عنوان مقاله: راهبردهای حل مساله در ریاضی
مقدمه
مساله را می توان به زبان ساده تعریف کرد. هر گاه فردی بخواهد کاری انجام دهد ولی نتواند به هدف خود برسد، برایش مساله ایجاد می شود. به عبارت دیگر هر موقعیت مبهم یک مساله است. حل مساله نوعی از یادگیری بسیار پیچیده است. مساله و تلاش برای حل آن جزئی از زندگی هر فرد است. فرایند برخورد با شرایط زندگی همان مساله است.
دو دیدگاه متفاوت در آموزش ریاضیات نسبت به حل مساله وجود دارد:
1. ریاضی یاد بدهیم تا دانش آموزان بتوانند مساله حل کنند.
2. ریاضی را با حل مساله آموزش دهیم.
در دیدگاه اول آموزش ریاضی مطابق با محتوای موضوعی است و مفاهیم متفاوتی تدریس می شوند. انتظار داریم دانش آموزان با استفاده از دانش ریاضی خود مسائل متفاوت را حل کنند. اما در دیدگاه دوم آموزش ریاضیات از طریق حل مساله اتفاق می افتد. یعنی دانش آموز مساله حل می کند و در ضمن آن محتوا و مفاهیم جدید ریاضی را می سازد، کشف می کند و یا یاد می گیرد . در حال حاضر ، دیدگاه دوم در آموزش ریاضیات بیش تر مطرح است. در این نگاه حل مساله نقطه ی تمرکز یا قلب تپنده ی آموزش ریاضیات است.
مهارت حل مساله
اگر از معلمان ریاضی سوال شود که مشکل اصلی دانش آموزان در درس ریاضی چیست؟ به یقین خواهند گفت: آنها در حل مساله ناتوان هستند.
درمطالعه ی تیمز نیز همین موضوع را شاهد بودیم. چون در اغلب مساله های آزمون کتبی این مطالعه عملکرد دانش آموزان پایین است. در واقع می توانیم بگوییم دانش آموزان توانایی یا مهارت حل مساله را ندارند.
یکی از دلایل این ناتوانی ، فقدان طراحی برای آموزش مهارت حل مساله به دانش آموزان بوده است. یا به عبارتی معلمان به آنها یاد نداده اند که چگونه مساله را حل کنند. هر گاه دانش آموزان با مساله ای روبروه شده و از حل آن عاجز مانده اند معلمان تنها به بیان راه حل یا پاسخ مساله اکتفا کرده اند و نگاه های پرسش گر، کنجکاو ومتحیر دانش آموزان با این سوال باقی مانده است: معلم ما چگونه توانست مساله را حل کند؟ راه حل مساله چگونه به فکر او رسید؟ چرا ما نتوانستیم راه حل مساله را کشف کنیم؟
در خیلی از مواقع معلمانی که سعی کرده اند به طریقی حل مساله را به دانش آموزان خود یاد دهند، راه را اشتباه رفته اند و آموزش های نادرست داده اند. برای مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهای مساله بسیار مهم اند. زیر آن ها خط بکشید. فراموش نکنید که باید از آن ها استفاده کنید. همین آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مساله را به خوبی تشخیص ندهند. وقتی مساله زیربرای دانش آموزان کلاس سوم مطرح شد، آن عدد 747 را در عملیات مساله دخالت دادند و با آن عدد عبارت های جمع و تفریق و … نوشتند:
" یک هواپیمای بوئینگ 747 با 237 مسافر در فرودگاه نشست و 130 مسافر را پیاده کرد. حالا این هواپیما چند مسافر دارد؟
یا برای دانش آموزان گفته اند که درمساله بعضی از کلمه ها بسیار مهم است. برای مثال اگر کلمه روی هم را دیدید مسئله مربوط به جمع است و اگر کلمه ی اختلاف را دیدید حتماً باید تفریق کنید.
به همین دلیل در مساله زیر که در مطالعه ی تیمز (2003) آمده بود، عده ای از از دانش آموزان کلاس چهارم شرکت کننده. در این مطالعه به اشتباه افتادند و مساله را به جای ضرب، جمع کردند.
"در یک سالن سینما 15 ردیف صندلی وجود دارد. در هر ردیف 19 صندلی قرار دارد . این سالن روی هم چند صندلی دارد؟ "
بهتر است این روش های آموزش نادرست را به کار نبریم و به دنبال طرحی برای آموزش حل مساله به دانش آموزان باشیم.
آموزش حل مساله
آیا حل مساله آموزش دادنی است؟ یکی از دلایل فقدان طرحی برای آموزش حل مساله به دانش آموزان ، این است که آموزشگران ریاضی تا چندین سال پیش معتقد بودند که حل مساله آموزش دادنی نیست بلکه یک هنر یا ویژگی و توانایی است که بعضی از انسانها دارند و بعضی ندارند. بنابراین هیچ کس تلاش برای حل مساله به دانش آموزان نمی کرد. اما تعداد کسانی که درمورد آموزش حل مساله تحقیق می کنند بیش تر است.
یکی از افرادی که در مورد چگونگی حل مساله و آموزش آن تحقیق کرد جرج پولیا است. حاصل کار او در کتاب "چگونه مساله حل کنیم" منتشر شد. مرحوم احمد آرام این کتاب را ترجمه کرده است. او در مقدمه ی کتاب خود می گوید: " من یک ریاضیدان هستم. متخصص آموزش ریاضی نیستم، اما علاقمندم بدانم چرا من می توانم مساله ریاضی را حل کنم و دیگران نمی توانند؟ چرا بعضی از دانشجویان مساله ریاضی را حل می کنند ولی بعضی نمی توانند؟ او همین سوال ها را دنبال کرد و مدلی برای تفکر حل مساله و آموزش راهبردها ارائه کرد. پولیا دو حرف اساسی دارد. 1- مدل چهار مرحله ای برای تفکر حل مساله 2- آموزش راهبردها که البته نکته دوم در آموزش اهمیت بیشتری دارد.
مدل چهار مرحل ای پولیا
فرایند تفکر حل مساله برای افراد مختلف متفاوت است. پولیا تلاش کرده تفکر حل مساله را به نوعی مدل سازی کند. او الگویی چهار مرحله ای را مطرح کرده است. در فرایند حل مساله این چهار مرحله چهار گام طی می شوند تا یک مساله ریاضی به طور کامل حل شود. مدل چهار مرحله ای او به این مشکل است:
1- فهمیدن مساله
گام اول حل مساله فهمیدن آن است. این گام نشان می دهد، مساله وقتی مساله است که نکته ای برای فهمیدن داشته باشد. فهمیدن مسئله یعنی تشخیص داده ها و خواسته های آن و درک ارتباط بین آن ها. فهم یک مساله در واقع بخش اصلی فرایند حل مساله است. مساله های پیچیده حل نمی شوند. چون اغلب در فهم آن ها مشکل داریم.
اغلب دانش آموزان در فهمیدن مساله اشکال دارند. یکی از دلایل آن اشکال در درک مطلب عبارات صورت مساله است. معلمان می توانند برای طی کردن این گام ، سوال های گوناگونی مطرح کنند به نمونه های زیر توجه کنید:
– داده های مساله چیست؟
– خواسته های آن کدامند؟
– مساله را به صورت خلاصه بیان کنید.
– مساله را به زبان و بیان خود توضیح دهیدو دوباره تکرار کنید.
– مساله را به صورت نمایشی اجرا کنید.
– مساله را با شکل ها و یا اشیاء مدل سازی کنید.
– آیا معنی واژه ها، لغات و اصطلاحات به کار رفته در مساله را می دانید؟
سوال ها و توصیه هایی از این دست کمک می کنند، دانش آموز در مورد مسئله بهتر فکر کند و معلمان نیز مطمئن شوند که آن ها مساله را درک کرده اند.
2- طرح ریزی کردن
در این طرح مساله از ابعاد متفاوت ریاضی بررسی می شود. یعنی تعیین این که مساله به کدام یک از شاخه های هندسه ، کسر ، جبر، و … مربوط است. چگونه می توان آن را مدل سازی کرد؟ کدام روش یا راهبرد برای حل ان مناسب تر است؟ در این مرحله ممکن است مجبور شویم به گام فهمیدن برگردیم و این افت و برگشت تا پیدا کردن یک راه حل مناسب ادامه می یابد.
در آموزش عمومی (ابتدایی – راهنمایی) آن چه بیش تر از همه برای دانش اموزان معنی دارد، تشخیص روش یا راهبرد مناسب برای حل مسئله است. به همین دلیل این گام را به انتخاب راهبرد می شناسیم. راهبرد یعنی یک روش یا راه حل عام که در بسیاری از مسائل کاربرد دارد.
آموزش راهبردهای حل مساله ، در واقع مهم ترین بخش حل مساله است که برای آموزش هنر حل مساله راهی به دانش آموزان نشان می دهد و آشکار می سازد.
در ادامه این بحث به توضیح راهبردهای مورد نظر در آموزش عمومی می پردازیم. در واقع بررسی راهبردهای متعدد برای حل این مساله مهم ترین اقدامی است که دانش آموز برای حل آن انجام می دهد.
حل مساله
در گام سوم ، وقتی راهبرد مناسب برای حل مساله مشخص شد، به حل آن اقدام می کنیم، هنگام حل مساله ممکن است به این نتیجه برسیم که راهبرد انتخاب شده مناسب نیست و به حل مساله منجر نمی شود. بنابراین باید به گام دوم برگردیم و راهبرد تغییر دهیم. یا حتی مجبور شویم برای فهمیدن بخش هایی از مساله به گام اول برگردیم.
حل مساله صرفاً نوشتن عملیات و عبارت های ریاضی نیست، گاهی با انتخاب راهبرد، رسم شکل و کشیدن یک شکل مناسب مساله به طور کامل حل می شود و دیگر نیازی به نوشتن عملیات نیست. یا حدس زدن پاسخ مساله و آزمایش آن ، خواسته ی مساله را مشخص می کند. در حالی که عملیات و راه حل مستقیمی برای رسیدن به جواب ننوشته ایم.
4. نگاه به عقب
گام چهارم را اغلب دانش آموزان و معلمان طی نمی کنند. به عبارت دیگر پیدا کردن پاسخ و حل ریاضی مساله را پایان کار می دانند در حالی که در فرایند حل مساله گام نگاه به عقب اهمیت زیادی دارد. این مرحله جلوه ها و معنی های متفاوتی دارد. تفسیر و ترجمه ی جواب ریاضی مساله در دنیای واقعی ، بررسی منطقی بودن پاسخ و این که جواب به دست آمده همان خواسته ی مساله است یا نه بررسی صحت عملیات انجام شده بررسی مجدد مراحل مساله ، تطبیق شرایط مورد نظر مساله با پاسخ به دست آمده ، بررسی مساله با یک راهبرد یا راه حل دیگر و در نظر گرفتن سایر حالتها و شرایط برای مساله ، نمونه هایی از کارهایی هستند که می توان در گام آخر انجام داد.
راهبردهای حل مساله
همان طور که اشاره شد، آموزش راهبردها مهم تر از تاکید به مدل 4 مرحله ای است. در واقع آموزش راهبردها، مهم ترین قسمت آموزش هنر حل مساله است.
چند نکته:
1- زمانی که آموزش یک راهبرد مورد نظر است، از دانش آموزان می خواهیم، مساله های داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل کنند تا با آن به طور کامل آشنا شوند. اما با گذاشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مساله آن ها می توانند از هر راهبردی که مایل هستند مساله را حل کنند. به این ترتیب ، یک مساله می تواند با راهبردهای متفاوت درکلاس حل شود. در صورتی که این اتفاق درکلاس بیفتد باعث خوش حالی و سربلندی معلم خواهد شد.
2- آموزش راهبرد یعنی فراهم کردن شرایط و موقعیتی که دانش آموز درک کند، راهبرد مورد نظر برای حل مساله کارآیی دارد.
3- تعداد راهبرد زیاد است اما آموزش تعداد زیادی راهبرد به دانش آموزان طبق تحقیقات انجام شده مناسب نیست. زیرا مانع تفکر و خلاقیت دانش آموز خواهد شد. در این جا چند راهبرد بررسی می شوند:
الف: راهبرد رسم شکل: طبیعی ترین راهبردی که به ذهن دانش آموز می رسد رسم شکل است. بسیاری از مسائل با کشیدن ی شکل مناسب یا مساله به طول کامل حل یا راه حل آنها آشکار می شود. اغلب معلمان این راهبرد ( راه حل) را در حل مساله ها از دانش آموزان نمی پذیرند به همین دلیل این راهبرد طبیعی کم کم کنار گذاشته می شود. مثال زیرنشان می دهد، چگونه می توان از این راهبرد در حل مساله ای استفاده کرد.
" در یک مزرعه 20 مرغ وگاو وجود دارد . تعداد پاهای آن ها 56 عدد است. چند مرغ و چند گاو در این مزرعه وجود دارد؟ "
این مساله با استفاده از راهبردهای رسم شکل، با اطلاعات دانش آموزان کلاس دوم دبستان قابل حل است.
– ابتدا 20 دایره به جای سرها می کشیم . برای هر کدام 2 خط (2پا) درنظر می گیریم تا این جا می شود 40 پا، 16 پای باقیمانده را با اضافه کردن 2 تا 2 تا رسم می کنیم.
ب) راهبردهای زیر مساله: مساله های پیچیده و چند هدفی معمولاً از چند مساله ساده تشکیل شده اند. گاهی حل یک مساله و یا زنجیره ای از زیر مساله ها به حل مساله اصلی منجر می شوند. تشخیص زیر مساله ها و حل آنها ، راهبرد مهمی برای حل مساله های ترکیبی است. مساله زیر با استفاده از این راهبرد حل شده است:
– "رضا 37 عدد گروه جمع کرده است. تعداد گروه های علی 17 تا بیشتر از اوست . این دو نفر روی هم چند گروه جمع کرده اند؟ "
این مساله در واقع از دو مساله کوچک تشکیل شده است که با حل آن ها می توان پاسخ را پیدا کرد.
1. تعداد گردوهای علی چند تا است؟
2. تعدادگردو های رضا و علی روی هم چند تاست؟
پس
1. تعداد گردو های علی 54=14+37
2. تعداد گردوهای رضا و علی 91=37+54
در این راهبرد ، دانش آموزان باید یاد بگیرند ، چگونه زیر مساله ها را تشخیص دهند. آن ها را جداگانه بنویسد و سپس به حل تک تک آن ها اقدام کنند.
ج) راهبرد حل مساله ساده تر: گاهی مساله پیچیدگی هایی دارد که نمی توان آن را به راحتی حل کرد . اما وقتی آن را ساده می کنیم، یا حل و یا روش حل آن ظاهر می شود. وقتی مساله درحالت ساده تر بررسی شد یا یک الگو یابی می توان آن را به حالت کلی تعمیمی داد. ساده کردن عددها و داده ها نیز بخشی از این راهبرد است. در مساله زیر با ساده کردن عددها می توان به راه حل نزدیک شد.
" در یک کارخانه، لوله هایی به طول متر تولید می شود. در یک روز 244 عدد لوله تولید شده است. در این روز چند متر لوله تولید شده است؟ "
شکل ساده شده ی مساله چنین است: یک کارخانه لوله هایی به طول 2 متر تولید می کند. اگر 200 عدد لوله تولید شود، چند متر لوله تولید شده است؟ یعنی با تغییر دادن عددها و ساده کردن آن ها، می توان به راه حل مساله که ضرب است نزدیک شد.
د) راهبرد حذف حالت نامطلوب : وقتی از تمام حالت های ممکن پاسخ یک مسئله و با استفاده از داده ها، فرض ها و اطلاعات مساله حالت های نامطلوب یکی یکی یا دسته دسته حذف می شوند، خود را به پاسخ نزدیک می کنیم. حذف حالت های نامطلوب ، یعنی کنار گذاشتن حالت هایی که با شرایط و فرضیات مساله تطبیق نداند تا رسیدن به پاسخ و حالت مطلوب که مورد نظر مساله است. به مثال زیر توجه کنید.
یک بازی دو نفره به این صورت انجام می شود که یک نفر عددی بین 1 تا 100 در ذهن خود مجسم می کند. نفر بعد با سوال کردن از او ، به طوری که فقط پاسخ بلی یا خیر بشنود، باید به عددی دست یابد که در ذهن نفر اول است. سوال آیا این عدد دو رقمی است مناسب نیست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط 9 عدد (حالت نامطلوب) حذف می شود و 90 عدد دیگر باقی می ماند.
سوال آیا این عدد زوج است، مناسب است، چو در هر صورت یعنی از حالت ها حذف می شوند. بهترین سوال برای شروع این است: آیا این عدد بین 1 تا 50 قرار دارد؟ به این ترتیب نیمی از حالت ها حذف می شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدی این است که آیا عدد بین 1 تا 25 است؟ به همین ترتیب ، با نصف کردن ، عددهای نامطلوب کم کم حذف می شوند تا به عدد مورد نظر دست یابیم.