پاورپوینت ترسیمهای هندسی در عالم اسلامی


ترسیمهای هندسی در عالم اسلامی

آپولونیوس
آپولونیوسِ پِرگایی (262ـ190ق م،( ریاضیدان و ستاره شناس یونانی که مقاطع مخروطی و حرکات سیاره ای از زمینه های موردتوجه او بودند.
نام وی در منابع اسلامی بیشتر به صورت بَلینوس یا بَلیناس و نیز به صورتهای اَبُولُونْیوس، اَفُولُونیوس، اَبْلینَس، اَبُولوس، اَبُلُّونیوس آمده است . معاصرانش او را (مهندس بزرگ) می نامیدند. برخی از دانشمندان اسلامی لقب نجّار به وی داده اند. او به تکمیل نوعی ساعت آفتابی که خطوط ساعتی آن روی یک سطح مخروطی کشیده شده بودند هم پرداخت.

وی در زمینه هندسه مقاطع مخروطی کار کرد و این هندسه کمک زیادی به اختر شناسان نمود . اواز همان برهانهای یونانی استفاده نمود اما به نتایج تازه و جالبی درمورد هندسه مقاطع مخروطی دست یافت.
مشهورترین اثر وی کتاب مخروطات است که در نوع خود مهم ترین اثر علمی زمان وی به شمار می رفته و تا قرنها مورد استفاده بوده است. وی مبحث مقاطع مخروطی را که در پژوهشهای هندسه دانان گذشته ناقص مانده بود، تکمیل کرد و اصطلاحات Parabola) ) شلجمی یا سهمی ،( Hyperbola)هُذلولی و Ellips ))بیضی را وارد دانش مخروطات ساخت.

بخش مهمی از اثار آپولونیوس در سده های نخستینِ هجری به زبان عربی ترجمه شده است، ولی اکنون نه از این ترجمه ها چیزی به جای مانده است نه از اصل یونانی آنها. عنوان عربی قسمتی از این آثار چنین است: رساله فی قطع السّطوح علی النّسبه، رساله فی النّسبه المحدوده، رساله فی الدّوائر المماسّه.

آپولونیوس اغلب ازخطوط مرجع برای مطالعه راجع به مقاطع مخروطی استفاده می کرد. برای مثال اوبیضی را به وسیله اندازه گیری فاصله درطول قطرویک خط مماس دربیضی که عمود برقطررسم می شود مطالعه می کرد.

سیستم اندازه گیری آپولونیوس بسیار شبیه ؟کار می کند.اما چندین تفاوت مهم با آن وجوددارد:
اول:
خطوط مرجع آپولونیوس همیشه زاویه ندارد گاهی مایلند.

دوم:
آپولونیوس از اعداد منفی استفاده نمی کرد .او تنها از یک راه می توانست در طول خطوط مرجع حرکت کند .
تفاوت عمده:
آپولونیوس ابتدا همیشه منحنی را رسم می کرد وسپس خطوط را به آن اضافه می کرد اما امروزه ما ممکن است محورهای ؟ را کشیده و سپس سهمی یا هذلولی را رسم کنیم اما برای این کار نیاز به معادله ی سهمی یا هذلولی داریم.
آپولونیوس از جبر استفاده نمی کرد بنابراین می بایست در مورد هندسه بدون رسم مطالعه می کرد.

نظریه مقاطع مخروطی آپولونیوس

قاعده
یک سطح مخروطی دو پارچه از خطوط مستقیمی که بر نقاط محیط یک دایره، به نام قاعده، و نقطه ثابتی غیر واقع بر صفحه قاعده می گذرند، تشکیل می شود.
هر یک از خطوط مستقیم را، یک مولد سطح،
نقطه ثابت را راس آن،
و خط مستقیمی مار بر راس و مرکز قاعده را محور می نامند.
یک مخروط جسمی است که توسط بخشی از
سطح مخروطی دو پارچه که بین راس و قاعده
قرار دارد، محصور می شود.

مولّد
راس
محور

اقلیدس و ارشمیدس هر دو پیش از آپولونیوس درباره مقاطع مخروطی چیز نوشتند، اما در بحثهای آنان از مقاطع مخروطی، مخروط همان به اصطلاح مخروط قائم بود که در آن، محور بر دایره قاعده عمود است. سپس این مخروط قائم به وسیله صفحه ای عمود بر یک مولد قطع داده می شد، و به این ترتیب یک مقطع مستوی به دست می آمد، و نوع مقطع به زاویه راس مخروط بستگی داشت. بنابراین در دنیای باستان، مقاطع مخروطی اشکال مسطحه بودند، در حالی که ما به مرزهای این اشکال مسطحه نظر داریم و مقاطع مخروطی را منحنی تلقی می کنیم.

آپولونیوس این روش تولید مقاطع مخروطی را با در نظر گرفتن مقاطع مسطحه ای از یک مخروط دو پارچه دلخواه که محور آن ممکن است نسبت به قاعده مایل باشد، تعمیم داد و نشان داد که به این ترتیب صرف نظر از دایره، تنها سه سطح مخروطی شناخته شده می توانند به وجود آیند.
آپولونیوس در شروع کتاب مقطع مخروطی اش،
از این حقیقت استفاده کرد که این شکلها مقطعهای
یک مخروطند و منظور او تنها آن بود که
خواص مقدماتی این مقاطع را،
که آنها را «علائم» نامیده، اثبات کند.

قاعده
مولّد
راس
محور
نظریه مقاطع مخروطی آپولونیوس

بنابر گفته آپولونیوس، یک سهمی مقطع مشترک یک
مخروط و یک صفحه است
وقتی که صفحه با یکی از مولدهای مخروط موازی باشد.

و هذلولی هر یک از دو مقطع مشترکی است
که وقتی صفحه با هر دو قسمت مخروط دو پارچه
تلاقی می کند، تشکیل می شود.
در هر یک از دو مقطع مخروطی،
خطی که دو نقطه بر مرز را به هم وصل می کند،
وتر نامیده می شود.

A
U
V
Y
F
Z
E
B
آپولونیوس نشان داد که اواسط همه وترهای موازی با وتری ثابت، بر خط مستقیمی واقعند و اگر این خط مستقیم مرز را در A قطع کند،
مماس در A با همه وترها موازی است.
این خط مستقیم، قطر مقطع و محل تلاقی یک قطر با مرز، راس مقطع مخروطی نامیده می شود.
نیم وترهایی که در یک طرف قطر قرار دارند، عرضهای این قطر نامیده می شوند.
وقتی عرضها بر این قطر عمود باشند،
چنین قطری منحصر به فرد است
و محور نامیده می شود.

A
U
V
Y
F
Z
E
B
x
در شکل روبرو، EF یکی از قطرهاست، YZ و UV با EF موازی اند.
AB قطر مار بر اواسط این قطرهاست.
XY یکی از این عرضها برای قطر AB ،
و خط CD محور است.

C
D

A
U
V
Y
F
Z
E
B
D
x
در مورد سهمی قطرها همه با محور CD موازی اند. فرض کنید AB قطری مفروض، Xنقطه ای دلخواه بر AB و XY عرض در X باشند.
آپولونیوس نشان داد که با قطر AB پاره خط ثابتی مانند p متناظر است به طوری که ضلع دیگر مستطیلی که با مربعی به ضلع XY مساوی و یکی از اضلاع آن با AX برابر است،
دقیقاً با p یکی است پاره خط p پارامتر(ضلع قائم)
متعلق به قطر AB نام دارد.
اگر قرار دهیم AX=x و XY= y ،
آنگاه علامت آپولونیوس به
صورت معادله نوین p.x=y2 در می آید.

C
x
y
علائم سهمی

در اینجا منحنی دارای یک مرکز است که همان نقطه واقع بر محور است که در وسط خط واصل بین راسهای دو مقطع قرار دارد.
هر خط مار بر این مرکز، یک قطر است و مرکز آن، بخشی از یک قطر را که بین دو شاخه مقطع قرار دارد، نصف می کند.

فرض کنید c و c’ دو سر بخشی از یک قطر
بین دو شاخه منحنی باشند،
و a=CC’ که ضلع مایل نامیده می شود.

C’
C
a
علائم هذلولی

C’
P
E
C
x
Y
a
p
آپولونیوس ثابت کردکه ، متناظر با a پاره خطی مانند p با خصوصیّت زیر موجود است:
مستطیلی به ضلع CX که با مربعی به ضلع XY، یکی از عرضها برابر باشد، ضلع دیگرش از p بیشتر خواهد بود.
بعلاوه، مستطیلی که اضلاع آن زیادتی این ضلع از p و CX است(مستطیل آبی رنگ) با مستطیلی که اضلاع آنa و p هستند، متشابه است.
بنابر این s ، ضلع دیگر ،
در تناسب a : CX=p :s ،
یعنی s=(p/a).CX صدق می کند.

C’
P
E
C
x
Y
برای اینکه بفهمیم معنی هندسی علامت هذلولی چیست، فرض کنید که C’ سر قطر و CP پارامتر باشد.
همچنین فرض کنید که عمود بر CX در X خط C’P را در E قطع کند.
در اینصورت، علامت آپولونیوس ایجاب می کند که
مستطیل به اضلاع CX و XE برابر (xy)2 باشد.

باز، اگر قرار دهیم CX=x و XY=y،
علامت به صورت
Y2=(p+s)x=px+(p/a)x2
در می آید،
که معادله نوینی برای هذلولی است.

x

موارد عمده کاربرد مقاطع مخروطی (به جز دایره) هم در دنیای یونان و هم در دنیای اسلام در ترسیمهای هندسی، نظریه ساعتهای آفتابی، و آینه هایی بود که نور را برای سوزانیدن در نقطه ای متمرکز می کردند.
استفاده از بیضی در نجوم برای طرحریزی مسیرهای سیارات در اوایل سده هفدهم میلادی به وسیله کپلر معمول شد.

کاربردهای مقاطع مخروطی

ارشمیدس کار را با مربع ABDG و قطر BG آن شروع می کند.
B
A
D
G
رسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس

و سپس ستاره ای را حولD می چرخاند.
به طوری که ستاره قطر BG ، ضلع AG و امتدادضلع BA را به ترتیب در نقاط T ، E ، و z قطع کند.
و به طوری که مساحت (AEZ) ∆ برابر مساحت (DTG) ∆ باشد.

B
A
D
G
Z
E
T
رسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس

سرانجام، KTL را به موازات AG رسم می کند.
سپس ثابت می کند که K و A پاره خط BZ را طوری تقسیم می کنند که سه پاره خط BK ،KA و AZ بتوانند مثلثی تشکیل دهند.
و به طوری که
BA .BK =ZA2 و KZ .KA = KB2
.

B
D
T
L
G
K
A
Z
E
رسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس

بنابر این، (KHA) ∆ را طوری تشکیل دهیدکه:
KH=KB و AH=AZ
و دایره BHZ را بر B ، H ، Z رسم کنید.
ارشمیدس ثابت می کند که
BH یک هفتم محیط دایره است.

B
D
T
L
G
K
A
Z
E
H
رسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس

این ترسیم همان قدر که مسئله حل می کند، همان قدر هم مسئله ایجاد می کند. البته اگر ستاره ای را حول D در حال چرخش تصور کنیم به طوری که از نقاط بین A و G عبور می کند،
وقتی به طرف A حرکت می کند، (AEZ) ∆ می تواند به اندازه دلخواهی کوچک شود.
در حالی که (DTG) ∆
به یک چهارم مربع میل می کند.

B
D
T
L
G
K
A
Z
E
H

از سوی دیگر، وقتی ستاره به G نزدیکتر می شودٍ، (AEZ) ∆ به اندازه دلخواهی بزرگ و (DTG) ∆ به اندازه دلخواهی کوچک می شود.

B
D
T
L
G
K
A
Z
E
H

بنابراین، در یک وضعیت بینابینی، دو مثلث برابر خواهند بود و لذا روش ارشمیدس، بیشتر یک برهان وجودی است، تا یک ترسیم. بنابراین، مسئله به عنوان مسئله ای که در حدود 1200 سال بصورت ترسیمی حل نشده، باقی ماند.

ابوسهل به مسئله ترسیم هفت ضلعی منتظمی که با علاقه و تجربه او در مقاطع مخروطی سازگاری داشت، توجه کرد و ملاحظه نمود که جوابی در مقاطع مخروطی برای آن وجود دارد. روش او ملهم از برهان ارشمیدس بود، و وقتی از ترسیم هفت ضلعی به عنوان مسئله ای یاد می کند که هیچ هندسه دانی پیش از او، «حتی ارشمیدس» قادر به حل آن نبوده، بدون تردید اشاره او عملاً به مسئله ترسیمی است که روش ارشمیدس آن را ایجاب می کند.
تحلیل ابوسهل

روش ابوسهل آن است که ابتدا مسئله را تحلیل کند، یعنی فرض کند که هفت ضلعی ترسیم شده و در جهت عکس، با استفاده از سلسله استنتاجهایی که با حفظ درستی قابل معکوس شدن هستند، استدلال نماید.
او نشان می دهد که چگونه هر ترسیم خاصی را که در محدوده هیچ نظریه ای نمی گنجد، می توان در نظریه مقاطع مخروطی داخل کرد. چنین عملی در یک کاسه کردن روشهای ریاضی متفاوت، جوهره اصلی پیشرفتهای ریاضی است.
تحلیل ابوسهل

فرض کنید که در دایره ABG قادر به ترسیم ضلع BG یک هفت ضلعی منتظم شده باشیم.
وAB=2BG.
پس کمان 3BG=ABG ،

و چون BG یک هفتم کل محیط است، ADG=4BG .

G
B
A
D
اولین تحویل: از هفت ضلعی به مثلث

بنابر قضیه 33 مقاله Ⅳ اصول اقلیدس،
زوایای (ABG) ∆ روی محیط متناسب با کمانهای متقابل به آنهاست، و بنابراین B=4A در حالی که G=2A . در نتیجه، ترسیم اصلی به مسئله ترسیم مثلثی که زوایایش به نسبت 4:2:1 باشد تحویل می شود.

G
B
A
D
اولین تحویل: از هفت ضلعی به مثلث

فرض کنید ABG مثلثی باشد بطوری که B=2G=4A.
ودایره ای به مرکز B و شعاع AB ودایره ای به مرکز G
و شعاع AG رسم میکنیم. BGرا
از دو طرف امتداد دهید
به طوری که دایره ها را از
دو طرف قطع کند.
مثلث AED را کامل کنید.

ٍE
B
G
D
A
دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

هدف اساسی برهان این است که نشان دهیم A2 =D تا اینکه دو مثلث ABG و DBA متشابه باشند.
ٍE
G
D
B
A
2
دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

سپس باید نشان دهیم که 1A1 =G
تا اینکه مثلثهای AEB و GEA متشابه باشند.
بعد از انجام این کار، با توجه به تشابه اول، DB/BA=AB/BG و،
باتوجه به تشابه دوم، GE/AE=AE/BE

ٍE
G
D
B
A
2
1
1
دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

بنابراین نتیجه می شود که EA2=GE.EB و BA2=DB.BG
ولی چون AB=BE ، E=BAE=G
و اولی به صورت BE2=DB.BG
در می آید زیرا BA=BE .

ٍE
G
D
B
A
2
1
1
دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

بنابراین به محض اینکه نشان دهیم A=D و BAE=G ، نشان داده ایم که ترسیم هفت ضلعی منتظم، مستلزم پاره خطی مانند EB در دو نقطه B ،G است به طوری که
(1) GE.EB=GD2 , (2)DB.BG=BE2

ٍE
G
D
B
A
1
1
2
2
دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

اما در مورد زوایا، توجه کنید که AGB زایه خارجی مثلث متساوی الساقین AGD است،
که در آن AG=GD ، به طوری که BGA=DAG+D=2D
ٍE
G
D
B
A
*
دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

اما می دانیم که BGA=2A ، بنابراین A=D .
در مورد زاویه دیگر، ملاحظه کنید که B زاویه خارجی مثلث متساوی الساقین ABE است،
بنابراین B=2BAE درحالی که در همان حال، B=2G ، بنابراین BAE=G .

ٍE
G
D
B
A
1
1
*
2
2
دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

فرض کنید ED پاره خطی باشد که در B ، G تقسیم شده است.
به طوری که
(1) GE.EB=GD2 , (2)DB.BG=BE2
(1) و (2) بالا صادق باشند.
E
B
G
D
سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

ABZ را بر ED عمود کنید با AB=BG و BZ=GD ،
و سپس مستطیل BZTE را کامل کنید.
در این صورت ZA.AB=DB.BG=BE2 ،
و چون AB=BG و BE=TZ ،
می توانیم بنویسیم ZA.BG=TZ2
که حاکی از این است که T بر یک سهمی به راس A
و پارامتر BG قرار دارد.

T
Z
E
B
G
A
D
سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

از سوی دیگر، بنابر (1) GE.EB=GD2 ؛ اما GD=BZ=ET، لذا GE.EB=ET2 بنابر این T بر هذلولی ای واقع است که راس آن B و ضلع مورب و پارامتر آن هر دو مساوی پاره خط BG اند.

T
Z
E
B
G
A
D
سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

تحلیل ما، اینک ما را به دو مقطع مخروطی رهنمون شده است- یک سهمی و یک هذلولی- که هر دو با تقسیم ED در B ،G معین شده اند. T، نقطه تلاقی این دو مقطع مخروطی، طولهای ET و TZ را معین می کند، و این دو دوپاره خط باقیمانده GD=ET و EB=TZ را به وجود می آورند با این ویژگی که خط EBGD در B و G تقسیم شده است بطوریکه (1) و (2) صادق باشند.
T
Z
E
B
G
A
D
سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

بنابراین با مفروض بودن BG ، ضلع هفت ضلعی که می خواهیم بسازیم، می توان پاره خط EBGD ،
سپس (ABG) ∆، و سرانجام هفت ضلعی را بسازیم.
البته به محض اینکه هفت ضلعی در یک دایره ترسیم شد، می توان بنابر تشابه آن را در
هر دایره دیگر ترسیم کرد.
T
Z
E
B
G
A
D
سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

ترسیم نه ضلعی منتظم حالت خاصی از تثلیث زاویه است، زیرا زاویه مرکزی یک نه ضلعی 3600 /9 =1200 /3 است. اما 1200 زاویه مرکزی مقابل به یک ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره است، لذا نه ضلعی منتظم را در یک دایره می توان با تثلیث این زاویه ترسیم کرد.
این مطلب بر یونانیان باستان معلوم بود، و پاپوس اسکندرانی سه روش برای تثلیث زاویه می دهد که در همه آنها از مقاطع مخروطی استفاده می شود. ظاهراً تنها روش باستانی
را که به دانشمندان مسلمان منتقل شده،
می توان در آثار ثابت بن قره و حامی و همکار او
احمدبن شاکر یافت.
ترسیم گرایشی نه ضلعی منتظم

در یک ترسیم گرایشی، دو منحنی، معمولاً خطوط راست یا کمانهایی از دایره،
نقطه P غیر واقع بر این منحنیها
و نیز پاره خط راست AB به ما داده می شود.

A
B
C
D
p
ترسیم گرایشی نه ضلعی منتظم

مسئله عبارت از ترسیم پاره خط راست CD=AB است.
به طوری که مورب CD به سمت نقطه P گرایش داشته باشد، یعنی، وقتی امتداد دهیم از نقطه P بگذرد.

A
B
C
D
p
ترسیم گرایشی نه ضلعی منتظم

در این بخش توجه خود را به اثری از ابراهیم بن بستان، درباره رسم مقاطع مخروطی معطوف خواهیم کرد. این اثر شامل بحث دقیقی از نحوه رسم سهمی و بیضی، و نیز سه روش درباره رسم هذلولی، همراه با براهین آنهاست. شاید ارائه اینهمه روش برای هذلولی به آن سبب بوده که هذلولی مورد علاقه ابزارسازان بوده است. از این اثر دو نمونه انتخاب خواهیم کرد، یکی که به ترسیم سهمی می پردازد، که برای ترسیم آینه های محرق مورد نیاز است، و دیگری یکی از سه روش رسم هذلولی را می دهد.
ترسیم مقاطع مخروطی

روش ابراهیم چنین است:
روی خط AG پاره خط ثابت AB را جدا کنید.
BE را عمود بر AB رسم کنید.
اینک برBG نقاط H ،D ،Z ، و… را به تعداد دلخواه انتخاب کنید.
با شروع از H ، نیمدایره به قطر AH را رسم ، و فرض کنید که عمود BE آن را در T قطع کند.
A
B
H
G
E
T
D
Z
ابراهیم بن بستان و سهمی

5 .از T خطی به موازات AB رسم کنید.
6 .از H خطی به موازات BE رسم کنید.
فرض کنید این خطها یکدیگر را در K قطع کنند.
7 .سپس نیمدایره ای به قطر AD رسم، و فرض کنید که این نیمدایره BE را در I قطع کند.

A
B
H
D
Z
G
E
k
T
I
ابراهیم بن بستان و سهمی

8 .خطوطی از I و D به ترتیب به موازات AG و BE رسم، و فرض کنید که این دو خط یکدیگر را در L قطع کنند.
9 . همین عمل ترسیم را در مورد نقاط باقی مانده Z ،… انجام دهید تا نقاط متناظر را بدست آورید.
در این صورت نقاط B ، K،L،M،… روی سهمی به راس B، محور BG، و پارامتر AB قرار دارند.
اگر K’،L’،M’،… انتخاب شوند به طوری که KH=HK’، LD=DL’، MZ=ZM’ ،…،
در اینصورت آنها هم روی سهمی قرار دارند.
A
B
T
I
k
L
M
H
D
Z
G
E
K’
L’
M’

نیمدایره ای که قطر آن پاره خط ثابت AB است رسم کنید.
ABرا از سمت B امتداد دهید.
بر نیمه این نیمدایره ابتدا از نقطه B،نقاط G،D،H،… را اختیار کنید.

A
B
H
D
G
ابراهیم بن بستان و هذلولی

بر هر یک از این نقاط مماسهای GZ،DT،HI،… را بر نیمدایره رسم کنید.
فرض کنید این مماسها امتداد قطر را به ترتیب در Z،T،I،… قطع کنند.
خطهای راست متوازی ZK،TL،IM،… را به طوری که زاویه دلخواهی با خط AB تشکیل دهند، از این نقاط رسم کنید.

A
B
T
Z
H
D
G
I
M
L
K
ابراهیم بن بستان و هذلولی

بر روی این خطها و در یک طرف AB، پاره خطهای ZK=GZ، TL=DT، IM=HI،… را جدا کنید. در این صورت نقاط K،L،M، … بر هذلولی واقعند.

A
B
T
Z
H
D
G
I
M
L
k
ابراهیم بن بستان و هذلولی

در واقع چون خطوط GZ،DT،HI،… مماسهایی بر یک دایره اند، از قضیه 36 مقاله سوم اصول اقلیدس نتیجه می شود که GZ2=ZB.ZA ، DT2=TB.TA، HI2=IB.IA،… و چون KZ=ZB، و غیره، نتیجه می شود که KZ2 =ZB.ZA، LT2=TB.TA وMI2=IB.IA .

A
B
T
Z
H
D
G
I
M
L
k
ابراهیم بن بستان و هذلولی

KZ2 =ZB.ZA ، LT2=TB.TA وMI2=IB.IA .
بنابر علامت هذلولی که پیشتر داده شد، این رابطه ها حاکی از آن هستند که B،K،L،M، … روی هذلولی ای قرار دارند که AB قطر آن است، کلیه عرضهای آن زاویه های مساوی با KZG با قطر می سازند و پارامتر و اضلاع مایل آن هر دو برابر AB هستند.

A
B
T
Z
H
D
G
I
M
L
k
ابراهیم بن بستان و هذلولی

در اینجا نیز، بقیه یک شاخه هذلولی را می توان صرفاً با امتداد دادن KZ، LT،MI،… به اندازه های برابر و در آن سوی ABG تا نقاط K’،L’،M’،… رسم کرد.

A
B
T
Z
H
D
G
I
M
L
k
M’
L’
K’
ابراهیم بن بستان و هذلولی

جنبه از تمدن اسلامی که همواره بیگانگان را تحت تاثیر قرار داده، طرحهای بدیعی است که روی چوب، کاشی، یا موزائیک ایجاد شده و به وفور در سرتاسر عالم اسلامی به چشم می خورد. مثلاً کاشیکاریهای منظم و استثنایی صفحه که در الحمرای گرانادا در اسپانیا دیده می شود. تحسین جهانیان را برانگیخته است.
مثلاً در ترجمه عربی هشتمین مقاله مجموعه ریاضی پاپوس اسکندرانی بخش بسیار جالب توجهی درباره ترسیمهای هندسی وجود دارد که تنها با استفاده ستاره و پرگاری با فرجه ثابت که گاهی « پرگار زنگ زده» نامیده می شود، امکان پذیرند.
بعد اسلامی: هندسه با پرگار

ترسیم عمودی از انتهای Aی پاره خط AB بر این پاره خط، بدون آنکه این پاره خط فراتر از A امتداد داده شود.

طرز عمل. روی AB پاره خط AC را بوسیله پرگار جدا کنید، و با همان فرجه، دایره هایی به مرکزهای A وC رسم کنید تا یکدیگر را در D قطع کنند. CD را از طرف D تا E امتداد دهید به طوری که ED=DC. در این صورت CAE قائمه است.
مسئله 1
A
B
C
D
E

برهان. مرکز دایره ای که از E،A،C می گذرد، نقطه D است زیرا DC=DA=DE. بنابراین EC قطری از این دایره است و در نتیجه EAC زاویه ای محاط در یک نیمدایره و بنابراین قائمه است.

A
B
C
D
E

تقسیم پاره خطی به چند جزء برابر.

طرز عمل. فرض کنید که مطلوب پاره خط AB به اجزای برابر AG=GD=DB باشند. در هر یک از دو سر پاره خط عمودهای AE و BZ را در دو جهت مخالف اخراج و بر روی آنها پاره خطهای برابر AH=HE=BT=TZ را جدا کنید. به وسیله پاره خطهای راستی H را به Z و E را به T وصل کنید که AB را به ترتیب در G وD قطع کنند. در این صورت AG=GD=DB.
مسئله 2
A
B
H
E
G
D
T
Z

برهان. AHG و BTD دو مثلث قائم الزاویه اند و زاویه های G و D ( و بنابراین زوایای H وT ) آنها با هم برابرند. بعلاوه، HA=BT . بنابراین این مثلثها مساوی اند و در نتیجه AG=BD. همچنین توازی HG و ED ایجاب می کند که مثلثهای AHG و AED متشابه باشند، و بنابراین DG/GA=EH/HA. اما، EH=HA و در نتیجه DG=GA.

A
B
H
E
G
D
T
Z

نصف کردن زاویه مفروض ABG.
طرز عمل. این روش اقلیدسی (اصول، مقاله اول، قضیه 9) متضمن جدا کردن پاره خطهای برابر AB، AG، بر دو ضلع زاویه،ترسیم متساوی الاضلاعی روی BG، و سپس وصل کردن A،D است تا زاویه را نصف کند. بنابر صورت دیگری از این مسئله، منسوب به ابوالوفا، مثلث BGD متساوی الساقین است با BD=DG=AB، و این طول مشترک برابر با گشادگی ثابت پرگار است.
مسئله 3
A
G
B
D

ترسیم مربعی در دایره مفروض.
طرز عمل. مرکز S دایره را پیدا و قطر ASG را رسم کنید. دهانه پرگار را به اندازه شعاع باز کنید و کمانهای AZ، AE، GT، و GH را جدا کنید و خطوط ZE و TH را که قطر را در I و K قطع می کنند، رسم کنید،
و سپس قطر مار بر S و M را رسم نمایید.
فرض کنید که این قطرها
در نقاط D و B با دایره برخورد کند.
در این صورت ADGB مربع خواهد بود.
مسئله 4
G
A
B
H
E
S
I
K
T
M
Z
D

برهان. چون ZA=AE، قطر GA کمان ZE را نصف می کند و بنابراین GA بر ZE، وتر این کمان، عمود است. به همین نحو، GA بر TH عمود است، و لذا TKI و ZIK قائمه اند. چون TH و ZE وترهای کمانهای مساوی اند، لذا باهم برابرند و در نتیجه نصفهای آنها، یعنی TK و ZI با هم برابرند و چون موازی نیز هستند، شکل TKIZ مستطیل است. بنابراین قطرهای ZK و TI در آن برابرند و یکدیگر را نصف می کنند،
و در نتیجه MI=MK،
یعنی (MKI) ∆ متساوی الساقین است.
G
A
B
H
E
S
I
K
T
M
Z
D

چون وترهای مساوی ZE و TH
از مرکز دایره هم فاصله اند، KS=SI،
و لذا مثلث متساوی الساقین MKI،
خط MS ضلع KI را نصف می کند
و لذا بر این ضلع عمود است.
بنابراین قطر DB بر قطر GA عمود
و ZDGB مربع است.
G
A
B
H
E
S
I
K
T
M
Z
D

با تشکر از توجه
استاد محترم و
دانشجویان عزیز