به نام خدا قوانین مهم مثلثات در مثلث و برخی روابط مثلثاتی در مثلث
مقدمه:
کلمـه مثلثـات (Tringonometry) از ترکیب دو واژه یونانیTringonon (مثلث) با معــــادل لاتین Triangle و نیز metron (اندازه) با معادل لاتین measure گرفته شده است. بنابراین در نگاه نخست در مثلثات به مطالعه مثلث ها و روابط بین اضــــلاع و زوایای آنان پرداخته می شود در این مقاله با توجـه به مباحث کتب درسی دوره دبیرستان و در طول محتوی آنها مطالبی ارائه می شود.
قوانین مهم مثلثاتی در مثلث ABC
الف) قانون سینوس ها:
کاربرد
حل مثلث در حالات (زض ز ـ ض ض ز)
مثال 1: اگر در یک مثلث اندازه های دو زاویه 45o,30o و ضلع بین آن دو زاویه برابر باشد اندازه های دو ضلع دیگر را بیابید.
حل:
مثال 2)
اگر در مثلث ABC:
باشد اندازه زاویه B را بیابید.
حل:
2) بیان گر رابطه مستقیم بین اضلاع و زوایای مثلث:
مثال: ثابت کنید در هر مثلث:
حل :
حل: می دانیم در هر مثلث:
ب: قانون کسینوس ها در مثلث ABC:
a2=b2+c2 -2bc cosA
کاربرد:
حل مثلث در حالات (ض ز ض ـ ض ض ض)
مثال: اگر رابطه a2b+a2c=b3+c3 بین اندازه های اضلاع مثلث ABC باشد زاویه را بیابید.
حل: a2b+a2c=b3+c3
a2 (b+c)=(b+c)(b2-bc+c2) a2=b2-bc+c2
b2+c2-2bc cosA=b2-bc+c2 cosA=1/2 =60o
2) اثبات رابطه جان استوارت میل: اگر K نقطه دلخواه واقع بر ضلع BC در مثلث ABC باشد آنگاه:
رابطه استوارت : yc2+xb2=a(xy+u2)
برهان:
کاربرد قضیه جان استوارت میل:
محاسبه روابط طولی بین اضلاع و سه میانه، سه ارتفاع و سه نیمساز داخلی مثلث می باشد.
ج) قانون تانژانت ها در مثلث :ABC
برهان:
اکنون با توجه به قانون سینوس ها:
کاربرد: حل مثلث در حالات (ز ز ض ـ ض ض ز)
برخی روابط مثلثاتی در مثلث ABC:
الف)
برهان:
تذکر: رابطه دوم نیز به طور مشابه اثبات می شود.
ب)
تذکر:
با توجه به اثبات روابط (ب) مانند الف می باشند.
Sin2A+sin2B+sin2c=4sinAsinBsinC 4cosAcosBcosC+cos2A+cos2B+cos2C+1=0
برهان:
ج)
تذکر: برهان قسمت دوم مانند قسمت اول است.
برخی واژگان و استدلال های ابوالوفا در مثلثات
تعاریف: در دایره به مراکز O و شعاع R
نتیجه:
جیب a برابر نصف طول وتر
جیب معکوس a برابر طول
جیب تمام a برابر طول
(رابطه 1)
روشهای استدلال ابوالوفا: 1ـ محاسبه جیب نصف قوس بر حسب جیب تمام قوس و محاسبه جیب قوس بر حسب جیب نصف قوس و جیب تمام نصف قوس:
2) محاسبه جیب مجموع یا جیب تفاضل دو قوس: الف) محاسبه جیب مجموع دو قوس
در دایره به مرکز O و شعاع R قوسهای را در نظر میگیریم و از نقطه B بر OC , OA عمود رسم کرده و امتداد آنها دایره را در نقاط Z و D قطع کرده اند.
اکنون
اکنون از نقطه B پاره خط BN را بر HT عمود رسم می کنیم:
اکنون با توجه به روابط (1) و (2) و (3):
و در حالت R=1:
بوزجانی ابتدا رابطه (4) را برای محاسبه بکار می برده و سپس رابطه دیگر (امروزی) را به صورت زیر نیزاثبات نمود:
اکنون با توجه به (1) و (5) و (6):
و با توجه به R=1
محاسبه جیب تفاضل دو قوس:
در دایره به مرکز O و شعاع R با فرض به طور مشابه رابطه های زیر بدست می آیند: