تحلیل آماری
دکتر آیتین سعادت
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
برای تفاضل میانگین ها همیشه یکی از سه آزمون زیر را خواهیم داشت
(1) 𝐻 0 𝜇 1 − 𝜇 2 = 𝑑 0 𝐻 1 𝜇 1 −𝜇≠ 𝑑 0
(2) 𝐻 0 𝜇 1 − 𝜇 2 ≤ 𝑑 0 𝐻 1 𝜇 1 − 𝜇 2 > 𝑑 0
(3) 𝐻 0 𝜇 1 − 𝜇 2 ≥ 𝑑 0 𝐻 1 𝜇 1 − 𝜇 2 < 𝑑 0
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
الف) واریانس دو جامعه معلوم
فرض کنید 𝑥 1, 𝑥 2, …., 𝑥 𝑛, یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه ای نرمال با میانگین مجهول μ 1 و واریانس معلوم σ 1 2 باشد و همچنین 𝑦 1, 𝑦 2, …., 𝑦 𝑛, یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه دوم که مستقل از جامعه اول است و دارای توزیع نرمال با میانگین مجموع 𝜇 2 و واریانس معلوم σ 2 2 انتخاب می کنیم یعنی داریم:
𝑥 1, 𝑥 2, …., 𝑥 𝑛, ~𝑁( 𝜇 1 , 𝜎 1 2 )
𝑦 1, 𝑦 2, …., 𝑦 𝑚, ~𝑁( 𝜇 2 , 𝜎 2 2 )
می خواهیم یکی از آزمون های گفته شده در بالا را (1 تا 3) انجام دهیم. در ابتدا میانگین دو نمونه را برآورد می کنیم و به ترتیب x و 𝑦 می نامیم. با توجه به اینکه جامعه های آماری نرمال می باشد و نیز واریانس ها معلوم است آماره آزمون از توزیع نرمال پیروی می کند که به صورت:
z 0 = x − y − d 0 σ 1 2 n + σ 2 2 n
که به صورت نرمال استاندارد (1 و 0) N ~ می باشد.
قاعده تصمیم گیری برای 1:
قاعده تصمیم گیری برای 2:
قاعده تصمیم گیری برای 3:
5
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
ب) واریانس دو جامعه مجهول و حجم نمونه ها بیشتر از 30:
فرض کنید 𝑥 1, 𝑥 2, …., 𝑥 𝑛, یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه ای نرمال با میانگین مجهول 𝜇 1 و واریانس مجهول σ 1 2 که از جامعه اول انتخاب شده است همچنین فرض کنید 𝑦 1, 𝑦 2, …., 𝑦 𝑛, یک نمونه تصادفی m تایی از جامعه دوم با میانگین مجهول 𝜇 2 و واریانس مجهول σ 2 2 باشد و دو جامعه آماری از هم مستقل هستند. می خواهیم یکی از سه آزمون گفته شده در بالا را انجام دهیم برای این منظور ابتدا میانگین و واریانس های دو نمونه را برآورد می کنیم.
میانگین و واریانس نمونه اول به ترتیب 𝑥 و 𝑆 1 2 و برای نمونه دوم 𝑦 و 𝑆 1 2 می باشد. با توجه به اینکه واریانس های دو جامعه مجهول است اما حجم نمونه ها زیاد می باشد از قضیه حد مرکزی استفاده می کنیم در این صورت آماره آزمون دارای توزیع نرمال استاندارد می باشد
t 0 = x − y − d 0 𝑠𝑝 𝑆 1 2 𝑛 + 𝑆 2 2 𝑚
قاعده تصمیم گیری برای 1:
قاعده تصمیم گیری برای 2:
قاعده تصمیم گیری برای 3:
7
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
ج) واریانس دو جامعه مجهول و باهم برابر و حجم نمونه ها کمتر از 30:
فرض کنید 𝑥 1, 𝑥 2, …., 𝑥 𝑛, یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه ای نرمال با میانگین مجهول 𝜇 1 و واریانس مجهول σ 1 2 که از جامعه اول انتخاب شده است همچنین فرض کنید 𝑦 1, 𝑦 2, …., 𝑦 𝑛, یک نمونه تصادفی m تایی از جامعه دوم با میانگین مجهول 𝜇 2 و واریانس مجهول σ 2 2 باشد و دو جامعه آماری از هم مستقل هستند. می خواهیم یکی از سه آزمون گفته شده در بالا را انجام دهیم برای این منظور ابتدا میانگین و واریانس های دو نمونه را برآورد می کنیم. میانگین و واریانس نمونه اول به ترتیب 𝑥 و 𝑆 1 2 و برای نمونه دوم 𝑦 و 𝑆 1 2 می باشد. با توجه به اینکه واریانس های دو جامعه مجهول است و حجم نمونه ها کم می باشد دیگر از قضیه حد مرکزی استفاده نمی کنیم و از توزیع t استفاده می شود. در این صورت ابتدا از واریانس آمیخته ( 𝑆 𝑃 2 ) به عنوان برآورد واریانس مجهول برای دو جامعه استفاده می کنیم.
𝑆 𝑃 2 = 𝑛−1 𝑆 1 2 +(𝑚−1) 𝑆 2 2 𝑛+𝑚−2
پس آماره آزمون در این حالت می شود
t 0 = x − y − d 0 𝑠𝑝 1 n + 1 m
قاعده تصمیم گیری برای 1:
قاعده تصمیم گیری برای 2:
قاعده تصمیم گیری برای 3:
9
Reject 𝐻 0 if 𝑡 0 ≥ t α 2 ,n−1
Reject 𝐻 0 if 𝑡 0 ≥ 𝑡 𝛼 , 𝑛−1
Reject 𝐻 0 if 𝑡 0 ≤− 𝑡 𝛼 , 𝑛−1
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
د) واریانس دو جامعه مجهول ونابرابر و حجم نمونه ها کمتر از 30:
فرض کنید 𝑥 1, 𝑥 2, …., 𝑥 𝑛, یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه ای نرمال با میانگین مجهول 𝜇 1 و واریانس مجهول σ 1 2 که از جامعه اول انتخاب شده است همچنین فرض کنید 𝑦 1, 𝑦 2, …., 𝑦 𝑛, یک نمونه تصادفی m تایی از جامعه دوم با میانگین مجهول 𝜇 2 و واریانس مجهول σ 2 2 باشد و دو جامعه آماری از هم مستقل هستند. می خواهیم یکی از سه آزمون گفته شده در بالا را انجام دهیم برای این منظور ابتدا میانگین و واریانس های دو نمونه را برآورد می کنیم. میانگین و واریانس نمونه اول به ترتیب 𝑥 و 𝑆 1 2 و برای نمونه دوم 𝑦 و 𝑆 2 2 می باشد. با توجه به اینکه واریانس های دو جامعه مجهول است و حجم نمونه ها کم می باشد دیگر از قضیه حد مرکزی استفاده نمی کنیم و از توزیع t استفاده می شود. در این صورت ابتدا درجه آزادی توریع t را محاسبه می کنیم
𝑑 𝑓 = ( 𝑆 1 2 𝑛 + 𝑆 2 2 𝑚 ) 2 ( 𝑆 1 2 𝑛 ) 2 𝑛−1 + ( 𝑆 2 2 𝑚 ) 2 𝑚−1
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
در این حالت آماره آزمون عبارت است از
t 0 = x − y − d 0 𝑆 1 2 𝑛 + 𝑆 2 2 𝑚
قاعده تصمیم گیری برای 1:
قاعده تصمیم گیری برای 2:
قاعده تصمیم گیری برای 3:
12
Reject 𝐻 0 if 𝑡 0 ≥ t α 2 ,df
Reject 𝐻 0 if 𝑡 0 ≥ 𝑡 𝛼 , 𝑑𝑓
Reject 𝐻 0 if 𝑡 0 ≤− 𝑡 𝛼 , 𝑑𝑓
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
مثال) می خواهیم متوسط زمان تاخیر پروازهای دو شرکت A و B را با هم مقایسه کنیم. ادعا می شود که پروازهای شرکت A، 10 دقیقه بیشتر از شرکت B تاخیر دارد. برای این منظور یک نمونه تصادفی 12 تایی از پروازهای شرکت A و یک نمونه تصادفی 15 تایی از شرکت B انتخاب کرده ایم میانگین و واریانس برای شرکت A به ترتیب 52 دقیقه و 16 می باشد و برای شرکت B 44 دقیقه و 25 است. در سطح 10% آیا ادعای مطرح شده را می پذیرید؟
با فرض برابری واریانس های دو جامعه حل کنید
𝐻 0 𝜇 1 − 𝜇 2 ≤10 𝐻 1 𝜇 1 − 𝜇 2 >10
𝑆 𝑝 2 = 𝑛−1 𝑆 1 2 +(𝑚−1) 𝑆 2 2 𝑛+𝑚−2 = 11∗16+14∗25 12+15−2
𝑆 𝑝 2 =21.0
t 0 = x − y − d 0 𝑠𝑝 1 𝑛 + 1 𝑚 = 52−44 −10 4.59 1 12 + 1 15 ⇒ t 0 =−1.123
⇒ 𝑡 0 ≥ 𝑡 𝛼 ,𝑛+𝑚−2⇒−1.123≱2. 485
فرض 𝐻 0 را نمی توان رد کرد
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
با فرض عدم برابری واریانس ها
𝐻 0 𝜇 1 − 𝜇 2 ≤10 𝐻 1 𝜇 1 − 𝜇 2 >10
𝑑 f = 𝑆 1 2 𝑛 + 𝑆 2 2 𝑚 2 ( 𝑆 1 2 𝑛 ) 2 𝑛−1 + ( 𝑆 2 2 𝑚 ) 2 𝑚−1 = 16 12 + 25 15 2 ( 16 12 ) 2 11 + ( 25 15 ) 2 14 ⇒ 𝑑 𝑓 =25 𝑡 0.1,25 = 𝑡 𝛼, 𝑑 𝑓 →−1.156≱2.485
𝑡 0 = x − y − d 0 𝑆 1 2 𝑛 + 𝑆 2 2 𝑚 = 52−44 −10 16 12 + 25 15 =−1.156→−1.156≱2.485
فرض 𝐻 0 را نمی توان رد کرد
آزمون فرض برای تفاضل میانگین ها:
مایل هستیم نمرات آمار بین دو گروه مهندسی برق و کامپیوتر را مقایسه کنیم یک نمونه تصادفی 64 تایی از دانشجویان برق و یک نمونه تصادفی 20 تایی از دانشجویان کامپیوتر انتخاب می کنیم. از اطلاعات قبلی می دانیم واریانس نمرات دانشجویان برق 14 و برای کامپیوتر 11 است. متوسط نمره آمار دانشجویان برق 16 و برای دانشجویان کامپیوتر 14/5 است. در سطح 2% آیا ادعای برابری نمرات دو گروه را می پذیرید؟
𝑧 0 = x − y − d 0 𝜎 1 2 𝑛 + 𝜎 2 2 𝑚 = 𝑧 0 = 16−14.5 −0 14 64 + 11 20 =0.91
𝛼=0.02→ 𝛼 2 =0.05→0.01 → 𝑧 1− 𝛼 2 → 𝑧 0.99 =2.33
𝐻 0 𝜇 1 = 𝜇 2 𝐻 1 𝜇 1 ≠ 𝜇 2 → 𝑧 0 ≥ z 1− α 2
پس فرض 𝐻 0 را نمی توان رد کرد
مثال
در بررسی سطوح میانگین اسید اوریک سرم بین افراد سالم و افراد مبتلا به مونگلیسم، اطلاعات زیر به دست آمده است:
میانگین اسید اوریک سرم در 12 فرد بیمار و 15 فرد سالم به ترتیب برابر 4/5 و 3/4 میلی گرم در صد میلی لیتر بوده است.
با فرض آن که انحراف معیار سطوح اسید اوریک سرم هر دو جامعه 1 میلی گرم در صد میلی لیتر باشد.
آیا می توان با اطمینان 95% نتیجه گرفت که میانگین اسید اوریک سرم بین افراد سالم و افراد مبتلا به مونگلیسم متفاوت است؟
16
حل:
17
نتیجه گیری: میانگین سطح اسید اوریک سرم در افراد مبتلا به مونگلیسم به طور معنا داری متفاوت از افراد سالم است.
H0: µ1 = µ2 در مقابل HA: µ1 ‡ µ2
18
فاصله اطمینان
مقایسه میانگین دو نمونه ازدوجامعه وابسته
در این حالت داده ها به صورت وابسته مثلاً قبل و بعد ارائه می شود
برای انجام آزمون:
1- اختلاف مشاهدات قبل و بعد را محاسبه می کنیم.
2- میانگین و انحراف معیار تفاوتها را بدست می آوریم .
19
فرض کنید که در مقایسه های دو جامعه، جامعه ها مستقل نباشند مانند حالتهایی که روش های پیش آزمون و پس ازمون داریم، یا تعیین مناسب بودن رژیم غذایی توسط یک پزشک یا تاثیر یک دارو و … در این صورت برای هر فرد دو داده داریم که به صورت x (قبل از اعمال روش) و y (بعد از اعمال روش) در این صورت ابتدا تفاضل آنها را در نظر می گیریم که با d نشان می دهیم سپس میانگین و واریانس مقادیر d را محاسبه می کنیم که به ترتیب 𝑑 , 𝑠 2 𝑑 نشان می دهیم.
(1) 𝐻 0 :𝑑=0 𝐻 1 :d≠0
(2) 𝐻 0 :𝑑≥0 𝐻 1 :d<0
(3) 𝐻 0 :𝑑≤0 𝐻 1 :d>0
می خواهیم یکی از سه آزمون بالا را انجام دهیم که آماره آزمون برای آن به صورت زیر است
با استفاده از آزمون t مقدار آماره ازمون رامحاسبه می کنیم:
مثال:
جدول زیر اندازه های فشارخون قبل و بعد از شش ماه مصرف قرصهای
OC را در زنان 45-15 سال نشان می دهد. آیا می توان ادعا نمود
مصرف قرصهای OC باعث افزایش فشارخون می شود .
22
23
24
آزمون فرض برای مقایسه نسبت ها:
الف) آزمون فرض برای نسبت یک جامعه:
فرض کنید با داده های کیفی سروکار داریم و می خواهیم نسبتی را در یک جامعه بررسی کنید. برای این منظور یک نمونه تصادفی n تایی که اغلب خیلی خیلی بزرگ است از جامعه آماری انتخاب می کنیم. تعداد افراد موافق در این نمونه a می باشد لذا نسبت در نمونه می شود
𝑝 = 𝑎 𝑛
در انجام آزمون های آماری یکی از سه آزمون زیر را داریم:
(1) 𝐻 0 𝑃= 𝑃 0 𝐻 1 𝑃≠ 𝑃 0
(2) 𝐻 0 𝑃≤ 𝑃 0 𝐻 1 𝑃> 𝑃 0
(3) 𝐻 0 𝑃≥ 𝑃 0 𝐻 1 𝑃< 𝑃 0
که در آن 𝑃 0 مقدار فرض مورد بررسی می باشد
آزمون فرض برای مقایسه نسبت ها:
در این صورت با توجه به قضیه حد مرکزی چون حجم نمونه بسیار زیاد است توزیع آماری مورد نظر نرمال استاندارد می شود لذا آماره آزمون عبارت است از:
𝑧 0 = 𝑝 − 𝑝 0 𝑝 0 (1− 𝑝 0 ) 𝑛
آزمون فرض برای مقایسه نسبت ها:
ب) آزمون فرض برای نسبت در دو جامعه:
زمانی که دو جامعه آماری داریم و می خواهیم یک صفت کیفی را در این دو جامعه مستقل مقایسه کنیم از این آزمون استفاده می کنیم در این حالت یکی از سه آزمون زیر را خواهیم داشت:
1 𝐻 0 𝑃 1 − 𝑃 2 = 𝑑 0 𝐻 1 𝑃 1 − 𝑃 2 ≠ 𝑑 0
2 𝐻 0 𝑃 1 − 𝑃 2 ≤ 𝑑 0 𝐻 1 𝑃 1 − 𝑃 2 > 𝑑 0
(3) 𝐻 0 𝑃 1 − 𝑃 2 ≥ 𝑑 0 𝐻 1 𝑃 1 − 𝑃 2 < 𝑑 0
آزمون فرض برای مقایسه نسبت ها:
برای انجام این آزمون ابتدا تعداد افراد موافق در نمونه اول را a و تعداد افراد موافق در نمونه دوم را b می نامیم. در این صورت نسبت افراد موافق در نمونه اول می شود
𝑝 1 = 𝑎 𝑛
و برای نمونه دوم می شود:
𝑝 2 = 𝑏 𝑚
اغلب مقدار مورد بررسی 𝑑 0 برابر صفر است لذا درحالتی که 𝑑 0 =0 است یعنی برابری نسبت ها در دو جامعه با هم مقایسه می شود از تلفیق دو نمونه استفاده می کنیم و نسبت در دو نمونه تلفیقی را به دست می آوریم:
p = 𝑎+𝑏 𝑛+𝑚
در این صورت آماره آزمون می شود:
𝑧 0 = 𝑝 1 − 𝑝 2 𝑝 (1− 𝑝 )( 1 𝑛 + 1 𝑚 )
در صورتی که 𝑑 0 ≠0 باشد آماره آزمون عبارت است از:
𝑧 0 = 𝑝 1 − 𝑝 2 − 𝑑 0 𝑝 1 (1− 𝑝 1 ) 𝑛 + 𝑝 2 (1− 𝑝 2 ) 𝑚
قاعده تصمیم گیری برای 1:
قاعده تصمیم گیری برای 2:
قاعده تصمیم گیری برای 3:
29
آزمون فرض برای مقایسه نسبت ها:
مثال : می خواهیم نسبت محبوبیت یک برند مواد غذایی را در دو شهر A و B با هم مقایسه کنیم. برای این منظور یک نمونه تصادفی 300 تایی از افراد شهر A و یک نمونه تصادفی 500 تایی از اعضا شهر B انتخاب کردیم. در شهر A تعداد 180 نفر علاقمند به این برند بوده اند و در شهر B تعداد 200 نفر علاقمند به این برند هستند.
الف) در سطح 2% آیا می پذیرید علاقمندی به برند مورد نظر در شهر A حداکثر به اندازه شهر B است؟
ب) آیا می پذیرید علاقمندی به برند مورد نظر در شهر A حداکثر 60% است؟
ج) در سطح 4% آیا می پذیرید علاقمندی به برند مورد نظر در شهر A 10% بیشتر از شهر B است؟
آزمون فرض برای مقایسه نسبت ها:
𝐻 0 : 𝑃 1 − 𝑃 2 ≤0 𝐻 1 : 𝑃 1 − 𝑃 2 >0
𝑝 1 = 180 300 =0.6 𝑝 1 = 180 300 =0.6
𝑑 0 =0 پس داریم:
𝑝 = 𝑎+𝑏 𝑛+𝑚 = 380 800 =0.475
𝑧 0 = 𝑝 1 − 𝑝 2 p (1− p )( 1 𝑛 + 1 𝑚 ) = 0.6−0.4 0.475(1−0.475)( 1 300 + 1 500 ) ⇒ 𝑧 0 =5.49
پس فرض 𝐻 0 رد می شود یعنی ادعای مطرح شده نادرست است و نسبت در جامعه اول بیشتر از جامعه دوم است.
رد ناحیه → 𝑧 0 ≥ z 1−α ⇒5.49≥2.06
آزمون فرض برای مقایسه نسبت ها:
𝐻 0 𝑃 1 ≤ 𝑃 0 ⇒ 𝑃 1 ≤0.6 𝐻 1 𝑃 1 > 𝑃 2 ⇒ 𝑃 1 >0.6
𝑧 0 = 𝑝 1 − 𝑝 0 𝑝 1 1− 𝑝 1 𝑛 = 0.6−0.6 0.6∗0.4 300
𝛼=0.05→1−𝛼=0.95 → 𝑧 0.95 =1.64
رد ناحیه → 𝑧 0 ≥ z 1−α ⇒0≥1.64
پس ادعای مطرح شده را نمی توان رد کرد
آزمون فرض برای مقایسه نسبت ها:
𝐻 0 𝑃 1 − 𝑃 2 ≤0.10 𝐻 1 𝑃 1 − 𝑃 2 >0.10
𝑧 0 = 𝑝 1 − 𝑝 2 − 𝑑 0 𝑝 1 1− 𝑝 1 𝑛 + 𝑝 2 1− 𝑝 2 𝑚 = 0.6−0.4 −0.1 0.6∗0.4 300 + 0.4∗0.6 500 =2.79
𝛼=0.04→1−𝛼=0.96 → 𝑧 0.96 =1.76
رد ناحیه → 𝑍 0 ≥ z 1−α ⇒2.79≥1.76
یعنی فرض 𝐻 0 را نمی توان پذیرفت، یعنی به نظر می رسد تفاضل نسبت ها در جامعه 10% نیست و بیشتر از این مقدار است
آزمون فرض برای مقایسه واریانس ها در دو جامعه:
𝐻 0 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 𝐻 1 𝜎 1 2 ≠ 𝜎 2 2
زمانی که داده ها کمی هستند گاهی لازم می شود که میزان پراکندگی در دو جامعه را با هم مقایسه کنیم در این صورت از آزمون بالا استفاده می کنیم در این صورت آماره آزمون به صورت:
𝐹 0 = 𝑆 1 2 𝑆 2 2 ~ 𝐹 𝑛,1 , 𝑚−1 , 𝛼 2
توزیع فیشز یک توزیع کاملا نامتقارن و چوله به راست است که برای پیدا کردن درصدهای مورد نظر رابطه زیر برای آن برقرار است:
𝐹 𝛼, 𝑣 1, 𝑣 2 = 1 𝐹 1−𝛼, 𝑣 1, 𝑣 2
آزمون فرض برای مقایسه واریانس ها در دو جامعه:
ناحیه رد برای آزمون صفحه قبل عبارت است از:
𝑆 1 2 𝑆 2 2 ≥ 𝐹 𝛼 2 ,𝑀−1,𝑁−1 یا 𝑆 1 2 𝑆 2 2 ≤ 1 𝐹 𝛼 2 ,𝑁−1,𝑀−1
مثال: می خواهیم برابری واریانس ها (میزان پراکندگی) در دو جامعه مستقل را با هم مقایسه کنیم برای این منظور یک نمونه تصادفی 21 تایی از جامعه اول و یک نمونه تصادفی 30 تایی از جامعه دوم انتخاب می کنیم واریانس در نمونه اول 25 و برای نمونه دوم 35 است در سطح 5% آیا برابری واریانس ها را می پذیرید؟
𝐻 0 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 𝐻 1 𝜎 1 2 ≠ 𝜎 2 2
𝑆 1 2 𝑆 2 2 = 25 35 =0.71
𝛼=0.05→ 𝛼 2 =0.025 →1− 𝛼 2 =0.975
𝐹 0.025,20.9 =3.67 , 𝐹 0.975,20.9 = 1 𝐹 0.025,20.9 = 1 2.84 =0.35
0.71≱ 3.67یا 0.71≰ 0.35
یعنی فرض 𝐻 0 را نمی توان رد کرد
مثال: به نظر می رسد زمان تاخیر پروازهای شرکت هواپیمایی A حداقل 20 دقیقه بیشتر از زمان تاخیر پروازهای شرکت هواپیمایی B است. برای این منظور از شرکت هواپیمایی A ، 6 پرواز و از شرکت B ، 8 پرواز را انتخاب می کنیم. میانگین و انحراف معیار زمان تاخیر پروازهای شرکت A به ترتیب 61 دقیقه و 16 دقیقه می باشد و برای شرکت B میانگین و واریانس به ترتیب 38 دقیقه و 100 می باشد . آیا ادعای بیان شده را در سطح 5% می پذیرید؟
در ابتدا معلوم آیا واریانس دو جامعه باهم برابر است یا خیر. برای این منظور ابتدا آزمون برابری واریانس ها را انجام می دهیم.
𝐻 0 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 𝐻 1 𝜎 1 2 ≠ 𝜎 2 2
𝑆 1 2 𝑆 2 2 = 16 10 =1.6
𝛼=0.05→ 𝛼 2 =0.025 →1− 𝛼 2 =0.975
𝐹 0.025,5.7 =5.29 , 𝐹 0.975,5.7 = 1 𝐹 0.025,7.5 = 1 6.85 =0.14
1.6≱ 5.29 یا 1.6≰ 0.14
یعنی فرض 𝐻 0 را نمی توان رد کرد و واریانس دو جامعه باهم برابر هستند.
𝐻 0 : 𝜇 1 − 𝜇 2 ≥20 𝐻 1 : 𝜇 1 − 𝜇 2 <20
𝑆 𝑃 = n−1 𝑆 1 2 +(𝑚−1) 𝑆 2 2 m+n−2 ⇒ 𝑆 𝑃 = 5 16 2 +(7) (10) 2 12 =12.84
t 0 = x − y − d 0 𝑠𝑝 1 n + 1 m = 61−38−20 12.84 1 6 + 1 8 =0.43
𝑡 0 ≤− t α , n+m−2
t 0.05 , 6+8−2 = t 0.05 , 12 =2.1788
0.43≰−2.1788