فصل 11 مود های فرکانسی عدد کسری
11.1 مفاهیم اولیه
11.2 تصادفی سازی و شکل دهی نویز
11.3 تکنیک های کاهش نویز کوانتش
11.4 پیوست1: طیف نویز کوانتش
Behzad Razavi, RF Microelectronics.
Prepared by Bo Wen, UCLA
نمای کلی فصل
Modulus Randomization
Basic Noise Shaping
Higher-Order Noise Shaping
Out-of-Band Noise
Charge Pump Mismatch
DAC Feedforward
Fractional Divider
Reference Doubling
Multi-Phase Division
مفاهیم اولیه: مثالی از حلقه عدد کسری
انتظار داریم تا نسبت های کسری دیگر را بین N+1 و N تنها با یک تغییر درصد زمانی که تقسیم کننده به N یا N+1 تقسیم می کند، بدست آوریم.
علاوه بر پهنای باند حلقه بزرگتر نسبت به ساختارهای عدد صحیح، تقویت درون باند نویز فاز مرجع را نیز کاهش می دهد چرا که به نسبت N کوچکتر نیاز دارد.
مولفه های ناخواسته ی کسری
در مثال بالا،VCO با نرخ0.1MHz مدوله شده و باند های کناری ±0.1MHz×n در اطراف 10.1MHz ایجاد شوند که در آنn نشان دهنده شماره هارمونیک است، این باند های کناری را مولفه های ناخواسته می نامند..
برای یک فرکانس خروجی نامی (N+α)fREF, ، خروجیLPF یک شکل موج تکرار شونده با دوره تناوب 1/(αfREF) را نشان می دهد.
مولفه های ناخواسته: بررسی از زاویه ای دیگر
سیگنال پسخور کلی, xFB(t) را میتوان به مجموع دو شکل موج نوشت که هر کدام از آنها هر 10,000 ns تکرار می شوند. شکل موج اول از 9 تناوب990 ns و یک زمان مرده 1090 ns تشکیل شده است، در حالی که شکل موج دوم تنها یک پالس با پهنای 1090/2 ns است. از آنجا که هر کدام از شکل موج ها هر 10,000 nsتکرار می شوند, سری فوریه ی آنها تنها شامل هارمونیک هایی در 0.1 MHz, 0.2 MHz, و … است.
باند های کناری را می توان به صورت مولفه هایFM (و AM)در نظر گرفت که باعث مدولاسیون فاز متناوب زیر می گردد:
Determine the spectrum of xFB1(t) in figure below.
مثال: طیف مولفه های ناخواسته کسری
Solution:
Let us first find the Fourier transform of one period of the waveform (from t1 to t2). This waveform consists of nine 990-ns cycles. If we had an infinite number of such cycles, the Fourier transform would contain only harmonics of 1.01 MHz. With nine cycles, the energy is spread out of the impulses. If this waveform is repeated every 10 μs, its Fourier transform is multiplied by a train of impulses located at integer multiples of 0.1 MHz. The spectrum thus appears as shown in figure below.
تصادفی سازی و شکل دهی نویز: تصادفی سازی ضریب
xFB(t) یک دنباله تصادفی از تناوب های990-ns و 1090-ns را نشان می دهد.
xFB(t) اکنون دارای مدولاسیون فاز تصادفی است:
تصادفی سازی ضریب، تناوب در رفتار حلقه را خواهند شکست و باندهای کناری قطعی را به نویز تبدیل می کنند.
فرکانس لحظه ای سیگنال پسخور به صورت زیر نشان داده می شود:
که در آن b(t) به صورت تصادفی مقدار صفر و یک را می گیرد و دارای مقدار میانگین α است.
می توانیم آن را برحسب میانگین و یک متغیر تصادفی دیگر با میانگین صفر بنویسیم:
مثال: تصادفی سازی
Plot b(t) and q(t) as a function of time.
The sequence b(t) contains an occasional square pulse so that the average is α. Subtracting α from b(t) yields the noise waveform, q(t).
If q(t) << N + α, we have
The feedback waveform arriving at the PFD
Phase noise given by:
مثالی از نویز فاز
Plot the previous formulated phase noise a function of time.
With the aid of the wave form obtained last Example for q(t), we arrive at the random triangular waveform shown below:
Determine the spectrum of ϕn,div(t).
The time integral of a function leads to a factor of 1/s in the frequency domain. Thus, the power spectral density of q(t) must be multiplied by [2 π fout / (N + α)2 / ω] 2,
where Sq(f) is the spectrum of the quantization noise, q(t). Note that this noise can be “referred” to the other PFD input—as if it existed in the reference waveform rather than the divider output.
نویز فاز خروجی مولد فرکانسی در پهنای باند حلقه
به صورتی دیگر از آنجا که: fout = (N+α)fREF
Compute Sq(f) if b(t) consists of square pulses of width Tb that randomly repeat at a rate of 1/Tb
We first determine the spectrum of b(t), Sb(f). As shown in Appendix I, Sb(f) is given by:
where the second term signifies the dc content. Thus,
revealing a main “lobe” between f = 0 and f = 1/Tb
داریم:
شکل دهی پایه ای نویز: تصادفی سازی باعث افزایش نویز فاز می گردد.
هدف تولید یک دنباله ی دودویی تصادفی , b(t), به گونه ای است که ضریب تقسیم کننده بین N و N+1 به نحوی تغییر کند که(1) مقدار میانگین این دنبال برابر α باشد, و (2) نویز این دنباله طیفی بالا گذر داشته باشد.
سیستم پسخور منفی با نویز تزریق شده در نزدیکی خروجی
یک حلقه پسخور منفی که شامل یک انتگرال گیر باشد، به عنوان یک سیستم بالاگذر برای نویز تزریق شده در نزدیکی خروجی عمل می کند. اگر Q با زمان به آرامی تغییر کند، در نتیجه بهره حلقه بزرگ خواهد بود و W بسیار شبیه به Q میشود و بنابراین Y کوچک می گردد.
اگر H(s) یک انتگرال گیر ایده آه باشد:
مثالی از نسخه گسسته-زمان سیستم قبلی(Ⅰ)
Solution:
Construct a discrete-time version of the system shown in the previous slide if H must operate as an integrator
Discrete-time integration can be realized by delaying the signal and adding the result to itself. We observe that if, for example, A = 1, then the output continues to rise in unity increments in each clock cycle. Since the z-transform of a single-clock delay is equal to z-1, we draw the integrator as shown below and express the integrator transfer function as
مثالی از نسخه گسسته-زمان سیستم قبلی(Ⅱ)
Thus, the discrete-time version of the system appears as shown above. Here, if Q = 0, then
i.e., the output simply tracks the input with a delay. Also, if X = 0, then
This is a high-pass response (that of a differentiator) because subtracting the delayed version of a signal from the signal yields a small output if the signal does not change significantly during the delay.
Construct a discrete-time version of the system shown in the previous slide if H must operate as an integrator
افزودن سیگنال و نسخه تاخیر یافته آن برای فرکانس های بالا وپایین ساعت
اگر فرکانس ساعت افزایش یابد a(t) زمان کمتری برای تغییر دارد و a1 و a2 تفاوت کمی را نشان می دهند.
فرکانس ساعت بالا فرکانس ساعت پایین
مثالی از سیستم فیدبک با یک ورودی m بیتی
Construct the system in the previous example in the digital domain with a precision (word length) of m bits.
Shown here, the system incorporates an input adder (#1) (in fact a subtractor) and
an integrator (“accumulator”) consisting of a digital adder (#2) and a register (delay element). The first adder receives two m-bit inputs, producing an (m + 1)-bit output. Similarly, the integrator produces an (m + 2)-bit output. Since the feedback path from Y drops the two least significant bits of the integrator output, we say it introduces quantization noise, which is modeled by an additive term, Q.
In analogy with the continuous-time version, we note that the high integrator gain forces Y to be equal to X at low frequencies, i.e., the average of Y is equal to the average of X.
Σ-Δ Modulator
کوانتش از m+2 بیت به 1 بیت باعث ایجاد نویز قابل توجهی می شود، اما حلقه پسخور این نویز را متناسب با 1-z-1 شکل دهی می کند. بهره بالای انتگرال گیر این اطمینان را می دهد که بهره خروجی برابر X شود.
انتخاب m باید با دقتی باشد که فرکانس خروجی مولد فرکانس با آن تعریف گردد.
شکل دهی نویز یک مدولاتور
تابع شکل دهی نویز از صفر درf = 0 آغاز می شود و درf = (2TCK)-1 (نصف فرکانس ساعت) به 4 می رسد.
نرخ بالاتر ساعت باعث گسترش تابع در جهت افقی و بنابراین چگالی نویز در فرکانس های پایین کاهش می یابد.
شکل Sy(f)
از آنجا که پهنای باندPLL خیلی کوچکتر از fREF, است، می توانیم Sq(f) را برای محدوده ی فرکانسی نسبی ثابت در نظر بگیریم. بنابراین فرض میکنیم که شکل Sy(f) تقریبا با تابع شکل دهی نویز یکسان است.
حلقه عدد کسری ساده با تصادفی سازی نسبت تقسیم
شکل بالا یک حلقه عددکسری ساده را که از یک مدولاتور Σ-Δ استفاده می کند تا نسبت تقسیم را تصادفی کند، نشان می دهد.
با استفاده از سیگنال پسخور به عنوان ساعت، مدولاتورΣ-Δ نسبت تقسیم را بین N و N+1 به نحوی تغییر می دهد که میانگین آن برابر با N+α باشد.
مساله ی تن ها
طیف خروجی مدولاتورهایΣ-Δ حاوی نویز شکل دهی شده است، اما تعدادی تن گسسته نیز در آنها وجود دارد. اگر این تن ها در فرکانس های پایین قرار داشته باشند، توسط PLL از بین نمیروند و بنابراین خروجی مولد فرکانسی را تخریب می کنند.
برای تخریب چنین تن هایی تناوب سیستم باید شکسته شود. برای مثال اگرLSB در X به صورت تصادفی بین صفر و یک تغییر کند، در نتیجه پالس های شکل موج خروجی به صورت تصادفی ایجاد خواهند شد که منجر به طیفی با تن های با دامنه نسبتا کوچک می گردد.
شکل دهی نویز مراتب بالاتر
تابع شکل دهی نویز که در معادلات قبل نشان داده شد، نویز های داخل باند را به میزان کافی تضعیف نمی کند. برای درک این مطلب، توجه کنید که اگر f << (πTCK)-1 باشد، داریم:
ما به دنبال سیستمی هستیم که افت سریع تری به نمایش بگذارد.
چنین مساله ای را می توان به استفاده از انتگرال گیر بدون تاخیر به دست آوریم. تابع انتقال به صورت زیر داده شده است:
بنابراین کوانتیزه کننده یک بیتی را با یک مدولاتورΣ-Δ جایگزین می کنیم.
بدست آوردن تابع شکل دهی نویز
تبدیل انتگرال اول به یک ساخنار بدون تاخیر بدست می دهد:
مقایسه: شکل دهی نویز در مدولاتورهای درجه اول و دوم
شکل دهی نویز در مدولاتور درجه دوم تا فرکانس (6TCK)-1 پایین تر از درجه اول قرار میگیرد.
داریم:
مدولاتور های اتصال زنجیری (cascade)
Y2 نسبتا یک رو نوشت دقیق از U می باشدY2 باY1 ترکیب شده و Youtرا به عنوان یک نمایش دقیق تر از X به دست می دهد.. این سیستم را یک >< اتصال زنجیری 1- 1>< می نامند.
باقی مانده نویز کوانتش
داریم
و
مثالی از عمل ترکیب سیگنال
Solution:
Construct a circuit that performs the combining operation shown previously.
For 1-bit streams, multiplication by z -1 is realized by a flipflop. The circuit thus appears as shown below:
مشکل نویز خارج باند
برای محاسبه طیف نویز فاز به تابع انتقال از نویز کوانتش به فرکانس بالا باز می گردیم:
نویز فاز
طیف نویز فاز به صورت زیر بدست می آید:
نتیجه وارد تابع انتقال پایین گذر
اثرات نویز فاز در خروجی حلقه عدد کسری
برای مقادیر کوچک f حاصلضرب, Sout(f) از صفر آغاز می شود و تا حدی افزایش می یابد.
برای مقادیر بزرگ f رفتار f2 تابع شکل دهی نویز، افت PLL را خنثی می کند و منجر به طیفی نسبتا ثابت می گردد.
وقتی مقدار f به 1/(2TCK) = fREF /2 برسد، افتPLL در حاصلضرب غالب می شود. اگر قابل مقایسه با نویز شکل دهی شده VCO باشد، می تواند ایجاد مشکل کند.
اثر عدم تطبیق پمپ بار
کل بار رسیده به فیلتر حلقه برابر مقدار زیر می باشد:
اکنون قطبیت اختلاف فاز ورودی را برعکس می کنیم:
(a) PFD/CP with current mismatches. (b) effect for Up ahead of Down. (c) effect for Up behind Down. (d) resulting characteristic
مثالی از اثر غیر خطسانی بالا در مولد فرکانسی عدد صیحیح
Does the above nonlinearity manifest itself in integer-N synthesizers?
No, it does not. Recall from Chapter 9 that, in the presence of a mismatch between I1 and I2, an integer-N PLL locks with a static phase offset, ΔT0, such that the net charge injected into the loop filter is zero. Now suppose the divider output phase experiences a small positive instantaneous jump (e.g., due to the VCO phase noise).
The net charge therefore becomes proportionally positive. Similarly, for a small negative instantaneous phase jump, the net charge becomes proportionally negative. The key point is that, in both cases, the charge is proportional to I1, leading to the characteristic shown in (d).
تاثیر اثر غیرخطی زیر بر مولد فرکانسی دلتا سیگما چیست؟
Decompose the characteristic shown in previous example into two components:
ضرب ΔTin در خودش یک اثر مخلوط کنندگی است که بصورت کانولوشن طیف با خودش نمایان می شود.
غیر خطسانی پمپ بار، نویز کوانتش فرکانس بالای مدولاتورΣΔ را به نویز درون باند تبدیل می کند و به این ترتیب باعث مدوله شدن VCO می گردد.
این خطا را به صورت یک سهمی, αΔT2in – b تقریب میزنیم و مینویسیم: Qtot ≈ IavgΔTin+ αΔT2in-b
راه حل دیگر برای کم کردن عدم تطبیق پمپ بار
روش دیگر برای ایجاد خطای فاز ایستا آن است که پالس بازنشانی PFD را به دو قسمت تقسیم کنیم.
برایTD و ΔT0,به اندازه کافی بزرگ، نوسانات فاز به سادگی عرض جریان پالس منفی در Inet, را مدوله می کنند که منجر به مشخصه ای با شیب I2. می شود. متاسفانه، این روش باعث ایجاد تموج قابل توجهی بر روی ولتاژ کنترلی می شود.
PLL باید با بار خالص صفر قفل کند و به نحوی نشست کند که:
فاز افست ایستا برابر است با:
روش دیگر استفاده از مدار نمونه بردار
یک مدار نمونه بردار بین پمپ بار و فیلتر حلقه به نحوی قرار می گیرد که تموج را بپوشاند و اطمینان حاصل کند که خط کنترل نوسانگر تنها ولتاژ نشست یافته تولید شده توسطCP را مشاهده می نماید.
به عبارت دیگر، یک جریان آفست عمدی یا عدم هم ترازی موج هایUp/Down به همراه مدار نمونه بردار باعث حذف غیر خطسانی ناشی از پمپ بار می شود و تموج بسیار کوچکی را نتیجه می دهد.
تکنیک های کاهش نویز کوانتش: پیشخور DAC
در اینجا W نویز شکل دهی شده است، درحالی که در مدولاتور های زنجیره ای، Q = Y-A که شکل دهی نشده است.
quantization error:
پیشخور DAC ساده
در نبود عدم تطبیق های انالوگ و زمانی، هر پالس خروجی از مدولاتور ΣΔ که از تقسیم کنندهPFD, وپمپ بار بگذرد با پالس دیگری که توسط DAC, تولید شده است، برخورد می کند که باعث خنثی سازی ایده آل می شود.
مشکلات سیستم قبلی و اصلاحات)1)
باید یک انتگرال گیر را بین تفریق کننده و DAC وارد کنیم.(به دلیل اختلاف نویز کوانتشی که به فیلتر حلقه و خروجی DAC می رسد.
بنابراین لازم است تا نمایش 17 بیتی مدولاتور ΣΔ دیگری باز کوانتیزه کنیم و بدین وسیله مثلا یک نمایش 6 بیتی که نویز کوانتش آن شکل دهی شده است، به دست آوریم.
مشکلات سیستم قبلی و اصلاحات)2)
پالس های Upو Down را تنها برای کسری از تناوب مرجع فعال می کنند و پالس جریانی با ارتفاع ثابت در هر زمان تولید می کنند. از طرف دیگر DAC، پالس های جریانی با عرض ثابت تولید می کند.
فیلتر حلقه نمونه بردار معمولا برای حذف تموج به کار می رود.
What is the effect of the mismatch between the charge pump current and
the DAC current in system above?
quantization error:
The unequal areas of the current pulses generated by the CP and the DAC lead to incomplete cancellation of the quantization noise. For example, a 5% mismatch limits the noise reduction to roughly 26 dB.
خطای گین DAC
از آنجا که هر دو جریان پمپ بار و جریان DAC توسط آیینه ی جریان تعریف شده اند، عدم تطبیق بین این آیینه ها منجر به خنثی سازی ناقص نویز کوانتش می گردد.
نویز کوانتش که وارد DAC میشوند کانوالو شده و به فرکانس های پایین تا می شوند، که باعث افزایش نویز فاز داخل باند می شود.
تقسیم کننده کسری
روش دیگر برای کاهش نویز کوانتش مدولاتور ΣΔ استفاده از تقسیم کننده های کسری است، که مدارهایی هستند که فرکانس ورودی را به مقادیر غیر صحیح 1.5 یا 2.5 تقسیم میکنند.
حتی با ساعت نرخ نصف، Dout ، Din .را دنبال می کند. به عبارت دیگر برای یک نرخ ساعت داده شده، داده ورودی به فلیپ فلاپ DET می تواند تا دو برابر سریع تر از ورودی اعمال شده به فلیپ فلاپ های حساس به یک لبه باشد.
پیاده سازی CML و استفاده از آن در مدار تقسیم بر 1.5
فلیپ فلاپ ها را در مدار تقسیم بر 3 با مدار DET جایگزین می کنیم . مدار به ازای هر 1.5 تناوب دوره ی ورودی یک تناوب خروجی را ایجاد میکند.
CML implementation
دو برابر کننده فرکانس
اگر فرکانس مرجع را با استفاده از یک مدار روی تراشه قبل از PLL دوبرابر کرد، آنگاه نویز فاز ناشی از کوانتش مدولاتور ΣΔ را می توان به اندازه 6دسی بل کاهش داد.
The input is delayed and XORed with itself, producing an output pulse each time Vin(t) and
Vin (t-ΔT) are unequal.
مثالی از سری فوریه ی خروجی دو برابرکننده
If we consider Vout(t) as the sum of the two half-rate waveforms, determine the
Fourier series of Vout(t).
The Fourier series of V1(t) can be written as
where ω0 = 2π/(2T1). The second waveform, V2(t), is obtained by shifting V1 by T1. Thus, the
first harmonic is shifted by ω0T1 = π, the second by 2ω0T1 = 2π, etc. It follows that
Adding V1(t) and V2(t), we note that all odd harmonics of ω0 vanish, yielding a waveform
with a fundamental frequency of 2ω0
خروجی دو برابرکننده در حضور اعوجاج دوره کار ورودی
در صورتی که دوره کار ورودی از 50% منحرف شود پالس هایی با فواصل نابرابر تولید می کند که به صورت باند های کناری در کنار مولفه اصلی در 1/T1 ظاهر می شوند. از آنجا که پهنای باند PLL در حدود یک دهم انتخاب شده است، باند های کناری نسبتا تضعیف می شوند.
تقسیم فرکانسی چند فازی
It is possible to create a fractional divide ratio by means of a multi-phase VCO and a multiplexer. Suppose a VCO generates M output phases with a minimum spacing of 2π/M, and the MUX selects one phase each time, producing an output given by
where k is an integer. Now, let us assume that k varies linearly with time, sequencing through 0, 1, · · ·, M -1, M, M + 1, · · · . Thus, k = βt, where β denotes the rate of change of k, and hence
The divide ratio is therefore equal to 1 – (β/ωc)(2π/M)
یک مثال از تقسیم فرکانسی فازهای مالتی پلکس شده
This technique affords a frequency divider having a modulus of 1 and modulus of 1.25. Since the divide ratio can be adjusted in a step of 0.25, the quantization noise falls by 20 log 4 = 12 dB
مشکل تقسیم کننده های کسری چند فازی: مساله حاشیه زمان بندی در انتخاب گر فاز
فرمان انتخاب MUX (که فاز افزوده شده به حامل را در هر زمان تعیین می کند) کار سختی است.
لبه های شکل موج های انتخاب گر، حاشیه کمی نسبت به لبه های ورودی دارند. علاوه بر آن، اگر نسبت تقسیم از 1.25 به 1 تغییر کند، مجموعه متفاوتی از شکل موج های انتخاب گر باید اعلام شوند که تولید و سیم بندی مدار منطقی عمل انتخاب را پیچیده تر می کند.
مشکل تقسیم کننده های کسری چند فازی: عدم تطبیق فازها
فازهای متعامد LO و مسیرهای داخل MUX دچار عدم تطبیق هستند که منجر به جابه جایی گذارهای خروجی از نقاط ایده آل در زمان می شود.
طیف شامل مولفه بزرگی در 4/(5Tin) و باند های کناری در دیگر ضرایب صحیح 1/(5Tin) می باشد.
می توان انتخاب فازها را به گونه ای تصادفی سازی نمود تا باند های کناری به نویز تبدیل شوند.
پیوست 1: طیف نویز کوانتش
به طور کلی، اگر پالس p(t) به صورت تصادفی در هر Tb ثانیه تکرار شود.
طیف حاصل به صورت زیر بدست می آید:
واریانس متغیر تصادفی x به صورت زیر بدست می آید:
تابع تبدیل فوریه p(t) برابر است با:
Probability density function of binary
data with an average value of α
References (Ⅰ)
References (Ⅱ)