پاورپوینت آزمون فرض آماری

آزمون فرض
دکتر آیتین سعادت

آزمون فرض
فرضیه معمولا بصورت تفکری ناشی از مشاهده ی پدیده ها در طبیعت است. به عبارتی دیگر حدس یا اظهار نظری در مورد پارامترهای جامعه است.
مثال:
قد مردان از زنان بلند تر است.
ورزش روزانه به طور متوسط 30 دقیقه ، موجب کاهش استرس می شود.
این فرضیه صرفا اظهار نظر درباره پارامتر نامعلوم جامعه است. فرضیه آماری یک بیان کمی درباره پارامتر جامعه است و اصولا بدون داشتن فرضیه آماری امکان انجام یک آزمون آماری دشوار است.
فنون آماری مناسب برای بررسی صحت فرضیه ها را آزمون فرضیه گویند. در آزمون فرضیه بر مبنای داده های نمونه درباره صحت فرضیه ها با اطمینان معینی قضاوت می کنیم.

آزمون فرض
آزمون فرض همیشه دو قسمت دارد یکی فرضیه صفر و یکی فرضیه مقابل فرضیه صفر را با 𝐻 0 نشان می دهند و فرض مقابل را با 𝐻 1 نشان می دهند فرض صفر فرضی است که مساوی را در خود جای می دهد اما الزاما فرضیه مورد آزمون نیست فرض 𝐻 1 نقیض فرض 𝐻 0 می باشد.

𝜇>17 𝑉.𝑆 𝜇≤17
𝜇=18 𝑉.𝑆 𝜇≠18
𝜇≥18 𝑉.𝑆 𝜇<18

آزمون فرض

در حالت کلی 3 مدل آزمون زیر را داریم:
(1) 𝐻 0 : 𝜃= 𝜃 0 𝐻 1 𝜃≠ 𝜃 0
(2) 𝐻 0 𝜃≤ 𝜃 0 𝐻 1 𝜃> 𝜃 0
(3) 𝐻 0 𝜃≥ 𝜃 0 𝐻 1 𝜃< 𝜃 0
ما همیشه در آزمون فرض مایلیم در مورد 𝐻 0 صحبت کنیم و یا 𝐻 0 را از نظر آماری نمی توانیم رد کنیم یا فرضیه 𝐻 0 را رد می کنیم. اگر آماده مورد نظر در ناحیه 𝐶 0 قرار بگیرد، فرض 𝐻 0 را نمی توان رد کرد (می پذیریم) اما اگر در ناحیه 𝐶 1 قرار بگیرد فرض 𝐻 0 را رد می کنیم. 𝐶 0 را ناحیه پذیرش فرض 𝐻 0 و 𝐶 1 ناحیه رد فرض 𝐻 0 می نامیم.
«ناحی رد فرض 𝐻 0 همیشه هم جهت فرض 𝐻 1 است»

مثال :

درصد عوارض داروی A و داروی B یکسان نیست.

5

6
مثال:

میانگین وزن نوزادان در طبقات مرفه جامعه، حداقل gr3000 است .

آزمون فرض
” فرآیند انتخاب یکی از دو تصمیم ( رد یا قبول ) فرضیه را آزمون فرض آماری می نامند.“

آزمونهای معناداری شاخص های آماری ، در واقع همان فرضیه ی صفر است.
محقق مایل است بین دو راه یکی را برگزیند:
آیا میتوان تفاوت مشاهده شده را با سطح اطمینان معینی به خطاهای نمونه گیری نسبت داد یا با سطح اطمینان معینی نتیجه مقابل یا خلاف بدست می آید یعنی بین پارامترها تفاوت وجود دارد.

آزمون فرض
در انجام هر فرض آماری ما دو نوع خطای اصلی را مرتکب می شویم:
خطای نوع اول یعنی رد فرض 𝐻 0 زمانی که 𝐻 0 صحیح است و
خطای نوع دوم پذیرش فرض 𝐻 0 زمانی که 𝐻 1 صحیح باشد
احتمال خطای نوع اول را 𝛼و احتمال خطای نوع دوم را 𝛽 می نامیم

آزمون فرض

آزمون فرض
آزمون فرض برای میانگین یک جامعه: قبل از اینکه به آزمون فرض برای میانگین بپردازیم مراحل کلی آزمون فرض را توضیح می دهیم:
تعیین فرض های 𝐻 0 و 𝐻 1
تعیین سطح معنی داری و محاسبه مقدا ر بحرانی
تعیین توزیع نمونه گیری و نوع آماره
تصمیم گیری در مورد پذیرش یا رد فرض 𝐻 0

مشخص نمودن آماره آزمون و توزیع احتمال آن :
آماره آزمون و توزیع احتمال مرتبط با آن براساس 2 معیار زیر تعیین می شود . با فرض اینکه داده هادارای توزیع نرمال می باشد:
1- حجم نمونه

2- انحراف معیار جامعه معلوم است یا خیر.
11

آزمون فرض میانگین در یک جامعه
برای بررسی بهتر آزمون فرض در یک جامعه آماری دیاگرام زیر می تواند راهگشا باشد:

آزمون فرض میانگین در یک جامعه
در انجام هر نوع آزمون برای میانگین یکی از سه فرم آزمون های زیر را داریم:
(1) 𝐻 0 𝜇= 𝜇 0 𝐻 1 𝜇≠ 𝜇 0
(2) 𝐻 0 𝜇≤ 𝜇 0 𝐻 1 𝜇> 𝜇 0
(3) 𝐻 0 𝜇≥ 𝜇 0 𝐻 1 𝜇< 𝜇 0

الف) واریانس جامعه معلوم:

فرض کنید 𝑥 1, 𝑥 2, …., 𝑥 𝑛, یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه ای نرمال با میانگین مجهول µ و واریانس معلوم 𝜎 2 باشد ( 𝑥 1, 𝑥 2, …., 𝑥 𝑛, ~𝑁(𝜇, 𝜎 2 . می خواهیم یکی از سه آزمون 1، 2 یا 3 که در بالا گفته شده است را انجام دهیم. با توجه به اینکه 𝜇 0 یک عدد معلوم می باشد و واریانس جامعه نیز معلوم است پس آماره آزمون به فرم زیر درمی آید
𝑍 0 = x − 𝜇 0 𝜎/ 𝑛

قاعده تصمیم گیری برای 1:
قاعده تصمیم گیری برای 2:
قاعده تصمیم گیری برای 3:
15

ب) واریانس جامعه مجهول و حجم نمونه بیشتر از 30:
فرض کنید 𝑥 1, 𝑥 2, …., 𝑥 𝑛, یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه ای نرمال با میانگین مجهول μ و واریانس مجهول 𝜎 2 باشد می خواهیم یکی از سه آزمون 1، 2 یا 3 که در بالا گفته شده است را انجام دهیم برای این کار ابتدا از روی نمونه میانگین و واریانس نمونه را برآورد می کنیم و آن را به ترتیب 𝑥 و 𝑠 2 می نامیم در این حالت آمادره آزمون به صورت 𝑍 0 = x − 𝜇 0 𝑠/ 𝑛 می باشد.
با توجه به اینکه توزیع جامعه آماری نرمال و حجم نمونه بیشتر از 30 است این آماره دارای توزیع نرمال استاندارد می باشد لذا ناحیه رد برای سه آزمون فوق به ترتیب می شود:

قاعده تصمیم گیری برای 1:
قاعده تصمیم گیری برای 2:
قاعده تصمیم گیری برای 3:
17

ج) واریانس جامعه مجهول و حجم نمونه کمتر از 30:
فرض کنید 𝑥 1, 𝑥 2, …., 𝑥 𝑛, یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه ای نرمال با میانگین مجهول μ و واریانس مجهول 𝜎 2 باشد می خواهیم یکی از سه آزمون 1 و 2 یا 3 که در بالا گفته شده است را انجام دهیم برای این کار ابتدا از روی نمونه میانگین و واریانس نمونه را برآورد می کنیم و آن را به ترتیب 𝑥 و 𝑠 2 می نامیم چون واریانس جامعه مجهول است و حجم نمونه کمتر از 30 است آماره آزمون دیگر توزیع نرمال ندارد بلکه از توزیع t پیروی می کند در این صورت آماره آزمون به فرم زیر درمی آید:
𝑡 0 = x − 𝜇 0 𝜎/ 𝑛
درجه آزادی آن (n-1) است زیرا واریانس جامعه مجهول است و برآورد شده است پس یک درجه از درجه آزادی کم شده است ناحیه رد در این حالت به فرم زیر درمی آید

قاعده تصمیم گیری برای 1:
قاعده تصمیم گیری برای 2:
قاعده تصمیم گیری برای 3:
19
Reject 𝐻 0 if 𝑡 0 ≥ t α 2 ,n−1
Reject 𝐻 0 if 𝑡 0 ≥ 𝑡 𝛼 , 𝑛−1
Reject 𝐻 0 if 𝑡 0 ≤− 𝑡 𝛼 , 𝑛−1

آزمون فرض
مثال: به نظر می رسد متوسط زمان تاخیر پروازهای یک شرکت هواپیمایی کمتر از 40 دقیقه است. برای اثبات این موضوع یک نمونه تصادفی 36 تایی از پروازهای این شرکت را انتخاب کرده ایم. میانگین و انحراف معیار زمان تاخیر پروازها به ترتیب 45 و 6/3 می باشد.

الف) یک فاصله اطمینان 92% برای متوسط زمان واقعی تاخیر پروازها به دست آورید؟
ب) آزمون گفته شده در بالا را در سطح 5% انجام دهید؟
حل الف)
1−𝛼=0.92→𝛼=0.08→ 𝛼 2 =0.04 →1− 𝛼 2 =0.96 𝑧 0.96 =1.76
𝑥 ± z 1− α 2 𝑠 𝑛 = 45±1.76 3.6 36 =(43.944, 46.056)
 

آزمون فرض
حل ب)
اکنون فرضیه مورد نظر در 𝐻 1 افتاده است
𝐻 0 𝜇≥40 𝐻 1 𝜇<40
واریانس مجموعه مجهول و حجم نمونه بیشتر از 30 است پس داریم:
𝑍 0 = x − 𝜇 0 𝑠/ 𝑛 = 45−40 3.6 36 =4.73
ناحیه رد همیشه هم جهت فرض 𝐻 1 است پس داریم:
ناحیه رد 𝑧 0 ≤ −z 1−α ⇒4.73≤1.65
𝛼=0.05→1−𝛼=0.95→ 𝑧 0.95 =1.65
چون در داخل ناحیه رد قرار نمی گیرد لذا فرض 𝐻 0 را نمی توان رد کرد یعنی با این نمونه تصادفی ادعای مطرح شده که متوسط زمان تاخیر کمتر از 40 دقیقه می باشد نادرست است

آزمون فرض
معلمی ادعا می کند متوسط نمرات دانشجویان او حداکثر 5/11 می باشد. برای اثبات ادعای این شخص 9 دانشجو را انتخاب و نمرات آنها 20، 11، 18، 19، 17، 20، 18، 16، 20 می باشد. الف) در سطح 5% آیا ادعای مطرح شده را می پذیرید؟ ب) یک فاصله اطمینان 90% برای متوسط نمره واقعی دانشجویان به دست آورید؟

𝑥 = 20+11+…+20 9 =17.66
واریانسS 2 = 𝑛 𝑛−1 𝑥 2 − 𝑥 2 = 9 8 319.44− 17.66 2 =8.51
 
معیار انحراف 𝑠 2 = 𝑛 𝑛−1 𝑥 2 − 𝑥 2 = 9 8 319.44− 17.66 2 =8.51
 
s= 8.51 =2.92

آزمون فرض
𝐻 0 𝜇≤17.5 𝛼=0.05→𝑡 𝐻 1 𝜇>17.5 𝑡 0 = x − 𝜇 0 𝑠/ 𝑛 = 17.66−17.5 2.92/ 9 =0.16
فرض 𝐻 0 را نمی توان رد کرد 𝑡 01 ≥ 𝑡 𝛼,𝑛−1 و 0.16≥1.86

آزمون فرض
مسئول شرکتی مایل است متوسط تعداد محصولات برگشت خورده شرکت را در طی هر ماه برآورد کند. از تجربیات قبلی می داند انحراف معیار تعداد محصولات برگشت خورده در طی ماه 2/7 است. او ادعا می کند متوسط تعداد محصولات برگشت خورده 10 محصول در هر ماه است برای اثبات ادعای او 9 ماه سال را در نظر گرفته ایم متوسط محصولات برگشت خورده شده 9 محصول می باشد.
الف) در سطح 3% ادعای مطرح شده را بررسی کنید.
ب) یک فاصله اطمینان 94% برای متوسط محصولات برگشت داده شده به دست آورید؟

آزمون فرض
𝐻 0 𝜇=10 𝐻 1 𝜇≠10 𝑍 0 = x − 𝜇 0 𝜎/ 𝑛 = 9−10 7.2/3 =−0.42
𝛼=0.03→ 𝛼 2 =0.015→ 1− 𝛼 2 =0.985→ 𝑍 0.985 =2.17
𝑧 0 ≥ z 1− α 2 ⇒ −0.42 ≥2.17⇒0.42≱2.17
فرض 𝐻 0 را نمی توان رد کرد

آزمون فرض
حل ب)
1−𝛼=0.9→𝛼=0.1→ 𝛼 2 =0.05→1− 𝛼 2 =0.95 → 𝑧 0.95 =1.64 𝑍 0.97 =1.88
𝑥 ± 𝑍 1− 𝛼 2 𝜎 𝑛 = 9±1.88 7.2 9 =(4.48, 13.51)

27
در یک نمونه 10 نفری میانگین سطح آنزیم 22 به دست آمده است.
در مورد میانگین سطح یک آنزیم در جمعیت معینی با توزیع نرمال، این سوال مطرح است که آیا می توان گفت میانگین سطح آنزیم مورد نظر مقدار 25 است یا خیر؟
( ( در سطح خطای 0.05 محاسبه کنید.
مفروضات: واریانس جامعه برابر 45 فرض می شود.

مثال

28
بنابر این فرضیه H0 : µ=25 رابا اطمینان %95 نمی توان رد کرد.

فرضیه ها:

H0 : µ=25 در برابر HA : µ≠25

29

30

, σ = 10 (معلوم)
عددبحرانی
زیرا
31

مثال:

یک روش درمانی جدید برای جلوگیری از نوزادان کم وزن ابداع شده است.

دریک مطالعه اولیه بر روی 20 خانم باردار که از این دارو استفاده کرده

بودند، میانگین وزن نوزادان متولد شده 3500 گرم با انحراف معیار 500

گرم بود. اگرمیانگین وزن نوزادان کم وزن درکل جامعه برابر 2800 گرم

باشدآیامی توان ادعا نمودکه این داروباعث افزایش وزن نوزادان شده است؟

32

33