پاورپوینت حل معادلات دیفرانسیل جزیی معادلات سهموی

1
حل معادلات دیفرانسیل جزیی

معادلات سهموی

2
هدایت گذرای حرارت در میله:
در یک مساله parabolic در یک امتداد (در اینجا t) مساله از نوع initial value بوده ، و لذا در آن جهت نیاز به مقدار مرزی نیست و مساله به صورت marching حل می شود.

3
روش حل معادلات سهموی:
صریح Explicit .
ضمنی Implicit

4
روش صریح برای حل معادلات سهموی
در این روش مقدار در تراز زمانی (n+1) هر نقطه بر حسب مقادیر معین اولیه تراز زمانی (n) محاسبه می شوند .

5
روش صریح برای حل معادلات سهموی
در این رابطه می بینیم که تاثیر نقاط i;i+1;i-1 در تراز زمانی n+1 دیده نمی شود و محاسبات فقط از روی تراز زمانی n محاسبه می شوند ،لذا برای کنترل دقت باید محدودیتی روی Δt اعمال نمود.

6
روش صریح برای حل معادلات سهموی
بررسی اثر r
می دانیم اگر ضریب منفی ظاهر شود جوابها از لحاظ فیزیکی غلط است .
فیزیک این اجازه را نمی دهد که ضرایب منفی باشد .

7
روش صریح برای حل معادلات سهموی
دونقطه مجاور ضریبشان نمی تواند منفی باشد پس :
شرط پایداری:

مزیت روش صریح این است که نیازی به حل دستگاه معادلات ندارد.
مفهوم stability را می توان با انتخاب r= 0.6 در یک سیستم مشاهده کرد .

8
روش ضمنی برای حل معادلات سهموی
در این روش برای محاسبه مقدار در تراز زمانی (n+1) هر نقطه از مقادیر تراز زمانی (n+1) استفاده می شود.

9
روش ضمنی برای حل معادلات سهموی
این فرمول با توجه به مثبت بودن ضرایب آن همواره پایدار بوده و تناسب بیشتری با فیزیک مساله دارد.

10
روش ضمنی برای حل معادلات سهموی
به ازای هر نقطه سه مجهول در رابطه ظاهر می شود، لذا دستگاه سه قطری بوجود می آید.
این دستگاه شرط پایداری ندارد اگر Δt را هر چقدر بزرگ بگیریم جواب ها ممکن است بی دقت باشد ولی جوابها فیزیکی هستند.
همچنین چون 1+2r>2r (شرط اسکاربرو و تسلط قطری )لذا دستگاه حاصله نیز حتما همگرا خواهد بود
آیا به سمت جواب همگرا می شود : ضرایب مثبت –< جواب فیزیکی است .

11
روش کرانک-نیکلسون برای حل معادلات سهموی
در این روش برای تقریب مشتق زمانی از بسط مرکزی استفاده می شود. در این صورت دقت بسط هم برای مشتق زمانی و هم برای مشتق مکانی مرتبه 2 خواهد بود.

12
روش کرانک-نیکلسون برای حل معادلات سهموی
نهایتاً به فرمولاسیون زیر می رسیم.

لذا روش کرنک نیکسلون یک روش ترکیبی از fully explicit و fully implicit می باشد و بینابین عمل می کند . این دستگاه را روی هم رفته implicit می دانیم ولی نه کاملا (fully).

13
روش q برای حل معادلات سهموی
در محاسبه ضریب هر کدام از جملات ½ بود، در حالت کلی می توانیم بنویسیم : مقدار بهینه پیشنهادی حدود 2/3 است.

14
حل معادلات سهموی دو بعدی
روش صریح: مشابه حالت یک بعدی داریم:

15
حل معادلات سهموی دو بعدی
شرط پایداری در این حالت:

چنانچه مساله سه بعدی شود (r<1/6) که اثبات آن بسیار ساده است.
این شرط پایداری نشان دهنده این است که برای ابعاد زیاد محدودیت زمانی خواهیم داشت: و t Δ بسیار کوچک خواهد بود .
لذا توصیه نمی شود که در مسائل multi_dimension از فرم explicit استفاده شود .