کنترل پذیری و رویت پذیری
1
همانطور که مشخص است متغیر اول در خروجی رویت
نمی شود و ورودی روی متغیر دوم اثر نمی گذارد.
تجزیه کالمن: هر سیستم در حالت کلی قابل تفکیک به چهار زیر سیستم است:
کنترل پذیر –رویت ناپذیر
کنترل پذیر-رویت پذیر
کنترل ناپذیر-رویت پذیر
کنترل ناپذیر-رویت ناپذیر
7
توسط این دو مفهوم:
عدم موفقیت جبرانسازی با حذف قطب ناپایدار توسط صفر ناپایدار
مثال:
کنترل ناپذیری و رویت ناپذیری از کجا می آیند؟
8
اگر سیستم را قطری کنیم:
کنترل ناپذیری و رویت ناپذیری از کجا می آیند؟
9
اگر سیستم را قطری کنیم:
z1 از ورودی تاثیر می گیرد و در خروجی ظاهر می شود.
کنترل پذیر –رویت پذیر
z2از ورودی تاثیر نمی گیرد و در خروجی ظاهر می شود.
کنترل ناپذیر-رویت پذیر
z3از ورودی تاثیر می گیرد و در خروجی ظاهر نمی شود.
کنترل پذیر-رویت ناپذیر
z4 نه از ورودی تاثیر می گیرد و نه در خروجی ظاهر می شود.
کنترل ناپذیر-رویت ناپذیر
بنابراین منشاء کنترل ناپذیری و رویت ناپذیری حذف صفر وقطب و بعبارت دیگر وجود حالتهای اضافی است.
کنترل ناپذیری و رویت ناپذیری از کجا می آیند؟
10
به سیستم هایی که زیر سیستم کنترل ناپذیر آن پایدار باشد پایداری پذیر می گوئیم. Stabilizable
به سیستم هایی که زیر سیستم رویت ناپذیر آن پایدار باشدآشکاری پذیر می گوئیم. Detectable
در صورتیکه معادلات حالت یک سیستم داده شده باشد بصورت کلی نمی توان در مورد کنترل پذیری و رویت پذیری آن بحث کنیم. بعبارت دیگر وجود یا عدم وجود هر کدام از xها نمی تواند دلیلی بر کنترل پذیری یا کنترل ناپذیری حالت باشد. به همین ترتیب وجود یا عدم وجود هر کدام ازxها در معادله خروجی سیستم نمی تواند دلیلی بر رویت پذیری یا رویت ناپذیری سیستم باشد
برای این کار لازم است معادلات حالت سیستم را با استفاده از تبدیل های همانندی به فرم قطری کامل درآورده و از روی شکل معادلات کنترل پذیری و رویت پذیری را بررسی کنیم.
11
کنترل پذیری خاصیت تحقق است.
برای یک سیستم خاص تحقق های بیشماری می توان بدست آورد که برخی کنترل پذیر بوده و برخی دیگر کنترل پذیر نیستند.
برای یک سیستم درجه n یک تحقق از مرتبه n همواره کنترل پذیر است. کنترل ناپذیری نتیجه ی انتخاب حالت های اضافی است.
برای سیستم های LTI سه آزمون کنترل پذیری وجود دارد:
قضیه ی کنترل پذیری
آزمون BPH
فرم قطری و کانونیکال جردن
12
کنترل پذیری:
سیستم خطی توصیف شده با معادلات حالت مقابل را در نظر بگیرید.
این سیستم را کاملا کنترل پذیر حالت گوئیم اگر سیگنال U(t) وجود داشته باشد بطوریکه بتوان حالت سیستم را از هر حالت اولیه در زمان اولیه به هر حالت نهایی در زمان محدود انتقال داد.
آزمون اول
قضیه کنترل پذیری
تحقق کنترل پذیر است اگر و فقط اگر ماتریس کنترل پذیریMc=[B AB … An-1B]دارای رتبه ی کامل باشد.
برای کامل بودن رتبه باید سطرهای Mc مستقل خطی باشند.
برای سیستم های تک ورودی-تک خروجی ماتریس Mc مربعی شده و برای کنترل پذیری باید Mc معکوس پذیر باشد.
در بحث کنترل پذیری تنها ورودی و حالت ها مطرح بوده، در نتیجه کنترل پذیری مربوط به ماتریس های A, b است.
13
قضیه کنترل پذیری
تحقق
کنترل پذیر است اگر و فقط اگر ماتریس کنترل پذیریMc=[B AB … An-1B]دارای رتبه ی کامل باشد.
14
مثال
کنترل پذیر نیست
15
یک تحقق کنترل پذیر است اگر و فقط اگر :
آزمون دوم: آزمون PBH
18
آزمون سوم: فرم قطری وکانونیکال جردن
19
زیر فضای کنترل پذیر
قضیه 1: فضای جاروب شده بوسیله بردارهای ویژه مربوط به مودهای کنترل پذیر فضا، یک زیر فضاست که زیرفضای کنترل پذیر تحقق نامیده می شود.
قضیه:
سیستم خطی متغیر با زمان زیر را در نظر بگیرید:
یک ماتریس تبدیل ناویژه T=[T1, T2] تشکیل دهید بطوریکه در آن، T1پایه ای در زیر فضای کنترل پذیر بوده، به همراه T2 پایه ای برای فضای nبعدی تشکیل دهد.
حالت تبدیل شده را بصورت زیر تعریف کنید.
آنگاه معادله حالت به فرم کانونیکال کنترل پذیری بصورت زیر تبدیل می شود :
که در آن زوج ( B’1، A’11) کاملا کنترل پذیر است.
22
برای تشکیل ماتریس تبدیل T=[T1, T2] ، T1را از بردارهای ویژه مربوط به مودهای کنترل پذیر تشکیل دهید و T2 را طوری انتخاب کنید که به همراه T1 پایه ای برای فضای nبعدی تشکیل دهد.
زیر فضای کنترل پذیر
23
قضیه: آزمون اول
آزمون دوم
آزمون سوم: فرم قطری وکانونیکال جردن
34
یک سیستم در فرم کانونیکال جردن رویت پذیر است اگر و فقط اگر شرایط زیر در ماتریس رویت پذیری آن برقرار باشد:
اولین ستون زیر ماتریسهای مربوط به یک بلوک جردن از مقادیر ویژه ی مکرر مستقل باشد؛
اولین ستون زیر ماتریس مربوط به یک بلوک جردن از تنها یک مقدار ویژه ی تکراری غیر صفر باشد؛
ستون های زیر ماتریس مربوط به مقادیر ویژه ی غیر تکراری غیر صفر باشند؛
35
زیر فضای رویت ناپذیر
مشابه با زیر فضای کنترل پذیر، می توان نشان داد که می توان فضا را به دوبخش رویت پذیر و رویت ناپذیر تقسیم بندی نمود.
بخش رویت ناپذیر یک زیر فضاست و در واقع زیر فضای تهی ماتریس رویت پذیری خواهد بود.
ماتریس تبدیل T=[T1, T2] برای تفکیک فضای حالت به دو بخش فوق به ترتیب شامل بردارهای ویژه مربوط به مودهای رویت پذیر و مودهای رویت ناپذیر خواهد بود.
37
مثال:
زیر فضای رویت ناپذیر را در سیستم زیر جدا کنید:
شرط بردار ویژه:
38
39
پایداری پذیری و آشکار پذیری
یک تحقق پایداری پذیر است اگر تمام مودهای ناپایدار آن کنترل پذیر باشند.
یک تحقق آشکار پذیر است اگر تمام مودهای ناپایدار آن رویت پذیر باشند.
40
ناپایداری بخش رویت پذیر مشکلی ندارد اما بدلیل ناپایداری بخش
رویت ناپذیر سیستم آشکاری ناپذیر است.
کنترل پذیری خروجی و کنترل پذیری تابعی
یک سیستم را کنترل پذیر خروجی می نامند اگر بتوان بردار ورودی غیر مقید u(t) را چنان ساخت که خروجی اولیه ی سیستم y(t0) را به هر خروجی نهایی y(t1) در زمان محدود t0<t<t1 برساند.
45
سیستم زیر را در نظر بگیرید :
این سیستم کنترل پذیر خروجی است اگر و تنها اگر رتبه ی ماتریس زیر l باشد:
46
کنترل پذیری تابعی:
سیستمی کنترل پذیر تابعی است اگر خروجی ها بتوانند هر ورودی مرجع از قبل تعیین شده ای را در هر گستره ی زمانی دنبال کنند.
یک سیستم با m ورودی و l خروجی کنترل پذیر تابعی است اگر رتبه ی ماتریس تابع تبدیل آن l باشد.
47