دانشگاه
دانشکده فنی و مهندسی
پروژه محاسبات عددی پیشرفته
بررسی روشهای حل معادلات دیفرانسیل معمولی
استاد:
تهیه کنندگان:
زمستان 87
فهرست مطالب ………………………………………………………………………………………. صفحه
فصل ششم: حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی
6-1- معرفی انواع معادلات دیفرانسیل ……………………………………………………………………………….5
6-2- روش سری تیلور ………………………………………………………………………………………………………..6
6-3- روش اویلر ………………………………………………………………………………………………………………….8
6-3-1- توصیف هندسی روش …………………………………………………………………………………………….10
6-4- روش اویلر اصلاح شده (روش هون) ……………………………………………………………………………..10
6-5- روش رونج- کوتا ………………………………………………………………………………………………………….12
6-5-1- روش رونج کوتای مرتبه 2 ………………………………………………………………………………………… 13
6-5-2- روش رونج کوتای مرتبه 4 ………………………………………………………………………………………… 14
-1-2-5-6 بحث در مورد روش……………………………………………………………………………………….. 15
-3-5-6 روش رونج کوتا فلبرگ………………………………………………………………………………………………….17
-4-5-6روش رونج کوتا مرسن………………………………………………………………………………………………….. 18
6-6- روش های چند مرحله ای ………………………………………………………………………………………………18
6-6-1- روش مایلن ……………………………………………………………………………………………………………….19
6-6-2- روش آدامز- مولتن …………………………………………………………………………………………………….20
6-6-3- بررسی گام مناسب ……………………………………………………………………………………………………22
6-4- بحث تکمیلی (روش آدامز- بشفورتس) ……………………………………………………………………………23
6-7- حل دستگاه معادلات دیفرانسیل ……………………………………………………………………………………..26
6-7-1- حل دستگاه به روش اویلر اصلاح شده………………………………………………………………………….27
2-7-6- حل دستگاه به روش رونج کوتا مرتبه 4………………………………………………………………………….28
6-7-3- معادلات سخت………………………………………………………………………………………………………….. 30
6-8- پایداری و همگرایی ……………………………………………………………………………………………………………….31
-1-8-6بررسی پایداری روش مایلن ……………………………………………………………………………………………….32
-1-1-8-6 نتیجه کلی ………………………………………………………………………………………………………………..34
-2-8-6 بررسی پایداری روش اویلر اصلاح شده …………………………………………………………………………..34
3-8-6- روند کلی بررسی پایداری یک روش ……………………………………………………………………………….35
-4-8-6 عبارت همگرایی ……………………………………………………………………………………………………………35
6-10-منابع ………………………………………………………………………………………………………………………………40
6- حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی
6-1- معرفی انواع معادلات دیفرانسیل
در بسیاری از مساﺌل فیزیکی و معادلات ریاضی ، سرعت تغییر یک متحرک ظاهر میشود بعنوان مثال برای یک جسم معادلات حرکت بر حسب متغیر، سرعت () و شتاب () وجود دارد. برای تعدادی از این معادلات بدست آوردن جواب با استفاده از آنالیزریاضی امکان پذیر باشد ولی حل بعضی از مساﺌل نیاز به دانش ریاضی وسیع و آشنایی گستردهای با مساﺌل فیزیکی دارد، به همین دلیل جواب آنها را نمیتوان بصورت سادهی ریاضی اراﺌه نمود. روشهای تقریبی حل آنها تنها راه دسترسی به جواب میباشد اما تا آنجا که امکان استفاده از آنالیز ریاضی وجود دارد روشهای تقریبی توصیه نمیشوند.
بطور کلی معادلات دیفرانسیل به دو دسته معادلات دیفرانسیل معمولی(Ordinary Differential Equation) و با مشتقات جزیی(Partial Differential Equation) تقسیم میشوند. معادلات دیفرانسیل معمولی نیز به دو دستهی مقدار اولیه ومقدار مرزی دستهبندی میشوند. مطابق با شرایط اضافی معلوم در تابع یا مشتق آن نوع ﻤﺴﺌله تشخیص داده میشود. اگر شرایط مورد نیاز تنها در یک نقطه داده شود در اینصورت یک ﻤﺴﺌله مقدار اولیه داریم و روش حل از نقطه معلوم شروع میشود. چنانچه شرایط داده شده در بیش از یک نقطه باشد برای شروع محاسبه٬ تنها اطلاعات در هر نقطه کافی نبوده و روش محاسبه شامل حل یک دستگاه معادلات یا بکارگیری مقادیر تخمینی در هر نقطه میباشد. این مقادیر تخمینی٬ در طی محاسبات بوسیله تکرار تصحیح میشوند. این نوع ﻤﺴﺌلهها٬ مساﺌل مقدار مرزی نامیده میشوند.برای مثال:
(1-6)
(2-6)
ﻤﺴﺌله مقدار اولیه را بصورت اختصار (I.V.P)ﻤﺴﺌله مقدارمرزی را (B.V.P) مینامند.
لازم به ذکر است که فرم کلی معادلات (I.V.P) بصورت زیر میباشد:
(3-6)
در این فصل به بررسی معادلات دیفرانسیل از نوع مقدار اولیه و روشهای حل عددی آن ها میپردازیم.
6-2- روش سری تیلور
یکی از روشهای حل معادله دیفرانسیل (I.V.P) که نمی توان آن را از روشهای حل عددی به حساب آورد٬ روش سری تیلور است. این روش بدلیل تک مرحلهای بودن٬ اراﺌه دقت بالا بعنوان مقدمهای برای معرفی روشهای حل دیگر مورد مطالعه قرار می گیرد. یکی از معایب این روش٬ انجام مشتقگیریهای مکرر و گاه دشوار برای بعضی توابع میباشد که در اینصورت استفاده از روش تیلور توصیه نمیشود.
با توجه به اینکه میتوان تابع تحلیلی که دارای مشتقات پیوسته در مراتب بالاتر میباشد را میتوان بصورت سری تیلور نمایش داد. (4-6)
برای تقریب تابع باید سری نامتناهی تیلور را به یک سری متناهی بصورت زیر تبدیل نمود
(5-6)
خطای رابطه ی (5-6) خطای برش موضعی (L.T.E) روش سری تیلور مرتبه n نامیده میشود.
خطا در یک گام بصورت زیر تعریف میگردد:
Error= (6-6)
برای داشتن خطای کمتر در محاسبه می توان مرتبه بزرگتری برای رابطه ی (6-6) در نظر گرفت و یا گام را کوچک فرض نمود.
مثال6-1 :
با روش تیلور مرتبه چهار ( n = 4) معادلهی زیر را حل کنید. جوابها را برای ( , ( h = 1, مقایسه کنید.
حل:
ابتدا باید مشتقهای تابع y(x) تعیین شوند. مشتقگیری تا بدست آوردن مشتق مرتبه چهار ادامه داده میشود.
محاسبهی مشتقات بالا در نقطهی(0,1):
جایگذاری مقادیر محاسبه شده در رابطهی تیلور:
نقطهی جواب محاسبه شده با h = 0.25 برابر است با: (0.25,0.8974915)= ()
برای یافتن باید مشتقات نقطه () را محاسبه کرده و در رابطهی تیلور قرار داد٬ در نهایت خواهیم داشت:
نقطهی جواب محاسبه شده با h = 0.25 برابر است با: (0.5,0.8364037)= ()
جدول زیر مقادیر جواب را با اندازه گامهای مختلف ارائه میدهد.
h =
h =
h = 1
1.0
1.0
1.0
1.0
0
0.9432392
0.125
0.8974917
0.8974915
0.25
0.8620874
0.375
0.8364023
0.8364037
0.8364258
0.50
0.8118678
0.8118696
0.75
0.8195920
0.8195940
0.8196285
0.8203125
1.00
0.9170997
0.9171021
0.9171423
1.50
1.1036383
1.1036408
1.1036826
1.1045125
2.00
6-3- روش اویلر
روش اویلر برای نشان دادن مفاهیم پیچیده در روشهای پیشرفته بکار برده میشود. این روش به دلیل خطای زیادی که در هنگام محاسبه ایجاد میشود استفاده محدودی دارد.
برای رسیدن به روش اویلر٬ از قضیه تیلور استفاده میکنیم. فرض کنید (جواب منحصربفرد معادله (6-1)) ٬ دو مشتق پیوسته بر بازه داشته باشد بطوری که میتوان نوشت:
(7-6)
اگر فقط توان اول را در نظر بگیریم٬ تقریب زیر که به معادله اویلر معروف میباشد بدست میآید:
(8-6)
مشخص است هر چه کوچکترباشد تقریب بهتری خواهیم داشت.
روش دیگری برای بدست آوردن معادله اویلر بر مبنای روشهای انتگرالی٬ استفاده از تقریب چند جمله ای تابع وانتگرالگیری از آن میباشد:
اولین و سادهترین تقریب ←
(9-6)
مثال 2-6:
با روش اویلر معادلهی زیر را حل کنید. جوابها را برای ( , ( h = 1, مقایسه کنید.
حل:
برای اندازهی گام h = 0.25 محاسبات عبارتند از :
این تکرار تا رسیدن به گام آخر ادامه مییابد.
جدول زیر مقادیر جواب را با اندازه گامهای مختلف ارائه میدهد.
h =
h =
h = 1
1.0
1.0
1.0
1.0
0
0.9432392
0.125
0.8974917
0.875
0.25
0.8620874
0.375
0.8364023
0.796875
0.75
0.50
0.8118678
0.759766
0.75
0.8195920
0.758545
0.6875
0.5
1.00
0.9170997
0.846386
0.765625
1.50
1.1036383
1.030827
0.949219
0.75
2.00
6-3-1- توصیف هندسی روش
اگر در نقطهی ( ) شروع کنیم و مقدار ضریب زاویهی ( ) f را محاسبه نماییم و به طور افقی به اندازه h و به طور عمودی به اندازهی ( ) f h حرکت کنیم٬ آن گاه در امتداد خط مماس بر منحنی y(x) حرکت کردهایم و در نقطهی ( ) متوقف شدهایم(شکل زیر را ملاحظه کنید.)
توجه داشته باشید که ( ) بر روی منحنی جواب نیست! اما این تقریبی است که ما تولید کردهایم. بنابراین ما باید از ( ) به عنوان یک جواب دقیق استفاده کنیم و با محاسبه ضریب زاویه ( ) f و استفاده از آن و به دست آوردن تغییر مکان عمودی بعدی ( ) f h و پیدا کردن مکان ( ) و غیره به پیش برویم.
شکل1-6
6-4- روش اویلر اصلاح شده (روش هون)
بدلیل دقت کم روش اویلر٬ از آن به تنهایی استفاده نمیشود بلکه از مدل پیشگویی و تصحیح (predictor-corrector) آن که به روش اویلر اصلاح شده (روش هون) معروف است استفاده میشود. در روش اویلر اصلاح شده با انتگرالگیری از تقریب مرتبهی بالاتر خواهیم داشت:
همانطور که قبلاً داشتیم (چند جملهای نیوتن- کوتز) منجر به فرمول زیر خواهد شد:
(10-6)
مشاهده میشود در رابطهی (10-6) ترم مجهول وجود دارد که موجب سختی در محاسبه میشود. لذا در ابتدا باید برای ٬ یک مقدار اولیه در نظر گرفته شود که بهترین حدس٬ مقدار اولیه بدست آمده از روش اویلر میباشد.
(11-6)
در این روش از متوسط شیبهای دو نقطه ابتدایی و انتهایی فاصله برای محاسبه استفاده میشود. با توجه به روند حل٬ روش اویلر اصلاح شده یک روش دو مرحلهای میباشد.
مثال 3-6:
با روش اویلر اصلاح شده معادلهی زیر را حل کنید. جوابها را برای ( , ( h = 1, مقایسه کنید.
حل:
برای اندازهی گام h = 0.25 محاسبات عبارتند از:
این تکرار تا رسیدن به گام آخر ادامه مییابد.
جدول زیر مقادیر جواب را با اندازه گامهای مختلف ارائه میدهد.
h =
h =
h = 1
1.0
1.0
1.0
1.0
0
0.9432392
0.125
0.8974917
0.898438
0.25
0.8620874
0.375
0.8364023
0.838074
0.84375
0.50
0.8118678
0.814081
0.75
0.8195920
0.822196
0.831055
0.875
1.00
0.9170997
0.920143
0.930511
1.50
1.1036383
1.106800
1.117587
1.171875
2.00
6–5 روش رونج – کوتا (Rung kutta Method )
می دانیم در روشهای تیلور خطای برسی موضعی ( G . T . E) از مرتبه O ( hn ) است و n را می توان بزرگ انتخاب کرد تا این خطا کوچک شود. اما عیب روش های تیلور از پیش تعیین کردن n و محاسبه مشتقات مراتب بالاتر است . روش رونج – کوتا از طریق تیلور مناسب به گونه ای بدست می آید که G.T.E از مرتبه( hn) O باشد .
در این روش تعدادی تابع در هر گام محاسبه می شود و طوری عمل می شود که محاسبه مشتقات بالاتر حذف گردد .
این روش برای هر مرتبه ای از n می تواند ایجاد گردد .
متداولترین روش رونج کوتای مرتبه 4 است ، که برای محاسبات معمولی توصیه می شود، زیرا کاملاً دقیق و پایدار بوده و یکی از روشهای تک مرحله ای محسوب می شود که کاربردی ساده دارد. در ادامه به بررسی این روش پرداخته می شود .
6-5-1- روش رونج – کوتای مرتبه 2
روش رونج – کوتای مرتبه 2 دقت روش سری تیلور مرتبه 2 را پیش بینی می کند . اگر چه این روش برای استفاده به خوبی روش رونج – کوتای مرتبه 4( RK4) نیست ولی دارای اثبات ساده تری نسبت به روش RK4 است .
روش اویلراصلاح شده را در نظر میگیریم:
چنانچه ضرایب را به طور کلی در نظر بگیریم
(12-6)
که در حالت کلی روش رونج – کوتا از یک ترکیب خطی دو مقدار تابع برای محاسبه yi+1 استفاده می کند .
برای محاسبه ضرایب بسط سری تیلورحول (xi,yi) را در نظر می گیریم :
(13-6)
در نتیجه با جایگذاری k2در معادله(13-6) داریم:
با مقایسه معادله بدست آمده با سری تیلور متوجه می شویم که:
در بدست آوردن ضرایب در این روش با یک دستگاه 3 معادله و 4 مجهول مواجه هستیم :
6-5-2 -روش رونج – کوتای مرتبه 4
این روش دقت روش سری تیلور مرتبه 4 را پیش بینی می کند و در نتیجه دارای خطای برشی موضعی ( h4 ) O می باشد .
از آنجا که در بدست آوردن ضرایب،با یک دستگاه 11 معادله و 13 مجهول روبرو هستیم که این دستگاه با انتخاب جواب 2 مجهول به طور اختیاری حل می شودولی در حالت کلی اثبات از لحاظ جبری پیچیده است . مانند روشهای قلبی ، بازه[a,b] به M زیر بازه با طول مساوی h تقسیم کرده با شروع از ( x0,y0 ) ، چهار محاسبه جهت تعیین مقدار تابع در هر گام لازم می باشد تا تقریبهای مناسبی برای (xi,yi)به صورت زیر ایجاد شود :
(14-6)
6-5-2-1 بحثی درباره روش :
نمودار منحنی جواب را دربازه (x0,x1) را در نظر بگیرید . مقادیر تابع در رابطه ی ( 1 ) تقریبهای برای ضریب زاویه های این منحنی هستند. در اینجا k1 ضریب زاویه در چپ است ، k3 , k2 برای ضریب زاویه منحنی در وسط می باشد ، و k4 ضریب زاویه در راست است ( شکل زیر بیانگر این مطلب است ) .
شکل6-2
نقطه بعدی (x1,y1) از انتگرالگیری تابع ضریب زاویه بدست می آید :
اگر قاعده سیمپسون با اندازه گام h/2 به کار برده شود، آنگاه انتگرال رابطه بالا از عبارت زیر بدست می آید:
(6-15)
که در آن x1/2 نقطه وسط بازه می باشد مقدار تابع لازم است کهf(x1,y(x1))=k4, f(x0, y(x0))=k1 می باشد و برای مقدار وسط میانگین k3, k2 را انتخاب می کنیم ، یعنی :
این مقادیر را در رابطه (6-15 ) برای محاسبه y1 قرار می دهیم:
مثال6- 4 :
از روش RK4 برای معادله دیفرانسیل مقدار اولیه y/= x-y/2 بر روی بازه [0,2] با y(0)=1 حل کنید جوابها را برایh=1,1/2,1/4 مقایسه کنید.
1
1
1
1
0
125.0
89749.0
89749.0
25.0
375.0
83641.0
83641.0
83643.0
5.0
81187.0
81187.0
75.0
81959.0
81959.0
81963.0
82031.0
1
91709.0
91711.0
91714.0
5.1
10368.1
10364.1
10368.1
1045.1
2
6-5-3 روش رونج – کوتا فلبرگ ( RKF45 )
برای بدست آوردن دقت بالاتر در حل یک معادله دیفرانسیل مقدار اولیه می توان مقدار h را کوچک نمود و با مقدار جوابها در گام بزرگتر مقایسه نمود اگر میزان خطا زیاد بود h را مجددا کم نموده تا به خطای مورد نظر دست یابیم لذا میزان محاسبات برای گام با اندازه کوچکتر بیشتر می شود
روش رونج – کوتافلبرگ روشی است که در هر گام دو تقریب مختلف برای جواب بدست می آورد و این دو جواب مقایسه می شوند. اگر جوابها موافق با دقت خواسته شده بود ، تقریبا پذیرفته می شود وگرنه اندازه گام کاهش می یابد . در ضمن اگر جوابها با بیش از ارقام با معنی مورد نیاز موافق باشد ، اندازه گام افزایش می یابد .
در هر مر حله محاسبه 6 مقدارتابع ضروری است و ضرایب از روابط زیر به دست می آید :
(6-16)
از روابط فوق جوابی تقریبی برای معادله دیفرانسیل مقدار اولیه مزبور با استفاده از روش رونج – کوتای مرتبه 4 بدست می آید :
(6-17)
تقریب بهتر با استفاده از روش رونج – کوتای مرتبه 5 حاصل می شود که دارای خطای برشی موضعی o(h)5 می باشد :
(6-18)
6-5-4 روش رونج – کوتا مرسن (Runge Kutta Merson):
در انتها در این بخش روش رونج کوتا مرسن Runge Kutta Merson را ارائه می کنیم . این روش یکی دیگر از روشها با خطای مرتبه 4 است . هر چند محاسبه پنج تابع در این روش الزامی است و در نتیجه پنج k متفاوت قابل محاسبه می باشد .
از فرمول داده شده متوجه می شوید که مرتبه داده شده مربوط به خطای کلی است نه تعداد k ها . مزیت این روش نسبت به رونج کوتای مرتبه 4 است که می توان برای تغییر دادن اندازه گام به کار رود ، بدست آورد ، در صورتی که در روش رونج کوتا محاسبه خطا بسیار پیچیده است .
(6-19)
6-6- روش های چند مرحله ای(Multistep Methods)
در بخش6-5 با انتگرالگیری تقریب چند جملهای تابع به رابطه ی اویلر اصلاح شده دست یافتیم. برای افزایش دقت حل باید جملات بیشتری از تقریب چند جمله ای تابع در نظر بگیریم. این موجب ورود جملات و…میشود. با توجه به اینکه نباید از مقادیر پیشرو در حل استفاده شود (بعنوان مثال جمله ) لذا از بسط پسرو برای فرمولهای مرتبه ی بالاتر استفاده می شود. بطور کلی در روشهای حل عددی معادله مبتنی بر انتگرالگیری از تابع ٬ تعداد نقاط بکار رفته در بدست آوردن تقریب چند جمله ای میتواند بر درجه چندجمله ای و جواب تاثیر گذارد.
چنانچه سه نقطه استفاده شود چند جملهای تقریبی٬ درجه دو خواهد شد و در صورت استفاده از چهار نقطه٬ چند جملهای حاصل درجه سه میباشد. هرچه تعداد نقاط بیشتر باشد دقت بهتر خواهد بود. با توجه به درجه تقریب چند جمله ای تابع وحدود در نظر گرفته شده برای انتگرالگیری٬ دو روش مایلن و آدامز- مولتن بمنظور حل عددی معادله دیفرانسیل (I.V.P) مورد استفاده قرار میگیرند.
6-6-1- روش مایلن(Milne's Method)
از جمله روشهای چند مرحلهای که نیاز به پیشگویی و تصحیح دارد روش مایلن میباشد. در این روش با در نظر گرفتن سه نقطهای که تابع از آنها عبور کرده تابع را به چند جملهای درجه دو تقریب میزنیم٬ سپس با انتگرالگیری از آن با محدودهی و در قسمت پیشگویی مقدار را بدست خواهیم آورد.
پس از انتگرالگیری فرمول زیر برای مقدار پیشگویی بدست میآید:
(6-20)
برای قسمت تصحیح از همان چند جملهای قسمت قبل استفاده می شود اما حدود انتگرالگیری تغییر میکند:
پس از انتگرالگیری فرمول زیر برای مقدار تصحیح بدست میآید:
(6-21)
6-6-2- روش آدامز- مولتن (Adams – Moulton)
در روش آدامز- مولتن با در نظر گرفتن چهار نقطهای که تابع از آنها عبور کرده تابع را به یک چند جملهای درجه سه تقریب میزنیم سپس با انتگرالگیری از آن با محدودهی و مقدار را بدست خواهیم آورد.
برای قسمت پیشگویی داریم :
پس از انتگرال گیری فرمول زیر برای مقدار پیشگویی بدست می آید:
(6-22)
برای قسمت تصحیح از فرمول بسط پسرو (حول i+1) استفاده می کنیم:
پس از انتگرال گیری فرمول زیر برای مقدارتصحیح بدست می آید:
(6-23)
این روش همچون روش مایلن از نوع روشهای پیشگویی و تصحیحکننده میباشد که کارآمدتر از روشهای رونج کوتا میباشند اما تعداد محاسبات در هر مرحله از آنها بیشتر است. از آنجا که روش مایلن مشکل ناپایداری دارد روش آدامز- مولتن کاربرد بیشتری خواهد داشت.
مثال6-5:
تقریبی برای جواب معادله I.V.P زیر با استفاده از دو روش حل مایلن و آدامز- مولتون و با محاسبه کنید.
حل :
از روش رونج- کوتا برای بدست آوردن مقادیر اولیه زیر استفاده شده است.
با استفاده از روابط (6-22) و (6-23) خواهیم داشت :
مایلن
آدامز- مولتن
x
1.00000000
1.00000000
0.0
0.83640231
0.83640227
0.5
0.81984687
0.81984673
0.625
0.81186778
0.81186762
0.75
0.81194555
0.81194530
0.875
0.81959190
0.81959166
1.0
0.91709957
0.91709920
1.5
1.10363822
1.10363781
2.0
6-6-3- بررسی گام مناسب
در روشهای چند مرحلهای٬ مطلوب آن است که خطای برشی موضعی قابل تعیین باشد و وجود یک جملهی تصحیح که دقت جواب را در هر گام بهبود بخشد و همچنین امکان آن باشد تعیین کنیم که آیا اندازهی گام به اندازهی کافی کوچک میباشد تا یک جواب دقیق برای بدست میآید و در عین حال به اندازه کافی بزرگ میباشد تا از محاسبات و وقت مصرفی غیرلازم جلوگیری بعمل آید.
چنانچه 0> و اندازهی گام خیلی بزرگ باشد٬ ممکن است روش پیشگو- تصحیحکننده ناپایدار باشد. به عنوان قاعدهای عملی٬ پایداری وجود دارد هر گاه یک خطای کوچک به صورت خطای کاهشی تکثیر یابد و ناپایداری وجود دارد هر گاه یک خطای کوچک به صورت خطای افزایشی تکثیر یابد. اگر از گامی با اندازهی خیلی بزرگ بر روی بازهای بزرگ استفاده شود٬ ناپایداری نتیجه خواهد شد و در بعضی موارد توسط نوساناتی در جواب محاسبه شده آشکار میشود٬ میتوان آنها را با تعویض نمودن گام با یک گام کوچکتر تقلیل داد. میتوان ثابت کرد که اندازه گام برای روشها باید در شرایط زیر صدق کند:
روش آدامز- مولتون
(6-24)
روش مایلن
(6-25)
در روابط بالا نماد ≫ به معنای " خیلی کوچکتر از" میباشد. مثال بعد نشان میدهد که بیشتر باید از نامساویهای محض زیر استفاده کرد:
روش آدامز- مولتون
(6-26)
روش مایلن
(6-27)
6-6-4- بحث تکمیلی (روش آدامز- بشفورتس)
از جمله روشهای چند مرحلهای دیگر که بر مبنای انتگرالگیری از تقریب چندجملهای تابع بدست میآید روش آدامز- بشفرتس میباشد. این روش مشابه آدامز- مولتون است با این تفاوت که انتگرال با روش ذوزنقهای تقریب زده میشود.روابط بدست آمده برای این روش عبارتند از:
برای بدست آوردن رابطهی آدامز- بشفورتس دوگامی از تابع خطی درونیاب پسروی نیوتن برای خواهیم داشت:
(6-28)
رابطهی (6-28)٬ فرمول آدامز-بشفورتس دوگامی نامیده میشود که به اختصار آن را (AB2) مینامند. خطای موضعی آن نیز از مرتبهی خطای انتگرالگیری ذوزنقهای ساده است.
بطور متشابه چنانچه از تقریب چند جملهای درجه دو انتگرالگیری کنیم خواهیم داشت:
(6-29)
رابطهی (6-29)٬ فرمول آدامز-بشفورتس سهگامی نامیده میشود که به اختصار آن را (AB3) مینامند. خطای موضعی آن نیز از مرتبهی o()است.
رابطهی (6-30)٬ فرمول آدامز- بشفورتس چهارگامی نامیده میشود که به اختصار آن را (AB4) مینامند. خطای موضعی آن نیز از مرتبهی o()است.
(6-30)
با مشاهده رابطهی بدست آمده برای آدامز- بشفورتس چهارگامی و رابطهی پیشگوکننده آدامز- مولتون به نتایج مشابهی خواهیم رسید. لازم بذکر است که برای قسمت تصحیح از رابطهی () استفاده خواهد شد.یک نقص عمده در روشهای چندگامی این است که خود- آغاز نیستند٬ برای مثال اگر بخواهیم از فرمول آدامز- بشفورتس دوگامی استفاده کنیم دو مقدار آغازین و لازم هستند که تنها معلوم است. لذا باید از یک روش تک گامی نظیر رونج- کوتا محاسبه شود. به طور کلی٬ هر روش آدامز- بشفورتس با یک روش تک گامی که خطای موضعی آنها یکسان باشند همراه است. برای مثال٬ روش آدامز- بشفورتس چهارگامی با روش رونج- کوتای مرتبهی چهار به کار میرود. امتیاز روشهای آدامز- بشفورتس بر روشهای تک گامی آن است که در هر تکرار تنها یکبار به محاسبهی تابع نیاز است.در حالیکه در روش تک گامی اویلر اصلاح شده دو بار و در روش رونج- کوتای مرتبه چهار نیاز به چهار بار محاسبهی میباشد.
روشهای اویلر و رونج- کوتا و روش چندگامی آدامز- بشفورتس از نوع روشهای صریحاند به این معنا که در هر گام٬ از تقریبات بدست آمده در گامهای قبل استفاده میشود.یک نقص روشهای صریح٬ ناپایداری است که گاهی در این روشها دیده میشود. این مشکل در روشهای ضمنی وجود ندارند. روشهای ضمنی شامل روابطی میشوند که در آنها مقدار مجهول در دو طرف رابطه موجود میباشد مثل روابط تصحیح کنندهی روشهای آدامز- مولتن و مایلن.
مقایسهی کلی روشهای معرفی شده در جدول زیر آمده است :
روش
نوع
خطای موضعی
خطای کلی
محاسبه تابع/گام
پایداری
سادگی تغییر گام
توصیه
اولر اصلاح شده
تک مرحله
O(h3)
O(h2)
2
خوب
خوب
نه
رونج-کوتای مرتبه 4
تک مرحله
O(h5)
O(h4)
4
خوب
خوب
بله
مایلن
چند مرحله
O(h5)
O(h4)
2
ضعیف
ضعیف
خیر
آدامز -مولتون
چند مرحله
O(h5)
O(h4)
2
خوب
ضعیف
بله
7-6معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر :
معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر شامل مشتقات بالاترو غیره می باشند . این گونه معادلات در مسائل فیزیکی و مهندسی مطرح می شوند برای مثال :
که یک دستگاه مکانیکی را نشان می دهد که در آن یک فنر با ثابت k یک جرم جا به جا شده را به حالت اول بر می گرداند.
اصطکاک متناسب با سرعت فرض می شود و تابع یک فشار خارجی است. وضعیت و سرعت در یک زمان مشخص به عنوان شرایط مقدار اولیه در نظر گرفته می شوند . با حل معادله نسبت به مشتق دوم ، می توان مساله مقدار اولیه مرتبه 2 . به صورت زیر نوشت :
معادله دیفرانسیل مرتبه 2 به صورت دستگاهی با 2معادله دیفرانسیل مرتبه اول تفکیک کرد . بنابر این با تغییر متغیر
برای مثال معادله را در نظر بگیرید، معادله فوق را می توان به صورت زیر تفکیک نمود:
بنابراین اگر معادله دیفرانسیل مرتبه n را با شرایط زیر در نظر بگیریم :
که این معادله به n معادله دیفرانسیل مرتبه تبدیل کرد :
دستگاه بدست آمده را می توان از روشهای حل معادلات دیفرانسیل مقدار اولیه ذکر شده در قبل ( رونج – کوتا ، سری تبلور ، روش اویلر اصلاح شده) حل نمود.
1-7-6حل دستگاه به روش اویلر اصلاح شده:
با روش اویلر اصلاح شده قبلاُ آشنا شدید،میدانید که معادلات آن به صورت زیر در نظر گرفته می شود:
در ابتدا معادله دیفرانسیل مرتبه n را به n معادله دیفرانسیل مرتبه یک تبدیل نمودهو سپس این روش را برای هر کدام از معادلات اعمال نمایید ونهایتاُ معادلات به صورت زیر در می آید:
2-7-6حل دستگاه به روش رونج – کوتا مرتبه 4 :
برای حل دستگاه مزبور می توان از روش رونج – کوتای مرتبه 4 استفاده نمود . بنابر این جوابهای دستگاه به صورت زیر می باشد :
که ضرایب m و kاز فرمول های زیر بدست می آید :
در ضمن kوm به صورت همزمان بایستی محاسبه شوند به همین شیوه می توان از روش رونج – کوتا شوند به همین شیوه می توان از روش رونج – کوتا فلبرگ برای حل دستگاه استفاده کرد که در مثال زیر چگونگی حل بررسی خواهد شد.
مثال6-6:
بنابراین با استفاده از فرمول مرتبه 5 مقدارو از روابط زیر حاصل می شود .
به همین صورت سایر ضرایب نیز بدست می آید:
بنابراین با استفاده از فرمول مرتبه 5 مقدار و از روابط زیر حاصل می شود.
6-7-3- معادلات سخت
معادلات سخت در مسائلی بوجود می آیند که معیارهای زمانی موجود در طبیعت آنها اختلاف قابل ملاحظه ای دارند. مثل دستگاه ساده زیر:
حل تحلیلی این دستگاه عبارت است از:
اکنون فرض کنید می خواهیم این دستگاه را به روش اولر ساده با h=0.1 حل کنیم:
حل معادلات سخت (stiff) به روش ضمنی:
اکنون این دستگاه را به روش اولر ضمنی با h=0.1 حل کنیم:
چنانچه این دستگاه را به روش اولر صریح و ضمنی با h=0.0001 حل کنیم پاسخ:
-8-6پایداری و همگرایی
در حل عددی معادلات دیفرانسیل در هر گام حل خطایی وجود دارد که خطای برشی موضعی نامیده می شود.
(local truncation error)
همانگونه که قبلا نیز گفته شد وبا توجه به رابطه فوق هر چه h کوچکتر باشد مقدار E کمتر است و نتیجه محاسبه در یک گام دقیقتر است.
ولی همیشه کوچک بودن E ملاک کوچک بودن خطای حل (solution error) نیست .
زیرا خطای حل هم بستگی به E دارد و هم به چگونگی انتشار خطا از یک گام به گام دیگر بستگی دارد.
بنابراین بسیار مهم است که خطا از یک گام به گام بعد کاهش یابد. به بیان دیگر انتشار خطا باید روند نزولی داشته باشد.(پایدار باشد)
در صورت وجود شرط فوق دو معادله دیفرانسیل و جبری سازگار یا هم ارز (consistent) خواهند بود .
درمورد انتشارخطا می توان روش آدامز مولتون و مایلن را با یکدیگر مقایسه نمود، در حالت کلی روش آدامز – مولتون نسبت به روش مایلن پایدارتر است . اما در تمامی موارد نمی توان پایداری روش آدامز را اثبات کرد .می توان توسط یک مثال محاسباتی پایداری این دو روش را بررسی نمود . ( به کتاب درسی جرالد صفحه472 مراجعه شود .)
با بررسی این مثال متوجه می شوید که در روش مایلن خطای نسبی بزرگی نسبت به خطای نسبی در روش آدامز – مولتون وجود دارد . در صورتی که انتظار داریم با کاهش میزان h دقت بیشتر گردد و خطا کمتر شود در روش مایلن بر خلاف روش آدامز – مولتون چنین روندی مشاهده نمی شود.
علت وجود چنین رفتاری در روش مایلن را وجود جمله کاذب و یا parasite است چنین جملات کاذبی همواره در روشهای گام به گام که به منظور افزایش دقت به کار می روند رخ می دهد . . بنابراین به طور کلی اگرروشی تمایل به تقویت خطا داشته باشد ، هر چه h را کوچک کنیم باز هم سیستم ناپایدار خواهد بود . لذا پایداری و هم ارزی دو مبحث مجزا هستند.
در مورد روش رونج – کوتا جوابهای کاذب تولید نمی شود . و ناپایداری در صورت وجود هم با کاهش h حذف می گردد و کلا این روش پایدار تلقی می گردد .
وجود جمله کاذب در مثال زیر توسط بررسی پایداری مایلن به صورت عددی نشان داده می شود.
-1-8-6بررسی پایداری روش مایلن
یک معادله دیفرانسیل ساده در نظر می گیریم:
حل تحلیلی این معادله دیفرانسیل به صورت زیر است:
اکنون روش مایلن را برای حل عددی این معادله دیفرانسیل اعمال می کنیم (قسمت تصحیح)
با جایگذاری و ساده نمودن داریم :
حل معادله جبری بدست آمده عبارت است از :
این حل به روش جبر اوپراتور بدست می آید، به همان روشی که جبر اوپراتورها برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی بکار می رفت:
روش جبر اوپراتورها برای حل معادله جبری اعمال نمایید. با جاگذاری حل به فرم زیر در معادله جبری:
می دانیم که:
در صورتیکه h کوچک باشد ازr2 در مقابل 1 می توان صرفنظر نمود.
از از بسط مک لوران می دانیم که:
حال پاسخ های بدست آمده از حل جبری را به فرم نمایی (یعنی به فرم پاسخ تحلیلی مساله می نویسیم):
این روابط زمانی که h = 0 صحیح می باشد.
اکنون پاسخ بدست آمده از حل جبری را مورد ارزیابی قرار می دهیم:
پایداری روش بستگی به رشد یا میرایی ترم پارازیت)جمله کاذب) دارد.
-1-1-8-6نتیجه کلی
اگر درجه معادله منفصل شده از درجه معادله دیفرانسیل بیشتر باشد در این صورت جواب پارازیتی خواهیم داشت اما چنانچه هم درجه باشند جواب پارازیتی نداریم.
لذا روش های تک مرحله ای برای مقادیر به قدر کافی کوچک h ناپایدار نمی شوند.
-2-8-6بررسی پایداری روش اویلر اصلاح شده:
اگر مشابه همان روند را برای روش اویلر اصلاح شده اعمال کنیم:
با مقایسه جواب حل تحلیلی و عددی دیده می شود که به شرط کوچک بودن h هر دو جواب یکی هستند. پس روش پایدار است.
-3-8-6روند کلی بررسی پایداری یک روش
در معادله دیفرانسیل مرتبه n قرار دهید:
ریشه معادله مشخصه بدست آمده را بدست آورید:
پاسخ کلی بدست آمده به شکل زیر را در نظر بگیرید
در این رابطه h را به سمت صفر میل دهید:
یک حل به سمت جواب میل خواهد کرد
در این صورت چنانچه
روش پایدار است.
-4-8-6عبارت همگرایی
در روش اویلر و اویلر اصلاح شده جوابهای بدست آمده تا بدست آمدن جوابی مطلوب برای دوباره تصحیح می شوند بنابراین در این روش محاسبات زیادی نسبت به سایر روشها لازم است. در روش آدامز- مولتون و مایلن، معمولاً تصحیح مجدد صورت نمی گیرد بلکه h را به اندازه کافی کوچک انتخاب می کنند.
در این بخش، عبارتی را بدست می آوریم که نشاندهنده ماکزیمم مقدار h جهت همگرایی عبارت است:
تفاضل از در صورت تصحیح مجدد:
(6-31)
در معادله ( 6-31 ) مقدار از روش زیر بدست می آید:
بنابراین (6-32)
اگر مجدداً تصحیح را انجام داده نتیجه زیر حاصل می شود:
(6-33)
تصحیحات مجدد بیشتر روابطی مشابه رابطه بالا نتیجه می دهد. توسط اضافه نمودن تمامی تصحیحات به نتیجه می شود :
(6-34)
مقدار اضافه شده به معرف یک سری هندسی است البته اگر نسبت r کوچکتر از 1 باشد:
بنابراین
(35-6)
در نتیجه مقدار h مناسب جهت همگرایی از رابط زیر بدست می آید:
(6-36)
برای بدست آوردن تا دقت 5 رقم اعشار:
(6-37)
بنابراین عبارت دیگر همگرایی جهت اطمینان از اینکه نیازی به تصحیح مجدد نباشد، بدست می آید:
(6-38)
بنابراین در روش آدامز – مولتون 2 عبارت جهت همگرایی تا دقت N رقم اعشار موجود می باشد که
(6-39)
عبارتی مشابه برای روش مایلن استخراج می شود:
(6-40)
مثال6-7:
معادله زیر را در نظر بگیرید:
مقدار h ماکزیمم از روش 1) مایلن
2) آدامز – مولتون
جهت بدست آوردن دقت 5 رقم اعشار؟
1 ) مایلن
بنابراین با انتخاب h=0.2 می توان D را بدست آورد:
بنابراین تفاضل بنایستی از مقدار بدست آمده تجاوز کند و اگر از این مقدار بیشتر شود نیاز به تصحیح مجدد خواهد بود. این مقدار بدست آمده، دقت 5 رقم را نیز تضمین می کند زیرا برای داشتن دقت 5 رقم بایستی باشد که انتخاب این شرط را نیز ارضا می کند.
2) روش آدامز- مولتون
اگر h=0.2
و دوباره با مقایسه مقدار D برای بدست آوردن دقت 5 رقم متوجه می شویم که بایستی باشد که با انتخاب دقت 5 رقم را نیز پیش بینی کرده ایم.
6-10- منابع
1- روشهای محاسبات عددی/ مولف: جان.اچ.متیوز/مترجم:دکتر فائزه توتونیان/چاپ دوم/انتشارات خراسان
2- محاسبات عددی برای دانشجویان علوم و مهندسی/ مولف:دکتر اصغر کرایهچیان/چاپ سوم/انتشارات تیهو
3- محاسبات عددی/مولف: جرالد
4- محاسبات عددی/مولف:دکتر بهمن مهری و دکتر رضا نخعی /ویرایش دوم
5- محاسبات عددی /ترجمه وتالیف دکتر اسماعیل بابلیان،دکتر خسرو مالک نژاد
2