بسم الله الرحمن الرحیم
نور هندسی
خواجه نصیرالدین طوسی
موضوع اول: چشم کل یک جسم را با هم نمی بیند. مطابق شکل جسم (ا ب)را در نظر می گیریم که از قسمت های (ا ء)،(ء ه)،(ه ر)و(رب)تشکیل شده است و چشم در نقطه ژ قرار دارد .شعاع های (اژ)،(ءژ)،(ه ژ)،(رژ) و (ب ژ)را در نظر می گیریم و(ژا)عمود مخروط شعاعی می باشد.
ژ
ا
ء
ه
ر
ب
در نتیجه بنابر آنچه در مقدمه ذکر شد چشم ابتدا اطراف عمود مخروط شعاعی یعنی (اء)را می بیند و به علت آنکه شعاعهای (ءژ)و(ه ژ)بعد از شعاع (اژ)واقع شده اند ،چشم با نظر کردن به آنها جسم (ءه)را می بیند ویا به عبارتی چشم عمود مخروط شعاعی را به سمت (ءه)تغییر میدهد و همین طور برای جسم های (ه ر)و(رب)در نتیجه کل جسم(ا ب) با هم دیده نمیشود.
موضوع دوم:
نزدیک ترین مقادیر متساوی و مختلف الفاصله رویتشان درست تر است.
مطابق شکل(اب)و(ژء)متساوی اندوچشم (ه)میباشد و(ژء)به چشم نزدیک تر است.شعاعهای (ه ژ)،(ه ا)،(ه ا)و(ه ب)را در نظر میگیریم همانطور که مشاهده می شودزاویه (ژه،)بزرگتر از زاویه (اه ب)است.بنابر این (ژ،)شعاعهای بیشتری نسبت به (اب)وارد میشوند و در نتیجه (ژ،)واضح تر و درست تر دیده میشود.
ه
ء
ب
ژ
ا
موضوع سوم: هرگاه جسمی از چشم خیلی دور شود دیگر دیده نمی شود.
مطابق شکل جسم (ا ب)و چشم (ژ)می باشد،اگر (اب)را به موازات خود از چشم دور کنیم تا بر روی (ءه)قرار گیرد ،همانطور که از شکل مشاهده میشود شعاعهایی که از (ءه)به چشم میرسند کمتر از (ا ب)میباشند که از این وضوح جسمدر نزد چشم از وضوح میکاهدو هم چنین جسم (اب)با جسم (رح)در موقعیت های نشان داده شده در شکل هم اندازه به نظر می رسند (ءه)از(رح)کوچکتر است.
پس طول جسم نیز کوچکتر به نظر میرسدو اگر این عمل را ادامه دهیم و جسم را از چشم دور تر کنیم طول جسم کوچک و کوچکترشده تا این که محو می شودو شیخ طوسی بر بحث اقلیدس این را نیز اضافه می کند که به علت دور شدن جسم از چشم ذر حقیقت زاویه (اژب)کوچک می شود تا این که دو ضلع زاویه نزد جسمدر بینهایت بر هم منطبق شوند و جسم از نهایت کوچکی نزد چشم مانند این است که محو شده باشد.
ژ
ح
ر
ب
ا
ء
ه
موضوع چهارم: اگر چشم واقع در سطح دایره و واقع بر بیرون آن باشدکمتر از نصف محیط دایره دیده می شود. مطابق شکل مرکز دایره نقطه (ا) و چشم در نقطه (ر)قرار دارد. نقطه (ر)را به نقطه (ا)وصل می کنیم و سپس دایره (ا ب ر ه) را به قطر (ر ا)رسم می کنیم. هم چنین خطوط (ا ب)،(ب ر)،(ا ه)و (ه ر) را رسم می کنیم.(ب ر)و (ه ر)دو مماس بر دایره (ژ ب ه ء)می باشد و قسمت (ه ب) از دایره مر یی می باشد،که کوچک تر از نصف محیط دایره است و قوس (ب ژ ء ه) که بزرگ تر از نصف محیط دایره است،دیده نمیشود.
ء
ء
موضوع پنجم: نزدیک ترین مقادیر متساوی مختلف الفاصله بزرگ تر دیده میشوند. مطابق با شکل (ا ب)و (ژء)دو جسم هم اندازه هستند و (ه)چشم می باشد و (اب)به چشم نزدیک تر است.شعاع های (ه ا)،(ه ب)،(ه ژ) و (ه ء)را در نظر میگیریم همان طور که از شکل بر می آید زاویه (ا ه ب)که با آن(ا ب)دیده می شود بزرگ تر است و جسم (ا ب) بزرگ تر یا ظاهراً بزرگ تر دیده می شود.
ا
ب
ء
ژ
ه
موضوع ششم: خطوط موازی از دور مختلف العرض دیده می شود. مطابق شکل ( ا ب) و (ژ ء) متوازی هستند و بر روی آنها خطوط (ب ء)،(رح)و (ط ک)که به هم موازی هستند را در نظر میگیریم و چشم در نقطه (ه) قرار دارد شعاع های (ه ب)،(ه ر)،(ه ح)،(ه ط)و (ه ک) را در نظر میگیریم. مطابق شکل داریم: زاویه (ط ه ک)<زاویه(ر ه ح)<زاویه (ب هء)در نتیجه (ب ء) را بزرگ تر از (ر ) و (ر ) را بزرگ تر از (ط ک)می بینیم. به عبارتی خطوط موازی بین دو خط موازی،مختلف ظاهر می شوند و آن چیزی است که می خواستسم ثابت کنیم
ه
ء
ح
ک
ژ
ا
ط
ر
ب
موضوع هفتم: اشکال قائم الزاویه را از دور دایره مانند می بینیم. شکل قاءم الزاویه (ا ب ژ ء )را در نظر می گیریم.به علت آنکه چشم بر یک نقطه شکل خیره نمی ماند و از یک نقطه به نقطه دیگر شکل نظر می اندازد،در نتیجه یک نقطه از جسم زمانی آشکار می شود که چشم جسم بر آن نقطه متوقف می شود.مانند نقاط (ه)،(ر)،(ح)،(ط)،(ک)،(ل)،(م)،(ن)،…و چشم بر دیگر نقاط مکثی ندارد.در نتیجه شکل (ه ر ح ط ک ل م ن)دیده می شودو دیگر نقاط دیده نمی شود.بنابر این شکل دایره دیده می شود.
ا
ر
ه
ب
ن
م
ژ
ل
ک
ء
ط
ح
موضوع هشتم: اگرمقادیرمتساوی برخطی واحدباشندآنگاه مقادیری که طول شعاع آنها بزرگتراست کوچکتر دیده می شوند. مطابق شکل مقادری متساوی(اب)و(ب ژ)و(ژء)رابرروی خط (اء)درنظرمی گیریم وچشم رادر نقطه ی (ه)بر روی خط عمود (ه ا)اختیارمی کنیم واز(ه)شعاع های (ه ا)و(ه ب)و(ه ژ)و(هء)رادرنظرمی گیریم ومی خواهیم ثابت کنیم که (اب)بزرگتر از (ب ژ)و(ب ژ)بزرگتراز (ژء)دیده می شود. از نقطه (ب) پاره خط (ب ر)را به موازات (ه ژ)رسم می کنیم تا شعاع های (ه ا) را در نطقه (ر)قطع کند و بنابر تشابه دو مثلث (ب ا ر)و (ژ ا ه) می توانیم بنویسیم
اب/ب ر=ار/ره
ب ژ=اب
اب/ب ژ=ار/ره=1
ار=ه ر
و چون (ب ر)بزرگ تر از (ار )می باشد در نتیجه (ب ر)بزرگ تر از (ر ه)است و می توانیم نتیجه بگیریم که زاویه (ر ه ب)بزرگتر از زاویه (ر ب ه)است.
زاویه (رب ه)<زاویه (ر ه ب)
زاویه (رب ه)=زاویه (ب ه ژ)
زاویه (ر ه ب)>زاویه (ب ه ژ)
ا
ء
ب
ژ
ه
ر
از مطلب بالا می توانیم نتیجه بگیریم که چون زاویه دید (ا ب)بزرگ تر از زاویه دید (ب ژ)می بینیم به دست آوریم که(ب ژ) برز گتر از (ژ ء)دیده می شود.
موضوع نهم
آنچه از یک استوانه دیده می شود کو چک تر از نصف آن است.
مطابق شکل چشم در نقطه (ر) واقع می باشدودایره(ه ب)که سطح مقطع استوانه است،در سطحی واقع شده است که شامل چشم (ر) می باشد.نقطه (ر)را به نقطه (ا) مرکز دایره وصل می کنیم
دو پرتو به دایره وصل می کنیم و از نقاط (ه) و (ب) پاره خط های (ه ء)و (ب ژ) را به موازات محور استوانه رسم می کنیم دو سطح (ر ه ه ء)و (ر ب ب ژ) را در نظر می گیریم. این دو سطح استوانه را قطع نمی کند و مماس بر استوانه می باشد و به علت آنکه قطعه (ه ب)کمتر از نصف محیط دایره است ،در نتیجه آنچه از استوانه بین این دو سطح قرار میگیرد کمتر از نصف استوانه می باشدکه قابل دیدن است و آن چیزی که است که می خواستیم اثبات کنیم.
ا
ر
ه
ء
ژ
ب
ا
موضوع دهم
با نزدیک شدن چشم به استوانه سطح کمتری از استوانه دیده می شود و در مقابل به درجه وضوح سطح افزوده می گردد.
مطابق شکل قاعده استوانه (ه ب) و مرکز آن (ا)می باشدوچشم در نقطه (ر)واقع شده است.بنابر با موضوع قبل آنچه از استوانه در این حالت دیده می شود برابر با سطح (ء ه ب ژ)می باشد،که کمتر از نصف سطح استوانه است و در نقطه (ط)قرار می گیرد.در این حالت سطح (ن ل ک م)از استوانه دیده می شود که کمتر از سطح (ء ه ب ژ)می باشد و هم چنین مطابق شکل زاویه (ط)بزرگ تر از زاویه (ر)می باشد..در نتیجه بنابر ایندرجه وضوح (ن ل ک م)بیشتر از سطح (ء ه ب ژ)میاشد .
ء
ژ
ن
ا
م
ک
ب
ط
ل
ه
ر
دورترین سطح زیر چشم را بالاتر می بینیم.
مطابق شکل چشم (ا) بالاتر از سطح (ب ه)،(ه ی)،(ی ژ) قرار دارد. می خواهیم ثابت کنیم که (ی ژ) بالاتر از (ه ی) و (ب ه) دیده می شود.برای این منظور شعاع های (ا ب)،(ا ه)،(ا ی)و(ا ژ) را درنظر می گیریم و نقطه (ر) در وسط (ب ه) را در نظر گرفته و خط (ر ه) را عمود بر (ب ژ) و موازی با (ا ب) رسم می کنیم به طوری که شعاع ها را در نقاط (ک)،(ط)،(ح) قطع کند. همانطور که شکل نشان می هد (ه ط) بالاتر از (ط ک) قرار دارد. در نتیجه (ی ژ) که با دو شعاع گذشته از (ح) و (ط) مشخص می شود بالاتر از (ه ی) دیده می شود و همچنین (ه ی) بالاتر از (ب ه) دیده می شود.
موضوع یازدهم
دورترین سطح زیر چشم را بالاتر می بینیم.
مطابق شکل چشم (ا) بالاتر از سطح (ب ه)،(ه ی)،(ی ژ) قرار دارد. می خواهیم ثابت کنیم که (ی ژ) بالاتر از (ه ی) و (ب ه) دیده می شود.برای این منظور شعاع های (ا ب)،(ا ه)،(ا ی)و(ا ژ) را درنظر می گیریم و نقطه (ر) در وسط (ب ه) را در نظر گرفته و خط (ر ه) را عمود بر (ب ژ) و موازی با (ا ب) رسم می کنیم به طوری که شعاع ها را در نقاط (ک)،(ط)،(ح) قطع کند. همانطور که شکل نشان می هد (ه ط) بالاتر از (ط ک) قرار دارد. در نتیجه (ی ژ) که با دو شعاع گذشته از (ح) و (ط) مشخص می شود بالاتر از (ه ی) دیده می شود و همچنین (ه ی) بالاتر از (ب ه) دیده می شود.
ا
ب
ژ
ه
ی
ر
ح
ط
ک
موضوع دوازدهم
دورترین سطح بالای چشم را پایین تر می بینیم.
مطابق شکل چشم (ا) پایین تر از(ب ژ) قرار دارد. شعاع های (ا ب)،(ا ی)،(ا ه)و (ا ژ) را در نظر می گیریم و می گوییم که (ه ژ) دور تر را پایین تر از (ی ه)و(ب ی) می بینیم.
بعبارتی شعاع (ا ژ) پایین تر از بقیه شعاع ها می باشد و در نتیجه (ه ژ) پایین تر از (ه ی) و (ب ی) دیده میشود.اثبات این موضوع همانند موضوع یازدهم می باشد
ا
ب
ی
ه
ژ
موضوع سیزدهم هرگاه چشم بین دو جسم موازی قرار گیرد انتهای دو جسم را نزدیک به هم می بیند. مصابق شکل چشم (ه) بین دو جسم موازی (ا ژ)و(ب ی)قرار گرفته است.شعاع های (ه ر)،(ه ح)و(ه ژ) را رسم میکنیم.
ی
ک
ط
ه
ژ
ح
ر
ب
ا
بنابر موضوع یازدهم به علت آنکه در شکل شعاع (ه ژ) قرار گرفته است،در نتیجه به نظر میرسد که (ح ژ) نسبت به (ح ر) به سمت چپ منتقل شده است و بهمین صورت به نظر میرسد که (ی ک) نسبت به (ک ط) به سمت راست منتقل شده است. درنتیجه انتهای دو جسم به می رسد که به هم نزدیک شده اند.
موضوع چهاردهم اگر اندازه های متساوی در یک سمت و زیر چشم قرار گیرند آنگاه دورترین آنها را بالاتر از نزدیکترین شان می بینیم. مطابق شکل اندازه های متساوی (ا ب)،(ژ ی)و(ه ر) در یک سمت و زیر چشم (ح) قرار گرفته اند.شعاع های (ح ا)،(ح ژ)و(ح ه) را در نظر میگیریم.
همان طور که مشاهده میشود شعاع (ح ا) بالاتر از (ح ژ) و (ح ژ) بالاتر از (ح ه) قرار دارد و بنابر موضوع یازدهم ما (ا ب) را بالاتر از (ژ ی) و (ژ ی) بالاتر از (ه ر) می بینیم.
موضوع پانزدهم
اگر اندازه های متساوی در یک سمت و بالای چشم قرار گیرند آنگاه دورترین آنها را پایین ترین آنها را نزدیک ترین شان می بینیم.
مطابق شکل اندازه های متساوی (ا ب)، (ژ ی) و (ه ر) در یک سمت و بالای چشم (ح) قرار گرفته اند و مطابق آنچه که در موضوعات چهاردهم و دوازدهم گفته شد (ا ب) را پایین تر از (ژ ی) و (ژ ی) را پایین تر از (ه ر) می بینیم.
ح
ر
ه
ژ
ا
ب
ی
موضوع شانزدهم
هرگاه دو مقدار نا مساوی زیر چشم واقع باشند و بزرگترین شان دور تر از چشم باشد و چشم از مکان اولیه اش پایین تر بیاید آنگاه مقدار کمتری از جسم دور تر دیده می شود.ا
مطابق شکل دو مقدار (ژ ی) و (ا ب) در اختیار داریم ، بطوریکه (ا ب) بزرگتر از (ژ ی) و دور تر از چشم می باشد و مکان اولیه چشم نقطه (ه) می باشد.در این حالت پرتو (ه ژ ر) را رسم می کنیم و قسمت (ا ر) از جسم (ا ب) دیده می شود.
حال اگر چشم از نقطه (ه) به نقطه پایین (ح) منتقل شود و پرتو (ح ژ ط) را رسم کنیم آنگاه قسمت (ا ط) از جسم (ا ب) دیده می شود و (ا ط) کوچکتر از (ا ر)می باشد و این همان چیزی است که می خواستیم اثبات کنیم.
موضوع هفدهم هرگاه دو مقدار نامساوی بالای چشم واقع باشند و بزرگترین شان دور تر از چشم باشد و چشم از مکان اولیه اش بالاتر برود،آنگاه مقدار بیشتری از جسم دور تر دیده می شود. مطابق شکل و مشابه با موضوع شانزدهم در این حالت چشم از (ه) به (ح) منتقل می شود و (ا ط) بزرگتر از (ا ر) می باشد.
ه
ژ
موضع هجدهم هرگاه دو مقدار نامساوی روبروی چشم واقع شوند و بزرگترین شان دور تر از چشم باشد و چشم بر روی خط افقی حرکت کند آنگاه اندازه مرئی جسم بزرگتر تغییر نمیکند. مطابق شکل چشم یک بار در نقطه (ه) و یک بار در نقطه (ح) از خط راست (ه ژ ط) که موازی با سطح افق می باشد، قرار می گیرد و در حالت مقدار یکسان (ا ط) از جسم (ا ب) مرئی و ظاهر می شود.
ح
موضوع نوزدهم تعیین ارتفاع یک جسم بوسیله شعاع خورشید مطابق شکل جسم (ا ب) می باشد.اگرشعاع خورشیدی (ژ ی) را در نظر بگیریم،سایه (ا ب) روی زمین (ی ب) می شود. حال اگر یک جسم با ارتفاع معلوم (ر ه) را در مکانی قرار دهیم که شعاع (ژ ی) از (ر) بگذرد آنگاه دو مثلث (ر ه ی)و(ا ب ی) متشابه هستند. بنا براین:
با داشتن (ر ه)،(ی ب)و(ه ی) ارتفاع جسم (ا ب) بدست می آید.
ا
ب
ر
ه
ی
ژ
موضوع بیستم تعیین ارتفاع یک جسم بدون استفاده از شعاع خورشید مطابق شکل جسم (ا ب) و چشم (ژ) می باشد. از نقطه (ژ) به نقطه (ا) نگاه می کنیم و بعد یک جسم با ارتفاع مشخص همچون (ه ی) را بر روی (ژ ب) جابجا می کنیم تا شعاع (ا ژ) از نقطه (ه) بگذرد، در نتیجه دو مثلت (ژ ی ه) و (ژ ب ا) بنا بر تساوی زوایای (زاویه ژ= زاویه ژ) و (زاویه ی= زاویه ب = 90) با هم متشابهند و می نویسیم:
که با مشخص بودن (ی ه)، (ژ ب) و (ژ ی) ارتفاع پرانتز (ا ب) به دست می آید.
ا
ب
ه
ی
ژ