مبانی نظری شکست سد، بررسی عوامل ایجادکننده شکست، معادلات حاکم بر جریان یک بعدی

 مبانی نظری شکست سد، بررسی عوامل ایجادکننده شکست، معادلات حاکم بر جریان یک بعدی

3-1- مقدمه 21
3-2- شکست سد 21
3-3- عوامل موثر بر شکست سد 22
3-3-1- نوع شکست سد با توجه به هیدروگراف سیل ناشی از آن 23
3-4- بررسی عوامل ایجادکننده شکست 23
3-5- مدل ریاضی و روش های محاسباتی 25
3-5-1- مدل های ریاضیاتی 25
3-5-2- انتخاب مدل عددی 26
3-5-3- رویکردهای اساسی برای حل مسائل ناپیوستگی 26
3-6- معادلات حاکم بر جریان یک بعدی 29
3-6-1- روش های حل عددی معادلات حاکم 32
3-6-1-1- روش اختلاف های محدود 32
3-6-1-2- روش احجام محدود 33
3-6-1-3- روش حجم کنترل 34
3-6-1-4- روش المان های محدود 34
3-7- روش حل عددی HLL ………………………………………………………35

فصل سوم: مبانی نظری
مقدمه
شکست سد پدیده ای است که، صرف نظر از علت شکست، تا کنون به ندرت رخ داده است، اما قدرت تخریب سیلاب ناشی از شکست سد به حدی زیاد است که در عمل انجام مطالعات شکست سد را به یکی از بخش های مهم مطالعاتی، چه برای سدهای در حال احداث و چه برای سدهای ساخته شده تبدیل نموده است. در صورت وقوع شکست سد، خسارات ناشی از انتشار سیلاب بسیار شدید خواهد بود و این امر می تواند بر بسیاری از پارامترهای طراحی سد تاثیرگذار باشد. به طور کلی مراحل اصلی مطالعات شکست سد را می توان به موارد زیر تقسیم نمود.
1- شبیه سازی ریاضی نحوه انتشار سیل
2- مطالعات تحلیل خسارت
3- مطالعات مدیریت بحران
یکی از مهم ترین گام ها و به نوعی بخش پیش نیاز سایر بخش های مطالعات، شبیه سازی ریاضی نحوه انتشار موج ناشی از شکست سد است. چرا که در روند مطالعات نتایج این شبیه سازی در عمل پایه مطالعات تحلیل خسارت قرار خواهد گرفت و مطالعات مدیریت بحران نیز بر پایه نتایج حاصل از مطالعات تحلیل خسارت و همچنین نتایج مدل سازی های ریاضی انجام خواهد شد. با توجه به محدوده وسیع پایین دست سد و همچنین وجود پیچیدگی های هندسی فراوان در این محدوده وسیع در عمل امکان شبیه سازی نحوه انتشار موج ناشی از شکست با استفاده از مدل های فیزیکی وجود ندارد و کاربرد اصلی مدل های فیزیکی در این مطالعات به بررسی روند تخریب بدنه سد محدود می شود (قنادکار سرابی، 1390).
شکست سد
طراحی یک سد با انجام مطالعات گسترده همراه است و مهندسان طراح در برآورد نیروهای وارده اعم از زلزله، باد، فشار آب و غیره از ضرایب اطمینان نسبتاً بزرگی استفاده میکنند. همچنین برای به دست آوردن ابعاد مناسب سرریزها و سایر سازههای کنترلی، از سیلابهای با دوره بازگشت بسیار طولانی استفاده میشود؛ ولی علی رغم تمامی احتیاطها و کنترلهای موصوف نمونههای زیادی از پدیدهی شکست سد در طول تاریخ سدسازی رخ داده است که در جدول 3-1 به چند مورد از آن اشاره شده است (چیت سازان، 1389).

جدول ‏3-1- نمونههایی از پدیده شکست سد (چیت سازان، 1389)
تعداد کشته
حجم مخزن 〖(mm〗^3)
ارتفاع تاج سد (m)
تاریخ شکست
تاریخ احداث
نام سد
—–
222.6
—–
August 1967
1962
Nanaksagar Dam
300
—–
—–
1985
—–
Stave
1800
118.8
22.56
August 1979
August 1972
Machhu Ⅱ
—–
1780
31.25
1961
1879
Khadakwasla Dam
—–
332.6
93
June 1976
1975
Teton Dam (USA)
421
—–
66
—–
—–
Malpasset Dam
450
—–
62.5
1928
1926
St. Francisdam (USA)
2187
——
140
1889
1853
South Fork Dam
2000
——
262
1963
1959
Vajont Dam (Italy)
80
——
148
2005
2003
Shakidor Dam (Pakistan)

عوامل موثر بر شکست سد
برای شبیه سازی هیدرولیکی موج ناشی از شکست سد لازم است که در ابتدا هیدروگراف سیلاب ناشی از شکست مشخص گردد. اما این هیدروگراف خود تابع نوع شکست سد است و به همین دلیل نیز لازم است که در ابتدا عوامل موثر بر شکست سد را بررسی نمود تا به کمک آن بتوان تخمینی از هیدروگراف سیلاب به دست آورد.
نوع شکست سد با توجه به هیدروگراف سیل ناشی از آن
تخریب سدها در یک دسته بندی کلی به دو شکل تدریجی و ناگهانی قابل تقسیم است. نوع تخریب سد بستگی به نوع سد و عامل اصلی تخریب دارد. در حالتی که شکست سد به صورت آنی اتفاق افتد کل بدنه سد و یا قسمت اعظم آن از مسیر جریان حذف می شود. این اتفاق ناگهانی باعث ایجاد یک سیل شدید پیش رونده خواهد شد. این در حالی است که شکست های تدریجی در یک بازه زمانی به وجود می آید که ممکن است از چند دقیقه تا چند ساعت متغیر باشد. در شکست های تدریجی با مدت زیاد می توان انتظار داشت موج شکست از حالت شوک خارج شود که البته این حالت در سدهای کوتاه و با حجم مخزن کوچک رخ خواهد داد، چون در سدهای مرتفع انرژی ایجاد شده بر اثر حد بالای جریان باعث تخریب بدنه سد در مدتی کوتاه می گردد و در شکست هایی که در مدت زمان کوتاهی اتفاق می افتد کماکان این پدیده شکل خواهد گرفت. این مسئله باعث ایجاد دو نوع هیدروگراف می شود به نحوی که در شکست های ناگهانی هیدروگراف آن از شیب تندی برخوردار است ولی در شکست های تدریجی، شیب کمتری دارد. این هیدروگراف از الگوی سیل های رودخانه ای ولی در مقیاسی کاملاً متفاوت پیروی می کند. در هر دو نوع هیدروگراف حجم ثابتی در هیدروگراف باید وجود داشته باشد که تقریباً برابر حجم مخزن است.
بررسی عوامل ایجادکننده شکست
شکست سد می تواند تحت اثر عوامل طبیعی و تصادفی و یا عمدی به وجود آید. تخریب های طبیعی ناشی از وقایع طبیعی پیش بینی نشده از جمله بارش های غیر متعارف و سیل ناشی از آن، زمین لرزه، نشست های نامتقارن، لغزش زمین و یا بدنه، نشت شریانی1، تراوش از بدنه، سرریزی، برخورد موج با بدنه و یا عوامل دیگر، است. شکست سد در اثر عوامل انسانی و یا عمدی می تواند شامل مواردی از جمله هر گونه خرابکاری، بمب گذاری و یا انفجار، ضعف سازه ای، اشتباهات طراحی، بهره برداری غلط مخزن، تخریب بدنه و نقب زنی در بدنه و یا دیوارها توسط جانوران باشد. در جدول زیر عوامل مختلف ایجاد شکست بسته به نوع بدنه، در سه نوع سد خاکی، وزنی و قوسی نشان داده شده است.
جدول ‏3-2- عوامل مختلف ایجادکننده شکست سد(رفیعی،1388)
نوع سد
نوع تخریب
سدهای خاکی
سرریزی

نشت شریانی

تخریب پی

اثر موج
سدهای وزنی
لغزش سد

واژگونی

تخریب پی
سدهای قوسی
لغزش صخره ای2

بارهای فوق العاده ناشی از سیل های پیش بینی نشده

تخریب برشی

سرریزی خارج از بدنه

با توجه به برخی اطلاعات موجود تا سال 1971، آمار درصد وقوع شکست بر اساس نوع شکست در ادامه ارائه شده است.

جدول ‏3-3- آمار درصد وقوع شکست بر اساس نوع شکست(رفیعی،1388)
نوع تخریب
درصد وقوع تا سال 1971
مشکل پی
40
مشکل سرریز
23
مشکل سازه ضعیف
12
نشست پیش بینی نشده
10
بالا بودن فشار منفذی
5
جنگ
3
ایجاد لغزش در مخزن
2
مصالح نامناسب
2
بهره برداری غلط
2
زلزله
1
مدل ریاضی و روش های محاسباتی
امروزه روش های محاسباتی ابزار تئوریک مفیدی برای استفاده هستند که ارتباط تنگاتنگی با روش های تحلیلی و آزمایشگاهی دارند. این روش ها که با روش های تحلیلی و آزمایشگاهی ارتباط تنگاتنگی دارند، امروزه وسیله تئوری مفیدی برای مطالعه پدیده های مختلف اند.
مدل های ریاضیاتی
مرحله دوم آنالیز شکست سد شامل حل عددی جریان متغیر سریع غیر دائمی است. نقطهی شروع برای روش های محاسباتی، مدل ریاضی ای است که به زمینه مورد مطالعه بستگی دارد. در مورد پدیده جریان سیال، این مدل های ریاضی مناسب، سیستمی متشکل از معادلات دیفرانسیل جزئی، شرایط اولیه و شرایط مرزی است. اگرچه حل دقیق تحلیلی برای سیستم های غیرخطی معادلات دیفرانسیل جزئی PDEs3 در شرایط پیچیده و شرایط کلی مرزی و اولیه بسیار دشوار و در برخی موارد غیرممکن است، کسی که پدیده را به صورت محاسباتی حل می کند باید اطلاع کافی از تئوری اصلی PDEs و فرایند حاکم بر پدیده داشته باشد. معادلات حاکم بر جریان یک بعدی، شامل معادله پیوستگی و معادله اندازه حرکت میباشد که با انتگرالگیری در مقطع از معادلات ناویر استوکس به دست میآید. مشروح این محاسبات و عملیات در مراجعی مانند جریان کانالهای باز (Henderson,1966) و یا مراجع معتبر دیگر آمده است که تفصیل آن خارج از حوصله این پایان نامه است و فقط به ذکر فرضیات حاکم بر استخراج این معادلات در حالت یک بعدی بسنده میشود.
انتخاب مدل عددی
نکته حائز اهمیت در انتخاب مدل ها، نوع جریان در پدیده شکست سد است. جریان های ناشی از شکست سد، از نوع جریان متغیر سریع هستند که در آن ها هر دو نوع جریان زیر بحرانی و فوق بحرانی وجود دارند. به بیان دیگر در این نوع جریان ها نوعی شوک یا ناپیوستگی وجود دارد که شدیدترین حالت این شوک در شرایط اولیه وجود دارد. به همین دلیل روش حل عددی مورد استفاده برای شبیه سازی این نوع جریان ها باید قادر باشد تا هر دو نوع جریان فوق را همراه با شوک های موجود در آن ها به شکل همزمان و با دقت مناسبی شبیه سازی نمایند. موج های شوک حل های ناپیوسته از قوانین بقایی هیپربولیک هستند که از برخی شرایط ریاضیاتی دقیق پیروی می کنند. به منظور مدل کردن موج شوک، شیوه های ساده عددی کارایی ندارند. استفاده از شیوه نامناسب ممکن است به طول موج نادرست و یا سرعت انتشار غلط و در نتیجه مکان نادرست در زمان معین منجر شود. برای محاسبه درست موج شوک تلاش های زیادی صورت پذیرفته است. اکنون می دانیم که برای انتشار موج شوک با سرعت درست باید از شیوه های عددی بقایی استفاده کنیم. Lax و Wendroff به صورت ریاضیاتی اثبات کردند که شیوه های عددی بقایی در حل عددی شوک، اگر همگرا شوند، به جواب درست معادلات دست مییابند. Hou و LeFloch نیز در تکمیل این نظریه اثبات کردند که شیوه های حل عددی غیر بقایی در صورتی که با موج شوک سروکار داشته باشند به جواب نادرست منجر می شوند. در مورد نوسانات نادرست ایجادشده، گودونوف اثبات کرد که در صورتی که از روش های خطی با مرتبه دقت بزرگ تر از یک استفاده شود، این چنین نوساناتی گریزناپذیرند. بنابراین اولین پیام گودونوف، استفاده از شیوه های غیرخطی است حتی زمانی که با مسائل خطی مواجه هستیم (Toro,2001).
رویکردهای اساسی برای حل مسائل ناپیوستگی
دو رویکرد اساسی برای در نظر گرفتن حل مسائل شامل ناپیوستگی وجود دارد.
1-تصحیح شوک4
2-تسخیر شوک5
رویکرد Shock-Fitting، با ناپیوستگی ها همانند مرزهای داخلی ای برخورد می شود که در امتدادشان پرش های مناسب اعمال شده است و بدین شکل ناپیوستگی ها ردیابی و تصحیح می شوند. در نواحی دور از این مرزها، معادلات دیفرانسیل جزئی حاکم با روشی مناسب برای جریانات آرام حل می شوند. بزرگ ترین مزیت این رویکرد آن است که ناپیوستگی ها به مانند ناپیوستگی های واقعی محاسبه می شوند. مهم ترین عیب این رویکرد نیز در برخورد با موجی با اثرات متقابل پیچیده چندبعدی مشخص می شود که این شیوه را بسیار پیچیده و غیرقابل استفاده می کند. شیوه Front Tracking، در واقع گونه ای پیشرفته از Shock-Fitting است و در این زمینه در سال های اخیر پیشرفت های تحسین برانگیزی صورت پذیرفته است. در رویکرد Shock-Capturing، برای کل محدوده مورد نظر از یک رویه عددی یکسان استفاده می شود و موج های شوک و دیگر ناپیوستگی ها به عنوان بخشی از حل کلی مسئله به دست می آیند. امتیاز اصلی این روش سادگی و جامع بودن این روش است که واقعاً با آن می توان هر مسئله ای را حل کرد. مهم ترین ایراد این رویکرد آن است که ناپیوستگی ها را به مانند حالت واقعی شان حل نمی کند. دسته موفق جدید از روش های عددی Shock-Capturing، به اصطلاح روش های دقت بالا6 نامیده می شوند. این روش ها حاصل تحقیقات گسترده در زمینه قوانین بقایی هیپربولیکی7 هستند. این چنین شیوه های تسخیر شوک در نزدیکی موج های شوک (یا دیگر ناپیوستگی ها)، ناپیوستگی را به خوبی مدل می کنند و در بخش های آرام جریان همچنان درجه دقت بالا را حفظ می کنند. اگرچه گسترش روش های دقت بالا برای مسائل واقعی تا حدودی تجربی است ولی تاکنون نتایج تجربی خیلی بهتر از شیوه های عددی مرسوم هستند.
روش های گودونوف، موج های شوک را با سرعت انتشار صحیح محاسبه می کند و نوسانات غیرواقعی در مجاورت موج نیز ایجاد نمی کنند. روش های گودونوف، در واقع روش های تسخیر شوک جهت مند8 هستند که توسط گودونوف حدود نیم قرن پیش پایه گذاری شدند. گودونوف در ابتدا در روش عددی خود از حل دقیق مسئله ریمن استفاده کرد. رویه اولیه او برای حل مسائل ریمن ناکارآمد بود و این سبب شد تا کل رویکرد جذابیتش را از دست بدهد. او سپس یک حل کننده دقیق بسیار سریع ریمن و حل کننده های تقریبی ریمن را ارائه کرد. بعد از آن دو شیوه گسترش مهم روش تسخیر شوک بدین صورت بودند:
عمومیت دادن روش مرتبه اول گودونوف، به روش با دقت مرتبه دوم توسط(Van,1973,1976);( Leer,1973,1976).
توسعه دادن حل کننده های تقریبی جدید ریمن توسط(Osher,1982); ( Solomon,1982).
برخی از روش های حل مسئله ریمن تنها برای شرایطی کاربرد دارند که عمق آب در محدوده حل همیشه بزرگ تر از صفر باشد. این در حالی است که وجود شرط عمق آب صفر، یک موقعیت فیزیکی کاملاً معقول و قابل قبول است. بنابراین نیازمند معادلات و روش های حلی هستیم که بتواند در کنار عمق آب مثبت، شرایط عمق صفر را در نظر بگیرد. یک مثال بسیار ساده از این شرایط زمانی است که در یک طرف سد عمق آب بر خلاف مخزن سد، صفر باشد. این حالت، یک مورد خاص از مسئله ریمن است. روش مورد استفاده باید بتواند نواحی خشک را چه در شرایط اولیه و چه در تقابل بین دو محدودهی تر که منجر به ایجاد ناحیه خشک می شوند را در محاسبات خود به خوبی لحاظ کند. باید توجه شود که ساختار مسئله ریمن که در آن محدوده ای با بستر خشک مفروض است به طور اساسی با ساختار مسئله ریمن که در آن کل نواحی دارای عمق آب مثبت هستند، متفاوت است. در حل مسئله ریمن با بستر تر محدوده ای به نام محدوده ویژه9 وجود دارد و در حالت یک بعدی آن، همیشه دو خانواده موج حضور دارند که چهار حالت ترکیبی ممکن برای مسئله امکان پذیر خواهد بود درحالی که در حل مسئله ریمن با وجود بستر خشک در یک سمت، دیگر محدوده ویژه وجود ندارد و شرایط کاملاً با حالت قبل متفاوت است (Toro,2001).
برای انجام این شبیه سازی باید از روش هایی که از آن ها به نام روش های تسخیر شوک یاد شده است استفاده نمود. یکی از معروف ترین روش هایی که برای شبیه سازی این نوع جریان ها وجود دارد، روش تجزیه بردار شار10 است. این روش نوعی روش جهت گرا با کارایی بالا است که در آن محاسبات با استفاده از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس ژاکوبین ماتریس ضرایب انجام می شود. از جمله روش هایی که با استفاده از این تکنیک ابداع شده اند می توان به روش Roe و روش Osher اشاره نمود. روش گودونوف با حل دقیق مسئله ریمن مشخصات فیزیکی بیشتری از جریان را در روش عددی ملحوظ می کند که روش های همچون روش HLL و یا HLLC از آن دسته اند. نکته حائز اهمیت دیگر این است که روش های تسخیر شوک باید عاری از نوسان باشند. چون در این نوع مسائل تغییرات مکانی متغیرها بسیار شدید است و به همین دلیل در صورتی که روش های مورد استفاده نوسان زا باشند، خطای بسیار شدیدی در معادلات وارد می شود و برخی اوقات حل معادلات نیز غیر ممکن خواهد شد. به روش های عاری از نوسان، روش های یکنوا11 می گوییم. به کمک روش های تحلیل پایداری می توان ثابت نمود که روش های عاری از نوسان باید از مرتبه اول باشند (Toro,2001).
معادلات حاکم بر جریان یک بعدی
معادلات حاکم بر مدل یک بعدی معادلات سنت ونانت هستند که در صورت عدم وجود جریان های قائم قابل توجه و همچنین توزیع غیریکنواخت سرعت در عمق، قابل استفاده اند. این معادلات که شامل یک معادله پیوستگی و یک معادله اندازه حرکت می باشند با فرض غیرقابل تراکم بودن آب، معادلات (3-1) و (3-2) خواهند بود
معادله پیوستگی:

(3-1)

معادله اندازه حرکت:

(3-2)
در معادلات فوق:
η= تراز سطح آب،
= عمق آب
= عرض موثر جریان
= دبی جریان
= سطح مقطع جریان
= مقاومت بستر
= شتاب ثقل
= زمان
X= مختصات در جهت مسیر رودخانه و یا حرکت جریان می باشد.
در شکل زیر مشخصات مقطع مورد نظر نشان داده شده است.

شکل ‏3-1 مشخصات هندسی مقاطع عرضی در معادلات یک بعدی(رفیعی ،1388)
اگر ماتریسهای F و U را به فرم زیر فرض کنیم:
(3-3) U=[■(h@hu)]
(3-4) F=[■(hu@hu^2+gh^2 )]
آنگاه معادلات جریان در مجاری سطح آزاد به شکل رابطهی زیر خواهد بود :
(3-5) U_t+F(U_x )=0
اگر معادلهی 3-5 را به فرم انتگرالی بنویسیم خواهیم داشت:
(3-6) ∮[Udx+F(U)dt]=0
اگر فرض کنیم انتگرال بر روی یک حجم کنترل مانند شکل3-1 گرفته شود، فرم بازشده انتگرال به صورت معادلهی3-7 میباشد.

شکل ‏3-2 حجم کنترل در روش حجم محدود

(3-7)

برای حل معادله به روش Finite Volume فرضیات زیر را انجام میدهیم:
(3-8) U_i^(n+1)=1/(∆x_i ) ∫_(x_(i-1⁄2))^(x_(i+1⁄2))▒U(x,t^(n+1) )dx
(3-9) U_i^n=1/(∆x_i ) ∫_(x_(i-1⁄2))^(x_(i+1⁄2))▒U(x,t^n )dx
(3-10) F_(i+1⁄2)=1/∆t ∫_(t^n)^(t^(n+1))▒F(U(x_(i+1⁄2),t)) dt
(3-11) F_(i-1⁄2)=1/∆t ∫_(t^n)^(t^(n+1))▒F(U(x_(i-1⁄2),t)) dt
با توجه به تعاریف فوق، معادله انتگرالی 3-7 به صورت رابطه زیر نوشته میشود :
(3-12) U_i^(n+1)=U_i^n-∆t/∆x [F_(i+1⁄2) 〖-F〗_(i-1⁄2) ]
که در این معادله F_(i+1⁄2) و F_(i-1⁄2) مقادیر شار عبوری از سطوح x_(i+1⁄2) و x_(i-1⁄2) میباشند. با توجه به معادله بالا، برای به دست آوردن مقادیر U در مرحله زمانی آتی، لازم است که مقادیر شار عبوری از دو سطح x_(i+1⁄2) و x_(i-1⁄2) به دست آورده شود. برای این منظور محققان روشهای گوناگونی را پیشنهاد نمودهاند که در این تحقیق از روش HLL (Harten, Lax and van Leer) برای به دست آوردن شار عبوری استفاده شده است.
روش های حل عددی معادلات حاکم
به علت عدم وجود حل تحلیلی برای معادلات آب های کم عمق، باید از روش های عددی برای این منظور استفاده شود مهم ترین روش های عددی جهت حل این معادلات به شرح زیر است:
روش اختلاف های محدود
روش اختلاف های محدود قدیمی، ساده ترین روش برای مدل سازی عددی است که توسط "اولر" در قرن هجدهم میلادی معرفی شده است (Ferziger and Peric,1997). در این روش از فرم دیفرانسیلی معادله حاکم برای منقطع سازی استفاده میشود. میدان حل به مجموعهای از گرههای محاسباتی تقسیم میشود. معادلات در هر گره منقطع میشود. بدین ترتیب در هر گره تقریبهایی بر حسب مقادیر گرهای به جای مشتقات جزیی معادله حاکم جایگزین میشوند. نتیجه یک معادله جبری در هر گره محاسباتی است که در آن مقدار متغیر مسئله در گره مورد بررسی و بسته به روش حل، تعدادی از گرههای مجاور، مجهول هستند.
روش اختلاف های محدود در شبکهبندی سازمان یافته بسیار ساده و کارا است. روش های با مرتبه دقت بالا در شبکهبندی منظم به آسانی حاصل میشوند. اما در این روش، از جملات منقطع استفاده شده معادله حاکم درک فیزیکی خوبی حاصل نمیشود(Patankar,1980). حفظ خاصیت بقاء نیز منوط به اعمال تمهیداتی ویژه است (Ferziger and Peric,1997). و دست آخر این که محدودیت کاربر آسان این روش در هندسه های منظم و پیچیدگی آن در هندسههای نامنظم که نیازمند انتقال از فضای فیزیکی به فضای محاسباتی (انتقال میدان حل و معادلات حاکم)است از دیگر معایب آن به شمار میرود.
روش احجام محدود
روش احجام محدود توسط Mc Donald در سال 1971 و Mc Cormack و Paully در سال 1972 برای حل معادلات دوبعدی غیر دائمی Euler معرفی و توسط Rizzy و Inouye در سال 1973 به جریان های سه بعدی تعمیم داده شد (ضیاء، 1387). خاصیت پایستاری روش احجام محدود مزیتی قابل توجه است. استفاده از "فرم انتگرالی معادلات حاکم" در روش احجام محدود یکی از مزایای مهم این روش است. برخی محققان توصیه کردهاند که در مسائلی که ناپیوستگی در متغیرها وجود دارد، حتماً از فرم انتگرالی برای مدلسازی استفاده شود (Toro,2001). در این صورت تمام جملات منقطع شده که میباید تقریب زده شوند، دارای مفهوم فیزیکی هستند که میتوان این نکته را نیز یکی از دلایل محبوبیت این روش ذکر کرد. در روش احجام محدود محاسبه شار جزء نکات کلیدی میباشد. در سادهترین روش، محاسبه شار با تفاضل مرکزی، از میانگین متغیرهای دو سمت وجه مورد نظر استفاده میشود. با این روش شار مرتبه دو به دست میآید ولی این روش کاملاً ناپایدار است. روشهای تفاضل مرکزی به دلیل بیتوجهی به خصوصیات فیزیکی میدان جریان، برخلاف روشهای بالادستی محبوبیت کمتری دارند. با توجه به اینکه معادلات آب های کم عمق از نوع هذلولی بوده و مرتبط با پدیده فیزیکی انتشار هستند، به کارگیری روش های از نوع بالادستی ارجح است. یکی از سادهترین روشهای محاسبه شار بالادستی استفاده از مقدار متغیرها در گره بالادست وجه مورد نظر میباشد. با این روش شار با دقت مرتبه یک حاصل میشود. برای افزایش دقت مکانی شار و به تبع آن افزایش دقت مکانی الگوریتم عددی می توان تعداد بیشتری از گرههای بالادست را در محاسبه شار دخیل نمود.
روش حجم کنترل
برخی این روش را نوعی از انواع تقریب های موجود برای منقطع کردن معادلات حاکم در روش اختلاف های محدود معرفی کردهاند(Hirsch,1998). برخی دیگر آن را یکی از روش های باقیماندههای وزندار با تابع وزنی برابر با واحد دانستهاند(Patankar,1980). برخی دیگر به آن به عنوان یک روش کاملاً مستقل و حتی با نام احجام محدود نگریستهاند. صرف نظر از سلیقههای مختلف، آنچه همه در آن اتفاق نظر دارند این است که این روش از فرم دیفرانسیلی معادله حاکم بر روی یک حجم کنترل که یک گره محاسباتی را در بر گرفته است، انتگرالگیری میکند.در انتگرالگیری، فرض تغییرات پیوسته بین گرههای مجاور برای تغییر مسئله انجام میشود. برای انتگرالگیری از جملات مختلف معادله حاکم میتوان فرضیات متفاوتی برای تغییرات متغیر مسئله انجام داد؛ زیرا در روش حجم کنترل با حل معادلات منقطع شده، مقادیر متغیرها در گرههای داخل حجم کنترل محاسبه میشود. لذا در این روش نیز مشابه روش اختلاف های محدود، مقادیر محاسبه شده فقط به گرهها محاسباتی تعلق دارند و نحوه تغییرات متغیرها بین گرههای مختلف و نیز تغییرات متغیرها داخل حجم کنترل تعیین نمیشود(Patankar,1980). پس از محاسبه مقادیر مجهولات در گرهها، فرضیات انجام شده برای تغییرات آن ها در هنگام انتگرالگیری به فراموشی سپرده میشود(Patankar,1980).
مزیت این روش پایستار بودن روش در سطح حجم کنترل و کل میدان حل است. برای برقراری خاصیت بقاء در سطح حجم کنترل باید شار محاسبه شده در وجه مشترک حجم کنترلها یکسان باشند. خاصیت پایداری این روش در شبکهبندی ریز و درشت همواره تامین میشود. شبکهبندی با اندازههای مختلف حجم کنترل قابل استفاده است. میتوان ابتدا میدان حل را شبکهبندی نمود و سپس گرههای محاسباتی را در مرکز حجم کنترل در نظر گرفت و یا ابتدا گرههای محاسباتی را در میدان حل مشخص کرده، سپس وجه حجم کنترل را در اطراف گرهها و در وسط فاصله دو گره مجاور قرارداد(Patankar,1980). نقص عمده این روش نیز پیچیده شدن کاربرد آن در هندسههای نامنظم علی رغم کاربرد آسان آن در هندسههای منظم است که همانند روش اختلاف های محدود، نیازمند انتقال میدان حل و معادلات حاکم از فضای فیزیکی به فضای محاسباتی است.
روش المان های محدود
روش المان های محدود زیرمجموعه ای از روشهای تغییرات یا حساب تغییرات است. در روش حساب تغییرات معادله حاکم با ضرب در یک تابع وزنی و انتگرالگیری در کل میدان حل به یک انتگرال وزنی تبدیل میشود. سپس حل تقریبی مسئله در کل میدان با ترکیب خطی مجموعهای از ضرایب ثابت و مجهول و یک سری توابع جبری به نام "توابع شکل" بیان میشود. با جایگذاری فرم تقریبی در انتگرال وزنی، معادله حاکم به صورت فرم ضعیف درآمده، با اعمال شرایطی به فرم انتگرالی، تعداد معادله جبری حاصل میشود. با حل معادلات جبری ضرایب مجهول(موجود در حل تقریبی) محاسبه و در نتیجه حل تقریبی مسئله در کل میدان حاصل میشود.
از نقایص این روش میتوان از ساده بودن آن در مقایسه با روشهای مطرح شده قبلی نام برد. همچنین در این روش خاصیت بقاء در سطح المان ها تامین نمیشود، ولی در کل از میدان حل این شرط تامین میشود (Zienkiewicz and Taylor,2000)). بزرگی ماتریس ضرایب حاصل از این روش نقصی دیگر است که نبودن روش سریع و کارا برای حل چنین ماتریس هایی، رسیدن به جواب را از نظر محاسباتی پرهزینه میکند.

روش حل عددی HLL
روش HLL توسط سه نفر از محققین بهنام های Lax, Van leer و Harten در سال 1983 ارائه شده است. ایده اصلی در این روش صرف نظر از موج میانی و فرض وجود دو موج در ساختار حل مسئله ریمن است که این فرض فقط در مورد حل معادلات آبهای کم عمق در یک بعد صادق است. در این تحقیق از این روش استفاده شده که توضیح آن در ادامه آمده است.
بطوریکه در بخش های قبل نیز اشاره گردید، روش های مورد استفاده برای شبیه سازی جریان های ناشی از شکست سد باید قادر باشند تا در عین شبیه سازی جریان های دارای شوک به شکلی عاری از نوسان و با دقتی مناسب، پیشروی جریان در بستر خشک را نیز شبیه سازی نمایند. به همین دلیل و با توجه به اهمیت موارد فوق، روش HLL برای حل معادلات جریان در این مدل انتخاب گردید. این روش که در زمره روش های حل تقریبی مسئله ریمن است، یکی از روش های مناسب برای شبیه سازی جریان های ناشی از شکست سد است. در این روش شبیه سازی پیشروی موج سیلاب در بسترهای خشک و تر با استفاده از روابط مربوط به هر یک از این حالت ها محاسبه می شود. روش HLL در برخورد با جبهه خشک راه ساده ای پیشنهاد می کند. در محاسبه فلاکس های انتقالی این روش حل تقریبی مسئله ریمن، از مقادیر تقریبی برای سرعت انتشار موج های چپ و راست استفاده می شود که با SL و SR نشان داده می شوند. در حضور جبهه خشک، مقدار تقریبی برای انتشار امواج برابر با مقدار دقیق سرعت انتشار جبهه خشک منظور می شود.

(3-13) S_L={■(u_R-2a_R&if&h_L=0@usual estimate&if&h_L>0)┤

(3-14) S_R={■(u_L+2a_L&if&h_R=0@usual estimate&if&h_R>0)┤

در روابط فوق uR و uL، به ترتیب سرعت ذره ای در سمت راست و چپ مسئله ریمن هستند. aR و aL، به ترتیب برابر و هستند که hR و hL، عمق آب در دو سمت مسئله اند. به علاوه با استفاده از این روش می توان جریان های دارای شوک را نیز با دقت بسیار مناسبی شبیه سازی نمود. کلیاتی از نحوه حل معادلات حاکم با استفاده از این روش را می توان به صورت زیر بیان نمود.
برای حل معادلات در ابتدا از معادلات (3-15)و (3-16) بر روی یک حجم کنترل انتگرال گرفته می شود.

(3-15)

عبارت دوم سمت راست معادله فوق را می توان به صورت معادله (3-15) از یک انتگرال حجمی به یک انتگرال سطحی تبدیل نمود.

(3-16)

در رابطه فوق عبارت برابر با شار عبوری از مرزهای حجم کنترل در جهت عمود بر آن ها می باشد. در رابطه (3-16) انتگرال فوق به یک سری برای یک حجم کنترل با تعداد یال تبدیل می شود.

(3-17)

نحوه محاسبه مقدار ، یکی از مواردی است که باعث توسعه روش های عددی با مرتبه دقت های مختلف شده است. در این مدل، همان طور که پیش تر هم اشاره گردید، برای حل معادلات حاکم از روش (Horton-Lax-van Leer) که به اختصار HLL خوانده می شود استفاده شده است. برای محاسبه مقدار و یا به عبارتی شار گذرنده از مرزها در روش HLL از رابطه (3-18) استفاده می شود.

,
(3-18)

که در رابطه فوق اندیس های و نمایانگر نقاط سمت چپ و راست هر المان محاسباتی، و نمایانگر مقدار پارامتر مورد نظر در نقاط سمت چپ و راست هر المان محاسباتی، SR و SL به ترتیب برابر با سرعت پیشروی موج در گره های سمت چپ و راست هر المان محاسباتی است که راه های مختلفی برای محاسبه آن ها وجود دارد و درعین حال مقدار آن ها برای پیشروی موج سیلاب در بسترهای خشک و تر نیز متفاوت است. در مدل مورد استفاده برای محاسبه این مقادیر از روابط (3-19) استفاده شده است.

(3-19)

که نحوه محاسبه مقادیر و در ادامه آمده است.

(3-20)

که در رابطه فوق اندیس می تواند یا انتخاب شود. همچنین مقدار ، از رابطه (3-21) قابل محاسبه است.

(3-21)
از آنجا که روش به کار گرفته شده جهت حل معادلات، از مجموعه روشهای صریح میباشد، کنترل پایداری روش، ضروری به نظر میرسد. جهت این امر اگر شرط ارائه شده توسط معیار کورانت ارضا شود، روش HLL پایدار خواهد بود. با اعمال این شرط برای جریان یک بعدی، گام زمانی را به صورت زیر در نظر می گیریم:
(3-22) ∆t=CFL.∆x/(|q_x⁄h|+√gh)
که 0<CFL≤1 باید باشد.
1-1- منابع فارسی :

ابارشی مریم، جعفر زاده محمدرضا، حسینی سید محمود، (1389)، بررسی خطرات ناشی از شکست سد طرق، پنجمین کنگره ملی مهندسی عمران، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد ، ایران.
بنی هاشمی محمدعلی، (1382)، مدل دوبعدی شکست سد، گزارش نهایی طرح تحقیقات کاربردی، معاونت پژوهشی سازمان مدیریت منابع آب کشور، وزارت نیرو.
بهارستانی، آیدا، )1385(، مدل دوبعدی حرکت آب و رسوب در شکست سد به روش حجم محدود، پایان نامه کارشناسی ارشد، گرایش مهندسی آب، دانشکده مهندسی عمران، دانشگاه تهران.
جبلی اقدام، هه ژار، )1390(، مدل سازی دوبعدی شکست سد با روش بدون المانSPH پایان نامه کارشناسی ارشد، گروه سازه های هیدرولیکی، دانشکده مهندسی عمران، دانشگاه تهران.
چیتسازان، نیما (1389)، "مدلسازی یک بعدی جریان ناشی از شکست سد در محیطهای شهری و روستایی"، پایان نامه کارشناسی ارشد، دانشگاه تهران.
خشوعی، فواد، )1389(، شبیه سازی دوبعدی شکست سد با استفاده از شبکه های نامنظم مثلثی (روش حجم محدود)، پایان نامه کارشناسی ارشد، گروه سازه های هیدرولیکی، دانشکده مهندسی عمران، دانشگاه تهران.
رفیعی دستجردی، ک. (1388)، واسنجی مدل های ریاضی یک و دوبعدی شبیه ساز شکست سد با استفاده از اطلاعات میدانی، پایان نامه کارشناسی ارشد ، دانشگاه تهران.
ضیاء، علیرضا (1387)، "الگوریتم عددی ساده و کارآمد برای مدلسازی شکست سد"، پایان نامه دکتری، دانشگاه تهران.
قنادکار سرابی، مارال، (1390)، "مدل عددی شکست سد خاکی در اثر سرریز آب از روی بدنه"، پایان نامه کارشناسی ارشد، دانشگاه تهران.

1-2- منابع لاتین :

Alcrudo, F. and Muler, J. (2007), " Description of the Tous Dam break case study (Spain) ", Journal of Hydraulic Research, Vol. 45, Extra Issue, PP: 45-57
B.Van Leer.MUSCL,A New Approach to Numerical Gas Dynamics.In Computing in Plasma Physics and Atstrophysik, Max-Plank-Institut fur Plasma Physik,Garchung,Germany,April 1976
B.Van Leer.Towards The Ultimate Conservative Difference Schem.I.The Quest for Monotonicity.Lecture Notes in Physics,18:163-168,1973
Begnudelli L, Sandres B. Conservative Wetting and Drying Methodology for Quadrilateral Grid Finite- Volume Models. Journal of Hydraulic Engineering. 2007; 133(3):312-322.
Begnudelli L, Sandres B. Unstructured Grid Finite- Volume Algorithm for Shallow- Water Flow and Scalar Transport whit Wetting and Drying. Journal of Hydraulic Engineering. 2006; 132(4):371-384.
Bradford SF, Sanders BF. Finite Volume Model for Shallow Water Flooding of Arbitrary Topography. Journal of Hydraulic Engineering. 2002; 128(3):289-298.
Brufau P, Garcia-Navarro P, Vazquez-Cendon ME. Zero mass error using unsteady wetting-drying conditions in shallow flows over dry irregular topography. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2004; 45:1047-1082.
Fenema R, Chaudhry MH. Explicit Methods For 2-D Transient Free- Surface Flows. Journal of Hydraulic Engineering. 1990; 116(8):1013- 1034.
Ferziger JH, Peric M. Computational methods for fluid Dynamics, Springer. Germany, 1997.
Fraccarollo, L. and Toro E. F. Experimental and numerical assessment of the shallow water model for two-dimensional dam-break type problems. J. of Hydraulic Research. 1995; (6):843-846.
Henderson, F.M., (1966). "Open channel flow". Macmillan, New York.
Hirsch C. Numerical Computation of Internal and External Flows. Vol. 1. Fundamentals of Numerical Discretization John Wiley: England, UK., 1988.
Masayuki F. et al. Godunove-type solution of curvilinear shallow water equations. Journal of Hydraulic Engineering. 2000; 126(11):827-836.
Mingham CG, Causon DM. High- Resolution finite- volume method for shallow water flows. Journal of Hydraulic Engineering. 1998;124(6):605-613.
Monthe LA, Benkhaldoun F, Elmahi I. Positivity preserving finite volume Roe schemes for transport- diffusion equations. Computer Methods in Applied Mechanics Engineering. 1999; 178:215-232.
Namin M, Lin B, Falconer R.A, Modelling esturine and coastal flows using an unstructured triangular finite volume algorithm. Advances in Water Resources. 2004; 27:1179-1197.
Nujic M. Efficient Implementation of non-oscillatory scheme for the computation of free surface flows. Journal of Hydraulic Research. 1995; 33:101-111.
Patankar SV. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere Publishing Cerperation, 1980.
S.Osher and F.Solomon. Upwind Difference Schemes for Hyperbolic Concervation Laws. Math Comp.38,153:339-374,1982
Stelling, G. S., and Duinmeijer, S. A., A staggered conservative scheme for every Froude nimber in rapidly varied shallow water flows, International Journal for Numerical Methods in Fluids 2003; 43: 1329-1354.
Tate, E.C, Olivera, F. and Maidment, D. 1999. "Floodplain Mapping Using HECRAS and ArcView GIS". Center for Research in Water Resources (CRWR), Report No. 99-1.
Toro, E. F. (2001), "Shock-capturing methods for free-surface shallow flows", New York, Wiley Publishers, 2001.
Tseng MH. Explicit finite volume non- oscillatory schemes for 2D transient freesurface flows. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1999; 30:831-843.
Tseng, M. H. and Chu, C. R. (2000). "Two-dimensional shallow water flows simulation using TVDMacCormac scheme." J. of Hydraulic Research, Vol.38, No.2, 123-131.
Valiani A,Caleffi V, Zanni A. Case Stady: Malpasset dam- break simulation using a two- dimensional finite volume method. Journal of Hydraulic Engineering. 2002; 128(5):460-472.
Wang, J.S. and Ni, H. G. and He, Y. S. (2000), " Finite Difference TVD Scheme for Computation of Dam Break Problems ", Journal of Hydraulic Engineering, Vol. 126, No. 4, PP: 253-262.
Ying, X. and Wang, S.Y. Too-dimensional numerical simulation of malpasset dam-break wave propasation, proceedings of international conference on Hydroscience and Engineering, Brishane, Australia, May 30-june 3,2004.
Ying, X., Khan, A. A. and Wang, S.Y., An Upwind Method of one-Dimensional Dam Break Flows, proceedings of XXX congress oginternational Hydraulic Research Association, oreece, August 2003.
Ying, X., Wang, S.Y. and Khan, A.A., Numerical Simulation of Flood Inundation Due to Dam and Levee Breach, Proceedings of ASCE World Water and Environmental Resources Congress 2003, Philadelphia, USA, June 2003.
Yu H, Liu YP. A second- order accurate, component- wise TVD scheme for nonlinear, hyperbolic conservation laws. Journal of Computation physics.2001; 173:1-16.
Zienkiewicz OC, Taylor RL, The Finite Element Method, Volume 3: Fluid Dynamics. Fifth Edition, Butterworth-Heinemann, Spain, 2000.

1 Piping
2Rock Sliding
3 Partial Differential Equations
4 Shock-Fitting
5 Shock-Capturing
6 High-Resolution Methods
7 Hyperbolic
8 Upwind
9 Star Region
10 Flux Vector Splitting
11 Monotone
—————

————————————————————

—————

————————————————————