پاورپوینت فیزیک پایه 1 دوران جسم صلب حول محور ثابت سینماتیک دورانی

فیزیک پایه 1( مکانیک)
درس 4 واحدی
(رشته های ریاضی ، شیمی و کامپیوتر)
درس 3واحدی (حذف فصل 12و13)
(رشته کامپبوتر)
هریس بنسون
ترجمه و تدوین: محمد رضا بهاری

هدفهای کلی درس

آشنایی با:
فیزیک ، مفهوم، مدل ، قانون ونظریه
بردارها: ضرب نرده ای وبرداری
ا نواع حرکت: یک بعدی و دوبعدی
حرکت سقوطی آزاد و دایره ای
حرکت نسبی
دینامیک ذره : قوانین نیوتن و اصطکاک
مفاهیم کار ، انرژی وتوان
پایستگی انرژِ ی : نیروهای پایستارو غیر پایستار
انرژی جنبشی و پتانسیل
تکانه خطی و قانون پایستگی تکانه خطی
سیستم ذرات : مرکز جرم ، حرکت مرکز جرم
دوران جسم صلب حول محورثابت : سینماتیک دورانی
دینامیک دورانی :تکانه زاویه ای و پایستگی آن
گرانش : قانون گرانش نیوتن
حل مسائل فیزیک مکانیک

فصل یازدهم
دوران جسم صلب حول محور ثابت
سینماتیک دورانی

درس امروز ما…
سینماتیک دورانی
تشابه با سینماتیک یک بعدی
انرژی جنبشی یک جسم چرخننده
گشتاور لختی (لختی دورانی)
سیستم ذرات
اجسام صلب پیوسته
قضیه محورهای موازی

تاکنو ن صحبتی از دوران اجسام به میان نیاوردیم.
لغزش اجسام را مورد بررسی قراردادیم ولی ا ز غلتش صحبت نکردیم
فرض کردیم که قرقره ها فاقد جرم هستند

دوران بسیا ر مهم است و ما باید توجه کافی به آن مبذول داریم !

معادلات مربوط به دوران شباهت زیادی به معادلا ت سینماتیک و دینامیک یک بعد ی حر کت انتقالی دارند .
دوران

پیش آزمون: مهرداد روی لبه یک سکوی گردان و علی درمیانه خط واصل از مرکز به لبه این سکو نشسته است . این سکو هردو دقیقه یک دور کامل می چرخد..
سرعت زاویه ای علی برابر است با:
الف – سرعت مهرداد
ب- دوبرابر سرعت مهرداد
ج- نصف سرعت مهر داد
دوران

سرعت زاویه ای w هر نقطه از یک جسم صلب که به دور محوری می چرخد یکسان است.
مهرداد وعلی هردو یک دور کامل (2p radians) در یک دقیقه می چرخند.
w
(سرعت ”خطی“ آنها v باهم متفاوت است زیرا v = wr است ).
دوران

متغییرهای دورانی
دورا ن حول یک محور:
دیسکی را درنظر بگیرید که حول محور ش می چرخد:

ابتدا آنچه را که در مورد حرکت دورانی یکنواخت آموختیم بیاد بیاورید:

که مشابه است با:

سرعت زاویه ای متوسط:
سرعت زاویه ای لحظه ای:
شتاب زاویه ای متوسط:
شتاب زاویه ای لحظه ای:

متغییرهای دورانی
اکنون فرض کنید که  برحسب تابعی اززمان تغییرکند:
شتاب زاویه ای را چنین تعریف می کنیم::
حالتی را در نظر بگیرید که  ثابت است .
برای یافتن  و برحسب تابعی از زمان از این رابطه انتگرال می گیریم:

بین دورابطه t را حذف می کینم:

متغییرهای دورانی
به خاطر بیاورید که در فاصله R ازمحور دوران داریم :
x = R
v = R
و با مشتق گرفتن از رابطه اخیر نسبت به زمان خواهیم داست:
a =  R


R
v
x

constant

خلاصه (مقایسه با سینماتیک یک بعدی )
زاویه ای خطی
وبرای یک نقطه در فاصله R از محور دوران :
x = Rv = R a = R

مثال : چرخ و طناب
چرخی به شعاع R = 0.4 m حول محورش می چرخد. طنابی به دور چرخ پیچیده شده است . چرخش از حالت سکون شروع می شود t = 0, طناب را باشتاب a = 4 m/s2 می کشیم . بعداز 10 ثانیه چرخ چند دور می زند؟
(یک دور = 2 رادیان)

چرخ و طناب …
از رابطه a = R برای یافتن استفاده می کنیم :
= a / R = 4 m/s2 / 0.4 m = 10 rad/s2

اکنون از معادله مربوط به جابه جایی زاویه ای استفاده می کنیم:

انرژی جنبشی دورانی
سیستم ساده چرخان زیر را درنظر بگیرید. (فرض کنید که وزنه ها بوسیله میله های فاقد جرم به مرکز دوران وصل شده اند ).
انرژی جنبشی این سیستم از جمع انرژی های جنبشی اجسام تشکیل دهنده آن بدست می آید:

انرژی جنبشی دورانی …
بنابراین ولی vi = ri
گشتاور لختی را چنین تعریف می کنیم :
I دارای یکای kg m2 است.

انرژی جنبشی دورانی …
انرژی جنبشی دورانی یک جسم چرخان مشابه انرژی جنبشی یک ذره نقطه ای است : ذره سیستم چرخان
v سرعت خطی
m جرم .
 سرعت زاویه ای
I گشتاور لختی حول محور دوران .

گشتاور لختی
توجه کنید که لختی دورانی یک سیستم بستگی به پراکندگی جر م سیستم دارد .
هرچه پراکندگی جرم از محوردوران بیشتر باشد لختی دورانی بیشتر خواهدبود.

برای یک جسم گشتاور لختی آن بستگی به محوری دارد که جسم حول آن می چرخد( برخلاف مرکز جرم) .

در دینامیک دورانی کمیت I مشابه جرم m در دینامیک خطی است !
لذا:
که در آن :

محاسبه لختی دورانی
برای N جرم نقطه ای مجزا از هم که حول محوری پراکنده هستند گشتاورلختی یا لختی دورانی چنین تعریف می شود :
که r فاصله جرم از محور دوران است .
مثا ل: لختی دورانی چهار جرم (m) که در گوشه های یک مربع به ضلع Lقراردارند را حول محوری که از مرکز مربع گذشته و بر سطح
آ ن عمود است محاسبه کنید,
:
m
m
m
m
L

محاسبه لختی دورانی
مربع فاصله هر جرم نقطه ای از مرکز دوران:
m
m
m
m
L
r
L/2
لذا:
با استفاده از قضیه فیثاغورث

محاسبه لختی دورانی
اکنون لختی دورانی همان جسم را حول محوری که مطابق شکل زیر در صفحه مربع قرار دارد محاسبه کنید :
L
r

محاسبه لختی دورانی
اکنون لختی دورانی همان سییتم را حول محور مشخص شده در شکل زیر محاسبه کنید :
m
m
m
m
L
r

محاسبه لختی دورانی
مشاهده می کنید که برای یک سیستم لختی دورانی بستکی به محوردوران دارد!!
L
I = 2mL2
I = mL2
m
m
m
m
I = 2mL2

لختی دورانی
مثلث زیر از گلوله های مشابه و میله های صلب بدون جرم مشابه تشکلیل شده است . لختی دورانی حول محور a, b, و c به ترتیب برابر است با Ia, Ib,و Ic.
گزینه درست کدام است ؟:
(a) Ia > Ib > Ic
(b) Ia > Ic > Ib
(c) Ib > Ia > Ic
a
b
c

لختی دورانی
a
b
c
طول ها وجرم ها را مشخص کنید:
m
m
m
L
L
لختی دورانی را محاسبه کنید:
بنابراین رابطه b درست است : Ia > Ic > Ib

محاسبه لختی دورانی …
برای یک سییستم ذره ای :

برای یک جسم صلب سهم mr2 را برای هر عنصر از جسم dm را باید به هم بیفزاییم.

یعنی برای محاسبه لختی دورانی Iجسم صلب باید انتگرال زیر را محاسبه کنیم :

مثال: می خواهیم لختی دورانی یک میله نا زک حول محوری که عمود بر میله از یک
انتهای آن می گذرد حساب کنید:

مثال: لختی دورانی یک دیسک یا یک استوانه توپر به شعاع قاعده
را حول محوری که عمود برقاعده از مرکز جسم می گذردو
(ب) عمود برقاعده از لبه جسم می گذرد حساب کنید:

لختی دورا نی …
چند مثال از لختی دورانی اجسام:
یک حلقه نازک ویا یک استوانه نازک به جرم M وشعاع R, حول محورکه از مرکز حلقه گذشته و بر سطح آن عمود است .
R

گشتاور لختی …
چند مثال در موردگشتاور لختی اجسام صلب :
کره صلب به جرم M وشعاع R,
حول محوری که ا ز مرکز آن می گذرد.
R

تمرین : گشتاورلختی
دوکره به جر م و شعاع یکسان مفروض است . یکی از آلومینیوم ودیگری از پوسته ای از طلا ساخته شده است
کدام یک گشتاور لختی بیشتری نسبت به محوری که از مرکز ش می گذرد دارد؟
جرم و شعاع مساوی
صلب
پوسته
الف – کره صلب آلومینوم ب- پوسته طلا ج- یکسان

ادامه تمرین گشتاور لختی
گشتاور لختی به جرم و مجذور فاصله آن از محور دوران بستگی دارد که برای پوسته طلا به علت اینکه جرم آن دورتر از مرکز دوران آن قرار دارد می باشد, .
بنابراین پوسته طلا دارای لختی دورانی بیشتری است.
جرم و شعاع مساوی
ISOLID < ISHELL
کره صلب آلومینیومی
پوسته طلا

ادامه گشتاور لختی …
گشتاور لختی چند جسم صلب :
لختی دورانی یک میله نازک به جرم M وطول L, حول محوری عمودبرطول آن که از مرکز میله می گدذرد.
L
لختی دورانی یک میله نازک به جرم M وطول L حول محوری عمودبرطول آن که از انتهای آن می گذرد.

قضیه محورهای موازی
لختی دورانی یک جسم به جرم M حول محوری که از مرکز جرم , ICM, آن می گذرد معلوم است.
لختی دورانی حول محور مواز ی با این محور و به فا صله D از آن از رابطه زیر که به قضیه محورهای موازی مشهور است بدست می آید:

IPARALLEL = ICM + MD2
لذا اگر ICM را بدانیم به سادگی می توانیم لختی دورانی حول محور مواز ی با
آن را محاسبه کنیم .

مثال :قضیه محورهای موازی
میله یکنواختی به جرم M وطول Dدر نظر بگیرید. گشتاور لختی را حول محوری که از انتهای آن می گذرد محاسبه کنید.

IPARALLEL = ICM + MD2
L
D=L/2
M
x
CM
می دانیم که:
بنابراین:
که با نتیجه آنچه که قبلا گفتیم مطابقت دارد.
ICM
IEND

ارتباط با حرکت مرکز جرم
انرژی جنبشی یک سیستم ذره ای برابر بود با :
KREL
KCM
برای یک جسم صلب که حول مرکز جرم خود می چرخد جمله اول چنین است :
باجاگذاری
ولی می دانیم که :

ارتباط با حرکت مرکز جرم …
بنابراین برای یک جسم که حول مرکز جرمش می چرخد و مرکز جرم آن حرکت می کند داریم:

VCM
از این فورمول در درس های بعد استفاده می کنیم.

یادآوری درس امروز…
سینماتیک دورانی
تشابه باسینماتیک یک بعدی
انرژی جنبشی یک جسم چرخننده
گشتاور لختی (لختی دورانی)
سیستم ذرات
اجسام صلب پیوسته
قضیه محورهای موازی

مطالب درسی و مسائل کتاب را مرور کنید