سرمایه گذاری بهینه و متناسب با زمان و استراتژی های بیمه اتکایی

سرمایه گذاری بهینه و متناسب با زمان و استراتژی های بیمه اتکایی جهت بیمه میانگین-واریانس با حالت وابستگی به ریسک گریزی

آرش پورسرخابی
دانشجویی کارشناسی ارشد، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد میبد، گروه مدیریت مالی، میبد، ایران

حسین علی امینی خواه
استادیار، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد اردکان، گروه مدیریت مالی، اردکان، ایران

چکیده
در این مقاله، استراتژی های ثابت رویه و بهینه را تحت معیار میانگین-واریانس با ریسک گریزی وابسته به حالت مطالعه می کنیم. فرض بر این است این روند مازاد، توسط یک روند انتشار1 تخمین زده می شود. بیمه گر می تواند بیمه اتکایی متناسب را خریداری کرده و در یک بازار مالی سرمایه گذاری کند که متشکل از یک دارایی بدون ریسک و چند دارایی پر ریسک باشد که روندهای قیمتشان از حرکت هندسی براونی2 پیروی می کند. تحت این موارد، دو مسئله بهینه سازی، یک مسئله بیمه اتکایی – سرمایه گذاری و یک مسئله صرفاً-سرمایه گذاری را در نظر می گیریم. به طور خاص، هنگامی که شرایط ریسک گریزی به صورت پویایی به ثروت جاری بستگی دارد، مدل واقعی تر است. با استفاده از روش بیورک و مورگوسی3 (2009) استراتژی بهینه ثابت رویه برای این دو مسئله، با استفاده از بسط معادله ژاکوبی- بلمن – همیلتون به دست می آید. استراتژی های ثابت رویه و بهینه بستگی به ثروت جاری دارد، در نتیجه این مورد مناسب تر از مورد دارای ریسک گریزی ثابت رویه است.

کلیدواژه ها: ثبات، میانگین-واریانس، بیمه اتکایی متناسب، استراتژی تعادل4، معادله همیلتون- ژاکوبی- بلمن.

1. مقدمه
به منظور کنترل و مدیریت ریسک، بیمه اتکایی و سرمایه گذاری راه های موثری برای بیمه گرها هستند. در دهه های گذشته، مسائل بیمه های اتکایی و سرمایه گذاری بهینه برای بیمه گران توجه بسیاری را در متون آماری به خود جلب کرده است. به طور خاص، بیمه گران معمولاً کنترل خرید بیمه اتکایی متناسب را جهت کاهش قرار گرفتن در معرض مسائل بهینه بیمه اتکایی در نظر می گیرند. ازآنجاکه سرمایه گذاری، یک عنصر بسیار مهم در کسب وکار بیمه است، بیمه گر کنترل سرمایه گذاری در بازار های مالی برای مسائل سرمایه گذاری بهینه را نیز در نظر می گیرد. علاوه بر این، محبوبیت در نظر گرفتن بیمه اتکایی و هم سرمایه گذاری در سال های اخیر رو به افزایش بوده است.
رویکردهای اصلی در این میان، تئوری کنترل تصادفی و روش های مربوطه است. برای مثال، براون (1995) را ببینید که مدلی را در نظر می گیرد که روند مازاد در آن توسط یک حرکت براونی با رانش5 مدل سازی می شود، روند قیمت دارایی پر ریسک توسط حرکت هندسی براونی توصیف می شود و استراتژی سرمایه گذاری بهینه برای به حداقل رساندن احتمال ورشکستگی به دست آمد. یانگ و ژانگ (2005) مسئله مشابه سرمایه گذاری بهینه را با روند جهش-انتشار برای بیمه گری را مطالعه می کنند که کاربرد مدل نمایی ثروت نهایی مورد انتظار را به حداکثر می رساند یا احتمال بقا را به حداکثر می رساند. برای دیگر آثار مرتبط، خواننده را به Taksar و Markussen (2003)، ژو و همکاران (2008)، کائو و وان (2009)، چن و همکاران (2010)، بای و گوا (2008) و گو و همکاران (2010) و منابع موجود در آنها ارجاع می دهیم.
بسیاری از نویسندگان نیز بر اساس معیار میانگین-واریانس، مسائل سرمایه گذاری و بیمه اتکایی بهینه را برای بیمه گران در نظر گرفتند. مشخص است که روش میانگین-واریانس پیشنهادشده توسط مارکوویتز (1952) به عنوان اساس تئوری مالی مدرن مشاهده می شود و به معنای واقعی کلمه الهام بخش صدها بسط و کاربرد بوده اند. در این میان، لی و پوکر (2000) یک روش تعبیه ای جهت تغییر اساسی مسئله میانگین ​واریانس را به مسئله کنترل LQ تصادفی در یک محیط گسسته زمانی6 بسط دادند. و ژو و لی (2000) این تکنیک را به مورد پیوسته زمانی7 با استفاده از یک روش کنترل خطی-درجه دوم تصادفی نامحدود بسط داد. علاوه بر این، تحت معیار میانگین-واریانس، انتخاب سهام8 بهینه برای بیمه گران، علاقه و توجه ای افزایشی را در سال های اخیر به خود جلب کرده است. به عنوان مثال، Bäuerle (2005) مسئله بیمه اتکایی بهینه متناسب تحت معیار میانگین-واریانس را در نظر می گیرد که در آن فرض می کند که روند مازاد بیمه گر توسط مدل Cramer-Lundberg (C – L) یک بیمه گر توصیف می شود و این مسئله را با اتخاذ روش های کنترل تصادفی حل می کند. در مورد این موضوع، می توانیم دلونگ و جرارد (2007)، بای و ژانگ (2008)، زنگ و همکاران (2011)، زنگ و همکاران (2012) و غیره را ببینیم.
همان طور که میدانیم، مسئله سرمایه گذاری و بیمه اتکایی بهینه تحت معیار میانگین-واریانس در یک چارچوب پیوسته زمانی چند دوره ای به معنایی که مطابق با اصل بهینگی بلمن نیست، بی ثبات هستند. بی ثباتی زمانی به دلیل شکست ویژگی انتظارات تکرارشده9 برای اهداف میانگین-واریانس است. ازاین رو، روش برنامه نویسی پویا را نمی توان به راحتی اعمال کرد و حتی وقتی که کسی به "بهینه" اشاره می کنند، دقیقاً نمی دانیم به چه معنی است. در تمام آثار ذکرشده در بالا، نویسندگان تنها مسئله پیش-متعهد10 را مورد مطالعه قراردادند، پیش-متعهد بدان معنی است که اگر تصمیم گیرندگان در زمان 0= t می توانند خود را متعهد کنند، می توانند استراتژی که در ابتدا بهینه است را انتخاب کنند و خود را مقید به پیروی از آن کنند، هر چند در آینده آن را به همان اندازه بهینه نبینند.
یکی دیگر از راه های کنترل بی ثباتی زمانی، مطالعه مسئله در درون یک چارچوب نظریه بازی هااست. Strotz (1955) زمانی برای اولین بار به طور رسمی به مفهوم بی ثباتی پرداخت که رفتار بی ثبات به شکل پویایی برای اولین بار به شکل تحلیلی رسمیت یافت. متونی مشابه با آن وجود دارد، به عنوان مثال، پلگ و مناهم (1973) در مورد انتخاب مصرف کننده با ترجیحات بی ثباتی زمانی بحث می کنند. کارهای بیشتری در پولاک (1968)، گلدمن (1980)، هریس و Laibson (2001)، Krusell و اسمیت (2003)، وانگ و فورسیت (2011) و Kryger و استفنسن (2010) ارائه شده است.
به تازگی مسئله بی ثباتی دوباره توجه زیادی به خود جلب کرده است. به تازگی برای مسائل سرمایه گذاری و مصرف بهینه با کاهش غیر نمایی11 از دیدگاه نظریه بازی ها توسط Ekeland و Lazrak (2006)، Ekeland و Pirvu (2007) و Ekeland و همکاران مورد مطالعه قرارگرفته است. (2012) بساک و Chabakauri (2010) تخصیص دارایی میانگین-واریانس پویا را مطالعه کرده و استراتژی ثابت رویهی را با رویکرد نظریه بازی ها به دست می آورند. "فرضیه کلی مسائل کنترل تصادفی بی ثبات مارکوویان12" برای اشکال مختلف عملکردهای بی ثبات هدف در یک محیط مارکوویانی توسط Björk و Murgoci (2009) توسعه یافت، در این چارچوب نویسندگان بسطی از معادله برنامه نویسی استاندارد پویا به صورت یک سیستم معادلات را به دست می آورند. به خصوص، Björk و همکاران (2012) به دقت مسائل میانگین-​​واریانس را با ریسک گریزی وابسته به حالت مطالعه کردند، به منظور داشتن مدلی واقعی تر، فرض می کنند که ریسک گریزی به صورت پویایی بستگی به ثروت جاری دارد و نتایج نشان می دهد که راه حل بهینه در واقع از لحاظ اقتصادی مناسب است.
تا آنجا که می دانیم، کار کمی در متون استراتژی ثابت رویه برای مسائل سرمایه گذاری و بیمه اتکایی بهینه تحت معیار میانگین-واریانس ​​وجود دارد. فقط زنگ و لی (2011) استراتژی های سرمایه گذاری و بیمه اتکایی را برای بیمه گران تحت معیار میانگین-واریانس با مدل بلک-شولز را در نظر می گیرند، لی و همکاران (2012) استراتژی سرمایه گذاری و بیمه اتکایی بهینه ثابت رویه را برای یک بیمه گر تحت مدل نوسانات13 تصادفی هستون14 ​​در نظر می گیرد، و زنگ و همکاران (2013) مسائل سرمایه گذاری و بیمه اتکایی بهینه را مطالعه می کنند که جهش هایی را برای بیمه گران میانگین-واریانس شامل می شود.
بااین حال، آنها مسائلی را با ریسک گریزی مداوم در تمام آن مقالات در نظر می گیرند. فرض یک پارامتر ریسک گریزی مداوم منجر به کنترل تعادل می شود. به خصوص، مقدار دلار سرمایه گذاری شده در دارایی های پر ریسک، مستقل از ثروت جاری است و استدلال می کنیم که این نتیجه از نظر اقتصادی غیر واقعی است. ترجیح ریسک شخص قطعاً بستگی به ثروتش دارد: نکته واضح این است که ترجیح ریسک باید با افزایش ثروت، کاهش یابد بنابراین یک فرد با ثروت اولیه 100 دلار باید مقدار ریسک گریزی بسیار بیشتری از فردی با ثروت اولیه 100 میلیون دلار داشته باشد. در واقع، رابطه بین ریسک گریزی و ثروت، مدت هاست که در دستور کار تحقیقات مالی تجربی و اقتصاد قرار گرفته است. به منظور داشتن مدلی واقعی تر، ما این مورد را زمانی مطالعه می کنیم که پارامتر ریسک گریزی به صورت پویایی به ثروت جاری بستگی داشته باشد. البته، مسئله تحت این محیط، چالش برانگیز تر و مشکل تر است.
در این مقاله، به منظور معقول و منطقی بودن از لحاظ اقتصادی، استراتژی های ثابت رویه و بهینه یک بیمه گر را تحت معیار میانگین​​ واریانس با ریسک گریزی وابسته به حالت مطالعه می کنیم. به طور خاص، به ترتیب یک مسئله سرمایه گذاری-بیمه اتکایی و یک مسئله صرفاً سرمایه گذاری را در نظر می گیریم. (در واقع، مسئله صرفاً سرمایه گذاری را می توان به عنوان موردی خاص از مسئله سرمایه گذاری – بیمه اتکایی در نظر گرفت) در هر دو مسئله، روند مازاد بیمه گر توسط یک مدل تخمین انتشار، مدل سازی می شود و بازار مالی متشکل از یک دارایی بدون ریسک و چند دارایی پر ریسک است که از روندهای قیمت با حرکات هندسی براونی پیروی می کند. با استفاده از روش توسعه یافته توسط Björk و Murgoci (2009)، استراتژی های ثابت رویه و بهینه برای هر دو مسئله با استفاده از بسطی متناظر با معادله ژاکوبی- بلمن- همیلتون به دست می آیند. این نتیجه اصلی مقاله است، نتیجه نشان می دهد که استراتژی های سرمایه گذاری و بیمه اتکایی ثابت رویه و بهینه وابسته به ثروت جاری هستند. به نظر ما، این مورد مناسب تر از موردی با ریسک گریزی مداوم است.
بقیه مقاله به شرح زیر است. در بخش 2، این مدل و برخی از پیش فرض های ضروری را توضیح می دهیم. بخش 3 مسائلی درون چارچوب نظریه بازی ها را فرموله می کند. در بخش 4، یک مسئله سرمایه گذاری و بیمه اتکایی و یک مسئله صرفاً سرمایه گذاری با ریسک گریزی وابسته به حالت را مطالعه می کنیم و راه حل های صریح و روشنی برای این دو مسئله بدست می آوریم. در بخش 5، موردی خاص از مدلمان را ارائه می کنیم، نتایج این مورد خاص مانند Björk و همکاران (2012) است. در بخش 6، نتایجمان را با زنگ و لی (2011) در مورد ریسک گریزی مداوم مقایسه می کنیم. در بخش 7، نتایج عددی و نمودارهایی برای نشان دادن نتایجمان را ارائه می کنیم. در نهایت، بخش 8، این مقاله را نتیجه گیری می کند و پیوست هایی برای اثبات برخی نتایج در این مقاله اختصاص داده شده است.

2. مدل
فرض کنیم (Ω، F، P) یک فضای احتمالاً مجهز به فیلترینگ15 است که شرایط معمول را برآورد می کند، یعنی، ، راست مستمر16 و P-کامل است، که در آن T، ثابت محدود مثبت است که افق زمانی را نشان می دهد. فرض کنید که تمام روندهای تصادفی و متغیرهای تصادفی در فضای احتمالی فیلترشده (Ω، F، F، P) تعریف می شوند. علاوه بر این، فرض می کنیم که هیچ هزینه تراکنش و یا مالیاتی در بازار مالی یا بازار بیمه وجود ندارد و تجارت به طور مداوم رخ می دهد.

2.1. روند مازاد17
در این مقاله با یک مدل انتشار تقریبی از روند مازاد کار می کنیم، فرض می کنیم که بدون بیمه اتکایی، پویایی مازاد بیمه گر به شرح زیر توصیف می شود

که در آن نشان دهنده نرخ بازده مازاد18 بیمه گر است. را می توان به عنوان تغییرپذیری مازاد بیمه گر در نظر گرفت؛ یک حرکت براونی استاندارد تک بعدی است. مدل انتشار، تخمین مدل کلاسیک کرامر- لوندبرگ توسط Grandll (1991) است، تخمین انتشار19 (DA) برای روند مازاد، تاثیر خوبی در سهام های بزرگ بیمه دارد، که در آن مطالبهی فردی در مقایسه با حجم مازاد نسبتاً کوچک است. برای استخراج دقیق از مدل DA، می توانیم به Grandll (1991) اشاره کنیم.
فرض می کنیم که بیمه گر می تواند به منظور کنترل ریسک کسب وکار بیمه، در هر لحظه بیمه اتکایی متناسب را خریداری کند یا کسب وکار جدیدی را به دست آورد (به عنوان مثال، عمل به عنوان یک بیمه گر اتکایی دیگر بیمه گران، نگاه کنید به Bäuerle، 2005). برای هر ، سطح متناسب بیمه اتکایی/کسب وکار جدید، با مقدار قرار گرفتن در معرض ریسک مشخص می شود. هنگامی که ، مطابق با یک پوشش بیمه اتکایی متناسب باشد؛ در این مورد، بیمه گر اتکایی20 باید بخشی از مازاد بها را به بیمه گر اتکایی با نرخ هدایت21 کند که در آن را می توان به عنوان حق نرخ بازده مازاد بیمه گر اتکایی در نظر گرفت؛ در عین حال، بیمه گر پرداخت می کند درحالی که بیمه گر بقیه را برای هر مطالبه می پردازد که در زمان t رخ می دهد. اگر ، بیمه اتکایی متناسب، ارزان نامیده م شود، در غیر این صورت، غیرارزان نامیده می شود. هنگامی که یک ، مطابق با به دست آوردن کسب وکار جدید است. روند قرار گرفتن در معرض ریسک ، که استراتژی بیمه اتکایی نامیده می شود، و پویایی DA برای روند مازاد مرتبط با چنین استراتژی بیمه اتکایی ، به شکل زیر می شود:

2.2. بازار مالی
فرض کنید که بیمه گر مجاز به سرمایه گذاری مازاد ش در یک بازار مالی متشکل از یک دارایی بدون ریسک (اوراق قرضه22 یا حساب بانکی) باشد و n دارایی پر ریسک (سهام یا بودجه ی متقابل23) است. به طور خاص، روند قیمت دارایی بدون ریسک به شرح زیر ارائه می شود.

که در آن یک ثابت مثبت است و نشان دهنده نرخ بدون ریسک است. و روند قیمت دارایی های پر ریسک از حرکت براونی هندسی پیروی می کند.

که در آن نرخ ترقی24 است و ضریب نوسانات است که همگی، ثابت مثبت هستند؛ ، یک حرکت براونی استاندارد m-بعدی است. فرض کنید که روند مستقل از روند باشد. با توجه به ، فرض می کنیم که شرایط غیر تنزلی25 برآورده می شود، که در آن ، یک ثابت فرضی است، I ماتریس هویت است و در اینجا است.

2.3. روند ثروت
فرض می کنیم که در بازار مالی و بازار بیمه، (الف) معاملات مستمر مجاز هستند، (ب) هیچ هزینه تراکنش و یا مالیاتی در معامله وجود ندارد، و (ج) دارایی ها به طور بی نهایت بخش پذیر هستند. یک استراتژی π توسط روندهای تصادفی توصیف می شود و نشان دهنده مقدار دلار سرمایه گذاری شده در دارایی پر ریسک i ام در زمان t و مطابق با مقدار قرار گیری در معرض خطر در زمان t است. مقدار دلار سرمایه گذاری شده در دارایی بدون ریسک در زمان t بنابراین که در آن پس از آن روند ثروت مطابق، تحت استراتژی π است. فرض می کنیم که ثروت اولیه بیمه گر است. پس پویایی به شرح زیر است:

که در آن و ، بردار بازده مازاد است و برای راحتی، به شکل نشان می دهیم.

تعریف 2.1: گفته می شود استراتژی مجاز است اگر شرایط زیر را برآورده کند:
(الف) روندهای تصادفی است به تدریج قابل اندازه گیری و، :
(ب) ؛
(ج) معادله تصادفی متفاوت (2.5)، یک راه حل منحصربه فرد دارد .

علاوه بر این، ما با Π، مجموعه ای از تمام سیاست های مجاز را نشان می دهیم و .

3. فرمول بندی مسائل
در این بخش، ما مسئله را درون یک چارچوب نظریه بازی ها که توسط Björk و Murgoci (2009) توسعه یافته را تدوین و فرموله می کنیم. ما یک مسئله بهینه سازی را برای بیمه گر در نظر می گیریم، که برای به حداکثر رساندن استفاده از ثروت نهایی است، که در آن، کاربرد به شکل از میانگین ​​واریانس است، به عنوان مثال، مسئله بهینه سازی که ما برای به حداکثر رساندن آن، فرمول زیر را در نظر می گیریم.

که در آن
یک پارامتر ریسک گریزی وابسته به حالت بیمه گر است. در اینجا ما از تابع ریسک گریزی مانند Björk و همکاران. (2012) استفاده می کنیم که در آن نویسندگان دو روش هدایت به انتخاب یکسان (x)γ ارائه می کنند. مانند دلیل این انتخاب از (x)γ، می توانیم بحث مفصلی در Björk و همکاران ببینیم (2012).
بااین حال، مسائل توضیح داده شده در بالا، بی ثبات ظاهر می شوند به این معنا که اصل بهینگی بلمن برقرار نخواهد بود، که به طور دقیق تر می گوید اگر برای یک نقطه اولیه ثابت ، استراتژی π را تعیین می کنیم که را به حداکثر می رساند، سپس در نقطه ی دیگری قانون کنترل π دیگر برای عملکردی، بهینه نخواهد بود. برای بحث مفصل تر، Björk و Murgoci (2009) را ببینید. به دلیل ثبات زمانی، هم مسائل مفهومی داریم و هم محاسباتی. از لحاظ مفهومی مبهم است که منظورمان از "بهینگی"26 چیست و حتی مبهم تر اینکه منظورمان از "یک استراتژی کنترل بهینه" چیست. از سوی دیگر، حتی با تعریف دقیق خاص از بهینگی، ازآنجاکه برنامه نویسی پویا دیگر در دسترس نیست،س یک مسئله محاسباتی نیز داریم.
بنابراین اولین وظیفه ما این است که دقیق تر مشخص کنیم که در حال تلاش برای حل چه مشکلی هستیم. راه های مختلف کنترل مجموعه مسائل بی ثباتی وجود دارد، مانند پیش تعهد، یعنی، ما یک نقطه اولیه را ثابت می کنیم، به عنوان مثال مانند و سپس اقدام به یافتن استراتژی کنترل می کنیم که را به حداکثر می رساند. سپس به سادگی زمانی در آینده آن را در نظر می گیریم، به طوری که استراتژی کنترل نیز برای عملکرد بهینه خواهد بود.
راه دیگر این است که ما بی ثباتی زمانی را جدی بگیریم و بدون سازوکار پیش تعهد، مسئله را از لحاظ نظریه بازی ها فرموله کنیم که محاسبه استراتژی کنترل ثابت رویه و بهینه را ممکن می کند. در این مقاله ما به این مسائل در چارچوب نظریه بازی ها حمله می کنیم که استراتژی ثابت رویه را مانند Björk و Murgoci (2009) و Björk و همکاران (2012) در نظر بگیریم.
به پیروی از Björk و Murgoci (2009)، دو مسئله بهینه سازی، یک مسئله سرمایه گذاری – بیمه اتکایی و یک مسئله صرفاً سرمایه گذاری را که به ترتیب با (P) و (* P) مشخص شده اند را تحت معیار میانگین-واریانس با ریسک گریزی وابسته به حالت در نظر می گیریم. برای یک نقطه اولیه ثابت (t، x)، تابعی را در نظر می گیریم به شکل:

که در آن است.
ابتدا تعریف زیر را ارائه می کنیم که از Björk و Murgoci (2009) است.

تعریف 3.1: می گوییم که یک کنترل مجاز ، یک قانون کنترل تعادل است اگر برای تمام داده شده، و ،
باشد
که در آن قانون کنترل با:

تابع مقدار تعادل V، به شرح زیر تعیین می شود:

با توجه به تعریف فوق، استراتژی تعادل، ثابت است، در نتیجه استراتژی تعادل، استراتژی بهینه ثابت رویه نامیده می شود. بنابراین، فرض می کنیم که هدف بیمه گر، سافتن یک استراتژی تعادل و تابع مقدار تعادل متناظر است.
برای راحتی، می توانیم تابع پاداش (3.1) را به شرح زیر بنویسیم

با

هدف ما، یافتن یک استراتژی تعادل است و تابع مقدار تعادل متناظر برای هر است، یعنی

که در آن مجموعه های سیاست های مجاز هستند، Π به ترتیب برای هر مسئله سرمایه گذاری- بیمه اتکایی (P) و *Π برای مسئله صرفاً سرمایه گذاری (*P) است.
اکنون فرض کنیم که یک استراتژی کنترل تعادل وجود دارد و ما بسط معادله استاندارد هامیلتون-ژاکوبی-بلمن (زین پس HJB) را برای مشخص سازی تابع مقدار متناظر V و استراتژی تعادل متناظر تعریف می کنیم. مولد27 بسخرد معمول به شرح زیر تعیین می شود:

برای هر تابع ارزش واقعی (t، x) φ، و برای هر ثابت رویه.

تعریف 3.2. سیستم معادلات توسعه یافته HJB برای مسئله تعادل نش28 به شرح زیر تعیین می شود.

در اینجا ، استراتژی کنترل است که حد بالایی29 را در معادله ی اول برآورده می کند، به شرح زیر تعیین می شود:

نظر 3.1: توجه داشته باشید که:
• یک سیستم معادلات بازگشت30 قطعی31 برای تعیین همزمان داریم.
• تفاسیر احتمالی زیر را داریم

حال، قضیه اثبات32 Björk و Murgoci (2009) را بازگو می کنیم.

قضیه 3.1: (قضیه اثبات). فرض کنید که (V، f، g) راه حلی از سیستم توسعه یافته در تعریف 3.2 است و این که استراتژی کنترل حد بالای در معادله را برآورده نمی کند. پس یک استراتژی تعادل است و V تابع مقدار متناظر است.

4. راه حل مسئله میانگین-واریانس با ریسک گریزی وابسته به حالت
در این بخش به ترتیب مسئله بیمه اتکایی- سرمایه گذاری (P) و مسئله صرفاً سرمایه گذاری (*P) را تحت معیار میانگین-واریانس با ریسک گریزی وابسته به حالت حل می کنیم، یعنی، تابع پاداش بیمه گر به شرح زیر داده می شود.

که در آن . هدف بیمه گر، پیدا کردن استراتژی تعادل یا استراتژی بهینه ثابت رویه
، و تابع مقدار تعادل است به طوری که

که در آن مجموعه های استراتژی های مجاز، به ترتیب برای مسئله (P)، Π می باشند و برای مسئله (*P)، *Π. همان طور که در بخش 3 نشان داده شد، برای این پرسش ها، تابع پاداش (4.1) فوق را می توان به شرح زیر نوشت:

با

4.1. راه حل مسئله سرمایه گذاری-بیمه اتکایی
اکنون مسئله بیمه اتکایی-سرمایه گذاری (P) را با توجه به نظریه کلی بخش 3 در نظر می گیریم، برای عملکرد هدف (4.1)، سیستم HJB بالا را ساده می کنیم.
در مرحله اول، اشاره می کنیم که

و تفاسیر احتمالی را به یاد می آوریم

از اینها به مورد زیر می رسیم:

پس از مقدار زیادی محاسبات ابتدایی، نتیجه زیر داده می شود (بسط را برای جزئیات بیشتر مشاهده کنید).

گزاره 4.1: با توضیحات بالا، سیستم HJB توسعه یافته، شکل زیر را به خود می گیرد:

و استراتژی بهینه ثابترویه به شکل زیر داده می شود:

نکته در (4.3)، مشتقات جزئی f و g را باید به ترتیب در (t، x، x) و (t، x) ارزیابی کرد.

قضیه 4.1 برای مسئله سرمایه گذاری-بیمه اتکایی (P)، استراتژی بهینه ثابت رویه به شرح زیر داده می شود:

که در آن معادلات انتگرال33 را برآورده می کنند:

اثبات. پیوست را ببینید
سپس، معادلات انتگرال را اثبات می کنیم (4.11) – (4.8)، یک راه حل منحصربه فرد جهانی دارد. فرض می کنیم که ، همچنین فرض می کنیم که است که از لحاظ اقتصادی مناسب است. نماد ، دلالت بر فضای توابع پیوسته در می کند که دارای قاعده حد بالا34 است، نماد ، دلالت بر فضای توابع بردار پیوسته n-بعدی در دارد که هر جزئی دارای قاعده حد بالا است. در اینجا از هم برای نشان دادن استفاده می کنیم و هم ، و هیچ مطلب درهم پیچیده ای در متن وجود ندارد.
قضیه 4.2: معادلات انتگرال (4.11) – (4.8) راه حل منحصربه فرد را می پذیرند.
اثبات: در مرحله اول، نشان می دهیم (4.8)، (4.9) راه حل منحصربه فرد را می پذیرند. آن را با روشی مشابه با Björk و همکاران. (2012) اثبات می کنیم.

دنباله ی را به شرح زیر می سازیم:

که در (4.13)، "1" نشان دهنده بردار n-بعدی ، است. سپس نشان خواهیم داد که این دنباله در نقطه ی تلاقی می یابد35، و این امر به سه مرحله تقسیم خواهد شد.

• الف: ثابت کنید که به طور یکنواخت در کراندار36 هستند.
با توجه به اینکه ، داریم:

برای همه . با استفاده از این، هم چنین به دست می آوریم:

بنابراین داریم:

* ب: ثابت کنید که در به طور یکنواخت در کراندار هستند.

از (4.14) و (4.15) آشکار است که و برای تمام i به طور مداوم تشخیص پذیر37 است و به دست می آوریم:

ازآنجاکه ثابت می شود که به طور یکنواخت کراندار هستند، نتیجه می گیریم که به طور یکنواخت کراندار هستند.

* ج: وجود و یگانگی38 را برای c1 و c2 اثبات کنید.
برای هر و با استفاده از نتایج مرحله 2، به دست می آوریم:

که M1 یک ثابت مستقل از i است و M2 یک ثابت بردای n-بعدی مستقل از i است. و ازآنجاکه دنباله های و هر دو همپیوسته39 هستند و ازآنجاکه قبلاً کرانداری40 یکنواخت را اثبات کردیم، قضیه Arzela-Ascoli به این معنی است که و وجود دارند و دنباله ی و وجود دارد، به طوری که به ترتیب و . گرفتن حدهای در (4.14) و (4.15) به ترتیب، نشان می دهد که c1 و c2، به ترتیب، راه حل (4.8) و (4.9) هستند.

برای اثبات یگانگی، فرض کنید که c1 و دو راه حل برای (4.8) هستند. با توجه به اینکه c1 و هر دو کراندار هستند و اینکه تابع به شکل جهانی در هر مجموعه کراندار Lipschitz است، به راحتی می توانیم نشان دهیم که

اکنون نابرابری Gronwall به این معنی است که . اثبات یگانگی c2، مشابه است.
حال، به (4.10) و (4.11) بر می گردیم. توجه داشته باشید که (4.10) و (4.11)، معادلات انتگرال خطی با توجه به 1k و 2k است، با توجه به نظریه معادلات استاندارد خطی انتگرال (و یا دیفرانسیل41) (Coddington و کارلسون، 1997)، می دانیم که (4.10) و (4.11) یک راه حل منحصربه فرد جهانی با قضیه نقطه ثابت یا روش تکرار پیکارد42 دارد.

نظر 4.1: از اثبات فوق، برای هر دنباله از یا ، دنباله دیگری وجود دارد که با تابع یکسان c1 و c2 تلاقی می یابد (که راه حلی (4.8) و (4.9) است). بنابراین یا خود با c1 و c2 تلاقی می یابند. بعلاوه، این، الگوریتمی عددی برای تعیین c1 و c2 ارائه می کند. می توانیم طرح بازگشت43 (4.15) – (4.12) را به شکل عددی اجرا کنیم. علاوه بر این، یک طرح تکرار مشابه نیز برای محاسبه c1 و c2 به شکل عددی داریم. این طرح تکرار به صورت زیر تعیین می شود.

4.2. راه حل مسئله صرفاً سرمایه گذاری
در این بخش، بهینه سازی مسئله صرفاً سرمایه گذاری را در نظر می گیریم (*P). در این مسئله، بیمه گر نه بیمه اتکایی می خرد و نه کسب وکار جدیدی به دست می آورد، یعنی، مقدار بودن در معرض خطر برای همه است و مجموعه ی تمام استراتژی های مجاز، *Π است. هنگامی که یک استراتژی مجاز اتخاذ می شود، پویایی روند ثروت به شرح زیر داده می شود:

مشابه با گزاره 4. 1 در بخش قبلی، برای مسئله صرفاً سرمایه گذاری، می توانیم استراتژی سرمایه گذاری ثابت رویه و بهینه را که به شرح زیر توصیف شده است را استخراج کنیم:

علاوه بر این، نتیجه زیر را داریم،

قضیه 4.3: برای مسئله صرفاً سرمایه گذاری (*P)، استراتژی ثابت رویه و بهینه به شرح زیر داده می شود:

که در آن ، و معادلات انتگرال را برآورده می کنند:

اثبات. پیوست را ببینید.
می توانیم روشی مشابه را برای اثبات معادلات انتگرال (4.29) – (4.28) اتخاذ کنیم، یک راه حل منحصربه فرد جهانی دارد که در اینجا آن را حذف می کنیم.

نظر 4.2 در واقع، مسئله صرفاً سرمایه گذاری، مورد خاصی از مسئله سرمایه گذاری- بیمه اتکایی است. بنابراین ما به طور مستقیم نیز می توانیم استراتژی ثابت رویه و بهینه مسئله صرفاً سرمایه گذاری را از مسئله استراتژی سرمایه گذاری – بیمه اتکایی استخراج کنیم.

5. مورد ویژه
در این بخش، مورد خاصی از مدل را در نظر می گیریم. نتایج مدلمان، به مورد ویژه زیر کاهش می یابد. فرض کنید که حال ما تنها سرمایه گذاری را در بازاری متشکل از یک دارایی بدون ریسک (اوراق قرضه و یا حساب بانکی) و یک دارایی پر ریسک (سهام یا بودجه ی متقابل) را در نظر داریم. به طور خاص، روند قیمت دارایی بدون ریسک به شرح زیر داده می شود:

که در آن یک ثابت مثبت است و نشان دهنده نرخ بدون ریسک است. و روند قیمت دارایی پر ریسک، از حرکت براونی هندسی پیروی می کند:

که در آن میزان افزایش بها و σ ضریب نوسانات است که ثابت مثبت است. (t)W یک حرکت براونی استاندارد 1-بعدی است. مبنی بر مقدار دلار سرمایه گذاری شده در دارایی های پر ریسک در زمان t با π است و سپس روند ثروت تحت استراتژی π به شرح زیر است:

که در آن بازگشت بیش ازحد است و برای راحتی، دلالت بر می کنیم. در مقایسه با (2.5)، این است که همه از میان می روند44. در این مورد، استراتژی سرمایه گذاری ثابت رویه و بهینه ، که در (4.7) داده شده، به شرح زیر تغییر می کند.

علاوه بر این، از قضیه 4.1، استراتژی ثابت رویه و بهینه به شرح زیر داده می شود:

که در آن و معادلات انتگرال را برآورده می کنند:

می یابیم که ، راه حل منحصربه فرد برای معادله بالا است، لذا استراتژی ثابت رویه و بهینه به شرح زیر است:

نتایج در این مورد مانند Björk و همکاران(2012) می باشند. به یک معنا، ما نتایج حاصل از Björk و همکاران (2012) را بسط می دهیم و نیز به طور غیرمستقیم نشان می دهیک که نتایج ما درست هستند.

6. مقایسه این مورد با ریسک گریزی ثابت رویه
در این بخش، نتایجمان را با نتایج زنگ و لی (2011) در مورد استراتژی های سرمایه گذاری-بیمه اتکایی بهینه ثابت رویه با ریسک گریزی ثابت رویه مقایسه می کنیم. سپس خواهیم یافت که از لحاظ اقتصادی، منطقی نیست.
این مسئله و تنظیم مدل، همانند مسئله ما در فوق است، اما ضریب ریسک گریزی، یک ثابت است. یعنی، پویایی حالت به شرح زیر داده می شود.

و پاداش کار بیمه گر به شرح زیر داده می شود:

گزاره 6.1 (زنگ و لی، 2011). با توضیحات فوق، نتایج زیر را برای مدلمان در فوق داریم.
(1) برای مسئله سرمایه گذاری- بیمه اتکایی، استراتژی تعادل به شرح زیر داده می شود:

(2) برای مسئله صرفاً سرمایه گذاری، استراتژی تعادل به شکل زیر داده می شود:

ازنقطه نظر اقتصادی، فکر می کنیم که راه حل ثابت رویه و بهینه در بالا، از لحاظ اقتصادی غیرمعقول است، ازآنجاکه استراتژی های ثابت رویه و بهینه مستقل از ثروت جاری X برای هر دو مسئله سرمایه گذاری- بیمه های اتکایی و مسئله صرفاً سرمایه گذاری هستند.
به خاطر داریم که تفسیر استراتژی a، مقدار قرار گرفتن در معرض ریسک برای بیمه اتکایی متناسب/سطح کسب وکار جدید است و b، مقدار دلاری است که در دارایی های پر ریسک در زمان t سرمایه گذاری می شود. نتیجه نشان می دهد که بیمه گر، بیمه ی اتکایی یکسانی را می خرد و یا کسب وکار جدید به دست می آورد اگر ثروتش 10 هزار دلار باشد، و همین کار را می کند اگر ثروتش 1 میلیون دلار باشد. و مورد مشابه این است که بیمه گر، تعداد دلار یکسانی را در بازار سهام سرمایه گذاری اگر ثروتش 10 هزار دلار باشد، و همین کار را می کند اگر ثروتش 1 میلیون دلار باشد. با این بیان، روشن است که استراتژی تعادل از لحاظ اقتصادی غیرمعقول است. این امر نیز نشان می دهد که این مسئله ریسک گریزی وابسته به حالتی که در نظر گرفتیم، ضروری است.

7. نتایج عددی
در این بخش، نمونه ای عددی را برای نشان دادن نتایجمان فراهم می کنیم. بدون از دست دادن کلیّت، فقط یک دارایی پر ریسک را در نظر می گیریم و تمام پارامترهای بازار مالی، ثابت هستند. در تجزیه وتحلیل عددی، از مقادیر پارامتری استفاده کرده ایم: ، σ0 ، ، ، ، . ( در میان این پارامترها، و همانند Björk و همکاران (2012) می باشند.
شکل 1و 2، توابع و برای گزینه های مختلف γ با T = 1 هستند. شکل 1، تابع را برای با T = 1 نشان می دهد. شکل 2 تابع را برای با T = 1 را نشان می دهد.
شکل 3 و 4، توابع و برای گزینه های مختلف γ با افق های زمانی T = 5 هستند. شکل 3 که تابع را برای T = 5 با نشان می دهد. شکل 4 تابع برای T = 5 با را نشان می دهد.

8. نتیجه گیری
در این مقاله، استراتژی های ثابت رویه و بهینه یک بیمه گر را تحت ریسک گریزی وابسته به حالت معیار میانگین-واریانس در چارچوب نظریه بازی ها مورد مطالعه قراردادیم. به طور خاص، ما بر مسئله سرمایه گذاری-بیمه اتکایی تمرکز می کنیم. با اتخاذ رویکرد توسعه یافته در Björk و Murgoci (2009)، استراتژی های سرمایه گذاری و بیمه اتکایی ثابت رویه را با بسط متناظر معادله همیلتن-ژاکوبی-بلمن گرفتیم. در مقایسه با زنگ و لی (2011) و لی و همکاران (2012)، به منظور واقعی تر کردن مدل، فرض کردیم که پارامتر ریسک گریزی به صورت پویایی بستگی به ثروت جاری دارد، به جای یک پارامتر ریسک گریزی ثابت رویه. و در نتیجه نشان می دهیم که البته ازنقطه نظر اقتصادی، معقول تر است. علاوه بر این، به عنوان یک مورد خاص مسئله سرمایه گذاری-بیمه اتکایی، یک مسئله صرفاً سرمایه گذاری مورد بحث قرارگرفته و استراتژی های سرمایه گذاری ثابت رویه از آن مشتق شده است. علاوه بر این، برخی نمایش های عددی برای نشان دادن نتایجی که به دست آورده ایم، ارائه شده است. علاوه بر این، این مقاله، مدل و نتایج حاصل از Björk و Murgoci (2009) و زنگ و لی (2011) را بسط می دهد.
در تحقیقات آینده، جالب خواهد بود که تجزیه وتحلیلمان را به برخی شرایط پیچیده تر بسط دهیم. به عنوان مثال، می توانیم مسئله سرمایه گذاری و بیمه اتکایی بهینه که در آن روند مازاد و/ یا لگاریتم روند قیمت دارایی پر ریسک، یک روند جهش-انتشار و یا روند کلی تر لوی45 را در نظر بگیریم. همچنین می توانیم از معیارهای دیگر برای اینکه مسئله سرمایه گذاری و بیمه اتکایی، بی ثبات باشد، استفاده کنیم. علاوه بر این، می توانیم مسئله سرمایه گذاری و بیمه اتکایی را در برخی محدودیت ها در نظر بگیریم، مانند محدودیت ارزشدرخطر46. البته، این مسائل پیچیده تر هستند. برای حل این گونه مسائل، نیاز به اتخاذ روش های بسیار پیچیده تری داریم.

بسط الف. اثبات گزاره 4.1
ابتدا، پویایی ثروت به شرح زیر است.

بنابراین ما داریم:

که در آن G در ارزیابی می شود و g در و

در نتیجه سیستم HJB توسعه یافته به شرح زیر است،

ملاحظه می کنیم که

به این ترتیب داریم

با f و مشتقاتش ارزیابی شده در و

سپس، با استفاده از این عبارات، معادله (A.1) به شرح زیر می شود:

و هنگامی که ، با متمایز کردن داخل کروشه بالا با توجه به a و b به ترتیب، a و b بهینه را می توان به راحتی به شکل زیر به دست آورد.

هنگامی که ، آنگاه . بنابراین، اثبات را پایان می دهیم.

بسط B. اثبات قضیه 4.1
اکنون گمان می کنیم که و از x آفین47 هستند، بنابراین حدس می زنیم که

برای برخی توابع قطعی و توابع برداری قطعی . در این مورد روند ثروت X به شرح زیر است:

پس از آن، محاسبه ای مستقیم نشان می دهد که

که

به یاد داریم که

بنابراین داریم که

و

که در آن و غیره.
واردکردن این ها به (4.6) ( 4.7 )، به ما استراتژی بهینه ثابت رویه را به شکل زیر می دهد:

بنابراین

واردکردن عبارات (B.7)- (B.4) از α، β، h، l به موارد فوق، منتج به (4.11) – (4.8) می شود.

بسط ج. اثبات قضیه 4.3
در این پاراگراف، قضیه 4.3 را اثبات می کنیم. این مطلب شبیه به اثبات قضیه 4.1 است.
همچنین گمان می کنیم که ، شکل آفینی از x است، بنابراین حدس می زنیم که

برای برخی توابع برداری قطعی . ملاحظه می کنیم که در این مورد است، بنابراین اکنون روند ثروت X به شرح زیر است:

سپس، محاسبه ای مستقیم نشان می دهد که

که در آن

به یاد داریم که

بنابراین، داریم

و

که در آن و غیره.
واردکردن این ها به (4.27)، استراتژی بهینه ثابت رویه را مانند زیر به ما می دهد:

واردکردن عبارات ا از α، β، h، l به موارد فوق، منتج به (4.29) – (4.28) می شود.

منابع
Bai, L.H., Guo, J.Y., 2008. Optimal proportional reinsurance and investment with multiple risky assets and no-shorting constraint. Insurance: Mathematics and Economics 42, 968-975.
Bai, L.H., Zhang, H.Y., 2008. Dynamic mean-variance problem with constrained risk control for the insurers. Mathematical Methods of Operations Research 68, 181-205.
Basak, S., Chabakauri, G., 2010. Dynamic mean-variance asset allocation. Review of
Financial Studies 23, 2970-3016.
Bäuerle, N., 2005. Benchmark and mean-variance problems for insurers. Mathematical Methods of Operations Research 62, 159-165.
Björk, T., Murgoci, A., 2009. A general theory of Markovian time inconsistent stochastic control problems. Working Paper, Stockholm School of Economics.
Björk, T., Murgoci, A., Zhou, X., 2012. Mean-variance portfolio optimization with state dependent risk aversion. Mathematical Finances. http://dx.doi.org/10. /1111j.1467-9965.2011.00515.x.
Browne, S., 1995. Optimal investment policies for a firm with a random risk process: exponential utility and minimizing the probability of ruin. Mathematical Methods of Operations Research 20, 937-958.
Cao, Y., Wan, N., 2009. Optimal proportional reinsurance and investment based on Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Insurance: Mathematics and Economics, 45, 157-162.
Chen, S.M., Li, Z.F., Li, K.M., 2010. Optimal investment-reinsurance for an insurance company with VaR constraint. Insurance: Mathematics and Economics 47, 144-153.
Coddington, E.A., Carlson, R., 1997. Linear Ordinary Differential Equations. Society for Industrial and Applied Mathematics.
Delong, L., Gerrard, R., 2007. Mean-variance portfolio selection for a nonlife insurance company. Mathematical Methods of Operations Research 66, 339-367.
Ekeland, I., Lazrak, A., 2006. Being serious about non-commitment: subgame perfect equilibrium in continuous time. University of British Columbia. Preprint.
Ekeland, I., Mbodji, O., Pirvu, T., 2012. Time-consistent portfolio management. SIAM Journal on Financial Mathematics 3, 1-32.
Ekeland, I., Pirvu, T., 2007. Investment and consumption without commitment. University of British Columbia. Preprint.
Goldman, S., 1980. Consistent plans. Review of Economic Studies 47, 533-537.
Grandll, J., 1991. Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag, New York.
Gu, M.D., Yang, Y.P., Li, S.D., Zhang, J.Y., 2010. Constant elasticity of variance model for proportional reinsurance and investment strategies. Insurance: Mathematics and Economics 46 (3), 580-587.
Harris, C., Laibson, D., 2001. Dynamic choices of hyperbolic consumers. Econometrica 69 (4), 935-957.
Krusell, P., Smith, A., 2003. Consumption and savings decisions with quasigeometric discounting. Econometrica 71, 366-375.
Kryger, E.M., Steffensen, M., 2010. Some solvable portfolio problems with quadratic and collective objectives. Working Paper.
Li, D., Ng, W., 2000. Optimal dynamic portfolio selection: multi-period mean-variance formulation. Mathematical Finance 10, 387-406.
Li, Z.F., Zeng, Y., Lai, Y.Z., 2012. Optimal time-consistent investment and reinsurance strategies for insurers under Heston's SV model. Insurance: Mathematics and Economics 51, 191-203.
Markowitz, H., 1952. Portfolio selection. Journal of Finance 7, 77-98.
Peleg, B., Menahem, E., 1973. On the existence of a consistent course of action when tastes are changing. Review of Economic Studies 40, 391-401.
Pollak, R., 1968. Consistent planning. Review of Economic Studies 35, 185-199.
Strotz, R., 1955. Myopia and inconsistency in dynamic utility maximization. Review of Economic Studies 23, 165-180.
Taksar, M.I., Markussen, C., 2003. Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios. Finance and Stochastics 7, 97-121.
Wang, J., Forsyth, P.A., 2011. Continuous time mean variance asset allocation: a time-consistent strategy. European Journal of Operational Research 209, 184-201.
Xu, L., Wang, R.M., Yao, D.J., 2008. On maximizing the expected terminal utility by investment and reinsurance. Journal of Industrial and Management Optimization 4 (4), 801-815.
Yang, H.L., Zhang, L.H., 2005. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process. Insurance: Mathematics and Economics 37 (3), 615-634.
Zeng, Y., Li, Z.F., 2011. Optimal time-consistent investment and reinsurance policies for mean-variance insurers. Insurance: Mathematics and Economics, 49, 145-154.
Zeng, Y., Li, Z.F., 2012. Optimal reinsurance-investment strategies for insurers under mean-CaR criteria. Journal of Industrial and Management Optimization 8 (3),
673-690.
Zeng, Y., Li, Z.F., Lai, Y.Z., 2013. Time-consistent investment and reinsurance strategies for mean-variance insurers with jumps. Insurance: Mathematics and Economics. http://dx.doi.org/10.1016/j.insmatheco.2013.02.007.
Zeng, Y., Li, Z.F., Liu, J.J., 2011. Optimal strategies of benchmark and mean-variance portfolio selection problems for insurers. Journal of Industrial and Management
Optimization 6, 483-496.
Zhou, X.Y., Li, D., 2000. Continuous-time mean-variance portfolio selection: a stochastic LQ framework. Applied Mathematics and Optimization 42, 19-33.
1 diffusion
2 Brownian
3 Björk and Murgoci
4 Equilibrium
5 drift
6 discrete-time
7 continuous-time
8 portfolio
9 iterated-expectations property
10 pre-committed
11 non-exponential discounting
12 Markovian
13 ر
14 Heston
15 filtration
16 right continuous
17 Surplus
18 premium return rate
19 diffusion approximation
20 cedent
21 ر
22 bond
23 mutual fund
24 appreciation rate
25 nondegeneracy
26 optimality
27 generator
28 Nash
29 supremum

31 recursion
32 Verification Theorem
33 integral
34 supremum norm
35 converges
36 bounded
37
38 uniqueness
39 equicontinuous
40 boundedness
41 differential
42 Picard
43 recursion scheme
44 vanish
45 Levy
46 Value-at-Risk
47 Affine (تخصیص ارزش های محدود به مقادیر محدود)
—————

————————————————————

—————

————————————————————