آموزش ریاضی با روش و فنون جدید

 ای "معلم هستی و هو"
ای اسطوره عشق و صفا
و ای معمار جهان هستی
اندیشه ، تفکر ، شناخت ، قلم و گفتار مان از توست .
تو سرود عشق را سرداری و ایثار را به ما آموختی .
تو راهنمای همه هستی مائی ، تو قافله سالار و دلاوری .
تو"علم الاسماء" و موشری .
بر ما منت گزاردی و دانستن و شناخت را به ما عطا کردی .
رسولان و هدایت گران را آفریدی تا چراغ هدایت ما شوند .
از تو می خواهم مرا یاری دهی تا در این باقیمانده هستی قدم و قلم را در راه تو بردارم . و خدمتی هر چند ناچیز به مردم عزیر کرده باشم شاید به اندازه وسعت توانایی خود تکلیفی را ادا کرده باشم و بهانه ای باشد برای آموزش روز واپسین .
و من الله التوفیق و علیه الکلان .

بسم اله الرحمن الرحیم
فصل اول
کلیاتی درباره آموزش ریاضی

اهمیت ریاضی در زندگی بشری
پیشرفت دانش و تمدن بشری مرهون علم ریاضی است به طوریکه ریاضی پایه واساس کلیه علوم اعم از علوم انسانی (روان شناسی ، جامعه شناسی ، فلسفه ، تاریخ ، جغرافیا ، ادبیات ، شعر و موسیقی ، هنر و…..) و علوم تجربی (زیست شناسی ، زمین شناسی ، فیزیک ، شیمی ، پزشکی، نجوم ، فنون ، مکانیک ، عمران ، ساختمان ….. )و ریاضی جزئی از اجزاء لاینفک زندگی معمولی در معا ملات ، تغذیه و فنون و کارهای معمولی که بشر در روزمره با آن سر و کار دارد ، به حساب می آید .
در علوم اجتماعی به ویژه جامعه شناسی ،ارزش و قطعیت معتبر است چنانکه از آمار بعنوان یکی از وسایل مهم تحقیق استفاده می گردد و محققین در اغلب موارد مانند تحقیق در موضوع خود کشی ها ، کثرت ازدواج ها ، شیوع وافزایش طلاقها و بالا رفتن و یا پائین آمدن نرخ ها و موارد زیادی مانند آنها با استفاده از اطلاعات آماری تحقیقات خود را ارزش علمی می بخشد .
اهمیت و لزوم هندسه در معماری ، حساب در بانکداری و صدها موارد کاربرد ریاضیات در زندگانی عملی می توان سخن به میان آورد .
در مورد ارزش و قطعیت و اعتبار ریاضیات در علوم نیز کافی است تکرار نمائیم که دانشمندان اغلب کشفیات و معلومات حاصله را هنگامی روشن و قطعی می شمارند که می توان آنها را به صورت اعداد یا فرمولهای ریاضی نشان داد و به عبارت دیگر کیفیت را به صورت کمیت عرضه داشت و در این راه به اندازه ای پیش رفته اند که گفته اند:
(شناخت عبارتست از اندازه گیری ) اگر امروز قسمت عمده وسایل و لوازم کار گاهها و آزمایشگا هها را وسایل اندازه گیری تشکیل می دهند علتش همین قطعیت علوم ریاضی است که موضوع آن کمییت و مقدار است.
زمان را نیز با استفاده از جنبش حرکت متحدالشکل که در مکان صورت می گیرد اندازه می گیرند ـ چنانچه ساعت و دقیقه و ثانیه را از جنبش حرکت متحدالشکل عقربه ای در روی صفحه ساعت اندازه می گیرند در حقیقت در اینگونه موارد ، مکانی که چند متحرک یکنواخت طی می نمایند اندازه گرفته می شود.
چنانکه می دانیم مکانیک نیز در بدو پیدایش خود صورت دانش تجربی داشته است و بعد استنتاجی و عقلانی گردیده است چنانکه گالیله بنیانگذار مکانیک خود قانون سقوط اجسام را به وسیله تجربه و آزمایش معلوم داشته و اثبات کرده است .
ستاره شناسی نیز که مطالعات اجسام آسمانی و حرکات آنها است امروزه کاملا جنبه ریاضی دارد ، بعبات دیگر ، ستاره شناسی که قسمت عملی مکانیک ومورد اعمال قوانین مکانیکی است در بدو پیدایش خود دانشی بود که روش آن منحصرا مشاهده بوده است . زیرا کرات آسمانی را نمی توان تحت آزمایش در آورد ، ولی بعدا به صورت استنتاجی و عقلانی در آمده و در قالب ریاضیات ریخته شده و بدین ترتیب جنبه تجربی و ریاضی پیدا کرده است .چنانکه قانون جاذبه نیوتون (Newton) (1727-1642 ریاضیدان و فیریسین و ستاره شناس ) کاشف قانون مزبور به وسیله آن حرکت ستارگان را تعیین کرده است قانونی است تجربی که به صورت فرمول ریاضی بیان شده است1 .
وقتی در آثار باستانی و تاریخی نظیر تخت جمشید و مسجد شیخ لطف اله اصفهان و چهل ستون و دیگر آثار باستانی نظری بیفکنیم در آن آثار با عظمت علم ریاضی کاملا مشهود است .
علما و دانشمندانی نظیر (محمد بن طوسی الخوارزمی ) که در آثار وی سنت های ریاضی یونانی و هندی با هم ترکیب شده است و در قرن نهم میلادی سوم هجری چندین اثر از خود برجای گذاشته است که کتاب "المختصر حساب الجبر و المقا بله از خود به جای گذاشته " این کتاب به نام (Liber Algorism) لیبرالگوریسمی یعنی کتاب الخوارزمی به لاتین ترجمه شده که کلمه انگلیسی ( Algorism ) به معنی حساب و محاسبه و روش محاسبه را از آن گرفته اند . ( ص 147 علم و تمدن در اسلام . نوشته سید حسن نصر ) گذشته تاریخ ایران مشحون از این است که علما و دانشمندان به علم ریاضی اهمیت فراوانی قائل بوده اند .
علمائی همچون ابن سینا ، خیام ، ابوالوفای بوزجانی شارح کتاب جبر خوارزمی – ابن هثیم – اخوان الصفا – ابوسهل کوهی که یکی از علمای جبر اسلامی است . فارابی که نظریه موسیقی ایران زمان خود را تکمیل کرده است و همین موسیقی سنتی زنده حاضر باقی مانده است 1.
ابوریحان بیرونی چند تالیف ریاضی و نجومی بسیار مهم از دوره قرون وسطائی اسلام بر جای گذاشته و در مسائلی همچون رشته های عددی و تعیین شعاع زمین کار کرده است .
معاصر وی ( بوبکر الکرخی ) از خود دو اثر اساسی در ریاضیات اسلامی باقی گذاشته است :
‹ یکی الفخری در جبر و دیگری الکافی فی الحساب 2›
قرن پنجم / یازدهم : که در آن سلجوقیان به قدرت رسیدند چندین ریاضیدان بزرگ در این دوره وجود داشته اند ، بزرگترین ایشان عمر خیام بود و گروهی از منجمان و ریاضیدانان دیگر در گاه شماری ایران تجدید نظر و آن را اصلاح می کردند و برجسته ترین آنان خواجه نصیرالدین طوسی است که به شیوائی و راهنمائی او و چند تن دانشمند و بالخاصه ریاضیدانان رصدخانه مراغه گرد یکدیگر جمع آمده و به کار رصد و دیگر کارهای علمی مشغول شده بودند .
و دیگری ابن بناء مراکشی در قرن هشتم / چهاردهم
روشهای تازه ای از علم اعداد برداشت که یک قرن بعد غیاث الدین جمشید در محاسبه و نظریه اعداد بزرگترین ریاضیدانان اسلامی است . کاشف حقیقی کسر اعشاری او بوده و اندازه بسیار صحیحی از ( عدد پی ) را بدست آورده است . او نیز روشها و تدبیر های تازه ای برای عمل حساب و محاسبه اکتشاف کرده است .
کتاب مفتاح الحساب وی اساسی ترین تالیف از نوع خود در زبان عربی است .
در دوره صفویه در ایران معماران و مهندسان مدارس و مساجد و پل های آن زمان همه از ریاضیدانان قابلی بودند :
معروف ترین چهره ریاضی ( بها الدین عاملی ) است .
تالیف ریاضی وی تلخیص و تحریری از آثار استادان سلف است یکی از معاصران بها الدین عاملی ، ملامحمد باقر یزدی که در آغاز قرن دهم/ شانزدهم شکوفا شد مطالعات و تحقیقات اصیل و ابتکاری در ریاضیات داشته است .
از افتخارات ما ایرانیان و مسلمانان این بوده است که همیشه در علوم به ویژه علم ریاضی پیشرو و پیش قدم بوده ایم و امروزه هم جهان متمدن پیشرف خود را مرهون علم ریاضی می داند. پیشرفتهائی که در امور مختلف صنعت و فنون ، ماهواره ای ، رایانه ای موشک های دور برد ، ساختمانهای آسمان خراش ، علوم تکنولوژی و صنعت هواپیما سازی ، ماشین سازی ، جاده سازی ، کشاورزی های مدرن و پیشرفته . صنایع شیمیائی و دارو سازی و علم پزشکی و جراحی به طور کلی کلیه صنایع به خاطر این است که دنیای متمدن به علم ریاضی اهمیت فوق العاده ای قائل است و تا به حدی که امروزه ریاضیات که پایه و اساس به حساب می آید و در کلیه مقاطع تحصیلی از پیش دبستانی ، دبستان ، راهنمائی و دبیرستان و دانشگاه ریاضیات اهمیت خود را دارا می باشد.
از روشهای گوناگون و فعال و پیشرفته در خلال بازی و امکانات کمک آموزشی و تکنولوژی آموزشی و ایجاد انگیزه و علاقه در آنان موجبات ایجاد و مفاهیم اولیه ریاضی را فراهم می سازند و بالنتیجه پیشرفت و شکوفائی این علم مهم در کودکان و دانش آموزان و دانشجو یان را فراهم آورده و باعث ایجاد رشد و صنعت تکنولوژی می گردد .
امید است با توجه بیشتر به این علم و استفاده از روش های فعال ، امروزه هم بیش از پیش به آموزش ریاضی در مقاطع مختلف قدم برداشته و موجباتی فراهم آید تا مغز های متفکر ریاضیدان و صاحب خرد روز به روز بر شمار آن در این مرزو بوم افزوده گردد .
از آنجا که علم ریاضی در پیشرفت سایر علوم نقش عمده ای داشته یکی از عوامل توسعه فن آوری در دهه های اخیر بوده است توجه بیشتر به آموزش همگانی در دنیای امروز ضروری به نظر می رسد .
اتحادیه بین المللی ریاضیدانان در سال 1992 با توجه به این ضرورت به منظور جلب توجه جهانیان به اهمیت جایگاه علوم ریاضی سال 2000 را به عنوان سال جهانی ریاضیات پیشنهاد کرد این پیشنهاد مورد موافقت سازمان علمی ، آموزشی و فرهنگی ملل متحد ( یونسکو ) قرار گرفت و با استقبال بیشتر کشور های جهان برای تصمیم و گسترش ریاضیات در میان شهروندان خویش ، شیوه های آموزش این علم را بهبود بخشید و به توسعه آن هر چه بیشتر اهتمام ورزند .
برای دستیابی به این هدف ارزشمند عبارت های " ریاضیات برای همه " " ریاضیات در راه توسعه " به مثابه شعارهای اصلی سال جهانی ریاضیات اعلام شده است .
بیشتر کشورهای جهان از جمله ایران بر تحقق بخشیدن این شعارها در سال 2000 میلادی برنامه هائی را تنظیم و اجرا می کنند . ( نقل از پشت جلد ریاضی سال سوم راهنمائی تحصیلی – 1379 )

روشهای تدریس را به 3 دسته تقسیم می شوند.
– روش زبانی و شفاهی
– روش مکاشفه ای
– روش فعال ( تجربه و عمل )
الف – روشهای شفاهی و زبانی
معمولا معلم متکلم وحده است با توجه به کلیه قوانین یا نتایج معمولا توسط معلمان قواعد و قوانین و چگونگی اجرای برنامه های ریاضی را بیان نموده و شاگردان هم به طور ماشینی آن قواعد را فرا گرفته و در حل مسائل که معمولا هیچ گونه کاربردی در زندگی معمولی آنها ندارد به کار می برند و بیشتر معلمان متوسل به ترس و تنبیه و فشار شده و با اجرای قبیل ترفند ها کودکان را وادار به از حفظ کردن و بازگوئی می نمایند .
" صفت بارز این روشها آن است که در گفتار معلم و نوشته کتاب و به طور کلی به علم قراردادی 1 اهمیت داده می شود .
تدریس با تعریف چند آغاز می شود ، سپس حقایق و روابط ریاضی از تعاریف مذکور با روش منطقی استنتاج و به کمک الفاظ و عبارات منتقل میشود 2.
در روش زبانی و شفاهی کافی است کودکان از عهده خواندن و نوشتن اعداد چهار عمل اصلی برآیند و بدون آنکه با مفاهیم آن آشنا شوند و اجرای سریع حساب برای آنها مهم است .
چون آمها معتقدند که (اولا درک عمیق مفاهیم و روابط ریاضی از عهده کودکانی که تازه به دبستان آمده وحداکثر هفت سال دارند خارج است .
" ثانیا بسیاری از اطفال امروزه حساب را در زندگی فقط برای حوایج روزانه به کار خواهند برد و هیچ وقت نیازی به درک عمیق روابط نخواهند داشت" .
در این روش که معلم قواعد را دیکته می کند برای هر یک چند مثالی می آورد. سپس به کمک تمرینهای متعدد می کو شد و برای اجرای اعمال هر یک مثالی می آورد سپس به کمک تمرینهای متعدد اجرای اعمال را به صورت انعکاس مشروط در آورده انجام صحیح و سریع آنها را در این راه میسر سازد.
تمرینهای پی در پی روزانه ، هفتگی و ماهانه حقایق وقضایا را در حافظه نقش خواهد بست باید به کمک هزاران هزار تمرین طرز اجرای اعمال را باید در مراکز حرکت ثبت کرد .
– عبارت" الدرس حرف و التکرار الف " موید همین معنی است .معایب این روش ها کاملا مشهود است اولا : هیچ گونه انگیزه و رغبتی در یاد گیرندگان ایجاد ننموده وثانیا : مفاهیم غلط و غیر واقعی در ذهن دانش آموزان ایجاد نموده وآنها را نسبت به این درس بیزار کرده و آنها را از این علم می تر ساند.
نگارنده که چندین سال است در روش تدریس ریاضیات در دوره های مختلف مشغول است . معمولا در شروع ترم جدید تحصیلی چند سئوال طبق نمونه های زیر برای دانشجویانی که این واحد را انتخاب نموده وبنا است آن را بگذرانند مطرح می نماید :
1- یک سانتی متر مکعب را به آنها نشان داده پرسیده می شود که به این چه می گویند ؟ و چند تای آن یک دسی متر مکعب می شود؟
لیتر چیست؟ = متر مکعب را بطور صحیح نشان دهند .
2- مفهوم اعمال کسری را با یک مثال نشان دهید .
3- مفهوم اعمال کسر اعشاری زیر را نشان دهید .
4- موزائیکه شما روی آن هستید اگر هر بعدش 25 سانتی متر باشد چند تای آن یک متر مربع می شود ؟
5- می دانید که یک شبانه روز 24 ساعت است هر ساعت را چگونه محاسبه کرده اند ؟
6- فرق بین سال قمری وسال شمسی چیست و چرا در سال 1380 سال شمسی معادل سال 1423 سال قمری است ؟
و نظایر این سوالها، با توجه به اینکه تعداد هر کلاس 40 نفر است . از سوال اول 99% از سوال دوم 100% از سوال سوم 100% از سوال چهارم 65% از سوال پنجم 50% از سوال ششم 60% نتوانسته اند جواب صحیح را ارئه نمایند.
از معایب دیگر روشهای شفاهی وزبانی این است که به تدریج قدرت هوش کودک ضعیف می کند به عقیده کلا پارد1 طبیب و روانشناس سویسی "باهوش کسی است که بتواند بسهولت و سرعت عقیده خود را بروضعی که برایش بی سابقه است منطبق سازد " ( ص 8 همان کتاب )
از معایب دیگر این روش این است که معلو ماتی که به این طریق کسب می شود با یکدیگر ارتباط نداشته زود فراموش می شود چون دانش آموز در ایجاد یا جمع اوری آنها سهمی نداشته است و بخصوص که بیشتر مفاهیم ریاضی ظاهرا برای دانش آموزان هیچ گونه کاربردی در زندگی آنها نداشته و ندارد و این باعث می شود که دانش آموزان فکر کنند که یادگیری ریاضی برای آنها امری تحمیلی و فقط برای امتحان دادن و نمره گرفتن می خوانند چون با مفاهیم آشنا نیستند و مفهوم غلط در ذهن آنها ایجاد شده است که یادگیری آن را امری عبث و بیهوده می انگارند و نسبت به ان بیزار شده و برای همیشه از آن میترسند حتی برخی از دانشجویانی که دیپلمه ریاضی بوده اند و به تحصیل در دوره ریاضی مشغولند به سوالهایی که به مفاهیم ریاضی مربوط مطرح می شود از پاسخ دان صحیح ناتوانند و این امر می رساند که آموزش ریاضی آن هم به این طریق ( شفاهی – زبانی ) کاری است عبث و بیهوده و موجب اتلاف وقت وباعث دلزدگی وبیزاری دانش آموزان نسبت به درس ریاضی می شود و تا جایی که اکثر قریب به اتفاق دانش آموزان دوره راهنمایی و متوسطه در درس ریاضی ضعیف و از ریاضی بیزارند واین نتیجه اجرای روش ناصحیح زبانی وشفاهی در دوره پیش دبستانی و دبستانی و راهنمائی است . اگر چه امروزه کم و بیش نسبت به عیوب روش شفاهی و زبانی پی برده اند و مرتبا به معلمان توصیه می شود که از این روش صرفنظر نمایند لیکن به دلائل متعدد من جمله تعداد زیاد شاگردان – نبودن امکانات آموزشی عدم آگاهی معلمان نسبت به تدریس با روش فعال – حجم زیاد کتاب و مجبور بودن معلم به تمام کردن برنامه درسی امکان کاربرد روش فعال به اندازه کافی مقدور نیست .
از معایب دیگر روش زبانی و شفاهی افت تحصیلی است که معمولا دانش آموزان گرفتار آن می شوند که اجرای روشهای کهنه و پوسیده زبانی و شفاهی موجب افت تحصیلی است که معمولا دانش آموزان گرفتار آن می شوند که بدون شک اجرای روشهای کهنه و پوسیده زبانی و شفاهی در ایجاد تکرار پایه تاثیر داشته است .
تکرار پایه تحصیلی در اثر عدم توفیق در امتحانات پیش می آید .
کودک یا نوجوانی که در نتیجه عدم احراز شرایط ارتقاء ناچار برنامه ای را تکرار می کنند از هر دو جنبه شخصی و مادی دوره گذشته خود را از دست داده و از نظر اجتمائی قسمتی از امکانات تربیتی جامعه را بیهوده تلف کرده است .( 286 مسائل آموزش و پرورش تالیف محمد طاهر معیری 1376 ) .
بررسی آثار ثبت نامهای اخیر مدارس کشور نشان می دهد که در قبال هر 1000 ثبت نام پایه اول در دبستانها پس از پنج سال 797 در دوره راهنمائی پس از سه سال 771 نفر و پس از چهار سال 624 نفر اخرین پایه تحصیلات در دوره مربوطه به تحصیل اشتغال داشته اند .
با در نظر گرفتن نسبت تقریبی در امتحانات پایانی در دوره های مزبور می توان دید که در قبال هر 1000 ثبت نام پایه اول تحصیلات هر یک از سه سطح مزبور پس از گذشتن زمان معمولی یک دو.ره کامل از مدارس ابتدائی ، راهنمائی متوسطه به ترتیب 557 و 648 و 500 درصد افت حاصل می شود .1
در مورد افت تحصیلی عوامل گوناگونی است که آن را به شش دسته تقسیم کرده اند :
1- نظام ارزشی 2- نظام آموزشی 3- مدیریت 4- معلم 5- نحوه تدریس و ارزشیابی 6- کتاب های درسی ، کتابخانه و وسائل کمک آموزشی که در این جهت نحوه تدریس و ارزشیابی می پردازیم :
نتیجه یادگیری طوطی وار عبارت از عدم فراهم شدن موجباتی جهت به کار انداختن قوا و استعداد های متعلمین و در نتیجه آماده خور بار آمدن و تنبل شدن آنها که باعث می شود در بزرگسالی تسلیم و مطیع باشند
این روش موجب ضعف روح تحقیق و روحیه استفاده پذیری و قبول دانشجو و دانش آموز بدون کوچکترین اعتراض و تحمل سختی و خشونت از طرف بزرگتر ها توجه به حفظ تکرار کلمات به جای علائق به فهم حقایق مندرج در آنها و اولویت یافتن علوم منقول بر معقول زیرا تعقل ممکن است سلطه معلم و مافوق را به خطر اندازد و البته حاصل این همه رکود ذهنی و عجز فکری است1 .
دکتر محمد حسین نوری – در روزنامه اطلاعات ( یکشنبه 22 اسفند 6700 شماره 18710 صفحه 12 تحت عنوان " در دانشگاه باید سطح درس را از دوره ابتدائی شروع کند" مرقوم فرموده اند : در طول تدریس ( 67 – 62 ) در گروه جغرافیائی دانشگاه مشهد متوجه شدند که سطح علمی دانشجویان به ویژه در رابطه یا علم ریاضی در حد بسیار پائین است .برای درک بهتر علمی دانشجویان لازم دانستند از آنها امتحان به عمل آید .
ده سئوال در حد سوم راهنمائی تهیه شده و در اوائل جلسه مهرماه 67 بین دو گروه متفاوت امتحان به عمل آید سئوالات برای هر دوگروه یکسان بود .تعداد کل دانشجویان شرکت کننده 170 نفر پسر و دختر بود . دو نفر از این عده تنها کسانی بودند که نمره بیش از 14 و 15 گرفته اند یکی از آنها در سال 54 و دیگری در سال 59 دیپلم گرفته بود و تعداد 168 نفر بقیه که همه نمره کمتر از 10 داشتند دیپلمه های بعد از 1360بودند که نمرات اکتسابی آنان در امتحان مذکور فاجعه آمیز است از 168 نفر دیپلمه ای که به دانشگاه راه یافته اند فقط 12 نفر می توانند محیط و مساحت دایره به شعاع 3 سانتی متررا حساب کنند .

( برا ی محیط و مساحت مربع این میزان به 2/54 درصد رسید ) . فقط 19 نفر از دانشجویان می دانند مساحت مثلث چگونه بدست می آید از همه مهمتر آنکه 20 درصد از دیپلمه هائی که وارد دانشگاه شده اند نمی توانند حاصل ضرب عدد 5/10 × 17 را بدست آورند معدل کل این 168 نفر دانشجو 2/4 است و اگر سئوال 5/10 × 17 را کنار بگذاریم معدل کل به پائین تر از 5/2 سقوط می کند1 .
آیا این زنگ خطری برا ی همه مسئولین آموزشی کشور نیست ؟
( افت تحصیلی – نویسنده : علی بخشی – دبیر دبیرستان محلات ص 67 – نقل از کتاب چهارمین دوره مقاله نویسی علمی دانشگاه اصفهان ، بهمن 1369 )
باید همیشه به خاطر بسپاریم که آموزش دانش افزائی علمی و کسب مهارت وسیله ای بیش نیست و بدون تردید باید همیشه تلاش کنیم دانش آموزان در کلاسهای درس بیشترین سعی خود را مبذول دارند تا متناسب با قدرت ذهنی و ظرفیت یادگیری خود ، آموزه های آموزشگاهی را به خاطر بسپارند آن هم با روشهای فعال تا هنگام آزمون و امتحان از عهده پاسخ گوئی برآیند و باید تدبیری اندیشید که مبادا کودک و نوجوانی به سبب ضعف و کم توانی در قدرت یادگیری و اندک مفاهیم درسی و بالطبع شکست در دروسی همچون دیکته ، ریاضی و علوم و مردودی های مکرر و ناکامیهای آموزشی از مدرسه نظام تعلیمات کشور اخراج گردد و سلامت و بهداشت روانی او و خانواده اش متزلزل شود تا بدانجا که شاهدیم بیش از 50 درصد نوجوانان بزهکار در مراکز کانون اصلاح و تربیت کشور سابقه مردودی های مکرر و اخراج در مدرسه داشته اند !! در واقع با کمال تاسف باید گفت که این روش نه چندان خوشایند از این رو انجام پذیرد که در نظام تعلیم و تربیت کشور عمدتا حاکمیت با مقوله آموزش ( تعلیم ) و اندوخته های ذهنی و به خاطر سپردن مطالب کتابهای درسی است تا تکوین و پرورش خصیصه های مطلوب شخصیتی ، ایجاد مصونیت در برابر آسیبهای اجتمائی و پیشگیری از اختلالات رفتاری " 1
پروفسور ورتایمر 2تفکر کودکان را مورد تحقیق قرار داد و آن را در کلاسهای مختلف مطالعه کرد .
نتیجه ای که از مطالعات خود گرفت این بود که اغلب شیوه تدریس کورکورانه است و جمود فکری در کودکان ایجاد میکند . تمرینهای ماشینی و پاسخهای خودبه خودی که از کودکان توقع دارند – انعطافی را که فکر سالم احتیاج دارد در کودکان ایجاد نمی کند . مبالغه در تکرار مطالب نیز میتواند زیان آور باشد . این نوع تربیت خطر ناک است زیرا کودکان را وادار می کند که چشم بسته چیزهائی را بگویند یا کارهائی را انجام دهند بدون اینکه فکر آنها را به کار می اندازند .

ورتایمر داستان کودکی گوس 3ریاضیدان نامی را ذکر می کند تا نشان دهد که معلم نباید فعالیت ذهنی کودک را با انداختن او در شیارهای معینی سرکوب

کند .
وقتی گوس شش سال داشت معلم به کودکان کلاس این مسئله را داد که جمع
10 + 9+ 8 + 7+ 6 + 5 + 4+ 3 + 2+ 1 را پیدا کنند و به آنها گفت می خواهم ببینم کدام یک از شما زودتر حاصل این مجموع را پیدا می کنید . گوس تا مسئله را دید انگشت خود را بلند کرد و گفت جواب را یافته است .
شاگردان دیگر به سرعت مشغول جمع زدن 1و 2 و 3 و سایر اعداد بودند .
معلم گوس تعجب کرد و نقل می کند که با غضب ازاو پرسید که چطور مسئله را به این زودی حل کردی ؟
امروز می دانیم گوس چه راهی را برای حل این مسئله یا فته بود .
(روش کار او هسته کشف ریاضی مهمی بود )
ورتایمر معتقد است که گوس وقتی سلسله اعداد را از یک تا ده دید با خود چنین گفت :
اگر بخواهیم اعداد را با هم جمع کنیم وقت زیادی صرف می شود وچون به سرعت این کار را می کنم شاید اشتباه کنم.
اما می بینیم که 1و 10 میشود 11، 2و9 می شود 11
همینطور تا آخر مجموع دو عدد می شود 11 که پنج جفت بدست می آید که مجموع هر جفت 11 است یعنی 55=5×11. کشف گوس با فرمول جبری چنین می شود حاصل جمع
حاصل جمع= N/2 ( N +1)
چگونه میتوان این انعطاف پذیری را در فکر ایجاد کرد در نوابغ این خاصیت به وفور موجود است ودر بقیه ،اگر تربیت درست باشد بیش از آنچه بطورعادی یافت می شود به وجو د میاید آزمایشهای مختلف نشان دادند که ممکن است این خاصیت را در کودکان با تربیت صحیح پرورش داد1
ب- (روش دوم : روش مکاشفه ای ) با استفاده از تصاویر واشکال
در این روش معمولا علاوه بر کتاب و تصاویر ، فیلم ،پوستر و لازم است از امکانات کمک آموزشی مورد بهره برداری قرارگیرد .
اساس وبنیان این روش را کسانی گذاشته اند که معتقد بوده حس اساس یادگیری انسان است.
حواس از قبیل دیدن ، شنیدن ، بوئیدن ، لامسه و حس چشیدن در صورتی که با یادگیری همراه باشد می تواند در یادگیری موثر و مفید واقع شود . و در واقع این روش توانست مقدار زیادی از معایب روش شفاهی را بکاهد پستالوزی (1746 – 1827 )مربی مشهور سویس اولین کسی بود که به معایب تعلیم زبانی پی برد . با ابداع این روش و به کار بردن انواع واقسام شکلها و امکانات آموزشی توانست قدمی موثر در راه یادگیری برداشت .
حواس مختلف انسان به لحاظ اهمیتی که در امر احساس ، ادراک و شناخت امور دارد در حقیقت دروازه های دانش و دانایی انسان تلقی می گردد و مهمترین این حواس حس بینایی وشنوایی باشند. زیرا حس بینایی و شنوائی می تواند محرکها را در مسافت دورتر و با ابعاد گستر ده تری تحت پوشش قرار دهد ، در حالیکه برد مفید برخی از حواس دیگر چون حس چشائی و لامسه محدود است وبرای حس ودرک محرک بایستی فاصله آن تا گیرنده حس بسیار نزدیک باشد .
هر یک از حواس از لحظه تحریک ، پیامها را توسط گیرنده های حسی از طریق جریانهای عصبی به مراکز عصبی واقع در نخاع شوکی و از انجام به کورتکس مغز می فرستد و هنگامی که جریانهای عصبی به مقصد رسید ، این تجربه با اطلاعات قبلی تجربیاتی که تا آن لحظه توسط فرد اندوخته است کسب میشود وبر مبنای آن پاسخی مناسب توسط مغز صادر می گردد و این پاسخ از طریق جریانهای عصبی از مغز به نخاع شوکی و از آنجا به طرف عضلات وغدد می رود وبه عضوی که باید واکنش نشان دهد ، می رسد1 .
طرفداران روش مکاشفه ای تحت تاثیر فلاسفه ای هستند که احساس را منشا معلومات می دانند . به عقیده این دانشمندان ذهن انسان در آغاز مانند لوح سفیدی است که هیچ چیز بر آن نگاشته نشده باشد. ولی کم کم تجربه معلومات را درآن نقش می بندد. و این بر دو قسم است . یکی احساساتی که از اشیاء در می یابد دیگر مشاهدات درونی که به فکر و تعقل برای او دست می دهد و تعقل معلومات حاصل در ذهن می پرورد ومی ورزد.
هیچ یک از معلومات وتصورات نیست که به یکی از دو مبدا یعنی حس وفکر ( ادراک ) منتهی نشود – فکر و تعقل هم پس از آن پیش می آید که محسوساتی در ذهن وارد شده باشد . ذهن در امر علم بکلی منفعل است . مانندآینه که در او عکس می افتد و تعقل هر اندازه عالی باشد جز حس ومشاهده درونی منشا دیگر ندارد و از عبارت معروف لاک ، است که " جز آنچه به حس درآمده باشد هیچ چیز در عقل نیست . (ص 14) همان کتاب
عنوان دیگر روش مکاشفه ارگانیکی یا ارگانیستی است که بر انسانیت انسان و تلاش خود خواسته او تاکید دارد و همچنین از آن نیز بعنوان ( روش اکتشافی ) یاد می کنند زیرا آزادی عملی شاگرد به او اجازه و امکان اندیشیدن و ابداع و ابتکار می دهد1 .
لکن چون دانش آموزان خود در ایجاد و رسیدن به نتایج و تعاریف و قوانین و راه حل ها را به دانش آموزان بیاموزد بدون اینکه او در ایجاد و راه حل آن دخالتی داشته باشد و نمی تواند آنطور که باید به نتایج مطلوب برسد . به طوریکه امروزه نمی توان این روش را در روش کافی برای یادگیری ریلضی به حساب آورد . چون اساس کار ریاضی فعالیت است .
از آنجا که " ریا ضیات زبان علم است " آشنایی با روشهای جدید آموزش ریاضی برای معلمان از اهمیت خاص بر خوردار است .
و نیز دانش ریاضی است که می تواند از همان ابتدا ، دقت وتمایل ، و ابتکار ، قوه نو آوری و خلاقیت را در دانش آموزان تقویت نماید" از روش هائی که می توان بهره جست که می تواند دانش آموزان را به هدف مطلوب بکشاند و آن روش عبارتند از :

روش سقراطی : سقراط ( 470 – 339 ) قبل از میلاد .
سقراط از فلاسفه یو نان باستان است . این فیلسوف مردی درشت هیکل وبا سینه ای ستبر و قیا فه ای زشت ، روحی لطیف و فکری روشن بوده است . مادر سقراط ماما بوده ، سقراط می گوید من هم مانند مادرم ماما هستم . من افکار را می زایانم . من سبب زایاندن آنچه در اذهان هست می شوم . عادت سقراط چنان بوده است در موردی که با شخص اختلاف عقیده داشت بلافاصله عقیده اش را بروز نمی داد با به گفتگو می نشست تا سرانجام به توافق می رسیدند . لازم به تذکر است که هر گفتگوئی سقراطی نیست.
دیالتلیک سقراطی برای فهمیدن و فهماندن است جدل نیست ، مشاجره نیست و بالا خره شیوه سوفسطائی نیست ، بطور خلاصه در این روش با پر سش و پاسخهای مناسب معلم و شاگرد را به سمت موضوع و هدفی هدایت می کند تا خود به کشف مطلب بپر دازد و اگر ایراد اشکالی دارد آنرا برطرف کند1 .
صفت دیگری که برای این روش عنوان شده، منسوب به سقراط ( به نقل از افلاطون ) است و آن سنت تداعی یا روش مامائی میگویند . اگر تداعی را ایجاد پیوند بین حال و آینده و به کمک تجربه تعریف کنیم معلوم می شود که بهترین و دقیق ترین نوع تداعی، آن است که توسط یادگیرنده ایجاد شود نه یاد دهنده نیز ما اگر
به تعبیر سقراط بپذیریم که همه انسانهای عادی همه چیز را می دانند ، هنر معلم عبارت خواهد بود از راهنمایی شاگرد برای رسیدن به آنچه می دانسته ولی تصور می کند نمی داند ، اطلاق صفت "مامائی" آن است که باید به خانم حامله کمک کرد تا فرزندش را به دنیا بیاورد ، بی شک این فرزند پیش از تولد جزئی از وجود آن زن بوده است ( ص 153 – هنر معلمی )
روش سقراطی از چند ویژگی موجود است :
1- نخستین هدف سقراط ، کنکاش در باره مساله مورد نظر است سقراط به آموختن حقایق ویژه مساله کمتر اهمیت می دهد ، زیرا قصدش این بوده که مهارت شاگردان برای کشف حقایق پرورش یابد.
2- در روش سقراطی ، نقش معلم عمدتا شامل پرسیدن و نقش شاگرد این است که در سازمان دهی و بکارگیری دانش وتجربه گذشته خود برای پاسخ به سوال ها کوشش نماید .
3- روش سقراطی نه تنها روش جدلی (دیالتیک ) و شامل کنش متقابل بین شاگرد و معلم می باشد ، بلکه استقرائی نیز است . از جزئیات به کلیات می رسد.
تحلیل گران روش سقراطی را تا حدودی به روش های روانکاوی عصر حاضر تشبیه کرده اند . سقراط معمولا بحث خود را با یک سوال عادی شروع کرد شاگردانش درآغاز بحث از سقراط می رنجیدند اما پس از خشم درونی آنها فرو می نشست ، برای خود کاوی آماده می شدند . پاره ای از صاحب نظران معتقدند که روش سقراط روش اکتشافی است سقراط در روش خود هدفهای آموزشی ویژه ای برای شاگردان خود در نظر نداشت ، بلکه می خواست آنان ، کاوشگران خوبی تربیت شوند 1.
برای مثال :
سقراط از فردی که بعنوان برده که متعلق به یکی از شاگردانش بود می خواهد که مساله ای را که بر ای خیلی ها ظاهراً مبهم است حل نماید وآن مربعی را رسم نماید که دو برابر مربع فعلی است و معتقد است که انسان همه چیز را می داند منتهی به صورت بالقوه و نه به صورت بالفعل از طریق دیالکتیک به دانش خود پی برد .
سئوال و جوابهای دقیق و حساب شده و منطبق با اهداف هدایت پیدا می نماید . نتیجه این سئوال و جوابها این بوده فردی که ظاهرا هیچ گونه علمی و دانشی نداشته بی سواد به حساب آمده سئوال مطرح می نماید وبه حل مساله می رسد.
مراحل حل مساله به قار زیر است :
1- حال هریک از اضلاع را به اندازه خط امتداد می دهیم
2- مربعی که بوجود می آید 2 برابر مربع قبلی است
3-در صورت قطر هر یک از مربع ها را بکشیم در وسط مربعی بدست می آید که نصف مربع قبلی است .

د- روش فعال – تجربه و عمل
با توجه به معایب روشهای گفته شده دانشمندانی همچون – دیو ئی2
، کلاپارد 3پیاژه در یافتند که اگر فردی بخواهید مطلبی را به طور دقیق آموزش دهید و به کار برد و به ابداع و اختراع و اکتشاف و نو آوری بپردازد و به اندوخته علمی خود بیفزاید و از تقلید و یادگیریهای سطحی و بیخودی نجات پیدا کند . باید از راه تجربه و عمل به یاد گیری بپردازد .
از نتایج تجربه و عمل این است که افراد و دانش آموزان آفریننده می گردند .

ویژه گیهای افراد آفریننده1 :
استاین (1974 ) مطالعات انجام شده درباره ویژه گیهای افراد آفریننده را مورد بررسی قرار داده و به این نتیجه رسیده است که افراد آفریننده دارای ویژه گیهای زیر هستند :
1- انگیزه پیشرفت سطح بالا
2- کنجکاوی فراوان
3- علاقه مندی زیاد به نظم و ترتیب در کارها
4- قدرت ابراز وجود و خود کفائی
5- شخصیت غیر متعارف و غیر رسمی و کامروا
6- پشتکار و انضباط در کارها
7- استقلال
8- طرز فکر انتقادی
9- اشتیاق و احساس سرشار
10- انگیزه های زیاد و دانش وسیع
11- علاقه کم به روابط اجتماعی و حساسیت زیاد نسبت به مسائل اجتماعی
12- تفکر شهودی
13- قدرت تاثیر گذاری در دیگران

انگیزش
از جمله موارد بسیار مهم در روش فعال ایجاد انگیزه است .
حال باید دید چگونه در کودکان به منظور یادگیری ریاضی می توان انگیزه ایجاد نمود .

تعریف انگیزش Motivation
" انگیزش به حالتهای درونی ارگانیزم که موجب هدایت رفتار او به سوی نوعی هدف می شود "
( مورگان و همکاران 1984 سیف روانشناسی پرورشی ص 340 )
از لحاظ پرورشی ، انگیزه هم هدف است و هم وسیله ای به عنوان هدف ما از دانش آموزان و دانشجویان می خواهیم نسبت به موضوعهای علمی و اجتماعی علاقه کسب کنند . از این رو تمام برنامه های درسی که در آنها حیطه عاطفی ملحوظ شده است دارای هدف و انگیزش هستند به عنوان وسیله ، انگیزش مانند آمادگی ذهنی یا رفتارهای ورودی یک پیشنیاز یادگیری به حساب می آید و تاثیر آن بر یادگیری یکی ا زامور بدیهی است .
اگر دانش آموزان و دانشجویان نسبت به درسی بی علاقه باشند ویا دارای انگیزش سطحی باشند به توضیحات معلم توجه نخواهند کرد . تکالیف خود را با جدیت انجام نخواهد داد و بالاخره پیشرفت چندانی نسبت به مطالب درسی پیش نخواهد آمد دارای انگیزش سطح بالائی باشند به توضیحات معلم با دقت گوش خواهند داد تکالیف درسی خود را با جدیت انجام خواهند داد و به دنبال کسب اطلاعات بیشتری در زمینه مطلب درسی خواهند رفت و هم پیشرفت زیادی نصیب آنها خواهد گردید . ( ص 336 – سیف )

نیاز و سائق
بنا به تعریف ، نیاز ، به یک حالت کمبود یا نقصان در موجود زنده اشاره می کند و سائق به انرژی یا تمایل حاصل از نیاز گفته می شود .
برای مثال : ما نیاز به غذا داریم و این نیاز سائق ، وقتی موجود زنده احساس نیاز می کند . بر طبق نظریه ها نیاز و سائق ، این احساس یک احساس ناخوشایند است و وقتی نیاز او ارضاء می شود یک حالت خوشایند است . از این رو گفته می شود که عامل انگیزش جانداران نیازهای آنها است .

طبقه بندی نیاز ها
طبقه بندی مازلو
نیاز مربوط به خود شکوفائی نیاز به شناسایی وتحقق استعداها
نیاز مربوط به عزت نفس نیاز به کسب احساس اعتماد و مورد پذیرش وتایید قرار گرفتن
نیاز مربوط به عشق ومحبت نیاز به داشتن روابط محبت آمیز با دیگران
نیازهای مربوط به ایمنی نیاز به احساس امنیت ،عدم نگرانی خاطر و داشتن محیطی امن
نیازها ی فیزیو لوژیکی (نیاز به آب ، غذا ، هوا و غیره)

با توجه به اینکه روش فعال روشی است که در یاد گیرندگان ایجاد انگیزه نموده و به نوعی احتیاج را در آنها ایجاد نماید که این احتیاج موجب شود که فرد خود به دنبال یادگیری باشد و عشق و شوق و طلب برای وصل معشوق که همان یادگیری باشد برود و از هیچ کوشش دریغ ننماید .
در بیابان گر به شوق کعبه خواهی زد قدم
سرزنشها گر کند خار مغیلان غم مخور
گر چه منزل بس خطرناک است و مقصد ناپدید
هیچ راهی نیست کورا نیست پایان غم مخور
گر بهار عمر باشد باز بر طرف چمن
چتر گل بر سر کشی ای مرغ خوشخوان غم مخور 1

چگونگی ایجاد انگیزه
برای یادگیری باید ایجاد شوق ، انگیزه ، عشق به یادگیری را برمی انگیزد با توجه به نیازها ، ایجاد علاقه در یادگیرندگان بهبود شرایط یادگیری افزایش سطح کیفی روشهای آموزشی را بالا می برد تا یادگیرندگان به موفقیت علاقه و انگیزش آنها را نسبت به یادگیری مطالب تازه افزایش دهد. زیرا یکی از راههای ایجاد موفقیت ایجاد انگیزه است حال برای آنکه بدانیم چگونه در یادگیرندگان ایجاد علاقه و انگیزه کنیم به مطالب زیر توجه نمائیم2.
1 – آنچه را که از یادگیرندگان به عنوان هدف آموزشی انتظار دارید در آغاز درس به آنها بگوئید .
" ندادن اطلاعات ضروری به یادگیرندگان درباره نتایج فعالیتهای یادگیری آنان یا ایجاد انتظارات منفی در آنان کاری که باید انجام دهند منجر به انگیزه یادگیری در آنها نخواهد شد " ( گیج مبر لانیر 1948 )
2- در شرایط مقتضی از تشویق های کلامی استفاده کنید .
استفاده از اظهاراتی چون ‹ خوب › ، ‹ عالی › ، ‹ مرحبا › پس از عملکرد درست دانش آموز از تدابیر موثر انگیزش است .
تشویق دانش آموز ساده ترین و طبیعی ترین وسیله ای است که به سهولت در اختیار معلمان قرار دارد .
موثرترین تشویق آن است که به رفتار و عملکرد درست دانش آموز وابسته باشد .
تشویق بیش از حد اثرش را از دست می دهد و از حساسیت تقویت کنندگی آن کاسته می شود .
علاوه بر اظهارات شفاهی ، تشویق های کتبی در ورقه امتحانی و دفترچه تکلیف دانش آموز اظهارات تشویق آمیزی بنویسید ، این اظهارات بر کوشش ، دقت ، نگرش یا هر آنچه سبب افزایش یادگیری دانش آموز می شود تاثیر چشم گیری دارد ، این تاثیر از توانائی دانش آموز برای یادگیری مستقل است ( ص 358 – سیف )
3 – از آزمونها و نمرات وسیله ای برای ایجاد انگیزش در یادگیرندگان استفاده کنید .
نمره معلمان دارای ارزش انگیزشی زیاد هستند ، بنابراین معلم می تواند با اجرای مکرر آزمون سطح انگیزش یادگیرندگان را بالا ببرد ، نکته ای را که باید در رابطه با آزمونها و امتحانات مختلف در نظر بگیرید این است که از آنها به عنوان وسیله برای بازخورد به دانش آموزان در رابطه با نحوه عملکرد و میزان یادگیری شان استفاده کنید به وسیله ای برای ارعاب و تنبیه آنان .
4 – از خاصیت برانگیختگی مطالب استفاده کنید :
محرکهای تازه ، تعجب انگیز و پر معنی سطح برانگیختگی را افزایش می دهند و سبب تحریک و کنجکاوی یادگیرنده می شوند .
5 – مطالب آموزشی را از ساده به دشوار ارائه دهید .
این موضوع به خصوص در ریاضی خیلی اهمیت دارد سعی کنید در وهله اول با تمرینهای ساده و قابل فهم نسبت به آموزش ریاضی اقدام گردد و گر نه دانش آموزان نسبت به یادگیری بی رغبت می گردند و خود را در حل مسائل و فهم مطالب عاجز می بیند .
6- از ایجاد رقابت و هم چشمی در میان دانش آموزان جلوگیری کنید برای ایجاد چنین وضعیتی معلم می بایستی از دانش آموز معینی با نام بخواهد که به جواب سئوال بپردازد نه اینکه از کلاس بخواهد ، در این صورت همه شاگردان توجه خود را نسبت به پاسخ جلب می نمایند .
7- هنگام آموزش مطالب تازه از مثالهای آشنا استفاده کنید و هنگام کاربرد مطالب آموخته شده از موقعیت های تازه استفاده کنید . برای مثال وقتی می خواهید حجم را به دانش آموزان بیاموزید بهتر است از چگونگی مطالبی نظیر لیتر یا ظروفی که با اجزاء و اضعاف لیتر برابر است در کلاس آورده و با مثالهای عینی و ملموس از آنها بخواهید که مثلا یک لیتر برابر چند سانتی متر مکعب است یا حجم کلاسی که در او هستند بدست آورده و بدانند هر دانش آموز در هر ساعت برای تنفس چند متر مکعب هوا لازم دارد که در تنفس او اختلالی وارد نشود .
5 – علاوه بر توضیح و تشریح به طور کلامی ، تا آنجا که ممکن است از روشهای دیگر آموزشی نیز استفاده گردد .
همانطور که قبلا آورده شد روش شفاهی و کلامی برای آموزش کافی نیست بلکه گاهی موجب یادگیری غلط و دور از واقعیت برای دانش آموزان می شود .
بیشتر مشکل یادگیری ها ناشی از این می شود که معلم بخواهد فقط با این روش استفاده کند و کسل کننده ترین روش آموزشی آن است که معلم تمام وقت کلاس را به خود اختصاص دهد و فرصت هیچ گونه فعالیت و اظهار نظری را به یادگیرندگان ندهد پژوهشهای متعدد نشان می دهد که یکی از بهترین راههای ایجاد انگیزه در یادگیرندگان شرکت دادن آنها در فعالیتهای کلاسی است ( ص 361 – سیف )
این امر به ویژه در آموزش ریاضی بیشتر صدق پیدا می کند و اغلب دانش آموزان که در یادگیری ریاضی مشکل دارند این است که در یادگیری مفاهیم اولیه به آنها اجازه داده شده که خود در ایجاد مفاهیم در ذهنشان سهیم باشند . اغلب معلمان فقط اکتفا به توضیح و تشریح مطالب می کنند برای مثال در تقسیم کسر2=2/1÷ 1 وقتی از دانش آموزان خواسته می شود که این کسر چه مفهومی دارد و کاربرد آن چیست ؟ اغلب در حل آن می کوشند و از طریق وارونه کردن مقسوم علیه پرداخته و عمل ضرب را انجام دهند . در حالی که مفهوم این تقسیم یعنی یک واحد را به دو بخش تقسیم نمودن که حتی کودکان قبل از دبستان هم می توانند به مفهوم این عمل پی ببرند ( البته بدون در نظر گرفتن شکل عدد) و فقط در خلال کاربرد .
مثال = تقسیم کردن یک شکلات به دو قسمت مساوی . با یک میوه به دو قسمت مساوی ، که مفهوم همان تقسیم 2= 2/1 ÷ 1
6 – پیامدهای منفی مشارکت یادگیرندگان فعالیت ، می باشد پیامدهای منفی ذیل را در بر خواهد داشت در صورتی که :
– از دست دادن حس اعتماد به نفس در نتیجه شکست در حل کردن مسائل و یا انجام فعالیتهای یادگیری .
– گرفتن نمره کم در امتحانی که معلم محتوای آن را قبلا آموزش نداده است .
– اجبار در انجام تکالیفی که سطح دشواری آنها خارج از توانائی یادگیرنده است .
– بی توجهی معلم به کوشش های یادگیرندگان .
– مجبور ساختن یادگیرنده به رقابت با کسانی که از او توانائی بیشتری دارند .
– مجبور ساختن یادگیرندگان به ساکت و آرام نشستن در کلاس و گوش دادن به سخنرانی های خسته کننده معلم .
– مجبور ساختن یادگیرنده به انجام کارهای تحقیر آمیز و دور از حیثیت آنان.
10- به دانش آموزان مسائل و تکالیفی بدهید که نه خیلی ساده و نه خیلی دشوار باشد .
در صورتی که تکلیف تا اندازه ای نیاز به تفکر داشته باشد در آن صورت انگیزه در دانش آموزان بیشتر ایجاد میشود . وقتی دانش آموزی نسبت به حل مشکلی نائل آید شور و شوق و انگیزه در او ایجاد می شود . در صورتی که مسائل بغرنج و مشکل باشد موجب ناکامی و تعارض در او می گردد .
11 – تا آنجا که ممکن است مطالب درسی را به صورت معنی دار و ارتباط با موقعیتهای واقعی زندگی ارائه دهید و در حد امکان در انجام فعالیتهای آموزشی به یادگیرندگان آزادی عمل دهید .
امروزه برای انجام این امر امکاناتی از قبیل فروشگاه، آزمایشگاه ، گردش علمی تحقیقات علمی به زبان ساده به منظور یادگیری ریاضی را فراهم می آورند . در دوره های پیش دبستانی از طریق واحد های آموزشی 1 وبا استفاده از لوازم یادگیری ودر خلال بازی مفاهیم ریاضی را به کودکان می آموزند. برای مثال استفاده از روش کویزنر1 که امروزه یکی از روشهای فعال به حساب می آید در خلال بازی قبل از آموزش عدد کلیه مفاهیم پیچیده ریاضی را به کودکان می آموزند و در ضمن ، به اعمال واقعی از قبیل خرید و فروش ، مهمان بازی ، استفاده از لوازم کمک آموزشی ابتدا مفهوم را به آنها آموخته سپس به آموزش مرحله دوم ریاضی که استفاده از کتاب ، فیلم ، تصویر ، … می2پردازند و پس از آنکه مطمئن شدند این مرحله را یاد گرفتند به مرحله سوم که مرحله مجرد است می پردازند – در این مورد بعدا سخن به میان خواهیم آورد .
مراحل ارائه درس : برای آنکه یک مفهوم ملکه ذهن دانش آموز شود می بایستی مراحلی را طی نماید تا از جهت سطحی و عمقی گسترش نموده و در واقع مراحل زیر را مد نظر قرار می دهیم .
– مرحله مجسم
– مرحله نیمه مجسم
– مرحله مجرد
در مرحله مجسم – منظور درک مفاهیم در خلال بازی ، استفاده از وسائل کمک آموزشی و با استفاده از روش فعال و پرسش و پاسخ ، خود دانش آموز و کودک در ایجاد مفاهیم در ذهن خود دخیل می باشد .
معلم حکم راهنما دارد و بیشتر فعالیت توسط دانش آموز صورت می گیرد و با استفاده از امکانات کمک آموزشی و لوازم یادگیری که برای دانش آموزان و کودکان فراهم شده با توجه به اهداف تعیین شده کودک و دانش آموز را به ساختن و پرداختن و کشف و شهود می نمایند و با استفاده از اصول یادگیری مراحل یادگیری را طی می نماید معلم از طریق سئوال و ایجاد شوق و انگیزه کار یادگیری را آسان می نماید ( روش سقراطی ) در این مرحله موضوع را به صورت عینی و محسوس آموزش می دهیم .
برای مثال در تقسیم اعشاری : 3 = 1/0÷ 3/0
از کاغذهای شطرنجی استفاده نموده یا دانش آموزان را وادار می نمائیم که یک کادر (10 × 10 ) بکشد آنگاه 3/0 را در کاغذ نشان دهند و از ا/0 هم را نشان دهند و از آنها سوال شود که 3/0 چند تا 1/0 وجود دارد پاسخ سه تا 0 در آن صورت این سه دهم وقتی که تقسیم به 1/0 می نمائیم نتیجه زیر را با چشم خود می بند و حس می کند .
3= 1/0 ÷ 3/0
روش فعال – پرسش و پاسخ – تحقیق و بررسی
طرح مسائل گوناگون توسط معلم وشاگرد و پس از درک و فهم کاربرد آن در زندگی روز مره بصورتهای مختلف .
سپس با استفاده از تمرینهای مختلف که معمولا در کتاب مطرح شده دانش آموزان وادار می نمائیم که تمرین نمایند و خودشان در حل تمرین کوشش نمایند نه آنکه از کتاب حل المسائل که متاسفانه امروزه بعناوین متعدد سود جویان آنها را چاپ نموده و در اختیار دانش آموزان قرار می دهند و موجباتی را فراهم می نمایند که دانش آموزان در حل مسائل و سوالهای مطرح شده تفکر خود را بکار نیندازند وبا راحتی به پاسخ صحیح دست یابند و نتیجه این می شود که آنها در یادگیری مفاهیم عاجز بوده و نسبت به ریاضی بیزار گردند . در حالیکه حل مسائل ریاضی موجبات رضایت خاطر و خشنودی دانش آموز را فراهم آورد ، آنها را نسبت به یادگیری راغب ساخته و عشق به یادگیری را در آنها برانگیخته می نماید .

روش فعال – تجربه و عمل 1
پیشوایان مکتب عمل و تجربه جان دیوئی – و ادوارد کلاپارد .
انسان را موجودی فعال میدانند که در جریان امور دخالت می کنند . تا دوام عمل خود را تضمین نمایند ( دیوئی ) تعادلی را که بین فرد و محیط وجود داشته و موقتا به هم خورده است از نو برقرار می سازد ( کلاپارد ) اگر به چیزی می نگرد یا به چیزی گوش می دهد و یا شیئی را دستکاری می نماید ، به عبارت کوتاهتر اگر مشاهده می کند برای گشودن گرهی است که جریان عملی را که برای او جالب است و اکنون دچار وقفه ساخته است .( ص 57 – دکتر شکوهی )
دنیای امروز احتیاج به افرادی دارد که فکر خود را حاکم بر اعمال و افکار خویش قرار دهند . استقلال فکری ، دارا بودن طرز تفکر انتقادی ، داشتن سعه صدر و یا روح شامخ و تحمل فهم بین المللی و اجرای وظائف فردی و اجتماعی مستلزم داشتن رشد فکری است2.
معلم باید مطالب درسی را به صورت مسئله و معما طرح نماید مطالعه کتاب و یا گوش دادن به سخنان معلم و حفظ حقایق علمی و تاریخی در نحوه فکر و رشد قوه ابتکار شاگردان تاثیر ندارد شاگرد باید مطالعه کند و به موقع خود به سخنان معلم گوش دهد و حقایق علمی و ادبی و تاریخی را فرا گیرد ولی اینها همه به منزله وسیله ای است برای رشد تفکر در افراد .
اجرای روشهای گوناگون معلم باید در جریان تدریس و فعالیتهای آموزشی و پرورشی روشهای متنوع را به کار برد در اجرای روش حل مسئله ، روش تهیه طرح با
پروژه روش بحث آزاد ، روشهای گروهی و جمعی باید به تناسب موضوع و موقعیت درسی مورد استفاده واقع شود . در اجرای این روشها هر یک از شاگردان مطابق ذوق و استعداد خود سهمی از کارها را به عهده گیرد و فرصت کافی برای پرورش استعدادهای خویش بدست می آورند در جریان یادگیری شاگرد باید فعال باشد و نقش عمده به عهده او واگذار شود .
معلم در چنین وصفی مانند یک راهنما در معرفی منابع مختلف ، طرح مسائل ، تهیه نقشه و بررسی و آزمایش افکار و نظریات به شاگردان کمک کند .
فعالیت شاگرد سبب پرورش استعدادهای او می شود و قدرت ابتکار و تفکر خلاق را در او رشد می دهد ( همان کتاب ص 418)

نظریه کلاپارد1 :
به نظر کلاپارد زندگی عبارت است از کوشش دائمی برای برقراری مجدد تعادلی که پیوسته در حال به هم خوردن است . تعادل بین موجود زنده و محیط نتیجه تغییراتی است که در محیط می شود ، علت این تغییرات ممکن است عوامل خارجی یا خود موجود زنده باشد . عدم تعادل مذکور به صورت " احتیاج " ظاهر می شود .
احتیاج برقراری مجدد تعادلی که به هم خورده است از طرف دیگر هر احتیاج عکس العملهای خاصی را که موجب ارضای آن می شود بر می انگیزد.
به عبارت دیگر فعالیت همیشه در اثر وجود احتیاج ظاهر می شود و هدف آن رسیدن به شیء و ایجاد موقعیتی است که موجب رفع احتیاج شود .
هر شیئی ما را تحریک نمی کند . شیء در صورتی محرک فعالیت است که در شرایط مخصوص قرار گرفته باشد .
کلاپارد آن حالت خاص را موجود زنده که سبب جنبش عکس العملی شود " رغبت " می خواند .
احتیاج تنها نیست ، شیء هم تنها نیست . بلکه نتیجه موقعیت خاصی است که در آن شیء برای رفع احتیاج خاص لازم و مفید است ارزش یک فرمول ریاضی بسته به آن است که می توانیم به کمک ان حساب کنیم و نتایج این محاسبه ما را در محاسبه ، در هدایت رفتار خودمان یا در کنترل رفتار دیگران به کار آید .
فعالیت های ذهنی هم تابع همین قانون کلی هستند . هوش برای آن است که احتیاجات موجود زنده ( انسان ) با محیط و وقتی به کار می افتد که سایر وسایل انطباق یعنی غریزه عادت از عهده برقراری تعادل بر نیایند، هوش به ما اجازه می دهد که خود را با موقعیتهای بی سابقه و جدید سازگار کنیم . این انطباق مجدد سه مرحله دارد :
مرحله اول : سئوال که زائیده استشعار به مسئله یا مشکلی است که باید حل شود.
مرحله دوم : جستجوئی است که به یافتن فرضیه منتهی می شود . موضوع آن کوشش برای تشخیص وسائلی است که برای حل مشکل مورد نظر مفید به نظر می رسند. فکر این که فلان وسیله برای حل فلان مشکل مفید است ابتدا قطعی نیست و صورت فرضیه دارد .
مرحله سوم : در مرحله سوم فرضیات را یک به یک در بوته آزمایش گذاشته درست را از نادرست جدا می کنیم .
نتایج تربیتی این نظریه روشن است . معلم باید از رغبت های طبیعی دانش آموز برای برانگیختن فعالیت های مورد نظر استفاده کند اهرمهائی طبیعی است که به معلم اجازه می دهد که دانش آموزان خود به نتیجه برسند در صورتی که ، دانش آموز را از راه ترس و تنبیه به انجام اموری وادار گردد هرگز به هدفهای یادگیری نخواهیم رسید .

نظریه دیوئی 1:
دیوئی هم مانند کلاپارد انسان را موجودی فعال می داند انگیزه همه فعالیتهای او احتیاج است . به همین جهت فعالیت او همیشه متوجه هدف خاص است به عقیده
دیوئی " از نظر روانشناسی محال است بتوانیم فعالیتی را بدون رغبتی برانگیزیم"
دلیل وجود تمام فعالیتهای انسان ، از ادراک و مشاهده گرفته تا تفکر آن است که این فعالیتها انسان را در رسیدن به فعالیتهای وی یاری می کنند .
به نظر دیوئی رشد ذهنی انسان با فعالیتهای عملی او نسبت مستقیم دارد . " سازمان فکری انسان وقتی تشکیل و مرتب می شود و در صورتی توسعه می یابد که اعمال لازم برای تحقق هدفی تشکیل و مرتب شده باشند ".
بنابراین محیط مدرسه باید فعالیتهای عملی دانش آموز را با فراهم ساختن وسایل و ابزار کار تسهیل کند . مدرسه باید به صورت یک آزمایشگاه واقعی درآید . کار اساسی معلم آن است که موجباتی را فراهم سازد تا غرایز و کششهای طبیعی و حرکات خود به خودی دانش آموز در جهت غنی ساختن آزمایشهای خود به کار افتد و از اتلاف وقت جلوگیری شود اما محصل باید معلومات خود را از راه تجربه و عمل طبق " روش مسئله" کسب نماید . روش مسئله پنج مرحله مختلف دارد :
مرحله اول با کار و کوشش دانش آموز برای رسیدن به هدفی که به جهتی مورد علاقه او است شروع می شود .
مرحله دوم هنگامی آغاز می شود که محصل در جریان آزمایشهای خود به مشکلی برخورد نماید و برای رفع آن به تفکر و چاره جوئی پردازد.
مرحله سوم عبارت است از جستجوی مدارکو اطلاعاتی که برای حل مشکل مفید به نظر می رسد .
مرحله چهارم دانش آموز با استفاده از اطلاعاتی که به دست آورده است برای حل مشکل خود فرضیه هائی می سازد .
مرحله پنجم فرضیات مذکور در بوته آزمایش قرار گرفته و ارزش آنها مورد بررسی قرار می گیرد .
به طوری که مشاهده می شود دیوئی تعلیم را بر پایه تجربه و عمل می گذارد1 .
و آن شاگرد نگر – یا شاگرد مداری ، کودک مرکزی و نظایر آن شاخه است . این روش نخستین بار توسط جان دیوئی به شهرت رسید ، هر چند پیش از او نیز افراد متعدد درباره آن مطالبی گفته و نوشته بودند . به نظر می رسد دلیل توفیق دیوئی در آن بود که به جای بحث نظری (تئوریک )، گام به گام الگو های روش شاگرد مرکزی را به روش سنتی مقایسه کرد تا با نشان دادن نقاط قوت اولی و نقاط ضعف دومی ، راه جدیدی پیش پای معلمان قرار دهد ، بی شک فلسفه پرا گماتیسم و نفوذ آن در ایالات متحده آمریکا نیز در مقبولیت و شهرت این روش موثر بوده است . ارکان اساسی روش شاگردنگر را " شاگردان " تشکیل می دهند .
بنابراین فعالیت ذهنی و بدنی شاگردان در حدی که مانع نظم کلاس نباشد بسیار مورد توجه است و معلم نقش هدایت کننده این فرایند را دارد به صورت تمثیلی می توان گفت که معلم رهبر ارکستر است و شاگردان گروه نوازنده را تشکیل می دهند . هر نوازنده با نت هائی که در پیش می نوازد اما نقش رهبر ارکستر هماهنگ کردن این گروه است تا نواهای موزون برای شنوندگان جالب توجه و قابل استفاده باشد برای آنکه ما بتوانیم در فن تدریس " ریاضی " که مورد بحث ما است موفق باشیم ( در کتاب هنر معلمی ، ص 160 ) توصیه هائی به معلمان شده است که :
1 – خوب گوش کنید در واقع شنونده خوبی باشید .
2 – کلیه شاگردان را به شرکت در بحث دعوت کنید .
3 – به یک نفر اجازه ندهید متکلم وحده باشد .
4 – بحث های گروهی را در حد امکان و به شرطی که بقیه شنوندگان خوبی باشید تشویق کنید .
5 – به شاگردان اجازه دهید ترس ها ، انتظارات و آرزو های خود را بیان کنند .
6- شاگردان را به حقوق اجتماعی ترغیب کنید.
7- با استفاده از مهارتهای کلیه افراد کلاس توجه داشته باشید.
8- به شاگردان کمک کنید از یکدیگر انتظارات معقول داشته باشند.
9- بدانید که روشهای رهبری متقابل معلم و شاگرد باید انعطاف پذیر باشد تا بتوان انتظارات متقابل را آزادلنه بیان یا پیش بینی کرد .
10- به این نکته التفات داشته باشید که هر یک از شاگردان علاقمند بتوانند به رهبری کلاس یا گروه برسند .
11- رهبری موثر از خود – رهبری ریشه می گیرد و لازم است این نکته برای شاگردان تصریح شود.
یادگیری فعال ، ایجاد انگیزش ، ایجاد محیط و دموکراتیک ، رعایت استقلال نسبی و کنترل شده فرا گیران ، خود معلم از ایجاد فضای توام با اجبار و تقلید ، تحریک تفکر و استفاده ه از تشویق عوامل سازنده معلم خوب است.
برای یادگیری ریاضی از سطح پیش دبستانی و دوره راهنمایی ابتدا لازم است با خصوصیات رشد کودکان بخصوص نظریات پیاژه و اریکسون باید مد نظر قرار داد.

چگونگی یادگیری ریاضی در دوره پیش دبستانی .

رشد کودکان تا سن 6 ساله
دوره های رشد از دیدگاه پیاژه :
ژان پیاژه (1896- 1982 ) شناخت شناس و پژوهشگر بزرگ سو یسی یکی از نامورترین روان شناسان قرن کنونی به شمار می آید .
از نظر او رشد کودک در تحویل اندیشه وادراک است به همین جهت نظریه پیاژه به رشد شناختی – ادراکی معروف است . وی در تشریح نظریه خود با دقت و مو شکافی خاصی به توصیف وتکامل رشد وزبان ، اندیشه ، استقلال ، داوری ، سنجش اخلاقی کودکان می پر دازد 1.
کلیه مربیان بویژه آنهایی که می خواهند علوم تجربی و ریاضی را به کودکان آموزش دهند ضرورتا بایستی با مراحل رشد کودکان آشنا باشند.
دوره رشد از دیدگاه پیاژه :
در دوره اول حس وحرکتی 2از تولد تا 2 سالگی را در بر می گیرد با توانائی کوئک در ادراک امور ساده و فعالیتهای جنبش مشخص می شود در این دوره کودک بتدریج از حرکات بازتابی ویژه نوزا دان دست می کشد و به اعمال سازمان یافته می پردازد .
در دوم = قبل از عملیات عینی 1از پایان دو سالگی تا هفت سالگی است . کودک بیشتر به نمادها و نمودارها روی می آورد چنان که صندلی گردان را اسب و عروسک را کودک شیر خوار می پندارد(ص 106 ، دکتر پارسا).
مراحل مختلف آموزش ریاضی .
الف مرحله اول………

آموزش ریاضی با روش و فنون جدید

ویژه
پیش دبستان ، دبستانی ، دوره راهنمایی تحصیلی

تالیف و تدوین
محمد علی حقدان

عضو هیئت علمی دانشگاه آزاد اسلامی
واحد رود هن

زمستان 80
1- (ترابی-اکبر-فلسفه علوم"ص355-1347 ).
1-نصر-سید حسین – ترجمه آرام ."علم و تمدن در اسلام "
2-همان کتاب
1- Symbol

2- شکوهی – غلامحسین "روش آموختن حساب و هندسه "
1 clapared
1-طاهر سعیدی – محمد "مسائل آموزش و پرورش "ص293
1-چهارمین دوره مقاله نویسی علمی – جلد دوم – دانشگاه اصفهان 1369 ص 29
1-بخش علمی -"افت تحصیلی " ص 67 چهارمین دوره مقاله نویسی
1-افروز – غلامعلی – مجله پیوند شماره 268-بهمن 80 ص 278
2-verteimer

3- Gauss

1-مان – روانشناسی – ترجمه محمود صاعی 1345 ص 274
1-نادری عزت الله – نراقی – مریم ."احساس و ادراک " 1367 – ص 21
1-سرمد – غلامعلی – "هنر معلمی " ص 153
1- روش تدریس ریاضیات ابتدائی – وزارت آموزش و پرورش ص 4
1-صفوی -امان الله . کلیات و روشها و فنون 69
1-سیف-علی اکبر 1370 ص 548
2-Devey
3-Clapared

1-حافظ ص133 انتشارات سعدی
2-سیف -علی اکبر "روانشناسی پرورشی " 1368 ص 357
1-حقدان – محمدعلی – اصول وبرنامه ریزی آموزش و پرورش پیش دبستانی
1-Quinzer
2-شکوهی – غلامحسین – روش آموختن حساب و هندسه
1- Edvard clapared Gohndewey

2-شریعتمداری – علی – "روانشناسی تربیتی " ص216
1-Clapared
1-John Dewey
1-شکوهی – غلامحسین – روش تدریس حساب و هندسه ص 60
1- پارسا – محمد – "روانشناسی رشد کودک و نوجوان " ص 101
2- Sensorymitor
1- Preapperotional Preiod
—————

————————————————————

—————

————————————————————

روشهای تدریس ریاضیات (4)