفر خواهد شد ؟ بعد از 60 سال و بعد از 300 سال چند نفر ؟ چه وقت جمعیت این جزیره بیش از یک میلیون نفر و چه وقت بیش از یک بیلیون نفر خواهد شد ؟
6- یک باستان شناس نقوش عجیبی روی دیوار یک غار یافته است . آیا می توانید جدول زیر را کامل کنید ؟
16
8
0
3
1
6
5
7
11
7- نجاری فقط صندلیهای 3 پایه و میزهای 4 پایه می سازد . در پایان یک روز کار او ، تعداد آنها 31 عدد است . او چند صندلی و چند میز ساخته است ؟
8- " آن " ، " جان " ، " نان " هر سه پیتزا دوست دارند . یکی از آنها پیتزای مخلوط ، یکی پیتزای قارچ و یکی هم پیتزای مخصوص دوست دارد . با توجه به شواهد زیر مشخص کنید هر کدام چه نوع پیتزایی دوست دارند :
الف ) " آن " دختری را که پیتزای مخلوط دوست دارد ، نمی شناسد .
ب) پیتزایی که " جان " دوست دارد از پیتزای قارچ ارزانتر است .
پ ) کسی که پیتزای قارچ دوست دارد ، دختر عموی " آن " است .
9- فرض کنید شخصی کاری را به مدت 15 روز به شما پیشنهاد می کند . برای دریافت دستمزد نیز دو راه به شما پیشنهاد می شود : شما می توانید با یک سنت شروع کنید در این صورت ، هر روز میزان دستمزد شما دو برابر خواهد شد یا اینکه با یک دلار شروع کنید و روزی یک دلار به حقوق شما افزوده شود، کدام را قبول می کنید ؟ چرا ؟
10-به چند طریق می توانید 8 عدد فرد را با هم جمع کنید و به عدد 20 برسید ؟ ( از یک عدد می توانید بیش از یکبار استفاده کنید . )
11- از دوست خود بخواهید عددی بین 1 و 10 را انتخاب کند . شما حق دارید فقط 5 سوال بپرسید و دوست شما باید فقط با بله و خیر جواب بدهد . برای این که عددی بین 1 و 20 به این روش پیدا کنید به چند سوال نیاز دارید ؟ بین 1 و 100 چطور ؟
1.Wilson
—————
————————————————————
—————
————————————————————