مثلثات
واژه مثلثات "Trigonomently" در زبان یونانی از دو کلمه "Tplypuoo" و "μεtpov" که به ترتیب "مثلث" و"اندازه گیری" هستند، مشتق شده است.
موضوع این رشته از ریاضیات، بررسی روابط اضلاع و زاویه های مثلث می باشد.
نمونه زاویه:
زاویه توسط دوران یک خط مستقیم حول یک نقطه ثابت روی آن خط، مرسوم به راس بدست می آید.
در این مرحله سه واحد که برای اندازه گیری زاویه بکار می روند، می پردازیم.
الف) درجه ب) گراد ج) رادیان
الف) درجه: یک درجه، زاویه ای است که از دوران نیم خطی مانند OA حول نقطه O به اندازه 1:360 یک دوران کامل بدست می آید. برای نشان دادن اندازه یک زاویه از علامت o استفاده می کنیم.
ب) گراد: یک گراد، زاویه ای است که توسط دوران نیم خطی مانند OA حول نقطه O به اندازه 1:400 یک دوران کامل بدست می آید. برای نشان دادن اندازه یک زاویه به گراد از علامت gr استفاده می کنیم.
ج) رادیان: فرض کنید که در دایره ای به مرکز O، OB از دوران حول نقطه O از شعاع OA بدست می آید. به طوری که طول کمان AB برابر با شعاع دایره گردد. زاویه <AOB که بدین ترتیب بدست می آید یک رادیان می باشد.
دلیل اینکه رادیان نامیده می شود، این است که این واحد مستقل از شعاع است، زیرا چنانچه که می دانید نسبت محیط دایره به قطر آن، مقداری است ثابت و این مقدار ثابت را به "" نشان می دهند. اگر شعاع دایره L فرض شود، (L بر حسب یکی از واحدهای اندازه گیری طول مثلاً متر می باشد)، خواهیم داشت:
محیط دایره =
=
محیط دایره
= اندازه محیط دایره بر حسب رادیان
طول کمانی برابر با شعاع دایره
بنابراین محیط در دایره رادیان می باشد و یا هر رادیان محیط دایره است. برای نوشتن اندازه زاویه بر حسب رادیان از علامت اختصاری rad استفاده می شود.
تبدیل واحدهای اندازه گیری به یکدیگر:
نسبت های مثلثاتی یک زاویه:
در دایره مثلثاتی داریم:
در مثلث قائم الزاویه OHM داریم:
یادآوری: در مثلق قائم الزاویه ABC داریم:
0
کمان تابع مثلثاتی
0
-1
0
1
0
1
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
جدول زیر تغییرات نسبت های مثلثاتی یک کمان (زاویه) را وقتی از تا تغییر کند، نشان می دهد.
روابط بین نسبت های مثلثاتی
در مثلث قائم الزاویه OHM داریم:
با توجه به تشابه دو مثلث قائم الزاویه OAC, OHM داریم:
با توجه به تشابه دو مثلث قائم الزاویه OBD, OH'M داریم:
با توجه به روابط (1)، (2) و(3) داریم:
با فرض اینکه sina≠0 دو طرف رابطه sin2a + cos2a=1 را بر sin2a و با فرض cosa≠0 دو طرف رابطه را بر cos2a تقسیم می کنیم. داریم:
همچنین می توان tan و cot یک زاویه را بر حسب sin و cos یک زاویه نوشت:
نحوه محاسبه مقادیر 30o, 45o, 60o
زوایای قرینه:
زوایای مکمل:
زوایای به تفاضل رادیان:
زوای متمم:
زواویه های به تفاضل رادیان:
زاویه به تفاضل رایان:
محاسبه نسبت های مثلثاتی مجموع دو زاویه:
برای مثال (sin(a+b))
محاسبه نسبت های تفاضل دو زاویه:
اگر در اتحاد بالا بجای b، -b قرار دهیم، داریم:
محاسبه مقادیر نسبت های مثلثاتی زاویه 2a بر حسب مقادیر نسبت های مثلثاتی زاویه a:
از فرمول های می توان نتیجه گرفت که:
می توان tan2a را بر حسب cos2a نوشت:
با توجه به sin2a می توان نتیجه گرفت که:
محاسبه مقادیر نسبت های مثلثاتی زاویه 35 بر حسب مقادیر نسبت های مثلثاتی a
تبدیل مجموع یا تفاضل دو sin یا دو cos به حاصل ضرب:
حال اگر فرض کنیم a-b=q, a+b=p، داریم:
تبدیل مجموع tan و cot به حاصل ضرب:
تبدیل حاصلضرب دو نسبت مثلثاتی به مجموع یا تفاضل:
رسم شکل توابع مثلثاتی و معکوس توابع مثلثاتی
ویژگی های Arc
اگر x>0 آنگاه:
اگر xy≠1, y>0, x>0 آنگاه:
اگر xy≠-1, y>0, x>0 آنگاه:
معادله های مثلثاتی:
10