نوع واحد : نظری اجباری
پیش نیاز : ریاضی عمومی 1
درس استاتیک
Part1
توجه : فایل درس استاتیک در چهار بخش تهیه و ارائه شده است
1- یادآوری اصول عملیات برداری
2- نیرو ، گشتاور ، کوپل و بیان قضایای مربوطه
3- بررسی تعادل نقطه مادی
4- بررسی تعادل اجسام در صفحه
5- بررسی تعادل اجسام در فضا
6- شناسایی سازه های پایدار و ناپایدار ، معین و نامعین استاتیکی در صفحه و فضا
سرفصل درس
7- حل خرپاهای دو بعدی – آشنایی با حل خرپاهای فضایی
8- نیروهای داخلی در سازه ها معین استاتیکی و روش تعیین آنها
9- خواص هندسی منحنی ها سطوح و احجام
10 – تئوری کار مجازی و کاربرد آن در حل مسائل استاتیک
11- شناخت نیروی اصطکاک و کاربرد قوانین آن در استاتیک
12- تحلیل کابل ها
سرفصل درس
تعریف :
مکانیک شاخه ای از علم فیزیک است که در آن تاثیر نیروها بر اجسام مورد بررسی قرار می گیرد
مفاهیم و تعاریف اصول مکانیک
اثر یک نیرو بر روی یک جسم صلب به نقطه و خط اثر آن بستگی دارد . این نیرو بعد از عبور از جسم صلب بدون تغییر شکل جسم از آن خارج می گردد و بر عکس .
اثر نیرو بر جسم صلب و جسم قابل تغییر شکل پذیر
عملیات بردار
θ
A
خط اثر
V
-V
یک بردار دارای مقدار ، خط اثر و جهت
کمیت برداری V با پاره خطی در راستای برداری و پیکانی که جهت آن را مشخص می کند ، نشان می دهند.
جمع و تفریق بردارها به روش مثلث
در روش جمع بردارها به روش مثلث از نقطه A بردار همسان یا هم سنگ a را رسم می کنیم . سپس از انتهای بردار یادشده ، بردار همسان بردار b را ترسیم می کنیم. چنانچه نقطه A را به انتهای بردار b وصل کنیم ، با تشکیل شکل مثلث بردار سوّم را مجموع دو بردار می نامیم.
a
b
a
b
a+ b
-b
a- b
a
A
A
در روش تفریق بردارها به روش مثلث از نقطه A بردار همسان یا هم سنگ a را رسم می کنیم . سپس از انتهای بردار یادشده ، منهای بردار همسان بردار b را ترسیم می کنیم. چنانچه نقطه A را به انتهای بردار b وصل کنیم ، با تشکیل شکل مثلث بردار سوّم را تفریق دو بردار می گویند.
جمع بردارها به روش متوازی الاضلاع
در این روش از نقطه A بردار a و b را به صورت همسان ترسیم می کنیم . سپس از انتهای بردار b موازی برداری a و همچنین از انتهای بردار a موازی برداری b خطوط را رسم و از نقطه A بردار مجموع بردارها به محل تلاقی ترسیم می گردد.
a
b
a
b
a+ b
A
جمع سه بردار یا روش چند ضلعی
در این روش از نقطه A نسبت به ترسیم بردار همسان یا هم سنگ a اقدام کرده و از انتهای بردار رسم شده بردار همسان b و سپس بقیه بردارهای موجود را ترسیم می کنیم.
a
b
a
b
a+ b
c
c
a+ b + c = d
A
نکته :
چنانچه انتهای آخرین بردار بر ابتدای بردار اوّلی منطبق گردد و یک چند ضلعی بسته شکل گیرد، مجموع بردارها صفر خواهد شد.
ضرب بردار
a
2a
3a
– هم جهت از جهت خط اثر
P= n ×a
-3a
قانون کسینوس ها
مثال :
قانون سینوس ها
مثال :
قانون سینوس ها و کسینوس ها
بردارهای یکه :
بردار واحد یا بردار یکه، برداری در فضای برداری که دارای طول واحد یا 1 می باشد
بردارهای یکه دو بعدی
بردارهای یکه سه بعدی
نحوه محاسبه بردار F بر حسب بردارهای یکه i و j ( سیستم دو بعدی نیرو )
مستطیل تجزیه
مثال : نیروی F با مقدار 600 نیوتن به صورت شکل زیر اعمال شده است . بردار F را بر حسب بردارهای یکه i و j تعیین کنید ؟
جعبه یا مستطیل تجزیه
مثال : دو برداری مطابق شکل مقابل به طول 60 و 100 متر به ترتیب با زوایه 30 و 70 درجه است. برآیند و زاویه مربوطه را با استفاده از قانون ها محاسبه کنید؟
حل :
نکته :
مثال : دو نیروی خارجی مطابق شکل مقابل بر سازه وارد می شود. با استفاده از روابط برداری برآیند نیرو را بدست آورید؟
حل:
مثال : نیروی خارجی به بزرگی 100 کیلو نیوتن مطابق شکل مقابل بر سازه وارد می شود. با استفاده از روابط برداری نیروهای میله AB و AC را بدست آورید؟
حل :
حل :
راه حل دیگر : تجزیه نیروها
نیرو :
اگر جسم صلب باشد ، پس :
یک نیروی ممکن است در هر نقطه و امتداد خط اثر از جسم صلب اعمال شده ، بدون تغییر اثرات خارجی آن انتقال مکان نماید.
اگر جسم صلب باشد
قاب صلب
مثال :
برآیند سه نیرو شکل زیر را محاسبه کنید ؟
حل : نمودار آزاد جسم را ترسیم و با تجزیه نیروها به محورهای x و y ، برآیند نسبت به دو محور را حساب می کنیم .
مستطیل تجزیه
مثال : سه نیروی خارجی مطابق شکل مقابل بر سازه وارد می شود. برآیند نیروها و زاویه آن نسبت به محور x را بدست آورید؟
حل:
مثال : سه نیروی خارجی مطابق شکل مقابل بر سازه وارد می شود. برآیند نیروها و زاویه آن نسبت به محور x را بدست آورید؟
حل:
مثال : بردار برآیند R را برای دو نیرو مطابق شکل زیر را
الف ) با استفاده از روش متوازی الاضلاع
ب) جمع مولفه های برداری محاسبه کنید؟
حل : با استفاده از روش متوازی الاضلاع
روابط سینوس ها
زوایه برداری براساس مولفه های برداری
مثال : دو عضو از سازه زیر تحت کشش و دیگری تحت فشار
نیروهای بر مفصل O وارد می کند. اندازه برآیند برداری R
و زاویه حاصل در جهت مثبت محور x ها ناشی از R را تعینن کنید؟
نیروی فشاری
حل :
نیروی کششی
زاویه ی برداری
اندازه برداری
مثال : دو نیرو طبق شکل زیر بر صفحه مهاربند وارد می شود . اگر زاویه برابر 60 درجه باشد، مقدار برآیند R را برای دو نیروی فوق محاسبه کنید؟
حل : ابتدا نمودار جسم آزاد را ترسیم می کنیم
مثال : دو نیرو طبق شکل زیر بر نقطه A میله خمیده شده وارد می شود . مقدار برآیند R را برای دو نیروی فوق محاسبه کنید؟
حل : ابتدا نمودار جسم آزاد در نقطه A را ترسیم می کنیم
حل :
مثال : دو نیروی P و Q به پیچ A وارد می گردد.
برآیند دو نیرو را محاسبه کنید ؟
حل : روش مثلثی
مثال : چهار نیرو مطابق شکل زیر بر پیچ A وارد می گردد.
برآیند نیروهای وارده را محاسبه کنید؟
حل : ترسیم نمودار
محاسبه نیروهای برداری به تفکیک محورها
خلاصه محاسبات
محاسبه برآیند نیروها
زوایه ی برداری
مثال : برآیند R و زوایه ی برداری در جهت مثبت محور X ها را برای سه نیروی کششی وارده شده بر پیچ را بدست آورید ؟
حل : ترسیم نمودار آزاد جسم
و تجزیه نیروها نسبت به دو محور اصلی
نمودار آزاد جسم
محاسبه برآیند نیروهای کششی و زاویه آن
تمرین 2 : با استفاده از قانون سینوس ها و با درنظر گرفتن α=45 ، نیروی کششی کابل BC و نیروی میله AC را محاسبه کرده و نمودار جسم آزاد و نیروی کششی را ترسیم شود؟
تمرین 3 : مولفه های عددی Ra و Rb در راستای محورهای غیر قائم a و b را محاسبه کنید ؟ تصویر عمودی Pa ، نیروی R بر محور a را تعیین کنید؟
نمونه وضعیت های مختلف تجزیه برداری نیرو دو بعدی
گشتاور یا ممان :
تمایل نیرو بر چرخاندن جسم
مقدار گشتاور برداری برابر با حاصلضرب نیرو برداری در بازوی برداری گشتاور
نکته : واحد اصلی گشتاور در SI برابر نیوتن . متر (N.m )
محاسبه گشتاور چند نیرو
نکته :
در محاسبه گشتاور بایستی به جهت و علامت مثبت یا منفی حول نقطه مورد نظر دقّت شود.
جهت چرخش پاد ساعت
اندازه گشتاور نیروی F در نقطه A برابر است با :
مثال : یک تیر مطابق شکل مقابل توسط نیرو به مقدار 4 کیلونیوتن با زاویه 45 درجه کشیده می شود. گشتاور در نقطه A را محاسبه کنید؟
حل :
مثال : اندازه گشتاور نیروی 600 نیوتنی را حول نقطه O محاسبه کنید؟
اندازه گشتاور ساعتگرد
d= dy . Cos θ+dx . Sin θ = 4 x cos 40 +2 x sin 40 = 4.35 m
حل : فاصله گشتاور نیروی 600 نیوتنی برابر با :
M o = F x d = 600 x 4.35 =2610 N.m
نکته :
مثال : گشتاور ناشی از سه نیرو حول نقطه A و B طبق شکل زیر را محاسبه کنید ؟
توجه : براساس صورت مسئله عکس العمل تکیه گاه ها در حل مسئله دخیل نشده است .
قضیه وارینون ( Varignon )
گشتاور هر نیرو حول هر نقطه برابر با حاصل جمع گشتاورهای مولفه های آن نیرو حول همان نقطه
مثال : مسئله قبل را از طریق قضیه وارینون حل کنید ؟
طبق قضیه وارینون ، گشتاور برابر :
F1= F x cos θ = 600 x cos 40 = 460 N
حل : محاسبه مولفه های محوری
M o = F1 x d1 + F 2 x d 2 = 460 x 4 + 386 x 2 = 2610 N.m
F2= F x sin θ = 600 x sin 40 = 386 N
مثال :
گشتاور نیروی وارده اشکال زیر را محاسبه کنید ؟
مثال : یک میله چرخ به طول خم 40 سانتی متر جهت باز و بسته شدن پیچ لاستیک ماشین وجود دارد. اگر بخواهیم با اضافه کردن لوله این طول میله را به 80 سانتیمتر برسانیم. گشتاور اعمالی چند برابر خواهد شد ؟
مثال :
گشتاور نیروی وارده شکل مقابل حول نقطه O را محاسبه کنید ؟
مثال : در اثر وزش باد به صورت عمودی بر تابلوی مستطیل شکل مقابل ، فشار یکنواختی معادل 150 نیوتن بر مترمربع در جهت نشان داده شده بر شکل وارد می گردد. گشتاور نیروی حاصل از این فشار حول نقطه O را محاسبه کنید ؟
حل :
از رابطه فشار برابر نیرو وارده بر سطح داریم :
این نیرو بر مرکز هندسی تابلوی مستطیل شکل وارد می گردد گشتاور حاصل برابر
این گشتاور حول محور Z ها و خلاف جهت حرکت ساعت خواهد بود .
مثال : شخصی برای گردش به راست نیروهای نشان داده شده در شکل را به فرمان وارد می کند. هر نیرو شامل یک مولفه مماسی و یک مولفه شعاعی به سمت داخل می باشد . گشتاور اعمال شده بر ستون فرمان در نقطه O را محاسبه کنید ؟
M o = F1 x d1
F1 = 8 x Cos 30 = 6.93 N
d= 375 mm
Mo= 6.93 x 375 = 2599 N.m
حل :
مثال : برآیند دو نیرو در چه نقطه ای اثر می کند؟
حل : ترسیم نمودار آزاد جسم
مجاسبه برآیند نیرو و گشتاور حول نقطه A
برآیند دو نیروی در فاصله 10.7 متری از نقطه A اثر می کند.
مثال : اگر وزن کل فرغون و بار برابر 210 نیوتن و مرکز ثقل آن در نقطه G باشد . اندازه کوچکترین نیروی مورد نیاز P برای بلند کردن پایه فرغون در نقطه B از سطح زمین را تعیین کنید ؟
حل :
مثال : تاورکرین مطابق شکل مقابل می خواهد بار به مقدار 2 تن با سرعت ثابت بردارد. اگر وزن میله های BD برابر 1/5 تن و میله های BC برابر 0/5 تن و به ترتیب G1 و G2 مرکز جرم آنها باشد. تعیین کنید جرم مورد نیاز برای وزنه در نقطه C با مرکز جرم G3 چقدر باشد تا نتیجه گشتاور ایجاد شده بوسیه بار و وزن تاورکرین در نقطه A برابر صفر گردد.
حل :
مثال : مقدار گشتاور وارده در اثر نیروهای وارده را در نقطه A تعیین کنید ؟
مثال : اگر جرم تیر ورق شکل مقابل برابر 3000 کیلوگرم و نقطه G مرکز جرم آن باشد. نیروهای وارده بر کابلهای AB , CB,BD را محاسبه کنید؟
30
45
تمرین 4 : نیروی P به مقدار 35 نیوتن به صورت عمودی به قسمت BC از میله خمیده وارد می شود. گشتاور حاصل از P حول نقاط A و B را محاسبه کنید؟
MB=55.94N.m
MA=95.54N.m
ترسیم نمودار جسم آزاد
ترسیم نمودار جسم آزاد
ترسیم نمودار جسم آزاد
ترسیم نمودار جسم آزاد
تعادل نقطه مادی
هنگامی که حاصل تمام نیروهای وارد بر یک ذره ( نقطه مادی ) صفر است، ذرات در حالت تعادل است. چنانچه یک ذره توسط دو نیروهای اعمالی در تعادل می باشد، اگر دو نیروهای اندازه و در جهت مخالف روی خط اثر بوده و برآیند این دو نیرو صفر خواهد شد.
پس نقطه A در حال تعادل است .
شرط تعادل نقطه مادی
شرط تعادل جسم صلب
کوپل
به گشتاور که دو نیروی مساوی ، موازی و خلاف جهت ایجاد می کند ، اصطلاحا کوپل گویند . به عبارت دیگر ، اثر دو نیرو هم اندازه و در جهت مخالف به فاصله d از هم را نمی توان تبدیل به تک نیرو کرد . زیرا مجموع آنها در هر جهت برابر صفر خواهد بود و فقط تاثیر آنها تمایل به ایجاد چرخش دارند. ترکیب گشتاور این دو نیرو حول محور عمود بر صفحه آنها که از هر نقطه مانند نقطه O عبور کند ، برابر کوپل M است.
M = F x ( a +d ) – F x a = F x a + F x d – F x a = F x d
کوپل های برابر
کوپل :
سیستم کوپل – نیرو
یک نیروی فعال بر روی یک جسم تمایل به فشار و کشش جسم در جهت نیرو و یا چرخانیدن آن حول محور ثابت غیر متقاطع با خط اثر نیرو را دارد. برای جبران تغییرات گشتاور حاصل می توان نسبت به جایگزینی یک نیرو موازی و یک کوپل ( سیستم کوپل – نیرو ) اقدام کرد. این جایگزینی در علم مکانیک برای حل مسائل کاربرد زیادی دارد .
نکته : جهت سیستم کوپل – نیرو هم جهت با نیرو اعمالی خواهد بود.
مثال : نیروی 80 نیوتنی افقی مطابق شکل زیر بر اهرم وارد می شود. با استفاده از سیستم کوپل – نیرو جایگزین آن در نقطه O را تعیین کنید ؟
حل :
مثال : بارگذاری طبق شکل مقابل بر تیر وارد شده است. برآیند سه نیرو و فاصله x از نقطه A را محاسبه و با استفاده از سیستم کوپل ـ نیرو به نقطه A انتقال دهید ؟
حل :
نمودار جسم آزاد
مثال : برآیند R و مکان آن را برای دو نیروی و کوپل وارده بر تیر I شکل مقابل محاسبه کنید ؟
حل : ابتدا نمودار جسم آزاد را ترسیم می کنیم ، سپس
جهت حرکت عقربه ساعت مثبت فرض شود.
نمودار جسم آزاد
مثال : سیستم بارگذاری را با استفاده از سیستم کوپل – نیرو نسبت به نقطه A براساس برآیند R و فاصله آن را نسبت به نقطه A را تعیین کنید ؟
حل :
نمودار جسم آزاد
مثال : پی گسترده بتنی مطابق شکل مقابل نیروی فشاری پنج ستون فلزی و یک نیروی کششی آسانسور را تحمل می کند. تعیین کنید مختصات X و y بر روی پی را که برآیند نیروها از آن عبور می کند؟
نکته : مرکز برآیند نیرو از محور X برابر 2/92 متر و از محور y برابر 6/33 متر است.
مثال :
ستونهای یک ساختمان چهار طبقه با مجموع بارمرده و زنده به ازاء هرمترمربع یک تن مطابق شکل طراحی شده است. چنانچه یک ستون هال پذیرایی حذف شود. مختصات X و y بر روی پی را که برآیند نیروها از آن عبور می کند، برای دو حالت حذف ستون و عدم حذف ستون محاسبه کنید؟
12
24
48
48
48
48
24
24
24
12
12
24
24
24
24
12
3m
4 m
3m
3m
4 m
4 m
x
y
12
24
48
48
48
48
24
24
24
12
12
24
24
24
24
12
3m
4 m
3m
3m
4 m
4 m
x
y
حالت عدم حذف ستون :
نکته : مرکز برآیند نیرو از محور X برابر 6 متر و از محور y برابر 4/5 متر است.
12
24
60
48
60
24
36
24
12
12
36
24
24
24
12
3m
4 m
3m
3m
4 m
4 m
x
y
حالت حذف ستون :
حالت با ستون
حالت حذف ستون
تمرین :
ستونهای یک ساختمان چهار طبقه با مجموع بارمرده و زنده به ازاء هرمترمربع یک تن مطابق شکل طراحی شده است. چنانچه یک ستون هال پذیرایی حذف شود. مختصات X و y بر روی پی را که برآیند نیروها از آن عبور می کند، برای دو حالت حذف ستون و عدم حذف ستون محاسبه کنید؟
24
48
96
96
96
96
48
48
48
24
24
48
48
48
48
24
4m
6 m
4m
4m
6 m
6 m
x
y
24
48
120
96
120
48
72
48
24
24
72
48
48
48
24
4m
6 m
4m
4m
6 m
6 m
x
y
تمرین :
ستونهای یک ساختمان چهار طبقه با مجموع بارمرده و زنده به ازاء هرمترمربع یک تن مطابق شکل طراحی شده است. تغییر یک ستون هال پذیرایی ایجاد میشود. مختصات X و y بر روی پی را که برآیند نیروها از آن عبور می کند، برای دو حالت محاسبه کنید؟
18
36
72
72
36
36
36
18
18
36
36
18
4.5m
4 m
4.5m
4 m
4 m
x
y
18
36
72
72
36
52
20
26
10
36
36
18
2.5m
4 m
6.5m
4 m
4 m
x
y
4.5m
4.5m
تعیین سطح یا حجم اجسام – قضیه های پاپوس – گلدینوس
قضیه های پاپوس – گلدینوس
– سطح دوار در اثر چرخش یک منحنی نسبت به یک محور ثابت بدست می آید.
مساحت سطح دوار برابر است با حاصلضرب طول منحنی مولد در مسافت طی شده توسط مرکز هندسی در اثر چرخش
نکته : این قضیه توصیف از یک راه ساده برای محاسبه حجم (مواد جامد) و مساحت سطح (پوسته) از چرخش به طور مشترک است.
قضیه های پاپوس – گلدینوس
– جسم دوار در اثر چرخش یک صفحه نسبت به یک محور ثابت بدست می آید.
حجم سطح دوار برابر است با حاصلضرب مساحت سطح مولد در مسافت طی شده توسط مرکز هندسی در اثر چرخش
جدول پ 1 – مراکز هندسی و کمان ( طول ) دوار شکل های متداول
جدول پ 2 – مراکز هندسی و سطح دوار شکل های متداول
جدول پ 3 – مراکز هندسی و حجم دوار شکل های متداول
مثال : مساحت سطح دوار شکل مقابل را بر اساس قضیه های پاپوس – گلدینوس را محاسبه کنید؟
حل : ابتدا مرکز هندسی منحنی را نسبت به محور ثابت را حساب می کنیم ، پس
مثال : اگر شعاع از محور مرکزی 4 متر و ارتفاع استوانه 8 متر باشد. سطح و حجم مخزن شکل مقابل را محاسبه کنید؟
مرکز هندسی ربع کمان 2/55 متر
مرکز هندسی سطح نیم کره 1/70 متر
حل :
تمرین : مخزن آب پوسته ی حاصل از دوران مطابق شکل مقابل وجود دارد. اگر شعاع شکل کروی برای 11 متر باشد . مقدار سطح منحنی ، مرکز هندسی ، سطح کره و حجم کره را محاسبه کنید ؟
مثال : مخزن آب پوسته ی حاصل از دوران مطابق شکل مقابل وجود دارد. چنانچه بخواهیم سطح آن را دو لایه رنگ آمیزی کنیم و هر گالن رنگ سطح 500 مترمربع را پوشش دهد. اگر طول خط منحنی ABC برابر 34 متر و مرکز هندسی آن از خط مرکز مخزن 6/9 متر باشد، چند گالن رنگ برای رنگ آمیزی سطح مخزن و پایه استوانه ای ان لازم است ؟
حل :
مثال : سطح مخزن آب شکل مقابل را محاسبه کنید؟
مثال : حجم مخزن آب شکل مقابل را محاسبه کنید؟
حل :
مثال : مساحت سطح دوار و حجم شکل مقابل را بر اساس قضیه های پاپوس – گلدینوس را محاسبه کنید؟
حل :
نکته : در این مثال مرکز هندسی به صورت شعاعی منظور می شود.
مثال : جرم لوله رادیاتور خم شده به شکل ربع دایره مقابل به قطر داخلی 40 میلیمتر و ضخامت 4 میلیمتر را با چگالی 1050 کیلوگرم بر مترمکعب تعیین کنید؟
نکته : جرم برابر حجم ضربدر چگالی لوله
حل :
تمرین : برای ساخت یک مخزن سیمان مطابق شکل مقابل چند مترمربع ورق نیاز است ؟ حجم این مخزن سیمان چقدر خواهد بود ؟
نکته : سطح بالای مخزن در محاسبه منظور نشده است.
تمرین : حجم مخزن مصالح مطابق شکل مقابل را محاسبه کنید ؟
تمرین : سطح و حجم مخزن آب مطابق شکل مقابل را محاسبه کنید ؟
پایان بخش اوّل