مدل های بهینه یاب

مدل مورد ارائه : مدل های بهینه یاب
عنوان درس: الگو سازی ومدلسازی
به نام خدا

مقدمه
مدل های ریاضی به سه دسته تقسیم می شوند یکی از این سه دسته ، مدل های بهیینه یاب می باشد.
در توصیف این مدل مطالب زیر بررسی خواهد شد.
1. مدل های بهینه یاب به عنوان ابزار برنامه ریزی .
2. راه حل نموداری یک مسئله ی بهینه یابی .

مدل های بهینه یاب به عنوان ابزاربرنامه ریزی
مدل های برنامه ریزی به این صورت زیر تعریف می شود: مدل هایی که برنامه یا طرحی را ابداع می کنند که با توجه به وجود منابع و محدودودیت های مشخص بهتر از هر برنامه و طرح دیگری به اهداف از پیش تعیین شده میرسد.
به دوعلت تکنیک ای ریاضی مورد توجه برنامه ریزان قرار گرفته است. اول آنکه فرایند ارزیابی ((متداول)) مطلوب نمی باشد. دوم آنکه به نظر میرسد رابطه ی مستقیمی میان هدف های مهم برنامه ریزی و مسائلی که برای حل آنها تکنیک های برنامه ریزی ریاضی ساخته شده است ، وجود دارد.

راه حل نموداری یک مسئله ی بهینه یاب
فرض کنیم که 50 آکر زمین وجود دارئ و مقامات محلی میبایستی این اراضی را تنها برای کار بری مسکونی مورد استفاذه قرار دهند و همچنین در این اراضی تنها اجازه ی ساخت دو تیپ واحد مسکونی وجود دارد ، واحد های مسکونی تیپ Aو B. تراکم تیپ A، 10خانه در هرآکر و تراکم تیپ B ، 5 خانه در هر آکر می باشد. قیمت هر خانه تیپ A 2000 پوند و قیمت هر خانه تیپ B 6000 پوند می باشد. همچنین بودجه ای که مقامات محلی برای ساخت این واحد ها در اختیار دارند 000 1200 پوند است. مقدار مالیات قابل اخذ برای هر واحد از خانه های تیپ A، 190 پوند و تیپ B 470 پوند می باشد.

تابع هدف در این مثال کل مقدار مالیات افزوده شده است. اگر A و B نشان دهنده ی واحد مسکونی تیپ A و واحد مسکونی تیپ B باشند، پس مقدار مالیات افزوده شده (B 470 +A190)می باشد . برای مثال اگر ده واحد مسکونی تیپ Aو بیست واحد مسکونی تیپ B ساخته شود مالیات افزوده چنین خواهد بود:
11300پوند=( 20×470پوند )+(10×190پوند) = مقدار مالیات
در این مثال دو نوع محدودیت وجود دارد اول محدو دیت زمین یعنی یک دهمA + یک پنجم B نباید بیش از 50 آکر باشد دوم محدودیت بودجه که مستلزم اینست که کل هزینه ی ساخت خانه ها نباید از سر مایه ی مو جود تجاوز کند.

به نظر می رسد که بر اساس سیاست بهینه تمام خانه ها را بر باید از نوع B ساخت زیرا این خانه ها470 پوند مالیات افزوده برای هر واحد به مقامات محلی پرداخت نمود ، درحالیکه خانه های نوعA برای هر واحد به مقامات محلی خواهند پرداخت درحالی که خانه های نوع A برای هر واحد فقط 19 پوند مالیات افزوده دارد . با توجه به بررسی اولیه بدهی است که محدودیت ها نقش مهم را در حل مسئله ایفا خواهند کرد. چون می خواهیم راه حلی بهینه رابا استفاده از شیوه ساده ترسیمی بیابیم، با تشریح مفهوم محدودیت ها شروع می کنیم .

الف : تشریح محدودیت زمین :

میدانیم که

میتوان از این معادله برای بدست آوردن مقادیر مختلف A و مقادیر مکمل B استفاده نمود. میتوان این مقادیر را ا با تغییر ساخت معادله محاسبه کرد ، چنانکه میتوان مقدار B را بر حسب A بدست آورد و بر عکس.با محاسبه ی این مقادیر جدول زیر حاصل خواهد شد.

جدول حاصله از محاسبه مقادیر A وB

این جدول نمایانگر ترکیب هایی از تعداد واحد های مسکونی تیپ A و B است در هر یک از این ترکیبها محدودیت زمین رعایت شده است. یعنی هر کدام از مجموعه های موجود در در جدول تنها از 50 آکر زمین استفاده می کند اگر این نقاط (مقادیر A و B برای هر ترکیب) بر روی نموداری رسم گردد، وخطی این نقاط را به یکدیگر وصل کند، نتیجه به صورت خطی راست مانند شکل (1) خواهد بود.

شکل شماره ی(1).نمودار محدودیت زمین.
600
A=500‚ B= 0

A=400 ,B= 500

A=300, B=100

A=200 , B= 150 200

A=100, B= 200

A=0, B=200
300 250 200 150 100 50 0
تعداد خانه های تیپ B
تعداد خانه های تیپ A

می توان دقیقاً مراحلی شبیه آنچه انجام شد را برای حل تر سیمی محدودیت بودجه انجام داددر ابتدا محدودیت را به صورت تساوی بیان می کنیم.

میدانیم که 000 ,1,200 B= 6000+ A 2000

A 2000 را از دو طرف کم می کنیم
A2000-000 ,1,200 = B6000
هر دو طرف را بر 6000 تقسیم می کنیم
A – 200 B=

با محاسبه ی مقادیر A , B جدول زیر حاصل خواهد شد

حال میتوان از مقادیر موجود در این جدول برای نشان دادن محدودیت بودجه به صورت نموداری استفاده نمود.
جدول حاصل از محاصبه ی مقادیر A و B

شکل شماره ی(2).نمودار محدودیت بودجه. 2000 A + 6000B ≤ 12 00 000

A=A=600, B=0 600‚ B= 0
A=500 ,B=33.4
A=400, B= 66.7
A=300, B=100

, A=200 B= 150 200

A=100, B= 200

A=0, B=200
250 200 150 100 50 0
تعداد خانه های تیپ B
تعداد خانه های تیپ A
A=0,B=200
400
200
A=400,B=66.7
A=300,B=100
A=100B=166.7
A=200,B=133.4
600

مانند نمونه ی قبل هر نقطه بر روی خط نمایانگر ترکیبی از خانه های نوع A و B می باشد که هزینه های ساخت آن برابر محدودیت بودجه استدر حالی که هر نقطه ای در منطقه ی بارنگ سبز روشن ترکیبی از این خانه ها است.که هزینه ی ساخت آنها کمتر از محدودیت بودجه است.
در شکل شماره ی 3 هردو محدودیت بر روی یک نمودار ترسیم شده است.اما این بار منطقه ی رنگی بخشی از نمودار است که زیر دو خط محدودیت(محدودیت بودجه و زمین) است.

شکل شماره ی ( 3)

600‚ B= 0

تعداد خانه های تیپ B
تعداد خانه های تیپ A
400
200
600

محدودیت بودجه
محدودیت زمین
A
B
C
D
E
منطقه ی عملی ((Feasible area

هر نقطه ای در در منطقه ی عملی نمایانگر تر کیب تیپ واحد های مسکونی است که به زمینی بیش از زمین های موجود نیاز نداشته، واز سقف بودجه ی تعیین شده مسکن تجاوز نمی کند . میدانیم که هر نقطه بر روی نمودار نمایانگر مقدار مالیات خاص است ، زیرا هر ترکیبی از واحد های مسکونی تیپ A وB را میتوان به مقدار مالیات افزوده شده ، تبدیل نمود . مقایسه مقدار مالیات به کمک این معادله میسر است: 190A + 470B =مقدار مالیات
مالیات نقطه ای که بیشترین افزایش مقدار مالیات ممکنه را بوجود اورد نمایانگر سیاست بهینه یابی است.

اگر میزان مالیات خاصی را در نظر بگیریم مثلاً 40000 پوند می توان محاسبه نمود که چه تر کیب هایی از واحد های مسکونی تیپ A و B متضمن این مقدار مالیات است، وبرای کشیدن خط از عبارت زیر استفاده میکنیم.

190A + 470B=40 000

این عمل را با حل معادله (190A+470B= 40000 ) ابتدا برای A و سپس برای B انجام می دهیم.

حل معادله برای A

000 40 = B470 + A190
(B470)رااز دوطرف کم کرد وهر دوطرف را بر 190 تقسیم می کنیم.
نتیجه به صورت زیر خواهد بود.

A= 210 – 2.5

حل معادله برای B
190 A + 470B = 40 000

190 A را از دوطرف کم می کنیم :
470 B = 40 000 – 190 A

هر دو طرف معادله را بر 470 تقسیم می کنیم .
B = 85 – ./4 A

بنابر این وقتی B = 0 ، A=210 و زمانی که A=0 B=85 است این دو عدد به ترتیب نقاط نقاط تقاطع خط این معادله با محور های A و B نمودار می باشد. بدین ترتیب می توان خط را مستقیماً و فقط بااستفاده از این دو نقطه ترسیم کرد.

تعداد خانه های تیپ B
تعداد خانه های تیپ A
400
200
600
85
محدودیت زمین
محدودیت بودجه
200
A+470B=40 000190

بدیهی است که هر چه از مبدا مختصات دور می شویم بر مقدار مالیات که با خطوط موازی نشان داده می شوند افزوده می گردد. همچنین میدانیم که از یک نقطه خاص به بعد خطوط خارج از منطقه ی عملی قرار می گیرند. مسئله مورد نظر ما یافتن خطی است که حتی الامکان از مبدا دور شود در حالیکه حداقل یک نقطه در منطقه عملی داشته باشد. حداکثر مقدار مالیات افزوده شده با ساختن 300 واحد مسکونی تیپ A و 100 واحد مسکونی تیپ B بدست می آید.

تعداد خانه های تیپ B
تعداد خانه های تیپ A
400
200
600
85
200
نقطه ی بهیینه
368
150
B
C
A
D
190A+470B=100 000
A=300 . B=100

با قرار دادن مقادیر ترکیب بهینه (َََ( A=300 , B=100در معادلات محدودیت ها می توان عملی بودن آن را بررسی کرد.