بسم الله الرحمن الرحیم
موضوع پروژه : قانون
ز
قانون هوک
قانون هوک خواص فیزیکی فنرهای معمولی را برای جابجای یهای کوچک به خوبی و با دقت بالایی مدل میکند. ( تصویر متحرک).
قانون هوک در فیزیک، مکانیک و دانش مواد کشسانی یا الاستیسیته، تقریبی است نشان دهنده ی آن که تغییر طول یک ماده با بار وارد بر آن رابطه ی خطی دارد. بسیاری از مواد تا زمانی که نیرو از حدکشسانی آن ها کمتر باشد با تقریب خوبی از این قانون پیروی می کنند. انحراف از قانون هوک باافزایش میزان تغییرشکل زیاد می شود به طوری که درتغییرشکل های زیاد، با خارج شدن ماده از دامنه کشسان خطی، این قانون کاربرد خود را از دست می دهد. موادی که قانون هوک برای آن ها تقریب« مواد هوکی » مناسبی باشد، مواد کشسان خطی یا نام دارند. ساده شده ی قانون هوک بیان می دارد که کرنش با تنش رابطه ی مستقیم دارد:
که در آن:
x:جابجایی فنر فشرده یا کشیده شده از نقطهٔ تعادل آن یکای xدر دستگاه SIمتر است
F:نیرو بازگرداننده وارده از سوی فنر که با جابجایی انتهای فنر مقاومت میکند(نیروی مقاومت فنر ) دردستگاه SI یکای آن نیوتن Nیا کیلوگرم متر بر مجذور ثانیهkg m s
K:ثابت فنر است که دردستگاه Siیکای ان نیوتن برمتر مجذور ثانیه است .
وقتی چنین رابطه ای برای ماده ای برقرار باشد،می توان گفت که آن ماده رفتار خطی دارد و اگرنتایج آن را بر روی یک نمودار نمایش دهیم می بینیمکه نتایج به صورت یک خط راست بدست آمده اند.علامت منفی در سمت راست رابطه ی بالا به این دلیل است که نیروی بازگرداننده ی فنر و جابجایی فنر همواره در جهت مخالف یکدیگر عمل می کنند. مثلاً اگر فنر به سمت راست افزایش طول پیدا کند نیروی بازگرداننده ی آن در سوی مخالف و به سمت چپ یعنی در جهت جمع شدن فنر وارد می شود.
مرور کوتاه تاریخچه قانون هوگ
قانون هوک پس از قرن ۱۷ میلادی به نام فیزیکدان بریتانیایی رابرت هوک نام گذاری شد. وی ابتدا درسال ۱۶۶۰ با عنوان مقلوب لاتین ارائه کرد و در سال ۱۶۷۸ راه حلش را با عنوان رمزی Ut tensioبه معنی هرچقدرجابجایی همانقدر نیرو، sic visمنتشر کرد.
کاربرد عمومی برای مواد کشسانی
موادی که پس از وارد شدن یک نیرو و تغییر شکل به سرعت به حالت اولیه ی خود بازمی گردند و مولکول ها و اتم های آن ها نیز به حالت اولیه و تعادل پایدار پیشین خود بازمی گردند، معمولاً از قانون هوک پیروی می کنند.
قانون هوک میتواند پی شبینی کند که در اثر یک نیروی مشخص چقدر فنر کشیده خواهد شد.
یک میله از جنس یک مادهٔ کشسان را می توان مانند یک فنر خطی در نظر گرفت، طول میله L سطح مقطع آن A است. افزایش طول میله (کرنش) آن به صورت خطی با تنش کششی σخطی ثابت دارد. وارون این نسبت خطی را مدول الاستیسیته Eمی نامند
بنابراین:
مواد تا زمانی که در بازه ی کشسانی خود باشند(تنش های وارد بر آن ها کمتر از تنش تسلیم باشد) ازقانون هوک پیروی می کنند. در مقابل موادی مانندکائوچو را مواد غیرهوکی می نامند در این مواد ویژگی کشسانی ماده به تنش وارد بر آن وابسته است و به دمای محیط و نرخ بارگذاری نیز حساس است.
در تغییرشکل های کوچک زاویه ای، رابطه هوک به صورت زیر بیان می شود:
که در آن ؛Tتنش برشی اعمال شده بر ماده؛Y کرنش زاویه ای (برابر تانژانت زاویه پیچش)، و Gمدول برشی ماده تحت تنش است. رابطه کرنش زاویه ای با زاویه پیچش (θ) به صورت زیر است:
از قانون هوک در ترازوهای فنری، تحلیل تنش و مدلسازی مواد و … استفاده می شود.
معادله ی فنر
منحنی تنش- کرنش برای فولاد با کربن کم. قانون هوک تنها میان حالت اولیهٔ فولاد تا زمانی که به نقطهٔ تسلیم برسد بر قرار است.
( ( نقطه ی شماره ی ۲
۱. مقاومت نهایی
۲. مقاومت قبل از تسلیم، مطابق نقطهٔ جاری شدن فولاد
۳. شکست
۴. ناحیه ی سخت شدگی
۵. ناحیه ی باریک شدگی
(A: (F/A۰
(F/A) تنش واقعی
می توان از معادله ی فنر به عنوان پر کاربردترین بیان قانون هوک یاد کرد. قانون هوک برای فنر بیان می دارد که نسبت نیروی بازگرداننده ی وارده از سوی فنر به میزان تغییر شکل فنر برابر است با مقدار ثابتی معروف به ثابت فنریاKبا یکای نیرو بر طول:
علامت منفی در رابطهٔ بالا به این دلیل است کهبردارهای نیرو و جابجایی در خلاف جهت یکدیگر براین سامانه اثر می کنند. نیروی بازگرداننده ی فنر دربرابر هر نوع تغییر شکل مقاومت می کند و تلاش می کند تا فنر را دوباره به حالت تعادل پیشین خودبازگرداند. کارمایه یا انرژی پتانسیل ذخیره شده درفنر برابر است با:
که برابر است با انرژی لازم برای اینکه کم کم فنر جمع شود یا انتگرال نیرو روی جابجایی. یادآوری می شودکه مقدار انرژی پتانسیل فنر همواره بزرگتر از صفراست. انرژی ذخیره شده را می توان به صورت یک نمودارنمایش داد. وقتی که فنر در U-x سهمی روی محورکشیده یا فشرده می شود (در هر دو x جهت محورحالت) انرژی پتانسیل آن افزایش می یابد. فنرهمواره تلاش می کند تا با بازگرداندن خود به حالتتعادل انرژی پتانسیلش را آزاد کند (از دست بدهد)درست مانند توپی که از یک بلندی رها می شود وانرژی پتانسیل گرانشی خود را از دست می دهد(می کاهد).
به انتهای یک فنر بسته شود و پس از m اگر جرم کشیده شدن رها گردد، در حالت آرمانی که اصطکاک ناچیز m نداشته باشیم و جرم فنر نسبت به جرم باشد، فنر و جرم همواره نوسان خواهند کرد که سرعت زاویه ای آن برابر خواهد بود با:
بسامد آن برابر است با:
تذکر: رابطه های بالا با این فaرض گفته شد که فنربیش از بازه ی کشسان خود کشیده نشده باشد که درغیر این صورت فنر دچار تغییر شکل همیشگی (بدون بازگشت) می شود.
سامانه ای با چندین فنر
دو فنر را می توان به شکل سری یا مواری به یک جرموصل کرد، که در زیر این دو حالت با یکدیگر مقایسه شده اند.
بیان تنسوری قانون هوک
عبارت عمومی قانون هوک را می توان شبیه رابطهٔ
میان تنش و کرنش نوشت:
اگر عبارت بالا را به همراه جزئیاتش بنویسیم بهشکل زیر خواهد بود (با استفاده از قرارداد جمع زنی اینشتین):
تنسور را تنسور سختی یا تنسور الاستیسیته می نامند. به دلیل تقارن تنسورهای تنش و کرنش، درتنسور سختی تنها ۲۱ضریب از یکدیگر مستقل اند. ازآنجایی که یکای تنش همان یکای فشار است وکرنش، یکایی ندارد، پس یکای تمامی درایه های تنسور سختی ، همان یکای تنش خواهد بود.
عبارت عمومی قانون هوک را می توان شبیه رابطهٔ میان تنش و کرنش نوشت:
قانون هوک در سه بعد
قانون هوک در سه بعد را می توان با استفاده ازضریب پواسون و شکل یک بعدی این قانون
بدست آورد.فرض کنید در اثر نیروی وارده در جهت ( ۱) کشش( داریم و در جهت های ( ۲ و ۳) عمود بر جهت ( ۱جمع شدگی داریم:
که در آن ضریب پواسون و مدول یانگ است. معادلهٔ مشابه را در جهت های ۲ و ۳ چنین خواهیم داشت:
باتشکر توجه شما
ما –کرونا را –شکست –می دهیم
در خانه بمانیم