پاورپوینت حل معادلات دیفرانسیل معمولی مسایل مقدار مرزی

1
حل معادلات دیفرانسیل معمولی

مسایل مقدار مرزی

2
مقدمه:
در مسائل مقدار مرزی مثل مساله پخش (diffusion) طبیعت رفتارمعادله دو طرفه است.
در چنین مسائلی فیزیک مساله از مرزها تاثیر می پذیرد. مثل میله ای که در آن انتقال حرارت صورت می پذیرد. در این مثال توزیع دما در میله تابع دما در دو سر میله است.

3
مقدمه:
حل معادلات مقدار مرزی از این قبیل از طریق دستگاه معادلات حل می شود ، چون مقادیر از نقاط اطراف تاثیر می پذیرند .

4
مقدمه:
در روش دیگر (Shooting Method )، مقداری را به عنوان مقدار اولیه (به جای مقدار مرزی نهایی ) حدس می زنیم وبا آن پیش می رویم و سپس حدس را تصحیح می کنیم ..
در گذشته از این روش استفاده می شد ولی امروزه کمتر از آن استفاده می شود .

5
Shooting Method
روشی که در آن معادلات مقدار مرزی را به روش معادلات مقدار اولیه حل می کنیم .

6
Shooting Method
روشی که در آن معادلات مقدار مرزی را به روش معادلات مقدار اولیه حل می کنیم .
به عنوان یک مساله مقدار مرزی به مقدار F (1) نیاز داریم (شیب در نقطه1) لذا برای این مقدار حدس می زنیم.

7
Shooting Method

8
مبنای روش
مبنای این روش این است که چنانچه معادله خطی باشد رابطه بین مقادیر مرزی و پاسخ خطی خواهد بود.
چون حدس اول و دوم جواب معادله دیفرانسیل به ازای مقادیر مرزی متفاوت بودند و ترکیب خطی دو جواب هم یک جواب برای معادله دیفرانسیل است .

9
مبنای روش
قضیه : اکر معادله دیفرانسیل Q"+FQ'+GQ=H دارای دو جواب Q1 و Q2 باشد آنگاه ترکیب خطی این دو تابع نیز پاسخی از معادله خواهد بود .
به کمک این قضیه به راحتی می توان (حتی بدون محاسبه سومین فرض که میانیابی دو شرط اولیه بوده) به پاسخ معادله دست یافت .

10
اثبات قضیه

11
Shooting Method
اکنون می خواهیم دو پاسخ Q1 و Q2 از معادله دیفرانسیل را طوری ترکیب خطی کنیم که حاصل منطبق بر پاسخ واقعی شود . فرض می کنیم :

C1, C2 بدست می آید. C1=-0.3334 C2=1.3334

12
Shooting Method
حالا اگر معادله مرتبه 3 یا چهار باشد به مشکل حدس زیاد و حجم بالای محاسبات بر می خوریم ، لذا این روش برای مرتبه های بالاتر از 2 توصیه نمی شود .

اگر معادله غیر خطی را بخواهیم از روش Shooting حل کنیم مقدار دو فرض اولیه خیلی باید به هم نزدیک باشند . به طوری که فرض و رفتار خطی برای آن معقول باشد.

13
Shooting Method
لذا روش shooting اصلا برای معادلات غیر خطی توصیه نمی شود .
مثلاً حل معادله زیر:

14
Shooting Method
حل: