1
معادلات دیفرانسیل معمولی رشته شیمی))
بنام حضرت دوست که هرچه داریم از اوست
2
سرفصل معادلات دیفرانسیل
عنوان فصل اول: معادله دیفرانسیل مرتبه اول
1: ماهیت معادلات دیفرانسیل و طبقه بندی آنها
2: معادله دیفرانسیل جدا شدنی و تبدیل به آن
3: معادله دیفرانسیل همگن و تبدیل به آن
4: دسته منحنی ها و دسته منحنی های متعامد
5: معادله دیفرانسیل کامل
6:عامل انتگرال ساز
7: معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی و تبدیل به آن
3
فصل دوم: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم
1: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم حالت خاص فاقد یا
2: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن
3: معادله دیفرانسیل کشی-اویلر
4: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی غیر همگن ( تغییر متغیر)
5: روش ضرایب ثابت( ضرایب نامعین)
4
فصل سوم: حل معادله دیفرانسیل به روش سری ها
1: سری توانی
2: نقاط معمولی ومنفرد وجواب های سری معادلات دیفرانسیل
3: نقاط منفرد منظم معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
:4حالتی که معادله شاخص دارای ریشه های برابر است
5
فصل چهارم:
1: دستگاه معادلات دیفرانسیل
6
فصل پنجم: تبدیلات لاپلاس
1: تبدیل لاپلاس
2: خواص تبدیل لاپلاس
3: معکوس تبدیل لاپلاس
4: حل معادله دیفرانسیل به روش لاپلاس
5: تبدیل لاپلاس برخی توابع
7
ماهیت معادله دیفرانسیل وطبقه بندی آن
مقدمه: با مفهوم معادله یعنی رابطه ای که درآن تساوی باشد، آشنا هستیم. ساده ترین معادله یک مجهولی می باشد،
که بانماد نشانمی دهیم. مثلا معادله یک مجهولی درجه اول و معادله یک مجهولی درجه دوم و
معادله یک مجهولی درجه سوم والی آخر
8
معادله دو مجهولی که بانماد
نشان می دهیم
مثلا
معادله دو مجهولی درجه اول
معادله دو مجهولی درجه دوم والی اخر
درمورد معادله دونوع سوال قابل طرح می باشد:
الف) آیا
جواب معادله
می باشد؟
ب) جواب معادله راپیدا کنید؟
آیا جفت
جواب معادله
می باشد؟
9
جواب دادن به سوال الف) ساده می باشد زیرا با جایگذاری می توان مشخص کرد. ولی جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد. ابتدا باید معادلات را دسته بندی کرده وبرای هر نوع روش خاصی راارائه داده بعبارت دیگر برای حل معادله باید دو مرحله را مشخص کنیم:
1) مرحله شناخت
2) مرحله حل(روش حل)
10
حال اگر درمعادله
متغیر
رابعنوان متغیر
را بعنوان متغیر وابسته درنظر بگیریم آن گاه
تابعی از
می باشد و می توان درمورد مشتق تابع
مستقل و
صحبت کرد یعنی :
11
معادله ای که شامل ترکیباتی از
(متغیر مستقل) و
(متغیر وابسته) و مشتقات آن باشد را معادله دیفرانسیل نامیم وبا نماد
نشان می دهیم
تعریف:
درمورد معادله دیفرانسیل نیز می توان دو سوال طرح کرد:
الف) آیا تابع
جواب معادله دیفرانسیل می باشد؟
ب) جواب های معادله دیفرانسیل را پیدا کنید؟
12
جواب دادن به سوال الف) ساده است (با جایگذاری) مثلا آیا تابع
جواب معادله
میباشد؟
جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد وبستگی به نوع معادله وطبقه بندی آن دارد. باتعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل به سراغ سوال ب) می رویم.
تعریف: بیشترین تکرار مشتق در هر معادله را مرتبه آن وتوان بیشترین تکرار مشتق را درجه معادله دیفرانسیل نامیم.
13
مثلا :
معادله
مرتبه اول ، درجه سوم می باشد.
2) معادله
مرتبه سوم ، درجه اول می باشد.
3) معادله
مرتبه سوم ، درجه اول می باشد.
14
معادله دیفرانسیل جدا شدنی
مشابه معادله معمولی باتوجه به تعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل می توان آنها راطبقه بندی کرد. بنابراین ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه اول بصورت می باشد که اگر توان برابربایک باشد آنگاه معادله مرتبه اول درجه اول می باشد
بصورت کلی
که مرتبه اول درجه اول
می باشد
15
تعریف: معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول به صورت
را معادله جدا شدنی نامیم (مرحله شناخت). هر معادله مرتبه اول درجه اول جداشدنی را اختصارا معادله جداشدنی (جدایی پذیر)نامیم. هر معادله جدا شدنی را می توان بصورت کلی
تبدیل کرد.
16
حل معادله دیفرانسیل جداشدنی: با انتگرالگیری از معادله جداشدنی
می توان جواب آنرا محاسبه کرد.
تذکر: هدف از حل معادله دیفرانسیل محاسبه جواب عمومی معادله دیفرانسیل می باشد. جوابی را جواب عمومی نامیم هرگاه تعداد پارامترها به تعداد مرتبه معادله دیفرانسیل باشد که بعدا آنرا دقیقا تعریف خواهیم کرد.
17
مثال : معادله را حل می کنیم.
حل :داریم
آن گاه
درنتیجه ویا
جواب (عمومی)معادله است.
18
معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول ممکن است به ظاهر جداشدنی نباشد ولی با تقسیم برعباراتی می توان آن را تبدیل به جدا شدنی نمود.
مثال: معادله
به ظاهر جدا شدنی نیست، ولی با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافی داریم:
که جدا شدنی است پس با انتگرالگیری داریم :
جواب معادله است.
19
معادله دیفرانسیل همگن
ملاحظه شد معادله مرتبه اول درجه اول بصورت
ویا به صورت
می باشد
20
مثلا معادلات
معادلات مرتبه اول درجه اول می باشند که هیچکدام جدا شدنی نیستند ولی معادله اولی دارای خاصیتی می باشد که معادله دومی نیست. درمعادله دیفرانسیل اول تمام جملات توابع
از توان یکسان دو می باشد ولی معادله دومی چنین نیست. این مفهوم رابانماد ریاضی تعریف می کنیم.
21
تعریف : تابع دو متغیره
را تابع همگن از درجه نامیم هرگاه درشرط زیر صدق کند:
تابع
تابع همگن ازدرجه دو می باشد
تابع
تابع همگن از درجه یک می باشد.
22
تعریف: معادله دیفرانسیل
را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره
توابع همگن از درجه یکسان باشند. بعبارت دیگر معادله دیفرانسیل
را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره توابع همگن از درجه یکسان باشند.
23
حل معادله دیفرانسیل همگن: فرض کنیم معادله
همگن باشد. بافرض تغییر متغیر داریم پس
آن گاه با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود که
که معادله اخیر جدا شدنی است می توان آنرا به روش جدا شدنی حل کرد وبا جایگذاری
جواب معادله دیفرانسیل اولیه بدست می آید.
24
مثال: معادله دیفرانسیل همگن
را حل می کنیم باجایگذاری و
داریم:
با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافی
داریم:
25
تذکر: برای ساده کردن به جای معمولا را بعنوان پارامتر ثابت اختیار می کنیم.
جواب معادله دیفرانسیل می باشد.
26
دسته منحنی ها ودسته منحنی های متعامد
ملاحظه شد که جواب عمومی هر معادله دیفرانسیل مرتبه اول معمولا شامل یک ثابت اختیاری موسوم به پارامتر است. وقتی مقادیر مختلفی به این پارامتر نسبت داده می شود، یک دسته منحنی به دست می آید هر یک از این منحنی ها یک جواب خصوصی معادله دیفرانسیل مفروض است وهمه آنها با هم جواب عمومی آن را تشکیل می دهند. بنابراین معادله
جواب عمومی آن را تشکیل می دهند. بنابراین معادله
یک دسته منحنی می باشد.
27
حال می خواهیم دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی مفروض رابااستفاده از معادله دیفرانسیل بدست آوریم که کاربردی از معادله دیفرانسیل می باشد. بعنوان مثال تعدادی دسته منحنی رادر زیر رسم می کنیم :
28
29
حال با توجه به مطالب بالا وبا استفاده از روند زیر می توان دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی ها را پیدا کرد :
معادله دسته منحنی ها
معادله دیفرانسیل دسته منحنی ها
معادله دیفرانسیل دسته منحنی های متعامد
دسته منحنی های متعامد
30
مثال : دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های دوایر به مرکز مبدا وشعاع دلخواه رابدست می آوریم:
مشتق
دسته منحنی های متعامد
31
32
اغلب مناسب است که دسته منحنی های داده شده را برحسب مختصات قطبی بیان کنیم دراین حالت از این موضوع استفاده می کنیم که اگر زاویه بین شعاع حامل وخط مماس باشد آن گاه (ریاضی عمومی). با استفاده بحث بالا برای
یافتن دسته منحنی های متعامد درمعادله دیفرانسیل دسته منحنی
داده شده به جای عبارت منفی عکس آن یعنی
را جایگذاری می کنیم.
33
مثال : دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های
را درمختصات قطبی بدست می آوریم. معادله دسته منحنی ها در مختصات قطبی عبارت است از :
بنابراین :
که با حذف داریم:
ویا
34
که با جایگذاری به داریم:
معادله دسته منحنی های متعامد می باشد.
35
36
معادله دیفرانسیل کامل
درریاضیات عمومی با دیفرانسیل توابع دو متغیره
آشنا شدیم وملاحظه کردیم که دیفرانسیل کامل تابع را که با نماد نشان می دهیم عبارت است ا ز
وهمچنین معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول بصورت کلی می باشد.
37
تعریف :معادله دیفرانسیل
را معادله کامل نامیم هر گاه تابع دو متغیره
موجود باشد بطوری که و .
با توجه به تعریف بالا تعیین اینکه معادله دیفرانسیل داده شده کامل می باشد، مشکل است زیرا باید تمام توابع دو متغیره راجستجو کنیم وملاحظه کنیم که بترتیب کدام تابع دارای مشتقات جزیی نسبت به برابر با توابع
و می باشد
38
اگر این کار امکان پذیر باشد، مشکل است به همین دلیل شرایطی روی بدست می آوریم که وجود چنین تابعی را تضمین کند. با مشتق گیری جزیی از طرفین رابطه های
به ترتیب نسبت به داریم:
با توجه به اینکه برای توابع پیوسته داریم:
بنابراین:
39
بنابراین شرط کامل بودن معادله دیفرانسیل
عبارت است از :
(مرحله شناخت).
40
مثال :معادلات دیفرانسیل زیر کامل می باشد.
الف)
زیرا
ب)
زیرا
41
حل معادله دیفرانسیل کامل:
فرض کنیم که معادله دیفرانسیل
کامل باشد بنابر تعریف معادله دیفرانسیل کامل، تابعی مانند
موجود است که:
پس بنابر تساوی های بالا نتیجه می شود
ویا جواب معادله دیفرانسیل می باشد.
42
تنها معلومات، مشتقات جزیی می باشد که با استفاده از روند زیر می توان آنرا محاسبه کرد.
آن گاه با استفاده از رابطه دوم مقدار بدست می آید که با انتگرال گیری از آن مجهول که همان می باشد محاسبه می شود در نتیجه بدست می آید که جواب معادله دیفرانسیل است.
43
مثال: ملاحظه شد که معادله
کامل می باشد پس:
جواب معادله دیفرانسیل است.
44
عامل انتگرال ساز
معادله دیفرانسیل
کامل نمی باشد زیرا
ولی اگر طرفین معادله بالا را در
ضرب کنیم داریم :
واین معادله دیفرانسیل جدید کامل می باشد زیرا
و می توان به روش کامل معادله دیفرانسیل جدید را حل کرد.
45
بنابراین ممکن است معادله دیفرانسیل کامل نباشد ولی باضرب کردن درتابع که آنرا عامل انتگرال سازگوییم تبدیل به کامل کرد. اکنون شرط وجود عامل انتگرال ساز وچگونگی محاسبه آن را بیان می کنیم. فرض کنیم که معادله
کامل نباشد یعنی
ودارای عامل انتگرال ساز باشد، آنگاه طبق تعریف عامل انتگرال ساز معادله جدید
کامل می باشد
46
که محاسبه از این معادله ممکن نیست به همین دلیل تحت شرایط خاصی عامل انتگرال ساز را بررسی می کنیم.
الف) فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی از باشد یعنی ، آن گاه
47
که با جایگذاری داریم:
عامل انتگرال ساز می باشد.
ب) فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی از باشد یعنی ، آ ن گاه
48
که با جایگذاری داریم:
عامل انتگرال ساز می باشد .
49
مثال :عامل انتگرال سازی برای معادله
را پیدا می کنیم.
حل:ابتدا مقدار مشترک
را محاسبه می کنیم که با تقسیم بر داریم:
پس عامل انتگرال ساز می باشد.
50
تذکر: گاهی معادله دیفرانسیل غیر کامل دارای عامل انتگرال سازی بصورت
است، که درآن ثابت های مناسبی هستند.
برای یافتن عامل انتگرال سازی به صورت
طرفین معادله را درآن ضرب می کنیم واز شرط کامل
استفاده می کنیم.
51
تذکر: روش دسته بندی یا کوتاه، گاهی با جستجو کردن می توان معادله دیفرانسیل را به یکی از حالات زیر دسته بندی کرد:
الف) (جداشدنی)
ب)
ج)
د)
که به سادگی می توان با انتگرال گیری از طرفین معادلات جواب آنها را بدست آورد.
52
یادآوری:
الف)
ب)
ج)
د)
53
ه)
و)
ز)
54
مثال :معادله دیفرانسیل را باروش دسته بندی حل می کنیم.
حل: معادله دیفرانسیل را به صورت می نویسیم که واز فرمول )ب( داریم:
که با انتگرال گیری نتیجه می شود
جواب معادله دیفرانسیل می باشد.
55
معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی
ملاحظه شد که معادله مرتبه اول بصورت
می باشد که اگر توان های برابر با یک باشد آنرا معادله مرتبه اول خطی نامیم (معادله خط ملاحظه شد که توان برابر با یک می باشد که اگر توان یکی از یا به غیر یک باشد آن گاه معادله منحنی می باشد) بنابراین معادله مرتبه اول خطی به صورت
می باشد.
56
با تقسیم طرفین بر معادله مرتبه اول خطی بصورت کلی
است (مرحله شناخت) مثلا معادلات زیر مرتبه اول خطی هستند:
الف)
ب)
ج)
57
برای حل معادله دیفرانسیل
ابتدا ملاحظه می کنیم که آیا کامل است یا نه؟
عامل انتگرال ساز معادله مرتبه اول خطی است و
جواب عمومی معادله مرتبه اول خطی
می باشد
58
مثال : معادله مرتبه اول خطی را حل می کنیم.
چون و پس:
جواب معادله دیفرانسیل است.
59
حالت خاصی از معادلات مرتبه اول خطی به صورت
می باشد که توان های برابر با یک می باشد. با
توجه به روش حل معادله مرتبه اول خطی با تعویض نقش با وبالعکس نتیجه می شود که
60
حالت خاصی از معادلات مرتبه اول که تبدیل به خطی می شود به صورت
می باشد که به ازای معادله مرتبه اول خطی است وبه ازای معادله جدا شدنی است وبه ازای ، معادله برنولی نامیده می شود. معادله دیفرانسیل برنولی را می توان با تغییر متغیر حل کرد و دارای جواب
است.
61
مثال: معادله را حل می کنیم.
حل:داریم و و و پس:
جواب عمومی معادله است.
62
بعنوان معادله دیفرانسیل مرتبه اول می توان معادله دیفرانسیل
را مطرح کرد به نام کلرو(Clairaut) معروف است. بسادگی ملاحظه می شود که جوابی از معادله بالامی باشد زیرا با مشتق گیری داریم با جایگذاری درجواب نتیجه می شود که معادله کلرو است. بنابراین جواب معادله کلرو با جایگذاری بدست می آید.
63
مثال : معادله
را حل کنید.
حل: با جایگذاری معادله دارای جواب
است.
64
بعنوان آخرین معادله دیفرانسیل مرتبه اول ریکاتی (Riccati)رابیان می کنیم که به صورت
با شرط می باشد برای پیدا کردن جواب عمومی معادله بالا باید جوابی خاص از آن معلوم باشد.
اگر یک جواب خاص از معادله بالا باشد. جایگذاری
و معادله را به معادله دیفرانسیل
که مرتبه اول خطی است، تبدیل می کند.
65
مثال: معادله (با ) را حل می کنیم:
حل: چون و و پس:
بنابراین و پس:
66
67
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم
دراین فصل معادله مرتبه دوم را درحالات خاص بررسی می کنیم.
معادله مرتبه دوم حالت خاص فاقد y یا x
ممکن است درمعادله ضریب یا برابر صفر باشد.
68
– معادله به صورت را مرتبه دوم فاقد
نامیم. مثلا و معادلات مرتبه دوم فاقد می باشند.
معادله به صورت را مرتبه دوم فاقد
نامیم. مثلا و معادلات مرتبه دوم فاقد می باشند.
69
الف) حل معادله
با تغییر متغیر می توان معادله را به معادله مرتبه اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادلات مرتبه اول باشد که قبلا بحث شده است می توان آنرا حل کرد
زیرا بافرض داریم که با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود
که معادله مرتبه اول می باشد.
70
ب) حل معادله
با تغییر متغیر می توان معادله را به معادله مرتبه اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادلات مرتبه اول باشد که قبلا بحث شده است می توان آنرا حل کرد
زیرا بافرض داریم که
با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود
که معادله مرتبه اول با فرض متغیر مستقل و متغیر وابسته می باشد.
71
مثال : معادله فاقد ، را باتغییر متغیر
حل می کنیم.
که با جایگذاری داریم:
جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.
72
مثال : معادله مرتبه دوم فاقد ، را باتغییر متغیر حل می کنیم که با جایگذاری
داریم:
جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.
73
تذکر: درحل این نوع معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم، درواقع هر معادله مرتبه دوم را به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنها را حل می کنیم.
74
معادله مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن
دراین بخش حالت خاصی از مرتبه دوم رابررسی می کنیم. ملاحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی بصورت کلی
می باشد که اگر آنرا مرتبه دوم خطی همگن نامیم
75
اگر توابع ثابت باشند بعبارت دیگر مقادیر آنها اعداد ثابت باشند آن گاه معادله بصورت
می باشد که می توان آنرا بصورت ساده
ملاحظه کرد که آنرا مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب ثابت ، یا اختصارا با ضرایب ثابت نامیم . (مرحله شناخت)
76
حل معادله :
با تعریف نماد داریم و
که با جایگذاری درمعادله
نتیجه می شود که :
77
معادله را معادله کمکی (یا مفسر)نامیم معادله کمکی، یک معادله درجه دو می باشد که ممکن است سه حالت زیر رخ دهد:
الف) دارای دو ریشه متمایز باشد یعنی
ب) دارای ریشه مضاعف (تکراری)باشد یعنی
ج) دارای ریشه مختلط باشد یعنی
78
بنابراین معادله دیفرانسیل را با توجه به معادله کمکی به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنرا حل می کنیم. بنابراین :
الف) که بافرض داریم وبا حل معادله مرتبه اول نتیجه می شود.
با جایگذاری درمعادله که
وحل معادله خطی بالا داریم
79
ب) اگر آن گاه مشابه قسمت الف) نتیجه می شود که
جواب معادله دیفرانسیل می باشد.
ج) اگر معادله کمکی دارای دو ریشه مختلط باشد بنابر الف) داریم :
ویا
جواب معادله دیفرانسیل می باشد
80
مثال :معادلات
الف)
ب)
ج)
معادلات مرتبه دوم با ضرایب ثابت می باشند.
81
حل: الف) معادله کمکی عبارت است از که بنابراین: جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.
ب) معادله کمکی عبارت است از که بنابراین : جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.
ج) معادله کمکی عبارت است از که
بنابراین: و پس
جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.
82
تذکر: معادله مرتبه دوم را به روش دیگرنیز می توان حل کرد که اگر و توابعی باشند که جوابی از معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن، آن گاه
جوابی از معادله دیفرانسیل می باشد واگر توابعی مستقل خطی باشند آنگاه این جواب ، جواب عمومی معادله دیفرانسیل است ومی توان معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را از این دیدگاه بررسی کرد.
83
معمولا شرایط وجود جواب معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن دردرس نظریه معادلات دیفرانسیل بحث می شود وشرایطی را روی توابع بیان می کنند که وجود جواب معادله دیفرانسیل را تضمین کند که ما اینجا وارد این بحث نمی شویم.
84
تعریف: برای هر دو تابع و دترمینان
را رونسکینی (Wronskian) توابع می نامیم وبا نماد
نشان می دهیم.
85
– ثابت می شود که رونسکینی متحد با صفر است اگر وفقط اگر دوتابع وابسته خطی اند. بعبارت ساده تر دو تابع، وابسته خطی اند هر گاه یکی مضرب دیگری باشد، درغیر این صورت آنها را مستقل خطی می نامیم.
86
توجه: بسادگی ملا حظه میشود که توابع
با شرط مستقل خطی اند مشا بها
مستقل خطی اند و همچنین
و
با شرط مستقل خطی اند.
87
تذکر: نتایج بالا را برای معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت مرتبه بالانیزمی توان تعمیم کرد . یعنی اگر معادله کمکی معادله دیفرانسیل دارای ریشه های حقیقی متمایز ومضاعف ومختلط داشته باشد. آن گاه جواب معادله دیفرانسیل ترکیبی از جواب های بیان شده است.
88
مثال معادله دیفرانسیل
دارای معادله کمکی می باشد که ریشه های آن عبارت است از:
بنابراین
جواب معادله دیفرانسیل است .
89
معادله کشی-اویلر
معادله مرتبه دوم خطی همگن
راکه درآن اعداد ثا بت اند معادله کشی-اویلر(Cauchy-Euler)می نامیم.
مثال معادلات دیفرانسیل زیر معادله های کشی – اویلر می باشند.
الف)
ب)
90
حل معادله کشی – اویلر
این معادله را با تغییر متغیر می توان به معادله مرتبه دوم با ضریب ثابت تبدیل کرد زیرا:
و
اگر مشتق های نسبت به را با نشان دهیم، معادله تبدیل به
می شود که معادله با ضرایب ثابت است .
91
مثال: معادله کشی – اویلر زیر را حل می کنیم:
حل: با فرض داریم:
پس معادله کمکی دارای ریشه های است بنابراین:
با جایگذاری (یا ) نتیجه می شود:
جواب معادله کشی – اویلر است.
92
تذکر: نتایج بالا را برای معادلات دیفرانسیل کشی – اویلر مرتبه بالا نیز می توان تعمیم داد.
مثلا معادله کشی – اویلر مرتبه سوم
را می توان با تغییر متغیر تبدیل به معادله :
نمود وآنرا با روش ضرایب ثابت حل کرد.
93
مثال : معادله دیفرانسیل کشی – اویلر زیر را حل می کنیم:
حل :با فرض داریم :
بنابراین :
94
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی غیر همگن
ملاحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت غیر همگن بصورت می باشد که اگر آنرا معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت همگن نامیم یعنی :
ودارای جوابی بصورت می باشد.
95
حال اگر جواب عمومی معادله همگن
و جوابی خاص از معادله غیر همگن
باشد آن گاه
جواب عمومی معادله غیر همگن می باشد.
96
تعریف: معادله دیفرانسیل را معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت وابسته معادله دیفرانسیل
نامیم.
هدف از این قسمت درس پیدا کردن جواب خاص معادله غیر همگن
می باشد که دو روش برای پیدا کردن ارائه می دهیم.
97
الف)روش تغییر پارامتر :
دراین روش فرض می کنیم که جواب خاص بصورت
با شد که چون جواب همگن می باشد وبا تغییر پارامترهای به توابع و بدست آمده است، به همین دلیل این روش را تغییر پارامتر نامیم.
98
حال با توجه به معلوم بودن ظاهر جواب خاص کافی است روابطی که توابع درآن صدق می کنند را پیدا کنیم . بنابراین داریم:
چون باید درمعادله همگن صدق کند، بنابراین
99
که دستگاه دو معادله دو مجهولی می باشد ومی توان از آن مقادیر را محاسبه کرده و با انتگرال گیری
محاسبه می شود واز آن جا
بدست می آید.
با یک مثال توضیح می دهیم
100
مثال : معادله غیر همگن را حل می کنیم:
حل : معادله وابسته دارای جواب است بنابراین و پس:
با ضرب معادله اول در و جمع طرفین دومعادله بالا داریم:
با جایگذاری درمعادله اول داریم:
101
درنتیجه:
پس
جواب عمومی معادله غیر همگن است.
102
مثال : معادله غیر همگن را حل می کنیم.
حل: معادله وابسته دارای جواب است بنابراین و پس :
با ضرب معادله اول در 2- و جمع طرفین دو معادله بالا داریم:
با جایگذاری در معادله اول داریم:
103
درنتیجه :
پس
جواب عمومی معادله غیر همگن است.
104
تذکر: روش تغییرپارامتررا می توان برای معادلات مرتبه ، خطی غیر همگن تعمیم داد، یعنی اگر:
جواب عمومی معادله همگن وابسته باشد آن گاه با فرض
وحل دستگاه معادله و مجهولی زیر می توان جواب خاص معادله غیر همگن را بدست آورد:
105
106
تذکر: معادله کشی – اویلر غیر همگن را نیز می توان با تغییر متغیر مناسب تبدیل به معادله با ضرایب غیر همگن نمود وآنرا به روش تغییرپارامتر حل کرد.
مثلا
با تغییر متغیر تبدیل به معادله
می شود.
107
روش ضرایب ثابت (ضرایب نامعین)
درمعادله غیر همگن ملاحظه شد که اگر تابعی نمایی باشد آن گاه نیز نمایی می باشد. قبلا دیدیم که اگر آن گاه
است. از این مطلب استفاده کرده وروشی را به نام روش ضرایب ثابت درحالات خاص بیان می کنیم.
108
الف) اگر تابع نمایی باشد درصورتی که ریشه معادله کمکی نباشد آنگاه نیز بصورت تابع نمایی
است که با مشتق گیری وجایگذاری درمعادله مقدار بدست می آید.
مثلا
109
حال اگر و یکبار ریشه معادله کمکی باشد
آن گاه چون جواب معادله همگن است بنابراین
جواب خاص را بصورت درنظر می گیریم
با یک مثال توضیح می دهیم.
110
حال اگر و دو بار ریشه معادله کمکی باشد آن گاه جواب هایی از معادله همگن می باشد پس جواب خاص را بصورت
درنظر می گیریم.
بنابر این اگر و ریشه معادله کمکی از مرتبه تکرار باشد آن گاه:
جواب خاص معادله غیر همگن است.
111
مثال : معادله را حل می کنیم.
حل: چون دو بار ریشه معادله کمکی است پس بنابراین در نتیجه
درنتیجه با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم:
پس و
جواب است.
عمومی معادله
112
ب) اگر تابع چند جمله ای باشد آن گاه جواب خاص نیز تابعی چند جمله ای می باشد. ولی اگر جواب خاص، جواب معادله همگن باشد آن گاه باید جواب خاص را در ضرب کنیم. درصورتی جواب همگن به صورت چند جمله ای است که صفر ریشه معادله کمکی باشد.قبلا ملاحظه شد که چند جمله ای درجه یک می باشد آن گاه
نیز تابعی چند جمله ای است.
113
تذکر: اگر و ریشه
معادله کمکی از مرتبه تکرار باشد آن گاه
جواب خاص معادله غیر همگن است.
114
مثال : معادله را حل می کنیم.
حل : چون یکبار ریشه معادله کمکی است
پس بنابراین درنتیجه
با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم:
پس جواب خاص غیر همگن است
و
جواب عمومی معادله غیر همگن است.
115
ج) اگر باشد نیز
جواب خاص بصورت مثلثاتی سینوس وکسینوس می باشد
ودرصورتی که ریشه مختلط محض معادله کمکی باشد
یعنی اگر آنگاه جواب معادله همگن بصورت
مثلثاتی است که دراین حالت باید به
ضرب شود .
116
تذکر:اگر
و ریشه مختلط محض معادله کمکی ازمرتبه تکرار باشد آنگاه
جواب خاص معادله غیر همگن است.
117
مثال : معادله را حل می کنیم.
حل: چون ریشه مختلط محض معادله کمکی نیست
پس بنابراین
و با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم:
پس جواب خاص معادله غیر همگن و
جواب عمومی معادله غیر همگن است.
118
تذکر: هر گاه درمعادله غیر همگن اگر
به ازای هر ، یک جواب معادله غیر همگن
باشد، آنگاه معادله غیر همگن، جوابی بصورت
دارد.
119
تذکر : روش ضرایب ثابت را می توان برای معادلات
مرتبه ، خطی غیر همگن استفاده کرد که دراین
حالت در برابربا است
که مرتبه تکرار ریشه معادله کمکی بودن ،
است.
120
مثلا معادله
چون و ریشه معادله کمکی نیستند
پس:
با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم:
121
حل معادله دیفرانسیل به روش های سریها
درفصل قبل با حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت، درچند حالت خاص با ضرایب متغیر آشنا شدیم. دراین فصل با یکی از موثرترین روش حل برای معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم (وبالاتر)، یعنی، از سریهای توانی استفاده می کنیم. دردرس ریاضیات عمومی با مفهوم سری آشنا شده ایم . برای اینکه مطالب این فصل رابهتر درک کنیم، بحث را با مرور مختصری برسریهای توانی شروع می کنیم.
122
سری توانی
سری به صورت
یا که درآن
اعداد ثابتی بوده و متغیر است را سری توانی به مرکز نامیم.
123
سری توانی ممکن است که دریکی از سه حالت زیر صدق کند:
1- تنها به ازای همگرا باشد.
2- به ازای هر دریک همسایگی مطلقا همگرا باشد، یعنی برای همگرا وبرای واگر باشد عدد را شعاع همگرایی سری نامیم.
3- به ازای هر مطلقا همگرا باشد.
مجموعه مقادیر را که سری توانی همگرا است، بازه (فاصله)همگرایی سری می نامیم.
124
تذکر: اگر سری به ازای همگرا باشد آنگاه بازه همگرایی برابر است با
دردرس ریاضی عمومی با پیدا کردن بازه همگرایی سری توانی آشنا شده ایم که شعاع همگرایی عبارت است از
ممکن است آنگاه حد بالا نامتناهی باشد.
125
مثال:بازه همگرایی سری توانی
را پیدا کنید .
چون
بنابراین ، سری تنها به ازای همگرا است.
126
مثال :بازه همگرایی سری توانی
را پیدا کنید.
چون
پس سری روی مجموعه اعداد حقیقی، یعنی در همه جا همگرا است.
127
مثال :بازه همگرایی سری توانی
را پیدا کنید.
چون
پس، سری روی مجموعه هایی که
همگرا است .
128
قضیه: اگر سری توانی بربازه که درآن یک عدد ثابت مثبت است همگرا باشد، آنگاه سری توانی تابعی مانند را تعریف می کند که به ازای هر دربازه پیوسته است.
تذکر:به طور طبیعی این سوال مطرح می شود که به کدام تابع پیوسته همگرا است.
پاسخ دادن به این سوال درحالت کلی آسان نیست.
129
قضیه: اگر به صورت زیر توسط یک سری توانی تعریف شده باشد،
آنگاه می توان از سری بالا جمله به جمله مشتق گیری کرد
وهمین طور انتگرال گرفت یعنی:
که
130
قضیه : فرض کنیم :
آن گاه
الف) به ازای هر عدد حقیقی داریم:
ب)
ج)
که درآن:
131
تذکر: با انتقال اندیس می توان نشان داد که :
بعبارت دیگر، با کم کردن واحد از اندیس جمع سری واضافه کردن واحد به همه های داخل علامت سری، دو سری مساوی به دست می آید.
تذکر: 12.1.3- درکار کردن با سریهای توانی با مرکزبسط مخالف با صفر، غالبا به کار بردن تغییر متغیر
مفید است. یعنی :
132
قضیه: فرض کنیم سری
برای با همگرا به تابع باشد، بسادگی نشان داده می شود که
ودرحالت خاص اگر آنگاه
133
تعریف: سری را
بسط سری تیلر ، حول نقطه وسری را
بسط ماک لورن حول نقطه صفر می نامیم.
134
تعریف: اگر سری
به ازای هر دربازه به
همگرا باشد می گوییم درنقطه
تحلیلی است.
135
مثال : بسط سری ماک لورن برخی توابع عبارت است از:
الف) که
ب) که
ج) که
136
د) که
ه) که
و) که
137
نقاط معمولی ومنفرد
تعریف: نقطه را یک نقطه معمولی (عادی) برای معادله دیفرانسیل خطی مرتبه ام
می گویم هرگاه ضرایب و در تحلیلی باشند. نقطه ای را که معمولی نباشد نقطه منفرد (غیر عادی)معادله می نامیم.
138
مثال : نقاط منفرد معادله دیفرانسیل
را پیدا کنید.
حل: معادله را با تقسیم بر بصورت ضریب مشتق بالا ترین برابر یک می کنیم یعنی:
بدیهی است که همه ضرایب این معادله درهمه نقاط به جز نقاط و و تحلیلی می باشند. پس آنها نقاط منفرد وهمه نقاط دیگر نقاط معمولی معادله هستند.
139
قضیه: اگر هریک از توابع
درنقطه تحلیلی باشند، آن گاه یک جواب منحصر به فرد مانند وجود دارد که در تحلیلی است ودر شرط اولیه
صدق می کند. یعنی هر جواب معادله دیفرانسیل توسط سری تیلر خود درنقطه دربازه بیان می شود.
140
جواب های سری معادلات دیفرانسیل) دریک نقطه معمولی (
مثال : معادله دیفرانسیل مرتبه اول را با پیدا کردن جواب بصورت سری مک لورن حل می کنیم.
حل: فرض
که
چون پس باید :
141
وبا حل کردن دستگاه از بالا به پایین
نتیجه می شود که:
ویارابطه بازگشتی
که به دست می آوریم،
142
حال با جایگذاری ضرایب بالا در
داریم :
که پارامتر می باشد دقت کنیم که جواب بالا همان جوابی است که از روش های قبلی بدست می آید یعنی جواب معادله جداشدنی بالا است.
143
مثال : بسط تیلر جواب های معادله
را درنقطه معمولی پیدا کنید.
حل: برای سادگی از تغییر متغیر استفاده می کنیم دراین صورت متناظر با می باشد وداریم:
بنابراین با جایگذاری ، معادله دیفرانسیل تبدیل به معادله
می شود چون همه ضرایب چند جمله ای هستند
144
، پس بازه همگرایی سریهای جواب معادله برابر با است، بازه همگرایی سریهای جواب معادله اصلی نیز برابر با است . سری توانی جواب را بصورت سری ماک لورن
درنظر می گیریم . پس:
با قرار دادن سریهای بالا درمعادله دیفرانسیل ثانویه داریم:
145
146
درنتیجه:
چنانکه ملاحظه می شود همه ستون های سوم وستون دوم بغیر اولین جمله بقیه صفراند تنها ستون اول ناصفرمی باشدوبرحسب است بنابراین:
147
148
149
ویا
با قرار دادن داریم :
جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده به ازای هر می باشد.
150
تذکر: ممکن است رابطه بازگشتی بر حسب جمله عمومی امکان پذیر نباشد یا بسادگی نتوان پیدا کرد در چنین حالتی جمله عمومی را معمولا"پیدا نمی کنیم.
معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
که در آن عدد ثابتی است به معادله دیفرانسیل لژاندر موسوم است.ملاحظه می شود که نقطه یک نقطه معمولی معادله است بنابراین دارای جوابی بصورت:
است که حداقل برای همگراست.
151
که با جایگذاری در معادله داریم:
با تغییر اندیس داریم:
152
ورابطه بازگشتی:
نتیجه می شود که:
153
که با جایگذاری در معادله داریم:
154
با قرار دادن این ضرایب در سری داریم:
که برای همگراست واگر عدد صحیح نباشد شعاع همگرایی هر دو سری داخل پرانتز برابر با یک است.توابع تعریف شده در جواب سری مشهور به توابع لژاندر می باشد که توابع متعالی هستند.در حالت خاص جواب سری ها ممکن است متناهی باشد.
155
نقاط منفردمنظم معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
فرض کنیم که نقطه یک نقطه منفرد معادله دیفرانسیل خطی همگن
باشد درصورتی که اگر معادله را بصورت
بنویسیم و در تحلیلی باشند، نقطه را نقطه منفرد منظم نامیم واگر تحلیلی نباشند را نقطه منفرد غیر منظم می گوییم.
156
مثال :نوع نقاط منفرد معادله دیفرانسیل
را پیدا کنید.
حل: با تقسیم دو طرف معادله در ، معادله بالا به صورت
در می آید مشاهده می کنیم که نقاط منفرد عبارت است از : با ضرب معادله بالا در داریم :
پس
157
که هر دو در تحلیلی اند. پس یک نقطه منفرد منظم است. حال اگر طرفین معادله را در ضرب کنیم داریم :
که ، هردو در
تحلیلی اند
پس یک نقطه منفرد منظم است.
158
مثال : معادله لژاندر
را به صورت زیر می نویسیم .
روشن است که و نقاط منفرد معادله اند که اگر طرفین معادله را در ضرب می کنیم داریم :
159
آنگاه:
و هردو در تحلیلی اند پس یک نقطه منفرد منظم معادله است. حال اگر طرفین معادله را در ضرب کنیم داریم :
که و هردو در
تحلیلی اند پس یک نقطه منفرد منظم معادله است.
160
مثال: معادله دیفرانسیل خطی
را که به معادله بسل(Bessel) از مرتبه معروف است در نظر می گیریم در این معادله که عدد ثابت نا صفر می باشد با نوشتن معادله بصورت
ملاحظه می شود که نقطه منفرد معادله می باشد وبا توجه به توابع که درنقطه تحلیلی اند پس نقطه منفرد ومنظم معادله است.
161
تعریف: سری بصورت
که در آن عددی حقیقی ویا مختلط است به سری
فروبنیوس (frobenius) مشهور است.
162
تذکر: اگر یک نقطه منفرد منظم معادله مرتبه دوم
خطی باشد ثابت می شود که معادله دارای یک وگاهی دو
جواب بصورت سری فروبنیوس با است.
در اینجا عددی حقیقی است
این روش را با ارائه چند مثال توضیح می دهیم.
163
مثال: معادله دیفرانسیل
را در نظر می گیریم واضح است که نقطه منفرد منظم معادله است جواب سری فروبنیوس
را در نظر می گیریم بنابراین :
با جایگذاری در معادله دیفرانسیل نتیجه می شود:
164
و یا:
با تغییر اندیس داریم :
165
و یا :
چون فرض بر آن است که پس :
این معادله را معادله شاخص و ریشه های آن را توان شاخص معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم نامیم . پس توان های
شاخص معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم هستند
166
حال به ازای هر کدام از مقادیر ضرایب ها در رابطه بازگشتی :
و یا :
صدق می کند .
167
الف) اگر رابطه بالا نتیجه می دهد که :
168
ب) اگر آنگاه :
با
پس :
169
در نتیجه دو جواب سری فروبینوس عبارت است از :
و دو تابع بدلیل در بازه
مستقل خطی وهمگرا هستند پس :
جواب عمومی معادله دیفرانسیل است .
170
حالتی که معادله شاخص دارای ریشه های برابر است.
تذکر: درادامه بحث خود معادلاتی را مورد بررسی قرار می دهیم که دارای یک نقطه منفرد در است.در این حالت معادله به صورت
در می آید،که در آن در تحلیلی هستند.همچنانکه قبلا مشاهده کردیم،این محدودیت از کلیت بحث نمی کاهد، زیرابا تغییر متغیر نقطه منفردمنظم را به صفر تبدیل می کند.
171
– بررسی حالت کلی
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم
را در نظرمی گیریم . فرض نقطه منفردمنظم باشد در این صورت در تحلیلی هستند،در نتیجه به ازای ، داریم:
و تابعی بصورت:
172
باشد، آنگاه:
با قرار دادن مقادیر بالا در معادله دیفرانسیل داریم:
173
در نتیجه
که با فرض ضریب کوچکترین توان داریم:
چون پس
ویا
معادله شاخص می باشد و ریشه های آن را توان های شاخص معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم نامیده می شود.
174
ملاحظه می شودکه سه حالت زیر می تواند در مورد معادله شاخص رخ دهد:
الف) اگر عدد غیر صحیح وغیرصفر باشد.
ب) اگر عدد صحیح ومثبت باشد.
ج) اگر صفر باشد.
در حالت الف) معادله دیفرانسیل دارای دو جواب مستقل به صورت
و
دارد. قبلا مثالهایی در این مورد ملاحظه شد.
175
در حالت ب) و ج) فقط یک جواب به صورت
دارد. برای پیدا کردن جواب مستقل دیگر نشان داده می شود که جواب به صورت
است که می توان با مشتق گیری وجایگذاری در معادله دیفرانسیل ضرایب ها و را پیدا کردکه ممکن است مقدار برابرصفر باشد که در این صورت به شکل یک سری فروبینوس می با شد.
176
تذکر: در فیزیک و ریاضیات محض،اغلب بررسی جواب معادله دیفرانسیل
وقتی متغیر مستقل بینهایت باشد،مورد نظر است. با به
کار بردن تغییر متغیر مقادیر بزرگ با
مقادیرکوچک متناظر خواهند بود.
177
با جایگذاری به جای جوابهایی از معادله دیفرانسیل جدید را بدست
می آوریم که اگر معادله جدید دارای یک نقطه معمولی در باشد، گوییم معادله دیفرانسیل دارای یک نقطه معمولی دربینهایت است. به همین نحو، اگر معادله جدید دارای یک نقطه منفرد منظم در باشد، گوییم معادله دیفرانسیل دارای یک نقطه منفرد منظم دربینهایت است.
178
دستگاه معادلات دیفرانسیل
در این فصل با توجه به کاربردهای دستگاه معادلات
دیفرانسیل در فیزیک و مکانیک و دیگر کاربردهای آن به
بررسی و مطالعه این دستگاه ها می پردازیم.
179
تعریف: مجموعه ای بیش از یک معادله دیفرانسیل همزمان را دستگاه معادلات دیفرانسیل نامیم.
ساده ترین دستگاه معادلات دیفرانسیل دستگاه دو معادله دیفرانسیل می باشد که عبارت است از:
180
برای اینکه ساده ترین دستگاه معادلات دیفرانسیل را بررسی کنیم این نوع دستگاهها را با بیان شرایطی به ساده ترین صورت در نظر می گیریم. ساده ترین دستگاه معادلات دیفرانسیل، دستگاه دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول می باشد که عبارت است از:
181
که ممکن است مضربی از اولی در دومی ظاهر شود و بالعکس، بنابراین صورت دیگری از دستگاه دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول بصورت زیر است:
182
حال اگر توانهای
برابر با یک باشد آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی نامیم یعنی:
183
که اگر آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی همگن نامیم و در صورتی که
، اعداد ثابت باشند آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی همگن با ضرایب ثابت نامیم. اکنون با تعدادی از دستگاه معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. روشهایی را برای حل برخی از آنها بیان می کنیم. لازم به تذکر می باشد که جواب دستگاه دو معادله دیفرانسیل بصورت می باشد. قضیه ای، وجود دارد که شرط وجود جواب و منحصر بفرد بودن را بررسی می کند که از ذکر آن صرفنظر می کنیم و فرض می کنیم که وجود دارد و منحصر بفرد است.
184
برای حل برخی از دستگاه دو معادلات دیفرانسیل روشهایی را بیان می کنیم.
روش اول: یکی از معادلات دستگاه مستقلاً قابل حل می باشد. با یک مثال توضیح می دهیم.
مثال :دستگاه زیر را حل می کنیم:
185
چنانکه ملاحظه می شود معادله اول معادله جداشدنی است پس
که با انتخاب برابر با داریم:
که با جایگذاری در معادله دوم دستگاه نتیجه می شود:
186
و این معادله نیز معادله مرتبه اول خطی است پس:
پس
جواب دستگاه می باشد.
187
روش بالا را می توان برای دستگاه سه معادله نیز بکار برد.
مثلا دستگاه سه معادله زیر را می توان حل کرد.
188
روش دوم: حل دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی با ضرایب ثابت:
با مشتق گیری از معادلات دستگاه و استفاده از معادله دوم دستگاه آنرا به معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت تبدیل می کنیم که با حل آن قبلاً آشنا شده ایم.
با یک مثال توضیح می دهیم.
189
مثال : دستگاه زیر را حل می کنیم:
با مشتق گیری از معادله اول داریم:
و با جایگذاری از معادله دومی نتیجه می شود:
190
با جایگذاری از معادله اول داریم:
191
که دارای معادله کمکی است که و
ریشه های متمایز هستند. پس:
حال با جایگذاری در معادله اول داریم:
بنابراین
جواب دستگاه است.
192
روش سوم: این روش مشهور به روش عملگر یا اپراتور می باشد.
در این روش فرض می کنیم که ، آنگاه با جایگذاری عملگر دستگاه را به روش حذفی گوس حل می کنیم. با یک مثال این روش را توضیح می دهیم.
193
مثال : دستگاه زیر را به روش حل می کنیم:
با استفاده از نماد داریم:
194
با ضرب معادله اول در ومعادله دوم در و جمع طرفین دستگاه داریم:
این معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت غیرهمگن می باشد پس:
195
بنابراین و برای پیدا کردن جواب خاص غیرهمگن آنرا به روش ضرایب ثابت حل می کنیم.
چون صفر ریشه معادله کمکی است پس:
196
با جایگذاری در معادله نتیجه می شود:
پس ، بنابراین
بنابراین با جایگذاری معادله داریم:
197
پس جواب دستگاه می باشد.
198
تذکر : روشهای اول و سوم چنانکه ملاحظه می شود از حل دستگاه معمولی
نتیجه گیری شده است. مثلاً دستگاه معمولی را می توان بسادگی حل کرد که یکی از معادلات دستگاه مستقلاً قابل حل می باشد و روش سوم نیز همان روش حذفی گاوس می باشد که درحل دستگاه
استفاده می شود.
199
تذکر: روشهای بالا را برای حل دستگاه دو معادلات خطی استفاده کردیم می توان آنرا برای حل دستگاه سه معادلات خطی نیز استفاده کرد و همچنین می توان آن را تعمیم داد و برای دستگاههایی با معادلات دیفرانسیل خطی بیشتر نیز استفاده کرد.
200
تذکر: همانطوری که در دستگاه معمولی ممکن است دستگاه دارای جواب منحصر بفرد و یا بی نهایت جواب و یا جواب نداشته باشند در دستگاه معادلات دیفرانسیل نیز چنین می باشد. مثلاً دستگاه
دارای بی نهایت جواب می باشد.
201
مثلاً و جوابهایی
از دستگاه است.
در هر کدام از جوابها را به دلخواه انتخاب کرده و دستگاه را بر حسب حل می کنیم. ولی دستگاه
دارای جواب نیست.
202
تذکر: ملاحظه شد که دستگاه معادلا ت دیفرانسیل در روش سوم بصورت کلی:
می باشد که دترمینال ضرایب یعنی:
را دترمینان دستگاه معادلات دیفرانسیل نامیم.
203
قضیه زیر را بدون اثبات می پذیریم.
قضیه :تعداد پارامتر در جواب عمومی و دستگاه بالا برابر با توان
است مشروط بر اینکه باشد.
بنابراین در جوابهایی از دستگاههایی که تعداد پارامتر بیشتر از توان است ، می توان پارامترهای اضافی را با جایگذاری در دستگاه معادلات حذف کرد.
204
در این فصل ملاحظه خواهیم کرد چگونه با به کار بردن تبدیل لاپلاس در مورد یک معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه ، می توان آن را به مسئله ساده تری تبدیل کرده بطوری که با وارون تبدیل لاپلاس جواب مسئله ابتدائی بدست می آید و همچنین ملاحظه خواهد شد که روش های تغییر پارامتر و ضرایب ثابت را در مورد حل معادلات دیفرانسیل غیر همگن که تابع طرف دوم ناپیوسته باشد نمی توان بکار برد که در این حالت می توان از تبدیل لاپلاس استفاده کرد.
205
تبدیل لاپلاس
تبدیل مفهوم تعمیم یافته تابع می باشد ، یعنی رابطه ای که به هر تابع ، تابع دیگری را نسبت دهد، یک تبدیل نامیم. از جمله تبدیلات مشهور تبدیل مشتق و انتگرال و مضرب در عبارتی می باشد که معمولاً با نماد زیر بترتیب نشان می دهیم.
1)
2)
3) ضرب در
206
تعریف: فرض کنیم تابع بربازه تعریف شده باشد ، انتگرال ناسره
را که عدد حقیقی است به ازای مقادیر ا ز همگرا باشد آنرا تبدیل لاپلاس تابع نامیم و با نماد نشان می دهیم یعنی :
برای بیان رابطه بین تابع و تبدیل لاپلاس تابع
می نویسیم:
207
شرایط وجود تبدیل لاپلاس را بعداً مطالعه خواهیم کرد. اینک تبدیل لاپلاس چند تابع خاص را پیدا می کنیم .
تبدیل لاپلاس تابع را پیدا می کنیم. یعنی:
به ازای انتگرال همگراست پس:
208
تبدیل لاپلاس تابع را پیدا می کنیم :
به ازای انتگرال همگراست پس
209
تبدیل لاپلاس تابع را پیدا می کنیم
به ازای انتگرال همگراست پس :
210
درتمرینات نشان داده می شود:
اگر ، آنگاه
211
خواص تبدیل لاپلاس
با توجه به اینکه تبدیل لاپلاس توسط انتگرال تعریف شده
است لااقل دارای خواص خطی انتگرال را می باشد.
212
قضیه: نشان دهید که :
اثبات : چون عدد ثابت می باشد پس
گرچه این خاصیت اثبات کوتاهی دارد ولی خواص خیلی قوی می باشد و می توان بسیاری از تبدیل لاپلاس توابع را پیدا کرد.
213
مثال:
214
حال تبدیل لاپلاس تابع عبارت است از
و از طرفی
بنابر تساوی دو طرف اول تساویها داریم:
215
مثال:
با شرط
216
به عنوان دومین خاصیت ا ز تبدیل لاپلاس خاصیت انتقال می باشد.
قضیه: فرض کنید آنگاه
اثبات:
چون
217
مثلا:
الف)
ب)
ج)
218
به عنوان سومین خاصیت از تبدیل لاپلاس خاصیت مضرب می باشد .
قضیه: فرض کنید آنگاه
اثبات:
219
نتیجه :
اثبات:
به استقراء نتیجه می شود که
220
مثال:
(الف
(ب
(ج
221
از آنجائیکه معادله دیفرانسیل ازترکیباتی از یعنی ومشتق یعنی و مشتقات مراتب بالا تشکیل شده است بنابراین در این قسمت تبدیل لاپلاس مشتق را بررسی می کنیم .
222
قضیه: نشان دهید
اثبات: چون
با استفاده از روشی جز به جز داریم:
و
و
پس
اگر آنگاه :
223
نتیجه: نشان دهید.
اثبات:
به استقراء نتیجه می شود که:
224
معکوس تبدیل لاپلاس
فرض کنیم تبدیل لاپلاس تابع وجود داشته باشد. در این صورت واضح است که تابع منحصر بفردی مانند وجود دارد که
اینک عکس این حالت را در نظر می گیریم. فرض کنید تابعی مانند داده شده باشد. آیا تابع منحصر بفردی مانند وجود دارد به گونه ای که داشته باشیم :
اگر پاسخ سوال مثبت باشد می نویسیم:
را وارون یا معکوس تبدیل لاپلاس تابع نامیم.
225
اینک برخی خواص معکوس تبدیل لاپلاس را بررسی می کنیم.
قضیه :نشان دهید:
اثبات: قضیه قبلی ملاحظه شود.
226
مثال:
الف)
ب)
ج)
227
د)
هـ)
228
خواص معکوس تبدیل لاپلاس
قضیه: نشان دهید:
اثبات قضیه قبلی ملاحظه شود.
229
مثال:
الف)
ب)
230
بقیه مثال:
ج)
د)
231
حل معادله دیفرانسیل بروش لاپلاس
اینک آماده هستیم نشان دهیم که چگونه می توان جواب یک مسئله با مقدار اولیه دشوار را به کمک تبدیلات لاپلاس ، به مسئله دیگری با شرایط ساده تر تبدیل کرده و سپس با استفاده از وارون تبدیل لاپلاس جواب معادله دیفرانسیل را بدست آورد. با یک مثال ساده در مورد معادله دیفرانسیل مرتبه اول توضیح می دهیم.
232
مثال : معادله را با شرط حل می کنیم :
حل: ابتدا تبدیل لاپلاس را روی معادله اثر می دهیم :
233
حال وارون تبدیل لاپلاس را محاسبه می کنیم:
234
مثال : معادله را با شرط حل می کنیم.
حل : ابتدا تبدیل لاپلاس را روی معادله اثر می دهیم:
235
حال وارون تبدیل لاپلاس را محاسبه می کنیم:
236
مثال : مطلوب است جواب معادله با شرایط و
حل:
237
238
تبدیل لاپلاس برخی توابع
قبل از آنکه به تبدیل لاپلاس برخی توابع دیگر بپردازیم خوب است شرایطی را که تابع باید دارا باشد تا تبدیل لاپلاس داشته باشد، دقیفتر مورد توجه قرار دهیم. برای تضمین وجود تبدیل لاپلاس، کافی است فرض کنیم که پیوسته و یا لااقل قطعه به قطعه پیوسته است. مقصود از عبارت اخیر آن است که تابع
در هر فاصله متناهی پیوسته است، مگر احتمالآ در تعدادی متناهی نقطه که دارای نا پیوستگی جهشی است،
239
یعنی تابع در آن نقاط حد های چپ و راست متفاوتی دارد.
این شرط لازم نیست مثلآ تابع در
دارای یک نا پیوستگی از نوع بینهایت است وبنابر این قطعه به قطعه پیوسته نیست، با این وجود انتگرالش از تا
وجود دارد و از آنجا که برای های بزرگ کراندار نیز هست، تبدیل لاپلاس آن وجود دارد. در واقع، برای،
داریم:
240
و تغییر متغیر نتیجه می دهد
یک تغییر متغیر بدست می دهد
در درس حساب دیفرانسیل و انتگرال نشان داده می شود که
انتگرال اخیر برابر با است، لذا داریم:
241
تعریف: تابع
که می باشد را تابع پله ای واحد نامیم و تبدیل لاپلاس آن را پیدا می کنیم:
با شرط
242
مثال: تابع زیر را برحسب توابع پله ای واحد می نویسیم؟
حل:
243
مثال: تابع
را بصورت تابع پله ای واحد می نویسیم؟
244
تذکر:از تابع پله ای واحد می توان برای انتقال تابع داده شده ، که دامنه تعریف آن به اندازه
واحد در جهت راست استفاده کرد. برای مثال تابع تعریف شده توسط
نمایش انتقالی از تابع به اندازه واحد در جهت مثبت می باشد .
245
قضیه: نشان دهید:
اثبات:
با تغییر متغیر داریم:
246
مثال:تبدیل لاپلاس تابع
را پیدا می کنیم.
حل: با استفاده از مثال قبل تابع را می توان بر حسب تابع پله ای به صورت
نوشت. چون پس
بنابر خواص و فرمول های تبدیل لاپلاس
247
قضیه:اگر و هر دو به ازای موجود باشد آنگاه
که در آن
تابع به کنولوسیون و معروف است وآن را با
نشان می دهیم.
248
نشان می دهیم که
زیرا
با بکار بردن تغییر متغیر انتگرال بالا را می توان به صورت زیر نوشت:
249
مثال:با بکار بردن کنولوسیون تبدیل معکوس تابع
را پیدا می کنیم؟
حل:با فرض و تبدیل لاپلاس
و داریم:
با بکار بردن روش جزبه جز داریم:
250
تذکر:مثال بالا را می توان با بکار بردن کسرهای جزیی بصورت زیر محاسبه کرد :
بنابر این
251
قضیه: نشان دهید که اگر یک عدد مثبت باشد آنگاه
اثبات:
با به کار بردن تغییر متغیر انتگرال بالا به صورت
252
پایان
موفق باشید