کاربرد آمار
سرفصل درس(1)
کلیات
مطالعه توصیفی داده های طبقه بندی نشده
طبقه بندی و توصیف هندسی مشاهدات جامعه آماری
توصیف مقداری مشاهدات طبقه بندی شده
مبانی احتمال
توابع احتمال گسسته
توابع احتمال پیوسته
توزیع نرمال
کلیات
علم آمار : پردازش داده ها و تبدیل آنها به اطلاعات مورد نیاز
DATA / INFORMATION / KNOWLEDGE / JUDGMENT / WISDOM
آمار : مشاهدات عددی
روش علمی برای جمع آوری ، تلخیص وتفسیر
سلسله مراتب اطلاعات
کلیات (ادامه)
STATISTICS , state
اطلاعات عددی ، از زمان ارسطو تحت عنوان مسائل ایالتی
نرم افزارهای آماری SAS / SPSS / : STATGRAPH / ?
جامعه و نمونه
جامعه
جامعه : دارای حداقل یک صفت مشخصه
عناصر مطلوب مورد نظر ما
متمایز کننده
شاخص ها : پارامتر
آمار توصیفی
مثال : ؟
اندازه گیری متوسط درآمد کارکنان دولت با اندازه گیری درآمد تمام کارکنان
نمونه
نمونه : تعداد محدود
بیان کننده ویژگی های اصلی جامعه
شاخص ها : آماره
آمار استنباطی
مثال : اندازه گیری درآمد کارکنان دولت با اندازه گیری در آمد نمونه ای از کارکنان
انتخاب نمونه و داشتن شانس مساوی برای تمام اعضای جامعه
تاریخچه
سیر تحول آمار : قرن شانزدهم / جان گرانت / آمار حیاتی بیمه و اقتصاد
تئوری کلی آمار / ژاکوب برنولی
1733 / توزیع نرمال / توسط دومواور گوس و لاپلاس
تاریخچه (ادامه)
تا اوایل قرن بیستم نتیجه محاسبات آماری قطعی تلقی می شدند !
ورود تخمین آماری و استنباط در اوایل قرن بیستم
بعد از جنگ جهانی دوم روش های ناپارامتریک مطرح شد .
آمار ناپارامتریک
فرض توزیع نرمال ؟ ( فاقد توزیع آماری )
داده های غیر کمی
نمونه های کوچک
تقسیم بندی موضوعی علم آمار
آمار توصیفی
آمار استنباطی
آمار ناپارامتریک
سوال مهم
آیا آمار دروغ می گوید ؟
مطالعه توصیفی داده های طبقه بندی نشده
پارامترهای مرکزی : میانگین میانگین حسابی
میانگین هندسی
میانگین هارمونیک
مد ( نما )
چارک ها
میانه
پارامترهای پراکندگی :
دامنه تغییرات
انحراف متوسط از میانگین
واریانس و انحراف معیار
نیمه واریانس
ضریب پراکندگی
طبقه بندی و توصیف هندسی
هیستوگرام (بافت نگار)
نمودار چند ضلعی
نمودار فراوانی تجمعی (اجایو)
نمودارهای کمی :
نمودارهای وصفی
نمودارهای ستونی
نمودارهای دایره ای
نمودار پارتو
توصیف مقداری مشاهدات طبقه بندی شده
میانگین
مد
چندک ها
پارامترهای پراکندگی :
انحراف معیار و واریانس
خواص جبری میانگین و واریانس
احتمال
مفهوم احتمال
عدم اطمینان به آینده
شانس وقوع پیشامد خاص P(A)
احتمال
آزمایش :
فعالیتی که نتیجه آن از قبل مشخص نباشد
مثال : پرتاب تاس -سکه
احتمال عینی و ذهنی
احتمال
فضای نمونه : مجموعه پیامدهای ممکن یک آزمایش
Sample Space
پیشامد : یکی از زیر مجموعه های فضای نمونه
احتمال یک پیشامد : P( A )
احتمال و فراوانی نسبی
مثال عملی : پرتاب یک سکه و فراوانی نسبی شیر
فضای نمونه گسسته
مثال : فضای نمونه پرتاب دو سکه یا یک تاس
S 1 = { T T, T H , H T , H H }
S 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
فضای نمونه پیوسته
مثال : فضای نمونه طول عمر لامپ فلورسنت حداکثر 12000 ساعت است .
فضای نمونه آن را به صورت آماری نمایش دهید .
S = { 0 < X < 12000 }
خواص مقدماتی احتمال
احتمال وقوع فضای نمونه برابر یک است :
P(S) = 1
احتمال عددی مثبت و بین صفر تا یک می باشد .
0 < P(A) < 1
تمرین برای منزل :
صفحه 142 و 143 شماره های 1 تا 4
قواعد شمارش
قاعده ضرب
مسئله :
تعداد پلاک های جدید قابل صدور در ایران ؟
اگر عملی مستلزم K مرحله باشد و هر مرحله را با Nk طریق بتوان انجام داد عمل مزبور به چند طریق ممکن انجام می شود ؟
n1 .n2 .n3 . n4. ….. . nk
قواعد شمارش
ترتیب : Permutation
گزینه های ی ab و ba دو گزینه محسوب می شوند .
برای چیدن چهار حرف a , b , c , d چند گزینه وجود دارد ( چهار حرفی و بدون تکرار حروف ) ؟
ترتیب
مسئله : برای انتخاب یک رئیس معاون و منشی از بین 20 کاندید چند گزینه داریم ؟
قواعد شمارش
ترکیب : ترتیب قرار گرفتن اهمیتی ندارد.
مثلا ab با ba یک گزینه محسوب می شود .
برای انتخاب 3 مشتری از بین 20 مشتری به منظور نظرسنجی چند گزینه وجود دارد ؟
توابع احتمال
توابع احتمال : گسسته
پیوسته
نحوه ی تشخیص :
فضای نمونه محدود و شمارش پذیر : گسسته
فضای نمونه نامحدود و شمارش ناپذیر : پیوسته
فضای نمونه گسسته
مثال : فضای نمونه پرتاب دو سکه یا یک تاس
S 1 = { T T, T H , H T , H H }
S 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
فضای نمونه پیوسته
مثال : فضای نمونه طول عمر لامپ فلورسنت حداکثر 12000 ساعت است .
فضای نمونه آن را به صورت آماری نمایش دهید .
S = { 0 < X < 12000 }
توابع احتمال گسسته
مثال :
توزیع برنولی
توزیع دو جمله ای : دو جمله ای منفی
دو جمله ای هندسی
توزیع چند جمله ای
توزیع فوق هندسی
توزیع پواسون
توابع احتمال پیوسته
مثال :
توزیع یکنواخت
توزیع نمایی
توزیع نرمال ( مهمترین تابع توزیع پیوسته است )
توابع احتمال گسسته
متغیر تصادفی X
تابع احتمالf (x) = P ( X=x )
تابع توزیع = تابع احتمال تجمعی P(X<x) = F(x)
مثال ها :
مثال 1 : خانواده ها و تعداد فرزندان
مثال 2 : تمرین صفحه 195 شماره 5 مربوط به شرکت بیمه ( جلد اول کتاب )
تکلیف برای منزل :
مسائل شماره 1 و 2 و3 صفحه 194 و 195
امید ریاضی
امید ریاضی یعنی چه ؟ مفهوم آن چیست ؟ E(X)
Expected value
امید ریاضی همان میانگین موزون است .
در میانگین موزون هر یک از داده ها ، دارای ضریب یا فراوانی است .
امید ریاضی
در امید ریاضی احتمالات نقش ضرایب یا فراوانی را بازی می کنند .
امید ریاضی همان میانگین در مبحث احتمالات است .
امید ریاضی : امیدوار بودن به وقوع پیشامد خاص
امید ریاضی
فرمول محاسبه امید ریاضی ؟
امید ریاضی
مثال : محاسبه امید ریاضی برای شرکت تولید کننده آبگرمکن گازی صفحه 196
V (X) واریانس
واریانس : عبارت است میزان پراکندگی حول میانگین ( امید ریاضی )
سوال : چرا در محاسبه واریانس لازم است
مقدار انحراف از میانگین را به توان 2
برسانیم ؟
V (X) واریانس
فرمول های محاسبه واریانس ؟
آیا می توانید ثابت کنید که دو فرمول واریانس با یکدیگر معادل هستند ؟
(SD)انحراف معیار
Standard Deviation
انحراف معیار جذر واریانس است .
خواص امید ریاضی
E( a ) = ?
E( a ) = a مفهوم ؟
E(X+a)= ?
E(X+a)=E(X)+ aمفهوم ؟
E(aX) = ?
E(aX) = a . E(X) مفهوم؟
E( aX + b ) = ?
E(aX + b ) = a E(X) + bمفهوم ؟
خواص ریاضی واریانس
V( a ) = ?
V( a ) = 0
V(X+a) = ?
V(X+a) = V(X) + V(a) = V(X) + 0 = V(X)
V(aX ) = ?
V(aX) = a.a. V(X)
V(aX + b ) = ?
V(aX + b ) = a .a. V(X)
تکلیف برای منزل :
مسائل صفحه 198 و 199 شماره های
2 و 3 و 4 و5
تابع احتمال توام
گاهی لازم است رفتار همزمان دو متغیر تصادفی مورد مطالعه قرار گیرد که در این صورت تابع احتمال توام و کوواریانس مطرح می شود .
تابع احتمال توام
بررسی رفتار دو یا چند متغیر تصادفی به صورت همزمان
بررسی رفتار هر متغیر در ارتباط با متغیر دیگر
فهرستی از زوج های y , x و احتمال های متناظر با آنها یعنی f ( x , y )
مثال تابع احتمال توام
تعداد اتو مبیل های فروخته شده
صفحه 200 کتاب
تابع احتمال توام
مراحل حل :
بررسی تابع احتمال توام
تهیه تابع احتمال هر یک از متغیر های تصادفی
با داشتن مراحل فوق هر احتمالی را می توان محاسبه کرد
تمرین :
تمرین صفحه 203 شماره 1
رابطه بین دو متغیر تصادفی ؟
چند نوع رابطه وجود دارد ؟
رابطه مستقیم : با افزایش یک متغیر دیگری افزایش می یابد و بالعکس ، با کاهش یک متغیر دیگری کاهش می یابد.
رابطه معکوس : با افزایش یک متغیر دیگری کاهش می یابد و بالعکس
؟؟؟؟؟؟؟
استقلال دو متغیر تصادفی
افزایش یا کاهش یک متغیر هیچ تاثیری در دیگری نداشته باشد.
مثال : ؟
کوواریانس
مفهوم آن چیست ؟
چه رابطه ای بین مفهوم کوواریانس و مفهوم امید ریاضی وجود دارد ؟
چه ارتباطی بین کوواریانس و نوع رابطه بین دو متغیر تصادفی وجود دارد ؟
کوواریانس
مفهوم کوواریانس :
معیاری عددی است که نوع و شدت رابطه بین دو متغیر را نشان می دهد .
کوواریانس ، امید ریاضی تغییرات دو متغیر را بر حسب میانگین اشان نشان می دهد .
کوواریانس
رابطه مستقیم دو متغیر تصادفی :
مقدار کوواریانس مثبت
رابطه معکوس بین دو متغیر تصادفی :
مقدار کوواریانس منفی
استقلال دو متغیر تصادفی :
مقدار کوواریانس صفر
کوواریانس
فرمول های محاسبه کوواریانس ؟
آیا می توانید نشان دهید دو فرمول با یکدیگر معادل هستند؟
قواعد امید ریاضی و واریانس
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
V(X+Y)= V(X) + V(Y) + 2 COV(X , Y)
V(X-Y) = V(X) + V(Y) – 2 COV(X , Y )
قواعد امید ریاضی و واریانس
در حالتی که دو متغیر مستقل باشند :
E( X + Y ) = E(X) + E(Y)
V( X + Y ) = V(X) + V(Y)
V( X – Y ) = V(X) + V(Y)
مثال :
تمرین شماره یک صفحه 208
بررسی استقلال متغیرها
تکلیف برای منزل
صفحه 209 شماره های 3 و 4
توابع احتمال گسسته
مثال :
توزیع برنولی
توزیع دو جمله ای : دو جمله ای منفی
دو جمله ای هندسی
توزیع چند جمله ای
توزیع فوق هندسی
توزیع پواسون
توزیع برنولی
آزمایشاتی با فقط دو پیامد ممکن
آزمایشاتی مستقل از یکدیگر
ثابت بودن احتمال وقوع پیشامد مورد نظر از یک آزمایش به آزمایش دیگر
احتمال موفقیت p
احتمال عدم موفقیت q
p+ q = 1
توزیع برنولی
تمرین :
در جعبه ای 25 کالا وجود دارد که 7 تای آنها نا مرغوب است . اگر بخواهیم با جای گذاری چند کالا را انتخاب کنیم ، احتمال خارج کردن یک کالای مرغوب در هر بار چقدر است ؟
بدون جای گذاری چطور ؟ آیا این آزمایش برنولی است ؟
مثال !
بررسی مثال 21 صفحه 210
توزیع برنولی
مثال جامعه بزرگ :
از بین 8 هزار مشتریان بانکی ، 2 هزار نفر در حسابهای کوتاه مدت سرمایه گذاری کرده اند . اگر بر حسب تصادف چند نفر از مشتریان این بانک را انتخاب کنیم احتمال اینکه هر یک در حساب های کوتاه مدت سرمایه گذاری کرده باشند چقدر است ؟
آیا این آزمایش ، برنولی است ؟ چرا ؟
توزیع برنولی
در جامعه ای که تعداد اعضای آن و همچنین اعضایی که واجد شرایط خاص هستند ، بسیار زیاد باشد احتمال موفقیت در نمونه گیری های بدون جایگزینی تقریبا ثابت است و می توان این آزمایش ها را برنولی فرض کرد.
توزیع دوجمله ای
اگر در n بار آزمایش برنولی ( که در آن p احتمال موفقیت است )، متغیر تصادفیx را تعداد موفقیت ها در نظر بگیریم توزیع دو جمله ای خواهیم داشت .
p
q
n
x
میانگین و واریانس توزیع دو جمله ای
E(X)= np
V(X)= npq
توزیع پواسون
در توزیع دو جمله ای ، وقتی n بزرگ شود محاسبات سخت می شود . بنابر این اگر n>20 و p<0.05 باشد، توزیع پواسون تقریب خوبی برای توزیع دو جمله ای و در صورتی که n>100 و np <10 باشد، تقریبی بسیار عالی خواهد بود .
توزیع پواسون برای تعداد مراجعات
کاربرد توزیع پواسون در سیستم صف :
بانک و تعداد مراجعین
پمپ بنزین و تعداد اتومبیل ها
رستوران و تعداد مشتریان
توابع احتمال پیوسته
مثال :
توزیع یکنواخت
توزیع نمایی
توزیع نرمال ( مهمترین تابع توزیع پیوسته است )
توابع احتمال پیوسته
متغیر تصادفی پیوسته
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع متغیر تصادفی پیوسته
امید ریاضی و واریانس متغیر تصادفی پیوسته
توزیع یکنواخت
توزیع نمایی
توزیع نرمال
سوال مهم
توابع احتمال گسسته و پیوسته را چگونه از هم تشخیص بدهیم ؟
متغیر تصادفی پیوسته و گسسته را چگونه از هم تشخیص بدهیم ؟
ارتباط بین توابع احتمال گسسته و پیوسته وفضای نمونه آنها چیست ؟
فرق سنتور و پیانو در چیست ؟
توابع احتمال
توابع احتمال : گسسته
پیوسته
نحوه ی تشخیص :
فضای نمونه محدود و شمارش پذیر : گسسته
فضای نمونه نامحدود و شمارش ناپذیر : پیوسته
فضای نمونه گسسته
مثال : فضای نمونه پرتاب دو سکه یا یک تاس
S 1 = { T T, T H , H T , H H }
S 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
فضای نمونه پیوسته
مثال : فضای نمونه طول عمر لامپ فلورسنت حداکثر 12000 ساعت است .
فضای نمونه آن را به صورت آماری نمایش دهید .
S = { 0 < X < 12000 }
متغیر تصادفی پیوسته
مثال : جاده و احتمال وقوع تصادف
جاده ای به طول 100 کیلو متر داریم که احتمال وقوع تصادف در تمام نقاط آن با یکدیگر مساوی است . احتمال اینکه در فاصله ای به اندازه 2 کیلومتر تصادفی رخ دهد چقدر است ؟
احتمال اینکه در فاصله ای به اندازه یک سانتی متر تصادفی رخ دهد چقدر است ؟
چه نتیجه مهمی می گیریم ؟
متغیر تصادفی پیوسته
فضای نمونه آزمایش فوق چیست ؟
S = ?
فضای نمونه فوق گسسته است یا پیوسته ؟ چرا ؟
متغیر تصادفی پیوسته
مطلوب است احتمال وقوع تصادف :
بین کیلو متر 0 تا 100 ؟
بین کیلو متر 70 و 90 ؟
دقیقا در کیلو متر 75 ؟
قبل از کیلو متر 55 ؟
قبل از کیلو متر 25 ؟
بعد از کیلو متر 45 ؟
متغیر تصادفی پیوسته
P ( X = x ) = ?
P ( a < X < a ) = ?
P ( a < X < b ) = ?
متغیر تصادفی پیوسته
احتمال ، مقداری غیر منفی است .
P ( a < X < b ) > 0
مساحت زیر منحنی تابع احتمال برابر است با یک .
آیا می توانید ، مفهوم بالا را به صورت ریاضی نمایش دهید ؟
متغیر تصادفی پیوسته
انتگرال تابع احتمال از a تا b برابر است با ؟
تابع چگالی احتمال
در یک شرکت تولید رب گوجه فرنگی میزان رب داخل قوطی های 500 گرمی دارای تابع چگالی زیر است :
f (x)= 0.1 495 < x < 505
0 درغیر این صورت
از محصولات تولیدی یک قوطی بطور تصادفی انتخاب می شود . مطلوب است احتمال اینکه :
تابع چگالی احتمال
حداکثر 505 گرم وزن داشته باشد ؟
حداقل 495 گرم وزن داشته باشد؟
دقیقا 500 گرم رب داشته باشد ؟
بین 497 تا 503 گرم وزن داشته باشد ؟
بین 500 تا 505 گرم وزن داشته باشد ؟
تابع توزیع متغیر تصادفی پیوسته
تابع توزیع = تابع توزیع تجمعی
F ( x ) = P ( X < x )
P ( a < X < b ) = ?
P ( a < X < b ) = P ( X < b ) – P ( X < a )
= F ( b ) – F ( a )
تمرین
صفحه 242 شماره یک
تکلیف برای منزل
صفحه 242 و 243 شماره 2 و 3
تابع توزیع یکنواخت
ساده ترین و مهمترین تابع توزیع پیوسته ، توزیع یکنواخت است.
شکل کلی تابع احتمال یکنواخت عبارت است از ؟
تابع توزیع یکنواخت
مسئله : سود شرکتی دارای توزیع یکنواخت بین 7 تا 13 میلیون ریال است . لطفا موارد ذیل را بدست آورید :
تابع چگالی احتمال
احتمال اینکه سود شرکت 10 میلیون ریال باشد .
احتمال اینکه سود شرکت بین 5 تا 10 میلیون ریال باشد .
تابع توزیع یکنواخت
نمودار تابع احتمال مثال قبلی را ترسیم نمایید .
نمودار تابع توزیع آن را رسم کنید .
نام این تابع چیست ؟
متغیر تصادفی پیوسته
تابع احتمال ( تابع چگالی احتمال ) آن را بنویسید ؟
f ( x ) = ?
تابع توزیع ( تابع توزیع تجمعی ) آن را بدست بیاورید ؟
F ( x ) = ?
تابع توزیع یکنواخت
متوسط سود مورد انتظار شرکت چقدر است ؟
واریانس و انحراف معیار سود شرکت را محاسبه نمایید .
تابع توزیع یکنواخت
لطفا فرمول میانگین و واریانس تابع احتمال یکنواخت را بدست آورید .
E ( X ) = ?
V ( X ) = ?
تابع توزیع یکنواخت
E (X) = ½ ( a + b )
V(X)= 1/12 (b – a ).(b – a )
فرمول های فوق را اثبات نمایید .
توابع توزیع پیوسته
تابع توزیع یکنواخت
تابع توزیع نمایی
تابع توزیع نرمال
توزیع نرمال
مهمترین توزیع پیوسته است .
اولین بار در قرن هجدهم مورد بررسی و مطالعه قرار گرفت .
بسیاری از پدیده های طبیعی دارای این توزیع هستند .
به این دلیل نام آن را نرمال گذاشته اند .
توزیع نرمال
شکل ریاضی تابع منحنی نرمال ؟
دو پارامتر توزیع نرمال ؟
توزیع نرمال استاندارد ؟
شکل ریاضی تابع منحنی نرمال استاندارد؟
توزیع نرمال
لطفا ترسیم فرمایید :
شکل هندسی منحنی نرمال
دو منحنی نرمال با میانگین های مساوی و انحراف معیارهای متفاوت
دو منحنی نرمال با میانگین های نا مساوی ولی انحراف معیارهای یکسان
دو منحنی نرمال با میانگین و انحراف معیار نا مساوی
خصوصیات توزیع نرمال
مساحت زیر منحنی f ( x ) برابر است با ؟
به ازای تمام مقادیر X مقدار (f ( x بزرگتر یا مساوی ؟ است .
حداکثر مقدار تابع احتمال در X = ? حاصل می شود .
خصوصیات توزیع نرمال
این تابع حول کدام مقدار متقارن است ؟
امید ریاضی و واریانس X برابر است با ؟
در این توزیع میانگین ، میانه و مد چه رابطه ای با یکدیگر دارند ؟
به ازای چه مقداری از X ، منحنی f ( x ) به صفر می رسد ؟
The Normal
Distribution
= Standard deviation
توزیع نرمال
شکل ریاضی نمودار صفحه قبل را بنویسید .
شش سیگما
شش سیگما یعنی چه ؟
چند سال است که مبحث شش سیگما در صنعت مطرح شده است ؟
سیگما و عدد شش هر کدام چه چیزی را نشان می دهند ؟
کدام شرکت ها در جهان در اجرای این مفهوم پیشگام بوده اند ؟
آیا در ایران نیز این موضوع در سازمانی پیاده شده است ؟
شش سیگما
چرا بسیاری از سازمان ها در جهان به اجرای این مفهوم علاقمند شده اند ؟
چگونه می توانیم شش سیگما را در سازمان خودمان پیاده کنیم ؟
مراحل اجرای شش سیگما چیست ؟
آیا شما پیاده سازی شش سیگما را در شرکت های ایرانی توصیه می کنید ؟ چرا ؟
توزیع نرمال
توزیع نرمال استاندارد چیست ؟
چرا در انتهای کتاب های آمار جداول عددی این توزیع وجود دارد ؟
در صورتیکه توزیع نرمال مورد نظر ما ، استاندارد نباشد چگونه می توانیم از جداول فوق استفاده کنیم ؟
توزیع نرمال
جدول پیوست ، احتمال تجمعی را نشان می دهد .
در جدول پیوست مقادیر Z بین 59 /3- تا 59/3+ آورده شده است . چرا ؟
احتمال اینکه متغیر تصادفی ، مقداری کمتر از 59/3 – را بگیرد چقدر است ؟
احتمال اینکه متغیر تصادفی ، مقداری کمتر از 59/3 + را بگیرد چقدر است ؟
توزیع نرمال
مطلوبست مقادیر هر یک از احتمالات زیر و نمایش سطح مورد نظر روی منحنی نرمال :
P ( Z < – 3.59 ) = ?
P ( Z < – 2.95 ) = ?
P ( Z < – 1.96 ) = ?
P ( Z < – 1.66 ) = ?
P ( Z < 0 ) = ?
P ( Z < 0 ) = ?
توزیع نرمال
P ( Z < 1.96 ) = ?
P ( Z < 1.04 ) = ?
P ( Z < 1.69 ) = ?
P ( Z < 3.09 ) = ?
P ( Z < 3.48 ) = ?
P ( Z < 4 ) = ?
توزیع نرمال
مطلوبست مقادیر هر یک از احتمالات زیر :
P ( Z > – 3.59 ) = ?
P ( Z > – 2.95 ) = ?
P ( Z > – 1.96 ) = ?
P ( Z > – 1.66 ) = ?
P ( Z > 0 ) = ?
توزیع نرمال
P ( – 1.4 < Z < + 1.4 ) = ?
P ( -0.5 < Z < + 0.5 ) = ?
P ( – 1 < Z < + 1 ) = ?
P ( -2 < Z < + 2 ) = ?
P ( -3 < Z < + 3 ) = ?
P ( -3.5 < Z < + 3.5 ) = ?
P ( -4 < Z < + 4 ) = ?
توزیع نرمال
با داشتن میانگین و واریانس هر متغیری ( در صورتی که توزیع آن نرمال باشد ) می توان ابتدا آن را به توزیع نرما ل استاندارد تبدیل و سپس با مراجعه به جداول پیوست ، احتمال آن را پیدا کرد .
مسئله مهم
دستگاه پرکننده بطری های نوشابه برای پر کردن 350 میلی لیتر تنظیم شده است . مقدار نوشابه داخل هر بطری دارای توزیع نرمال با میانگین 350 میلی لیتر و واریانس 25 میلی لیتر است . نوشابه ای را بطور تصادفی انتخاب می کنیم .
مسئله مهم
مطلوبست احتمال اینکه :
بین 345 و 355 میلی لیتر نوشابه داشته باشد ؟
بین 349 و 351 میلی لیتر نوشابه داشته باشد ؟
کمتر از 350 میلی لیتر توشابه داشته باشد ؟
بیشتر از 350 میلی لیتر نوشابه داشته باشد ؟
مسئله مهم
بین 340 و 360 میلی لیتر نوشابه داشته باشد ؟
بین 335 و 365 میلی لیتر نوشابه داشته باشد ؟
دقیقا 350 میلی لیتر نوشابه داشته باشد ؟
توزیع نرمال
استفاده مستقیم از جدول توزیع نرمال استاندارد :
1) تغییر متغیر تصادفی نرمال به نرمال استاندارد
2) ترسیم منحنی نرمال
3) نشان دادن تقریبی سطح مورد نظر
4) مراجعه به جداول و بدست آوردن مقادیر
توزیع نرمال
میزان مصرف مواد اولیه شرکتی در هر ماه ، دارای توزیع نرمال با میانگین 800 تن و انحراف معیار 50 تن است .
این شرکت باید چند تن مواد اولیه تهیه کند تا با 95 درصد اطمینان بداند که در ماه بعدی دچار کمبود نخواهد شد ؟
استفاده معکوس از جداول توزیع نرمال
با احتمال 90 درصد چقدر مواد اولیه لازم است ؟
توزیع نرمال مربوطه را در هر حالت ترسیم کنید .
توزیع نرمال
استفاده معکوس از جداول توزیع نرمال :
در مواردی که میزان احتمال مشخص باشد می توانیم مقدار Z را از جدول بدست بیاوریم .
سپس تغییر متغیر را اعمال کنیم و محدوده X را بدست آوریم .
توزیع نرمال
دستگاه تولید پیچ ، طوری تنظیم شده است که پیچ هایی با میانگین 52 میلی متر و انحراف معیار 5/0 میلی متر بطور اتوماتیک تولید می کند می خواهیم بدانیم :
95 درصد پیچ ها در چه دامنه ای از میانگین قرار می گیرند ؟
90 درصد پیچ ها در چه دامنه ای از میانگین قرار می گیرند ؟
توزیع نرمال
سوال مهم : چگونه تشخیص دهیم توزیع ما نرمال است ؟
استفاده از صفحه احتمال نرمال
محور x مقادیر ما
محور y سطح زیر منحنی توزیع نرمال
نمودار حاصل را با خط مستقیم مقایسه می کنیم .
وجود انحراف های منظم نشان دهنده نرمال نبودن توزیع مشاهدات است .
قابلیت فرایند CP
PROCESS CAPABILITY
مفهوم قابلیت فرایند ( توانایی فرایند ) چیست ؟
مثال :
یک طراح ) مصرف کننده یا مشتری ) تعیین می کند که قطر یک لوله پلاستیکی باید بین 85/5 و 15/6 اینچ باشد . یعنی تولرانس آن را 15/ 0 اینچ حول شش اینچ اعلام می نماید .
قابلیت فرایند
UTL : UPPER TOLERANCE INTERVAL
حد بالای خطای مجاز
LTL : LOWER TOLERANCE INTERVAL
حد پایین خطای مجاز
UTL , LTL
محدوده های تولرانس را چه مرجعی تعیین می کند ؟
محدوده های تولرانس همان محدوده های قابل قبول هستند .
محدوده های تولرانس ( محدوده های خطاهای مجاز ) توسط مشتریان ، خریداران و یا موسسات استاندارد تعیین می شوند .
مثال
مطلوبست محاسبه CP و CPK بهمراه ترسیم نمودار مربوطه برای فرایند لوله های پلاستیکی با مشخصات زیر :
فرایند شماره 1 : میانگین = 6 انحراف معیار = 1/ 0
فرایند شماره 2 : میانگین = 6 انحراف معیار = 05/0
ادامه مثال
فرایند شماره 3 : میانگین = 6 انحراف معیار = 025 /0
فرایند شماره 4 : میانگین = 9/5 انحراف معیار = 025/0
قابلیت ( توانایی ) فرایندهای بالا را مقایسه و تحلیل نمایید .
قابلیت فرایند CP , CPK
شاخص هایی هستند که تولرانس یک متغیر را با محدوده واقعی توزیع تغییرات آ ن مرتبط می کنند .
قابلیت فرایند CP
این شاخص فرض می کند تولرانس در مرکز توزیع واقعی تغییرات قرار دارد . این شاخص بسیار خوش بینانه می باشد .
قابلیت فرایند CPK
این شاخص فرض می کند تولرانس در مرکز توزیع قرار ندارد . این شاخص واقع بینانه تر است .
Process Capability Index, Cpk
Shifts in Process Mean
….
C
pk
=
min
X
–
LSL
3
s
or
USL
–
X
3
s
æ
è
ç
ö
ø
÷
قابلیت فرایند CP
CP < 1
فرایند توانا نمی باشد:
1 < CP < 1.33
فرایند کمی توانا می باشد :
CP > 1.33
فرایند توانا می باشد :
قابلیت فرایند
قابلیت فرایند :
در صورتی که میانگین فرایند در مرکز محدوده های خطای مجاز باشد CP را محاسبه خواهیم کرد در غیر این صورت ملاک قابلیت فرایند ، CPK خواهد بود .
Example
Mean of the Process = 4.28 ; STD = 0.122
Tolerance Limits for the Product [ 3.98 , 4.98 ]
Process Capability Ratio ?
= ( 4.98 – 3.98 ) / 6 * 0.122 = 1.366
Process Capability Index =
= min { 0.81 , 1.91 } = 0.81
شش سیگما
شش سیگما یعنی چه ؟
چند سال است که مبحث شش سیگما در صنعت مطرح شده است ؟
سیگما و عدد شش هر کدام چه چیزی را نشان می دهند ؟
کدام شرکت ها در جهان در اجرای این مفهوم پیشگام بوده اند ؟
آیا در ایران نیز این موضوع در سازمانی پیاده شده است ؟
شش سیگما
چرا بسیاری از سازمان ها در جهان به اجرای این مفهوم علاقمند شده اند ؟
چگونه می توانیم شش سیگما را در سازمان خودمان پیاده کنیم ؟
مراحل اجرای شش سیگما چیست ؟
آیا شما پیاده سازی شش سیگما را در شرکت های ایرانی توصیه می کنید ؟ چرا ؟
شش سیگما و قابلیت فرایند
ارتباط بین شش سیگما و قابلیت فرایند چیست ؟
آیا می توانید این ارتباط را به شکل یک فرمول نشان دهید ؟
آیا می توانید این رابطه را به صورت یک نمودار نمایش دهید .
Six Sigma Quality
When Cp=2, it is called six-sigma quality
ppm: parts per million
قابلیت فرایند CP
در سطح CP = 2 مبحث شش سیگما مطرح می شود که در سال های اخیر توسط شرکت های موتورولا ، هیولت پاکارد و باکستر )به عنوان اولین ها ( اجرا شده است .
شش سیگما
نگرش شش سیگما ، ایجاد ارزش برای مشتری است .
این مسیر تا رسیدن به سطح شش سیگما یعنی حدود 3 تا 4 خطا در یک میلیون ادامه می یابد .
PPM : PART PER MILLION QUALITY SPECIFICATION
شش سیگما
روند پیاده سازی شش سیگما :
شرکت موتورولا سال 1980
جنرال الکتریک سال 1996
نوکیا سال 1998
فورد سال 1998
؟
شش سیگما
باب اسمیت ( مبتکر شش سیگما ) یک قهرمان ورزش های رزمی بود .
سلسله مراتب سازمانی شش سیگما
مدیران ارشد
قهرمانان
کمربند مشکی های ارشد
کمربند مشکی ها
کمربندسبزها
تیم اجرایی
سلسله مراتب سازمانی شش سیگما
آیا سلسله مراتب بالا را با عناوین ورزش رزمی می پسندید ؟
آیا استفاده از عناوین بالا را در سازمان خودتان توصیه می کنید ؟
چه پیشنهادی برای بومی کردن مفاهیم بالا دارید ؟
مدیران ارشد
مدیر عامل یا رئیس سازمان
دارای تعهد مدیریت
Management Committment
قهرمانان
تامین کننده منابع مورد نیاز
برطرف کننده مشکلات و محدودیت های پروژها
انتخاب پروژه ها
انتخاب افراد مناسب در سطح کمربند مشکی و کمربند سبزها
تعیین اهداف قابل دسترسی
بازنگری پروژه در دوره های معین
کمربند مشکی های ارشد
مسئول آموزش کارشناسان
همکاری تنگاتنگ با قهرمانان
مسئول هدایت پروژه
متخصص تحلیل های آماری
ایجاد آگاهی لازم در زمینه تحلیل های آماری
کمربند مشکی ها
هسته اصلی پروژه
مشوق عناصر اجرایی در سطوح پایین تر
سرپرستان پروژه
کمربندسبزها
همکاری با کمربند مشکی ها
افراد اجرایی
استفاده کننده از ابزارهای تحلیلی آماری
تیم اجرایی
کارشناسان واحدی که پروژه در آن واحد صورت می گیرد .
DMAIC چرخه
DEFINE
MEASURE
ANALYZE
IMPROVE
CONTROL
چرا به مراحل بالا چرخه می گویند ؟
مراحل اساسی در تحقیقات علمی
الف – مشخص کردن هدف :
اثبات یک نظریه جدید
بررسی دقیق یک نظریه موجود
پایه ای برای اطلاعات
اطلاع از وضع جاری (شناخت)
مراحل اساسی در تحقیقات علمی
ب : جمع آوری داده ها
ج : تجزیه و تحلیل داده ها
د : بیان یافته ها
انواع متغیر ها
متغیر مستقل : متغیر درونداد یا محرک
علت احتمالی یا فرضی متغیر وابسته
متغیر وابسته :
معلول احتمالی یا فرضی
متغیر پاسخ یا برونداد
انواع متغیر ها (ادامه)
متغیر تعدیل کننده : متغیر ثانوی
مطالعه تاثیر آن روی متغیر مستقل و وابسته
متغیر کنترل :
متغیری که لازم است تاثیر آن از بین برود.
مقیاس های اندازه گیری برای متغیرها
مقیاس اسمی
مقیاس ترتیبی ( رتبه ای )
مقیاس فاصله ای
مقیاس نسبتی ( نسبی (
نظریه تصمیم
فصل هجدهم از جلد دوم کتاب مرجع
نظریه تصمیم
موفقیت ها و عدم موفقیت هایی که فرد یا سازمانی طی عمر خود تجربه می کند بستگی به تصمیماتی دارد که می گیرد .
یکی از وظایف اصلی مدیران ، تصمیم گیری است .
تصمیم گیری نیاز به پیش بینی یا آینده نگری دارد .
نظریه تصمیم ، ابزاری تحلیلی و منظم در کمک به تصمیم گیری است .
شش گام در نظریه تصمیم
تعریف مسئله بطور روشن
تعیین راه حل های ممکن
تعیین نتایج هر یک از راه حل ها
تعیین بازده یا سود برای هر ترکیبی از راه حل – حالت
انتخاب یکی از مدل های کمی نظریه تصمیم
بکارگیری مدل و اتخاذ تصمیم
جدول بازده ( Payoff table )
شکل کلی این جدول را ترسیم کنید .
گزینه ها A i ( alternatives )
حالت ها Sj ( states )
بازده ها (M ij )ناشی از انتخاب گزینه i وحالت j
) جدول تصمیم Decision table)
شرکت مهتاب می خواهد در باره تولید محصول در دوره بعدی تصمیم بگیرد . این شرکت می تواند 1000 ، 1500 و یا 2000 واحد محصول را تولید کند و پیش بینی می کند تقاضای بازار در یکی از این سطوح باشد . هزینه ثابت تولید دو میلیون تومان ، هزینه متغیر هر واحد محصول 4000 تومان و قیمت فروش هر واحد 6000 تومان است . هر واحد محصولی که به فروش نرسد در حراج 3000 تومان فروش خواهد رفت . جدول بازده را برای این محصول تشکیل دهید .
جدول تصمیم
لطفا تمرین شماره 1 و 2 صفحه 382 و 383 ( از کتاب مرجع ، جلد دوم ) را به عنوان کار منزل انجام دهید .
انواع شرایط تصمیم گیری
تصمیم گیری در شرایط اطمینان
CERTAINTY
تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان
UNCERTAINTY
تصمیم گیری در شرایط ریسک
RISK
تصمیم گیری در شرایط اطمینان
تصمیم گیرندگان نتایج اجرای هر گزینه را می دانند .
مثال ؟
سرمایه گذاری در بانک !
تمام حالت ها قابل شناسایی و پیامدهای هر کدام نیز کاملا مشخص است .
تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان
تصمیم گیران در مورد حالت ها و احتمال وقوع هر کدام اطلاع دقیقی ندارند .
مثال : ؟
تصمیم گیری در شرایط ریسک
تصمیم گیرندگان حالت های وقوع و احتمال وقوع هر حالت را می توانند پیش بینی کنند .
مثال : پرتاب تاس
پرتاب سکه
تصمیم گیری در شرایط ریسک
مهمترین معیار تصمیم گیری در شرایط ریسک EMV است .
EMV : Expected Monetary Value
ارزش پولی مورد انتظار
EMV
ارزش پولی مورد انتظار همان امید ریاضی بازده است .
مثال :
مطلوب است محاسبه EMV برای مسئله شرکت مهتاب به طوری که احتمال وقوع به ترتیب 10 /0 ، 50/0 و 40/0 باشد .
در این مسئله بهترین گزینه کدام است ؟
) درخت تصمیم Decision Tree (
هر مسئله تصمیم گیری را که بتوانیم با EMV حل کنیم آن را به سادگی می توانیم با درخت تصمیم نیز نمایش دهیم .
درخت تصمیم مسئله قبلی را ترسیم کنید .
) درخت تصمیم Decision Tree (
در درخت تصمیم ، نقطه تصمیم را با مربع و حالات مختلف را با دایره نشان می دهیم .
در مواقعی که تصمیمات پیچیده و متوالی باشد از درخت تصمیم بیشتر استفاده می شود .
) درخت تصمیم Decision Tree (
مسئله : شما ده میلیون دلار در اختیار دارید . می توانید آن را در حساب سرمایه گذاری کوتاه مدت با میزان ده درصد سود و یا در سهام بورس برای یک سال سرمایه گذاری کنید . در صورتی که بازار بورس رونق داشته باشد 4 میلیون دلار و در صورت متعادل بودن 2 میلیون دلار سود می برید و در صورت رکود 1 میلیون دلار ضرر می کنید . احتمال رونق بورس 30/0 ، تعادل 45/0 و رکود 25/0 است .
) درخت تصمیم Decision Tree (
جدول بازده را تشکیل دهید .
با استفاده از درخت تصمیم بهترین گزینه را مشخص نمایید .
Decision Tree
لطفا تمرین شماره یک صفحه 395 ( از جلد دوم کتاب مرجع ) را به عنوا ن کار منزل انجام دهید .
تحلیل حساسیت
در برخی موارد تصمیم گیرنده در مورد مقادیر بازده ها و احتمالات نامطمئن است .
لازم است مشخص شود با چه میزان تغییر در بازده یا احتمال گزینه مناسب ( بهترین گزینه ) ثابت می ماند .
البته لازم است در هر بار اندازه گیری حساسیت ، بقیه شرایط را ثابت فرض کنیم .
Sensitivity Analysis
در مسئله شرکت مهتاب ، فرض کنید این شرکت در مورد احتمال وقوع فروش در سطح 1500 واحد ، نامطمئن است . احتمال وقوع فروش در سطح 1000 واحد چقدر باشد تا باز هم گزینه انتخاب شده قبلی معتبر باشد ؟
تصمیم گیری در شرایط تعارض
نظریه بازی
Game Theory
نظریه مطلوبیت
Utility Theory
ضعف معیارEMV آن است که ریسک پذیری افراد را در تصمیم گیری دخالت نمی دهد . در این نظریه به جای استفاده از مقادیر پولی ، ابتدا تصمیم گیرنده مطلوبیت هر یک از مقادیر پولی را مشخص می کند و سپس تصمیمی را اتخاذ می کند که مطلوبیت مورد انتطارش حد اکثر شود .
تصمیم گیری چند عاملی
مدل های مطرح شده تا کنون با توجه به یک عامل ( مثلا سود ، هزینه ، زمان و.. .. ) گزینه ای را به عنوان بهترین پیدا می کردند .
اما اگر تصمیم گیرنده بخواهد چندین عامل را در تصمیم گیری دخالت دهد مدل های زیر مطرح می شوند :
فرایند تصمیم گیری چند عاملی
فرایند تحلیل سلسله مراتبی
MFEP
Multi – Factor Evaluation Process
فرایند تصمیم گیری چند عاملی
فرایند تحلیل سلسله مراتبی
Analytical Hierarchy Process
تصمیم گیری
اصلی ترین مشخصه تصمیم گیری ، انتخاب یک راه حل از بین گزینه های مختلف است .
در برخی تعاریف ، مدیریت را معادل تصمیم گیری می دانند .
هدف از اتخاذ تصمیم ، کاهش ابعاد منفی و یا بهره برداری از فرصت ها ست .
تصمیم گیری
معیار ها برخی کمی و برخی کیفی هستند .
مسائل مورد تصمیم گیری معمولا چند معیاره است .
تبدیل معیارهای کمی و کیفی به یکدیگر به منظور مقایسه آنها و در نهایت تصمیم گیری مشکل است .
فرایند تحلیل سلسله مراتبی
اولین بار در سال 1980 مطرح شد .
ANALYTICAL (A)
HIERARCHY (H)
PROCESS (P)
فرایند تحلیل سلسله مراتبی
بنیانگذار : THOMAS L. SAATI
تصمیم گیری چند معیاره
معیارهای کمی و کیفی
فرایند تحلیل سلسله مراتبی
مثال :
در انتخاب شغل معیارهای مختلفی مانند درآمد ، موقعیت اجتماعی ، وجود خلاقیت و ابتکار و … مطرح است .
برای انتخاب منزل نیز معیارهای متفاوتی مانند هزینه خرید ، نزدیکی به محل کار ، فرهنگ مردم محل ، دسترسی به مراکز خرید و… مطرح است .
فرایند تحلیل سلسله مراتبی (AHP)
امکان فرموله کردن مسئله و تجدید نظر در آن را می دهد .
گزینه های مختلف را در نظر می گیرد .
معیارهای مختلف را ( که ممکن است با هم در تضاد باشند ) در نظر می گیرد .
معیارهای کمی و کیفی را در تصمیم گیری دخالت می دهد .
بر مبنای یک تئوری قوی استوار است .
فرایند تحلیل سلسله مراتبی
.
(AHP)
و انتقادات وارده AHP
؟
انتقاد وارد به
اگر شرایط به گونه ای تغییر یابد که آلترناتیو و یا معیاری خنثی ( دارای ارزشی کاملا برابر با یکی از آلترناتیوها و یا معیارهای موجود ) به مدل اضافه شود ترتیب نتایج تغییر خواهد کرد .
AHP
انتقاد وارد به
از دیدگاه متخصصین اقتصاد و رفتار شناسی این انتقاد وارد نیست .
از دیدگاه متخصصین OR این پدیده از نواقص روش AHP به شمار می رود .
AHP
توزیع نمایی
اگر تعداد موفقیت ها دارای توزیع پواسون باشد ، زمان بین موفقیت ها دارای توزیع نمایی منفی است .
چون زمان متغیری پیوسته است ، توزیع نمایی منفی نیز توزیعی پیوسته است .
توزیع نمایی
تابع چگالی احتمال و تابع توزیع نمایی را بصورت ریاضی نمایش دهید .
توزیع نمایی
تابع احتمال توزیع نمایی را رسم کنید .
تابع توزیع نمایی ( تابع تجمعی ) را رسم کنید .
میانگین و واریانس توزیع نمایی را محاسبه کنید .