آمار و کاربرد آن در مدیریت
2
نام درس : آمار و کاربرد آن در مدیریت 1
تعداد واحد : 3
نام منبع درس : آمار و کاربرد آن در مدیریت ( جلد 1 و 2 )
مولف : عادل آذر – منصور مومنی
3
این درس یکی از دروس اصلی رشته مدیریت بوده و هدف آن آشناسازی دانشجویان با علم آمار و نحوه بکارگیری آن در دانش مدیریت است
جایگاه و هدف درس
4
برای این درس ، کلیه فصل های هشتگانه جلد اول و فصل 18 جلد دوم کتاب به استثناء برخی حذفیات در نظر گرفته شده است
چارچوب کلی درس
5
آشنایی با مفاهیم پایه ای علم آمار و ضرورت بکارگیری فنون و تکنیک های آن در دانش مدیریت به منظور اداره بهتر سازمان ها
کلیات
فصل اوّل
6
روش علمی است که برای جمع آوری ، تلخیص ، تجزیه و تحلیل ، تفسیر و بطور کلی برای مطالعه و بررسی مشاهدات بکار گرفته می شود
تعریف آمار
7
1- برای تبدیل داده ها به اطلاعات
2- برای بررسی صحت و سقم فرضیات
3- برای تعیین اعتبار و پایایی تحقیقات
از فنون آماری در مدیریت برای چه مقاصدی استفاده می شود ؟
8
جامعه بزرگترین مجموعه از موجودات است که در یک زمان معین ، مطلوب ما قرار می گیرند مثل جامعه فرهنگیان ایران و . . .
تعریف جامعه
9
تعدادی از عناصر مطلوب مورد نظر که حداقل دارای یک صفت مشخصه باشند
جامعه آماری
10
صفتی است که بین همه عناصر جامعه آماری مشترک و متمایز کننده جامعه آماری از سایر جوامع باشد
صفت مشخصه
11
1- محدود : یعنی جامـعه مقادیر از تعـداد محدود و ثابتی تشکیل شده و پایان پذیر باشد
2- نا محدود : یعنی جامعه از یک ردیف بی انتهایی از مقادیر تشکیل شده باشد
انواع جامعه آماری
12
نمونه عبارتست از تعداد محدودی از آحاد جامعه آماری که بیان کننده ویژگی های اصلی جامعه باشد
تعریف نمونه
13
1- پارامتر : شاخـص هایی که از طریق سرشـماری ( انـدازه گیری تمامی عناصـر جامعه آماری ) بدست می آیند
2- آماره : شاخـص هایی که از طریق نمـونه گیری ( اندازه گیری بخشی از جامعه ) بدست می آیند
انواع شاخص های آماری
14
آزمون هایی که مشروط به مفروضات آمار کلاسیک نیستند و کاربرد اصلی آنها در بررسی جوامع آماری غیر نرمال ، جوامع با داده های کیفی و نمونه های کوچک آماری می باشد
روش های ناپارامتریک
15
1- آمار توصیفی
2- آمار استنباطی
3- آمار ناپارامتریک
سیر تحول علم آمار از نظر موضوعی عبارتند از :
16
یعنی محاسبه مقادیر و شاخص های جامعه آماری با استفاده از سرشماری تمامی عناصر آن ، بعبارتی توصیف کل جامعه از طریق محاسبه پارامترها
آمار توصیفی
17
آماری که در آن محقق ابتدا آماره ها را محاسبه و سپس به کمک تخمین و آزمون فرض آماری ، آنها را به پارامترهای جامعه تعمیم می دهد
آمار استنباطی
18
این نوع آمار در مقابل آمار پارامتریک یعنی آمارهای توصیفی و استنباطی دارای توزیع نرمال قرار می گیرد و برای مشاهدات فاقد توزیع آماری کاربرد دارد
آمار ناپارامتریک
19
1- مشخص کردن هدف
2- جمع آوری داده ها
3- تجزیه و تحلیل داده ها
4- بیان یافته ها
مراحل پژوهش علمی در آمار
20
1- فرضیه های تحقیق
2- متغیرهایی که برای آزمودن آنها بکار گرفته می شوند
دو عنصر اصلی تحقیقات رفتاری و مدیریتی
21
متغیرها ، فرضیه ها را بصورتی نشان می دهند که محققان رفتاری و مدیریتی بتوانند آنها ( فرضیه ها ) را مشاهده و اندازه گیری نمایند
نقش متغیرها در فرضیات
22
1- متغیر خصیصه
2- متغیر مستقل
3- متغیر وابسته
4- متغیر تعدیل کننده ( واسطه ای )
5- متغیر کنترل
انواع متغیرها
23
متغیری که مقدار آن از یک فرد به فرد دیگر و یا از یک عضو به عضو دیگر جامعه آماری ممکن است تغییر کند . مثل اندازه سازمان
متغیر خصیصه
24
به علت احتمالی یا فرضی متغیر وابسته ، متغیر مستقل یا متغیر درونداد و به عبارتی محرک گفته می شود
متغیر مستقل
25
به متغیری که به تبع تغییر متغیر مستقل ، مقدارش کم و زیاد می شود متغیر وابسته ، متغیر پاسخ و یا برونداد اطلاق می شود
متغیر وابسته
26
یک متغیر ثانوی است که رابطه بین متغیر مستقل و متغیر وابسته را تحت تاثیر قرار می دهد
متغیر تعدیل کننده ( واسطه ای )
27
به متغیرهایی که در موقع انجام پژوهش ، لازم است تاثیر آنها خنثی شده و یا از بین برود ، متغیرهای کنترل می گویند
متغیر کنترل
28
موقع انجام تحقیق ، پژوهشگر سعی می کند تاثیرات متغیر کنترل را از بین ببرد ولی تاثیرات متغیر تعدیل کننده را مورد بررسی قرار می دهد
فرق متغیر تعدیل کننده با متغیر کنترل
29
1- مقیاس اسمی ( Nominal scale )
2- مقیاس ترتیبی ( Rank scale )
3- مقیاس فاصله ای ( Interval scale )
4- مقیاس نسبی ( Ratio scale )
مقیاس های اندازه گیری متغیر ها
30
محققان از این مقیاس ، صرفاً برای طبقه بندی اشیاء ، اشخاص و یا خصوصیات استفاده می کنند ، مثل استفاده از یک سری اعداد یا سمبول ها برای نام گذاری سبک های رهبری
مقیاس رسمی یا طبقه ای
31
اگر بین اسامی ایجاد شده یا طبقات حاصله ناشی از مقیاس بندی اسمی یک نوع رابطه هم وجود داشته باشد پژوهشگران از مقیاس ترتیبی استفاده می نمایند
مقیاس ترتیبی
32
اگر در مقیاس ترتیبی ، فاصله بین اعداد یا طبقات از یک نظم خاصی پیروی نماید ( فواصل یکسان باشند) محققان از مقیاس فاصله ای برای اندازه گیری متغیرها استفاده می نمایند
مقیاس فاصله ای
33
مقیاسی است که علاوه بر داشتن همه خصوصیات مقیاس فاصله ای ، دارای نقطه صفر واقعی نیز هست ، مثل پوند و گرم
مقیاس نسبی
34
جدول مقادیر مقیاس های چهارگانه
نوع مقیاس
مراتب
ترتیب
فواصل
مبدا صفر
قراردادی
مبدا صفر
مطلق
اسمی
رتبه ای
فاصله ای
نسبتی
ندارد
دارد
دارد
دارد
ندارد
ندارد
دارد
دارد
ندارد
ندارد
دارد
دارد
ندارد
ندارد
ندارد
دارد
35
فرضیه حدسی است زیرکانه در مورد رابطه بین دو یا چند متغیر که بصورت دقیق و روشن بیان شده و پس از آزمایش ، صحت یا سقم آن مشخص می شود
فرضیه
36
1- واضح و بدون ابهام
2- بیان در قالب جملات خبری
3- قابل تبیین ( علت یابی )
4- توضیح دهنده رابطه مورد انتظار بین متغیرها
5- قابل آزمون بودن ( آزمون پذیری )
ویژگی های یک فرضیه خوب
37
1- توصیفی 6- همبستگی
2- استنباطی 7- تجربی
3- تک متغیره 8- با گروه های جور شده
4- دو متغیره 9- با گروه های مستقل
5- چند متغیره 10- پارامتریک
11- ناپارامتریک
انواع فرضیه های پژوهشی
38
فرضیه ای است که در مورد کل جامعه آماری تدوین شده بعبارتی ادعایی را در مورد کل جامعه آماری بیان می نماید
فرضیه توصیفی
39
به فرضیه ای اطلاق می شود که در مورد یک نمونه انتخابی از کل جامعه آماری تدوین شود و صحت و سقم آن تحت تاثیر خطای نمونه گیری باشد
فرضیه استنباطی
40
فرضیه هایی که به ظاهر دارای دو متغیر بوده (مستقل و وابسته) ولی فرضیه مستقل آن خودش از چند متغیر دیگر تشکیل شده است
فرضیه های چند متغیره
41
به فرضیه ای گفته می شود که پژوهشگر هیچ کنترلی بر روی متغیرهای مستقل و وابسته آن ندارد ، چرا که اتفاق قبلاً رخ داده و دیگر قابل دستکاری نمی باشد
فرضیه همبستگی
42
فرضیه ای است که محقق در آن بر روی هر دو متغیر کنترل دارد یعنی پدیده هنوز روی نداده و پژوهشگر می تواند متغیر مستقل را دستکاری نماید
فرضیه تجربی
43
در این نوع فرضیه سازی ، پژوهشگران یک گروه نمونه دارند که در آن هر آزمون شونده را از لحاظ یک متغیر واحد دو بار اندازه گیری می کنند
فرضیه با گروه های جور شده
44
در این حالت ، محقق برای آزمون ، دو گروه دارد که هر کدام از آنها را از لحاظ یک متغیر واحد مشابه یک بار بطور جداگانه اندازه گیری می نماید
فرضیه با گروه های مستقل
45
فرضیه هایی هستند که در آنها از متغیرهای نسبی یا فاصله ای استفاده شده و توزیع جامعه (و یا نمونه ) نرمال می باشد
فرضیه های پارامتریک
46
فرضیه هایی هستند که متغیرهای موجود در آنها دارای مقیاس اسمی یا رتبه ای می باشند یا این که بر اساس شواهد موجود ، محققان نمی توانند فرض نرمال بودن جامعه ( نمونه ) را بپذیرند
فرضیه های ناپارامتریک
47
هدف این فصل آشناسازی دانشجویان با پارامترهای مرکزی و پراکندگی در جوامع کوچک ( 20≥N ) می باشد
مطالعه توصیفی داده های طبقه بندی نشده
فصل دوّم
48
اعدادی هستند که به منظور بیان کمی توزیع اندازه ها از آن استفاده می شود . این شاخص ها توصیف کننده مجموعه داده ها می باشند
شاخص های عددی
49
به هر معیار عددی که معرف مرکز مجموعه داده ها باشد ، پارامتر مرکزی اطلاق می شود یعنی همان مقدار نماینده ای که مشاهدات در اطراف آن توزیع شده اند
پارامتر مرکزی
50
1- میـانگین ؛ شامـل میانـگین حسـابی ، میانگین پیراسـته ، میانگین هندسـی ، میانگین هارمـونیـک
2- مد ( نما )
3- چارکها ؛ شامل چارک اول ، چارک دوم ، چارک سوم
مهمترین پارامترهای مرکزی
51
به نقطه تعادل یا مرکز ثقل توزیع ، در داده هایی که بصورت منظم بر روی یک محور ردیف شده باشند ، میانگین ( Mean ) اطلاق می شود
میانگین
52
این میانگین از تقسیم مجموع مشاهدات بر تعداد آنها بدست می آید
فرمول
میانگین حسابی ساده
53
اگر هر یک از مشاهدات دارای تکرار باشند ، در این صورت تعداد تکرارها بعنوان وزن مشاهدات تلقی شده و آنها را با نشان می دهند
میانگین حسابی موزون
54
فرمول میانگین حسابی موزون
55
از این میانگین زمانی استفاده می شود که در توزیع مشاهدات ، تعداد اندکی از آنها ، با بقیه داده ها همخوانی و تجانس نداشته باشد
میانگین پیراسته
56
1- مرتب کردن صعودی داده ها
2- حذف تمام مشاهدات کوچکتر از LN % پایین و بزرگتر از %LN بالا
3- محاسبه میانگین برای باقیمانده مشاهدات
طرز بدست آوردن میانگین پیراسته
57
در این میانگین بجای حذف کامل %LN ها ، مقادیر بالا و پایین آن بجای مقادیر حذف شده مورد استفاده قرار می گیرند و از تعداد داده ها کاسته نمی شود
میانگین وینزوری
58
از این میانگین برای محاسبه اندازه های نسبی همانند نسبت ها ، در صدها ، شاخص ها و نرخ های رشد استفاده می شود
میانگین هندسی ساده
59
میانگین هندسی یک رشته عدد همانند ، ، . . . ، برابر است با ریشه N ام حاصلضرب آن اعداد
فرمول میانگین هندسی ساده
60
اگر داده ها در میانگین هندسی دارای وزن باشند ، از این نوع میانگین استفاده می شود
فرمول
میانگین هندسی موزون
61
از این نوع ، برای محاسبه میانگین مشاهداتی استفاده می شود که از مقیاس های ترکیبی همانند « کیلو در ساعت » یا « دور در ثانیه » برخوردار هستند
میانگین هارمونیک
62
این میانگین برای چند اندازه یا مقدار برابر است با عکس میانگین حسابی معکوس آن اندازه ها
فرمول
فرمول میانگین هارمونیک ساده
63
در صورت تکرار داده ها ( وزن داشتن آنها ) از فرمول زیر استفاده می شود :
میانگین هارمونیک موزون
64
به مقداری گفته می شود که در میان سایر مقادیر توزیع ، بیشترین تکرار را داشته باشد ، مد را با Mo نشان می دهند
مد ( نما )
65
اگر جامعه آماری به چهار قسمت مساوی تقسیم شود ، به هر یک از قسمت ها یک چارک گفته می شود و آنها را با Q نشان می دهند
چارک
66
: مقداری که 25% مشاهدات ، پایین تر از آن است
: مقداری که 50% مشاهدات ، پایین تر از آن است
: مقداری که 75% مشاهدات ، پایین تر از آن است
انواع چارک ها
67
1- مرتب نمودن صعودی داده ها
2- کد گذاری کردن آنها از 1 تا N
3- پیدا نمودن محل چارک مورد نظر
4- تعیین نمودن مقدار چارک مورد نظر به کمک محل چارک
نحوه محاسبه چارکها
68
چارک مورد نظر 1و2و3 a=
تعداد مشاهداتN=
فرمول تعیین محل چارک
69
شاخص هایی هستند که متوسط میزان دوری و نزدیکی داده های توزیع را نسبت به میانگین شان نشان می دهند
پارامترهای پراکندگی
70
1- کمک به توصیف واقعی تر یک سری از داده ها
2- کمک به قابلیت مقایسه دو یا چند سری از داده ها
محاسن پارامترهای پراکندگی
71
1- دامنه تغییرات 5- انحراف معیار
2- دامنه میان چارکی 6- نیمه واریانس
3- انحراف متوسط از میانگین 7- ضریب پراکندگی
4- واریانس
انواع شاخص های پراکندگی
72
ساده ترین شاخص پراکندگی است و با کم کردن کوچکترین مشاهده از بزرگترین آنها در یک سری توزیع بدست می آید
فرمول
دامنه تغییرات
( R )
73
این شاخص ، پراکندگی داده ها را در فاصله چارک اول و چارک سوم نشان می دهد و کاری به مقادیر کوچکتر از و بزرگتر ندارد
دامنه میان چارکی
( IQR )
74
برای محاسبه این شاخص ، کافیست که مقادیر و
را بدست آورده و از هم کم کنیم .
فرمول دامنه میان چارکی
75
برای بدست آوردن این شاخص ، که به انحراف چارکی نیز معروف است ، کافیست ، مقدار دامنه میان چارکی را بر عدد 2 تقسیم نماییم
نیمه میان چارکی
76
1- استفاده از میانه بعنوان بهترین شاخص مرکزی
2- استفاده از انحراف چارکی بعنوان بهترین شاخص پراکندگی
شاخص های مناسب برای توزیع های نا متقارن
77
این شاخـص از تقسیم مجموع قدر مطلـق انحـرافات تک تک مشاهدات از میانگین شان بر تعداد مشاهدات بدست
انحراف متوسط از میانگین
78
محاسن : در نظر گرفتن تغییرات کل داده ها
معایب : 1- نشان ندادن تاثیر انحرافات بزرگ
2- بی بهره بودن از بعضی از خواص مطلوب میانگین حسابی
محاسن و معایب
79
در این شاخص پراکندگی ، بر خلاف شاخص انحراف متوسط از میانگین بجای قدر مطلق از مجذور (توان 2) انحرافات استفاده می شود
فرمول
واریانس
80
این شاخص به منظور برطرف کردن عیوب شاخص های قبلی است یعنی همان نشان ندادن تاثیر انحراف بزرگ توسط و افزایش دادن تاثیر این انحراف توسط
انحراف معیار
81
فرمول انحراف معیار
و یا
82
1- اگر تمام مشاهدات با عدد ثابت جمع شوند ، واریانس جدید تغییر نمی کند
2- اگر تمام مشاهدات ، به عدد ثابت ضرب شوند ، واریانس جدید برابر افزایش می یابد
خواص واریانس
83
نیمه واریانس
یعنی متوسط مجذور مقادیر نامطلوب
تعداد مشاهدات جامعه N=
تعداد مقادیر نامطلوب K=
میانگین کل مشاهدات =
S.V=
84
در داده های مربوط به سود و در آمد مقادیر کوچک تر از میانگین و در داده های مربوط به زیان و هزینه مقادیر بزرگتر از میانگین ، نامطلوب قلمداد می شوند
مقادیر نامطلوب
85
ضریب پراکندگی یکی از معیارهای پراکندگی نسبی است که با فرمول زیر بیان می شود
انحراف معیار مشاهدات =
میانگین مشاهدات =
ضریب پراکندگی
86
برای مقایسه دو جامعه در مواردی که :
1- مقیاس ها یکسان نیستند
2- مقیاس یکسان ولی تفاوت زیادی در بزرگی مشاهدات وجود دارد
3- واریانسهای جوامع یکسان ولی میانگین هایشان متفاوت است
کاربردهای ضریب پراکندگی
87
هدف این فصل آشنایی دانشجویان با طبقه بندی و سازماندهی مشاهدات و استفاده از نمودارهای مختلف برای توصیف داده هاست
طبقه بندی و توصیف هندسی مشاهدات جامعه
فصل سوّم
88
یعنی جدول مرتب و خلاصه شده از داده ها و مشاهدات که تکرار وقوع هر داده ها در آن مشخص شده است
توزیع فراوانی
89
1- مرتب کردن داده ها و محاسبه دامنه تغییرات ( R )
2- مشخص کردن تعداد طبقات ( K )
3- محاسبه نمودن فاصله طبقات ( I )
4- سازماندهی طبقات
مراحل طبقه بندی داده ها
90
1- فرمول تجربی استورجس
2- روش تقریبی
( N تعداد مشاهدات می باشد )
فرمول های محاسبه تعداد طبقات
91
فاصله طبقات از تقسیم مقدار R ( دامنه تغییرات ) بر مقدار محـاسبه شـده برای تعـداد طـبقـات ( K ) به شکل زیر بدست می آید
تعیین فاصله طبقات
92
پس از مشخص شدن K و I سازماندهی یعنی تعیین نوع جدول و شیوه طبقه بندی داده ها شروع می شود که این بستگی به نوع داده های جمع آوری شده دارد
سازماندهی داده ها
93
1- طبقه بندی پیوسته : برای داده های اعشاری ، یعنی مساوی بودن طول ، عرض و فاصله طبقات
2- طبقه بندی گسسته : برای داده های غیر اعشاری ، یعنی برابر نبودن طول و عرض طبقات
انواع طبقه بندی داده ها
94
1- تقریب0/1
2- تقریب 0/5
3- تقریب 1 ( واحد )
تقریب ، اختلاف طول و عرض طبقات یا فاصله بین حد بالای یک طبقه با حد پایین طبقه بعدی است .
مهم ترین تقریب ها در طبقه بندی گسسته
95
تعریف مشاهدات گسسته بصورت فاصله طبقات بی معناست لذا برای تشکیل توزیع فراوانی آنها کافیست یک ستون برای مشاهدات و ستون دیگری برای فراوانی آنها تنظیم شود
طبقه بندی مشاهدات ناپیوسته
96
چنانچه در جدول طبقه بندی داده ها بجای فراوانی مطلق ( ) از فراوانی نسبی ( ) استفاده شود ، به آن توزیع فراوانی نسبی گویند
توزیع فراوانی نسبی
97
فرمول فراوانی نسبی
فراوانی مطلق آن طبقه
= فراوانی نسبی هر طبقه
تعداد کل مشاهدات (فراوانی ها)
98
به کمک این فراوانی می توان در صد تراکم داده ها را در هر طبقه مشخص نمود بعبارتی از جهت یافتن محل تمرکز داده ها استفاده می شود
کاربرد فراوانی نسبی
99
فرمول محاسبه نماینده یا متوسط طبقات
(حد بالا + حد پایین ) طبقه مورد نظر
= متوسط یا نماینده هر طبقه
2
100
اگر در جدول طبقه داده ها ، بجای فراوانی های مطلق و نسبی از فراوانی تجمعی استفاده شود ، به جدول بدست آمده ، توزیع فراوانی تجمعی گویند
توزیع فراوانی تجمعی
101
فـراوانی تجـمعی هر طـبقه ، عـبارتست از مجموع فراوانی های مطلق از اولین طبقه تا طبقه مورد نظر که آن را با نشان می دهند
فراوانی تجمعی طبقه
i
102
این فراوانی از تقسیم فراوانی تجمعی هر طبقه بر تعداد مشاهدات بدست می آید
یعنی
فراوانی نسبی تجمعی
103
این فراوانی بیانگر در صد داده ها و مشاهدات واقع شده بین حد پایین اولین طبقه تا حد بالای طبقه مورد نظر است
مفهوم فراوانی نسبی تجمعی
104
استفاده از نمودارها در گزارش نویسی باعث می شود که خوانندگان با صرف کمترین زمان و با ساده ترین بیان ، گزارش را بفهمند و تصویری روشن از توزیع داشته باشند
محاسن نمودارها
105
1- نمودارهای کمی : مخصوص داده هایی با مقیاس فاصله ای و نسبی
2- نمودارهای وصفی : مخصوص داده هایی با مقیاس اسمی و یا رتبه ای
انواع نمودارها
106
مهم ترین نمودارهای کمی
1- بافت نگار (هیستوگرام) 4- تحلیل اکتشافی داده ها
2- چند ضلعی (پلی گون) 1-4 نمودار شاخه و برگ
3- فراوانی تجمعی (اُجایو) 2-4 نمودار جعبه ای
1-3 پلی گون فراوانی تجمعی
2-3 منحنی فراوانی تجمعی
107
بافت نگار نموداریست در دستگاه مختصات که محور افقی آن با حدود واقعی طبقات و محور عمودی آن با فراوانی مطلق یا نسبی درجه بندی می شود
مدرج کردن بافت نگار
108
پس از مدرج کردن محورها بر روی حدود واقعی (کرانه های هر طبقه) مستطیلی عمودی رسم می شود که مساحت آن مساوی با فراوانی نسبی آن طبقه می باشد
نمودار بافت نگار
109
نموداریست که متناظر با هر نماینده طبقه در محور افقی و فراوانی آن در محور عمودی ، یک نقطه در صفحه مختصات ایجاد و به هم وصل می شوند
نمودار چند ضلعی
110
برای ترسیم این نمودار ، از نماینده طبقات در محور افقی و فراوانی تجمعی در محور عمودی استفاده می شود ، سپس نقاط ایجاد شده به ترتیب به هم وصل می شوند
پلی گون فراوانی تجمعی
111
تنها فرق این نمودار با نمودار پلی گون فراوانی تجمعی در این است که در این نمودار بجای نماینده طبقات از حد بالای کرانه ها استفاده می شود
منحنی فراوانی تجمعی
112
1- برای محاسبه چندکها (چارکها ، دهکها ، صدکها)
2- برای مقایسه پدیده ها (مثل میزان رشد تورم در کشورها)
کاربردهای نمودار فراوانی تجمعی
113
در بر گیرنده نمودار های جدیدی است که در مراحل اولیه تحلیل داده ها مفید هستند و اطلاعات بیشتری را در مورد تک تک داده ها به معرض نمایش می گذارند
تحلیل اکتشافی داده ها
114
برای تهیه این نمودار ، ارقام مشاهدات به دو بخش شاخه و برگ تقسیم می شوند، شاخه شامل یک یا چند رقم اولیه و برگ شامل ارقام باقی مانده
نمودار شاخه و برگ
115
در این نمودار بر خلاف بافت نگار ، اعداد اصلی از بین نمی روند و محاسبه چندکها هم با استفاده از آن براحتی امکان پذیر است
محاسن نمودار شاخه و برگ
116
این نمودار نشان دهنده چارکها و حداقل و حداکثر مشاهدات است و برای مقایسه دو یا چند جامعه آماری مورد استفاده قرار می گیرد
نمودار جعبه ای
117
الف – پیدا کردن حداقل و حداکثر داده ها
ب – پیدا کردن چارکهای اول ، دوم و سوم
مراحل تهیه نمودار جعبه ای
حداکثر داده ها
حداقل داده ها
118
این دسته از نمودارها برای نمایش هندسی داده های کیفی بکار می روند، در این نمودارها هر یک از مقادیر بعنوان یک طبقه در نظر گرفته می شوند
نمودارهای وصفی
119
1- نمودار ستونی
2- نمودار دایره ای
3- نمودار پاره تو
مهم ترین نمودارهای وصفی
120
این نمودار در یک دستگاه مختصات که محور افقی نشان دهنده کیفیت مشاهدات و محور عمودیش نشان دهنده فراوانی مطلق یا نسبی هر گروه است ترسیم می شود
نمودار ستونی
121
این نمودار ابزار مناسبی برای تجسم مشاهدات بوده و معمولاً بر حسب در صد تهیه می شود و به نمودار کلوچه ای نیز معروف است
نمودار دایره ای
122
1- تبدیل فراوانی مطلق به نسبی
2- پیدا کردن مساحت هر قطاع از دایره
3- تقسیم مساحت دایره بر حسب ها
4- نوشتن نوع و درصد مشاهدات بر روی دایره
مراحل تهیه نمودار دایره ای
123
برای پیدا کردن مساحت هر قطاع از دایره از فرمول زیر استفاده می شود
یعنی فراوانی نسبی هر مشاهده
به عدد 360 ضرب می شود
فرمول مساحت هر قطاع
124
این نمودار دارای سه محور است :
1- محورافقی : نوع موضوعات
2- محور عمودی : فراوانی مطلق موضوعات
3- محور سوم (روبروی محور عمودی) : فراوانی نسبی تجمعی موضوعات
محورهای نمودار پاره تو
125
یعنی این که در این نمودار پر وقوع ترین موضوعات در سمت چپ نمودار قرار گرفته ، سپس موضوعات با فراوانی کمتر در سمت راست آنها قرار می گیرند
مفهوم نزولی بودن نمودار پاره تو
126
1- در تحلیل موجودیهای جنسی انبارها
2- در بررسی نواقص سیستم ها
3- و در بررسی نحوه توزیع درآمد و توزیع پرسنل موسسات
کاربرد نمودار پاره تو
127
هدف اصلی این فصل آشنا ساختن دانشجویان با پارامترهای مرکزی ، پراکندگی و تعیین انحراف از قرینگی و کشیدگی در داده های طبقه بندی شده می باشد
توصیف مقداری مشاهدات طبقه بندی شده
فصل چهارم
128
1- مرکز توزیع کجاست ؟
2- پراکندگی آن چقدر است ؟
3- تمایل داده به کدام سمت است ؟
4- پراکندگی توزیع در مقایسه با توزیع های مشابه چگونه است ؟
سوالاتی که توزیع فراوانی به آنها پاسخ می دهد
129
1- میانگین ؛ که به روش های مستقیم و غیرمستقیم قابل محاسبه است
2- مد ؛ که نشان دهنده بیشترین تکرار می باشد
3- چندکها ؛ شامل چارکها ، دهکها و صدکها
انواع پارامترهای مرکزی در داده های طبقه بندی شده
130
این فرمول برای داده های طبقه بندی شده به شرح ذیل است :
فراوانی مطلق =
متوسط طبقات =
کل مشاهدات =
فرمول میانگین به روش مستقیم
131
فرمول میانگین به روش غیرمستقیم ( کد گذاری )
عدد دلخـواه =
کد هر طـبقه =
فاصله طبقات =
132
این عدد بعنوان میانگین تقریبی از وسط ستون نماینده طبقات انتخاب شده و موجب تسهیل عملیات ریاضی در پیدا کردن میانگین تقریباً واقعی می شود
نقش A در فرمول میانگین
133
که کد هر طبقه است ، به شکل زیر قابل می باشد
فرمول
134
زمانی که مشاهدات حالت اعشار داشته یا این که به گونه ای تعریف شوند که محاسبه میانگین به روش مستقیم وقت گیر و مشکل آفرین باشد
موارد استفاده از فرمول میانگین به روش کد گذاری
135
برای روش غیر مستقیم میانگین این ستون ها ضروری هستند :
1- حدود طبقات 4- حاصلضرب فراوانی در نماینده طبقه
2- فراوانی مطلق 5- کد طبقات
3- نماینده طبقات 6- حاصلضرب فراوانی در کد طبقه
ستون های جدول توزیع فراوانی
136
از علامت (تقریباً مساوی) در فرمول های میانگین بدین جهت استفاده می شود که پارامترها به واسطه طبقه بندی مشاهدات (استفاده از نماینده طبقات) دقیق نمی باشند
علت استفاده از علامت
137
تعریف مد بصورت بیشترین تکرار برای داده های پیوسته و طبقه بندی شده بخوبی گویا و رسا نیست و رسایی آن فقط در مورد طبقه مددار می باشد
مد ( نما )
138
فرمول مد در داده های طبقه بندی شده
139
حد پایین واقعی طبقه مد دار=
فراوانی مطلق طبقه مدار منهای فراوانی طبقه ماقبل=
فراوانی مطلق طبقه مدار منهای فراوانی طبقه ما بعد=
اجزاء تشکیل دهنده فرمول مد
140
با تقسیم دامنه تغییرات به چهار قسمت مساوی به چارکها، به ده قسمت مساوی به دهکها و به صد قسمت مساوی به صدکها خواهیم رسید
چندکها
141
1- در کنترل کیفیت آماری
2-در مدیریت
3-در اقتصاد کلان و سایر علوم مشابه
کاربرد چندکها
142
1- اضافه کردن ستون فراوانی تجمعی به جدول
2- پیدا کردن محل چارک مورد نظر با استفاده از فرمول مربوطه
3- پیدا کردن طبقه چارک دار و استفاده از فرمول چارک
مراحل محاسبه چندکها
143
= شماره چارک (2،1 یا 3)
= تعداد کل مشاهدات
فرمول تعیین محل چارک
144
فرمول چارک در داده های طبقه بندی شده
145
مقدار چارک =
حد پایین واقعی طبقه چارک دار =
فراوانی تجمعی طبقه ما قبل طبقه چارک دار =
فراوانی مطلق طبقه چارک دار =
اجزاء تشکیل دهنده فرمول چارک
146
1- اضافه کردن به جدول
2- پیدا کردن محل دهک با استفاده از
3- محاسبه دهک با استفاده از مراحل قبلی و فرمول چارک
مراحل محاسبه دهکها
147
فرمول دهک
148
حد پایین واقعی طبقه دهک دار =
فراوانی مطلق طبقه دهک دار =
فراوانی تجمعی طبقه ما قبل طبقه دهک دار =
فاصله طبقات =
اجزاء فرمول دهک
149
صدکها را با نشان می دهند و مراحل محاسبه آن تقریباً مشابه دهکها و چارکها است و مقدار محاسبه شده نیز همانند سایر پارامترهای مربوط به جداول تقریبی است
صدکها
150
فرمول صدکها
از برای پیدا کردن محل صدک استفاده می شود
151
اگر در توزیع فراوانی طول و عرض طبقات مساوی نباشد در این صورت ، باید کرانه ها را محاسبه نموده و از حد پایین آنها استفاده نمود
نکته مهم در محاسبه صدکها
152
1- انحراف متوسط از میانگین
2- دامنه میان چارکی
3- انحراف چارکی
4- واریانس و واریانس تصحیح شده
پارامترهای پراکندگی در داده های طبقه بندی شده
153
این فرمول در داده های طبقه بندی به شکل زیر می باشد در این فرمول فراوانی طبقه i ام می باشد
فرمول انحراف متوسط از میانگین
154
از این پارامترهای پراکندگی زمانی استفاده می شود که دنباله های توزیع نا معین و باز باشد ( در این حالت محاسبه میانگین و واریانس امکان پذیر نیست )
دامنه میان چارکی و انحراف چارکی
155
فرمول های واریانس
1- روش مستقیم
2- روش غیر مستقیم
فرمول اول
فرمول دوم
156
اگر جامعه آماری از ترکیب چند جامعه مستقل با میانگین ها و واریانس های مشخص تشکیل شده باشد ، می توان میانگین و واریانس جامعه کل را بدست آورد
عملیات جبری میانگین و واریانس
157
فرمول میانگین حسابی جامعه کل
N = تعداد مشاهدات هر جامعه
µ = میانگین هر جامعه
158
فرمول واریانس جامعه کل
159
اجزاء واریانس جامعه کل
= واریانس جامعه i ام
= تعداد مشاهدات جامعه کل
= تعداد مشاهدات جامعه i ام
= میانگین جامعه کل
= میانگین جامعه i ام
µ
µ
160
در هنگام مقایسه دو یا چند جامعه ، در صورت مساوی بودن پارامترهای مرکزی و پراکندگی ، این پارامترها با بهره گیری از ضریب چولگی کارساز خواهند بود
پارامترهای تعیین انحراف از قرینگی
161
1- متقارن ( نرمال ) : مد = میانه = میانگین
2- چـولـه به راسـت : مد < میانه < میانگین
3- چـولـه بـه چــپ : مد > میانه > میانگین
انواع حالات توزیع ها
162
1- صفر : در صورت متقارن بودن توزیع جامعه
2- مثبت : در صورت چوله به راست بودن توزیع جامعه
3- منفی : در صورت چوله به چپ بودن توزیع جامعه
مقادیر مختلف ضریب چولگی ( SK )
163
مفهوم چولگی
اگر دم توزیع جامعه به سمت راست باشد ، توزیع را چوله به راست و در صورت عکـس ، آن را چوله به چپ می نامند
چوله به چپ
چوله به راست
164
1- ، جامعه تقریباً نرمال
2- ، تفاوت اندک با توزیع نرمال
3- ، تفاوت فاحش با توزیع نرمال
تفسیر مقادیر SK
165
1- ضریب چولگی گشتاوری
2- ضریب های چولگی پیرسون
3- ضریب های چولگی چندکی
فرمول های محاسبه ضریب چولگی ( SK )
166
ضریب چولگی گشتاوری
گشتاور مرتبه سوم به مبدا میانگین
انحراف معیار
167
ضریب چولگی پیرسون
فرمول شماره 1
فرمول شماره 2
168
ضرایب چولگی چندکی
ضریب چولگی چارکی
ضریب چولگی صدکی
169
این پارامترها برای مقایسه توزیع جوامع مورد نظر با توزیع جامعه نرمال به لحاظ کشیدگی ( کوتاهی و بلندی توزیع ) مورد استفاده قرار می گیرد
پارامترهای تعیین انحراف از کشیدگی
170
1- مساوی توزیع نرمال ( E=0 )
2- بلندتر از توزیع نرمال ( E>0 )
3- کوتاه تر از توزیع نرمال ( E<0 )
انواع توزیع به لحاظ کشیدگی و مقدار ضریب ( E ) آن
171
مقایسه انواع کشیدگی
توزیع کشیده تر E>0
توزیع نرمال E=0
توزیع پراکنده تر E<0
172
تفسیر ضریب کشیدگی ( E )
1- توزیع نرمال
2- توزیع نسبتاً بلندتر از نرمال
3- توزیع کاملاً کشیده تر از نرمال
173
انواع ضرایب کشیدگی
1- ضریب کشیدگی گشتاوری ؛ با استفاده از گشتاور مرتبه چهارم به مبدا میانگین
2- ضریب کشیدگی چندکی ؛ با استفاده از انحراف چارکی و صدکهای دهم و نودم
174
فرمول ضریب کشیدگی گشتاوری
عدد ثابت = 3
175
ضریب کشیدگی چندکی
مخصـوص توزیـع هایی که بالاجبار با استـفاده از چـندکها تـوصـیف می شـوند
176
در این فصل دانشجو با برخی از مفاهیم احتمال و انواع احتمالات آشنا می شود
مبادی احتمال
فصل پنجم
177
احتمال یعنی شانس وقوع یک پیشامد خاص و احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با نسبت دفعاتی که پیشامد خاصی در تکرارهای زیاد رخ می دهد
مفهوم احتمال ( P )
178
– احتمال ذهنی ، متغیر و وابسته به نظر اشخاص است
– احتمال عینی ، ثابت و مقدار آن از قبل مشخص است و به عقاید اشخاص بستگی ندارد
احتمال عینی و ذهنی
179
فعالیتی که نتیجه آن از قبل مشخص نیست ولی کل حالات ممکن آن معلوم است ، مثل پرتاب یک سکه ، که معلوم نیست دقیقاً شیر خواهد آمد یا خط
آزمایش
180
مجموعه پیامدهای ممکن یک آزمایش را فضای نمونه آن آزمایش می گویند .
فضای نمونه را با S نشان می دهند
فضای نمونه
181
محدود – یعنی این که فضای نمونه تعداد کمی عضو داشته باشد
نامحـدود – یعنی اینکه فضـای نمونه آزمایش ( تعداد اعضاء آن ) نامتناهی است
فضای نمونه محدود و نامحدود
182
اگر اعضای فضای نمونه آزمایش قابل شمارش باشد ، آن را فضای نمونه گسسته ولی اگر فضای نمونه آزمایشی بصورت اعداد اعشاری باشند آن را پیوسته می نامند
فضای نمونه گسسته و پیوسته
183
به هر یک از زیر مجموعه های فضای نمونه ، یک پیشامد گفته می شود هر پیشامد را با یکی از حروف بزرگ انگلیسی مثل A و B و C و . . . نشان می دهند
پیشامد
184
پیامدهای مقدماتی یا پیشامدهای اولیه هم شانس یعنی این که تمام پیشامدهای اولیه در آزمایشی دارای شانس وقوع برابر باشند یعنی وجود نوعی تقارن در آزمایش
پیامدهای مقدماتی هم شانس
185
احتمال وقوع پیشامدی مثل A برابر می شود با تعدادهای عضو های پیشامد A به تعداد عضوهای فضای نمونه
احتمال یک پیشامد در پیامدهای مقدماتی هم شانس
186
برای پیشامدی مثل A فراوانی نسبی پیشامد A درNتکرار = P(A)
بشرطی که N به سمت بی نهایت میل کند
احتمال یک پیشامد در پیامدهای مقدماتی غیر هم شانس
187
برای هر پیشامدی مثل A چه
هم شانس و چه غیر هم شانس
خواص اولیه احتمال
188
این قواعد عبارتند از :
1- قاعده ضرب 2- جایگشت (ترتیب)
3- ترکیب 4- افرازهای (تفکیک های) مرتب
قواعد شمارش
189
از این قواعد در وضعیت هایی استفاده می شود که فهرست نمودن تمام حالات ممکن آزمایش مقدور نمی باشد ، لذا فقط به ذکر تعداد حالات ممکن و مختلف اکتفا می شود
کاربردهای قواعد شمارش
190
اساسی ترین اصل در شمارش « قاعده ضرب » است و این اصل مختص آزمایش هایی است که در آنها عملیات در چند مرحله ( مثلاً K ) مرحله انجام می پذیرد
اصل اساسی شمارش
191
طرق ممکن انجام عمل در آزمایشی که مرحله اول آن به طریق و . . . مرحله K ام آن به طریق انجام میگیرد ، عبارت خواهد بود از :
قاعده ضرب
192
این نمودار روشی است منظم برای نشان کل حالات ممکن در آزمایشاتی که عملیات در آنها طی چندین مرحله انجام می پذیرد ( مکمل قاعده ضرب )
نمودار درختی
193
یعنی تعداد طرقی که می توان r شی را از بین n شی انتخاب نمود بطوریکه و ترتیب قرار گرفتن اشیاء نیز مهم باشد
جایگشت ( ترتیب )
194
1- تعداد کل جایگشت های N شی متمایز
2- تعداد کل جایگشت های N شی نامتمایز
3- تعداد جایگشت های r شی انتخابی از بین N شی متمایز
حالات مختلف پیدا کردن جایگشت
195
1- در صورت ردیفی بودن بشکل
2- در صورت دایره ای بودن
فرمول تعداد کل جایگشت های N شی متمایز
n!=n×(n-1)×…3×2×1
(n-1)!=(n-1)(n-2)×…3×2×1
196
جایگشت های N شی نا متمایز
شروط
1- از n شی ، تای آنها از یک نوع
تای آنها از نوع دیگر و …
2- n = + . . . + +
n!
! ! … !
197
جایگشت های r شی از بین n شی
شروط : 1- r و n هر دو متمایز
2- r < n
!
!
198
1- توجه به تعداد اشیاء و حجم انتخابی از بین آنها
2- توجه به ردیفی یا دایره ای بودن اشیاء
3- توجه به متمایز یا نامتمایز بودن اشیاء
نکات مهم در محاسبه جایگشت ها ( ترتیب ها )
199
تعداد طرق انتخـاب r شی متمـایز از بین n شـی بشرطی که ترتیب قرار گرفتن اشیاء باعث افزایش تعداد طرق نگردد
فرمول
ترکیب
!
!
200
استفاده از قاعده ضرب در ترکیب
اگر ترکیب اول به شکل ترکیب دوم بصورت
و . . . ترکیب آخر به شکل باشد در آن صورت :
تعداد کل طرق
. . .
201
افرازهای مرتب
فرمول
ویژگی ها :
1- تفکیک n شی به گونه ای خاص
2- در حکم یک مجموعه بودن هر ترکیب
3- مهم نبودن ترتیب اشیاء در هر زیر مجموعه
n!
! ! … !
=
202
نمودار ون
در این نمودار به منظور نشان دادن پیشامد ها ،کل فضای نمونه در قالب مستطیلی ارائه شده و هر پیشامدی قسمتی از این مستطیل را به خود اختصاص می دهد
203
احتمال پیشامدی مانند A در نمودار ون
این احتمال برابر است با سطحی که پیشامد A از S (فضای نمونه) اشغال کرده است
A
S
204
دو پیشامد نا سازگار
دو پیشامد را در صورتی « نا سازگار » گویند که امکان وقوع همزمان نداشته باشند یعنی با وقوع یکی ، دیگری امکان وقوع نداشته باشد مثل شب و روز
205
نمودار ون برای دو پیشامد نا سازگار
نمودار نشان می دهد که پیشامدهای A و B هیچ وجه اشتراکی با هم ندارند
A
S
B
206
دو پیشامد سازگار
دو پیشامدی را گویند که وقوع یکی مانع وقوع دیگری نیست بعبارتی این دو پیشامد دارای حداقل یک عضو مشترک هستند
207
A
B
S
نمودار ون برای دو پیشامد سازگار
محل تلاقی دو پیشامد ، نقطه مشترک آنهاست (جائیکه دو بار هاشور خورده است)
208
اجتماع دو پیشامد
اجتماع دو پیشامدی مثل A و B ، مجموعه تمام عضوهایی است که در A یا در B یا هم در A و هم در B قرار دارند
209
علامت و معنی اجتماع
اجتماع دو پیشامد A و B را با A Bنشان می دهند . وقوع A B یعنی این که حد اقل یکی از دو پیشامد مذبور رخ داده است
210
نمودار ون برای
B
S
A
211
اشتراک دو پیشامد
اشتراک دو پیشامدی مثل A و B را با A ∩ Bنشان می دهند . وقوع A ∩ B یعنی این که هر دو پیشامد A و B رخ داده است
212
نمودار ون برای اشتراک دو پیشامد
یعنی این که هم پیشامد A و هم پیشامد B رخ داده است
B
S
A
213
متمم یک پیشامد
متمم پیشامدی مثل A که با نشان داده می شود مجموعه تمام عضوهایی است که در فضای نمونه است ولی در خود پیشامد A نیست
214
نمودار ون برای
وقوع متمم A ( ) به معنی عدم وقوع پیشامد A می باشد
A
S
215
قاعده متمم گیری
216
قاعده جمع پیشامدها
برای دوپیشامد سازگار
برای دوپیشامد ناسازگار
217
احتمال شرطی
شروط : 1- وقوع A به B مربوط بوده
2- B قبلاً رخ داده
3-
218
احتمال B به شرط A
شروط : 1- A قبلاً رخ داده
2-
219
قانون ضرب احتمالات
با استفاده از احتمـال شرطی می توان قانـون ضرب را برای محاسبه احتمال اشتراک پیشامدها بشرح زیر بیان نمود
یا
220
دو پیشامد مستقل
دو پیشامد را « مستقل » می گوییم ، در صورتی که وقوع یا عدم وقوع یکی در وقوع و یا عدم وقوع دیگری هیچ تاثیری نداشته باشد
221
احتمال برای پیشامدهای مستقل
چون A و B هیچ تاثیری بر روی هم ندارند برای محاسبه احتمال اشتراک آنها بشکل زیر عمل می شود :
222
شروط مربوط به احتمالات
شرط ناسازگار بودن دو پیشامد
شرط مستقل بودن دو پیشامد
223
حالات مختلف دو پیشامد نسبت به هم
پیشامدها نسبت به هم می تواند ، حالت سازگار و مستقل ، سازگار و غیر مستقل ، ناسازگار و غیر مستقل و . . . داشته باشند
224
قضیه بیز
این قضیه پژوهشگران را در تجدید نظر احتمالات ، در صورت دسترسی به اطلاعات جدید ، کمک می کند
فرمول
225
احتمالات پسین و پیشین
به احتمال وقوع پیشامدی قبل از کسب اطلاعات جدید « احتمال پیشین » و به احتمال وقوع آن پیشامد بعد از کسب اطلاعات جدید « احتمال پسین » می گویند
226
هدف این فصل آشناسازی دانشجویان با متغیرهای تصادفی گسسته ، توابع احتمال و توزیع های مربوط به آنهاست
توابع احتمال گسسته
فصل ششم
227
متغیر تصادفی
تابعی است که روی فضای نمونه تعریف می شود و هر یک از مقادیر آن ، متناظر با یک یا چند عضو از اعضای فضای نمونه است
228
دامنه و حوزه متغیر تصادفی
با توجه به این که هر تابع دارای دامنه و حوزه می باشد دامنه یک متغیر تصادفی نیز فضای نمونه ( S ) و حوزه اش مجموعه اعداد حقیقی است
229
انواع متغیر تصادفی
1- متغیر تصادفی گسسته ؛ با تعداد مقادیر متناهی یا شمارش پذیر
2- متغـیر تصادفی پیوسـته ؛ با تعداد مقادیر ممـکن نامتناهی و غیر قابل شمارش
230
نمایش متغیرهای تصادفی
متغیرهای تصادفی را با حروف بزرگ لاتین مثل Z و Y و X و هر یک از مقادیر انتخابی آنها را با حروف کوچک z و y و x نشان می دهند
231
تابع احتمال
به تابعی که بتوان با استفاده از آن احتمال هر یک از مقادیر ممکن متغیر تصادفی را مشخص کرد « تابع احتمال » یا « توزیع احتمال » گویند
232
دامنه و حوزه تابع احتمال
تابع احتمال تابعی است که دامنه آن مقادیر ممکن متغیر تصادفی و حوزه آن احتمالات مربوط به هر مقدار از متغیر تصادفی است
233
تابع توزیع ( تابع احتمال تجمعی )
تابع توزیع ، تابعی است که به ازای جمیع مقادیر ممکن متغیر تصادفی X ، احتمال وقوع مقداری کوچکتر یا مساوی با X را نشان می دهد
234
امید ریاضی
امید ریاضی متغیر تصادفی X که E(X) نشان داده می شود همان میانگین موزون است که احتمالات در آن ، نقش ضرایب ( وزن ها ) را ایفاء می کنند
235
فرمول امید ریاضی
امید ریاضی یک متغیر تصادفی از حاصل جمع ضرب هر متغیر تصادفی در مقدار احتمال خودش بدست می آید
236
واریانس متغیر تصادفی X
این واریانس با V(X) نشان داده شده و میزان پراکندگی را حول میانگین ( امید ریاضی ) نشان می دهد
237
فرمول های واریانس متغیر تصادفی X
238
تابع احتمال توام
تابع احتمال توام عبارتست از فهرستی از زوج های
و احتمال های متناظر با آنها ، یعنی
239
موارد استفاده تابع احتمال توام
هر گاه پژوهشگر بخواهد رفتار متغیری مثل X را در ارتباط با رفتار متغیر دیگری مثل Y بررسی نماید ، از این تابع استفاده می کند
240
احتمالات حاشیه ای
1- احتمالات حاشیه ای X : برای پیدا کردن تابع احتمال متغیر تصادفی X
2- احتمالات حاشیه ای Y : برای پیدا کردن تابع احتمال متغیر تصادفی Y
241
کواریانس
معیار عددی است که نوع و شدت رابطه خطی بین دو متغیر تصادفی را نشان می دهد و عبارتست از امید ریاضی تغییرات دو متغیر بر حسب میانگین شان
242
انواع رابطه بین دو متغیر
1- رابطه مستقیم : حرکت هم جهت متغیرها
2- رابطه معکوس : حرکت بصورت خلاف جهت هم
3- عدم وجود رابطه : عدم تاثیر متغیرها بر هم
243
مقادیر مختلف کواریانس
1- مثبت : در صورت وجود رابطه مستقیم بین متغیرها
2- منفی : در صورت وجود رابطه معکوس بین متغیرها
3- صفر : در صورت عدم وجود رابطه بین آنها (Y و X)
244
فرمول کواریانس
یا
در صورت گسسته بودن x و y
و
245
استقلال دو متغیر تصادفی
دو متغیر تصادفی X و Y در صورتی مستقل اند که به ازای تمام زوج های رابطه روبرو برقرار باشد
246
رابطه استقلال و کواریانس
x و y مستقل اند
اگر x و y مستقل باشند ، کواریانشان حتماً صفر است ولی عکس قضیه همیشه صادق نیست
247
توزیع برنولی
ویژگی ها :
1- آزمایش فقط یک بار صورت می گیرد
2- فقط دو پیامد ممکن دارد
3- احتمال موفقیت و شکست ثابت است ( البته در صورت تکرار آزمایش )
4- آزمایش ها مستقل از یکدیگر انجام می شوند
248
مفاهیم p و q درتوزیع برنولی
P یعنی احتمال موفقیت ( احتمال وقوع پیشامد مورد نظر )
q یعنی احتمال شکست ( احتمال عدم وقوع پیشامد مورد نظر )
p و q مکمل یکدیگر هستند
249
نمونه گیری و توزیع برنولی
نمونه گیری های بدون جایگزینی از جامعه باعث متغیر شدن احتمال موفقیت و شکست در آزمایش ها شده و توزیع را از حالت برنولی خارج می کند
250
نمونه گیری از جامعه بزرگ
نمونه گیری با جایگزینی از کلیه جوامع آماری و نمونه گیری بدون جایگزینی صرفاً از جوامع خیلی بزرگ ، می تواند به برنولی بودن توزیع کمک نماید
251
توزیع دو جمله ای
ویژگیها:
1- تکرار آزمایش ( n بار )
2- هر آزمایشی فقط دو پیامد دارد
3- ثابت بودن p و q در هر آزمایش
4- مستقل بودن آزمایش ها از همدیگر
252
فرمول توزیع دو جمله ای
253
اجزاء تشکیل دهنده توزیع دو جمله ای
تعداد آزمایش ها = n
تعداد موفقیت های مورد نظر = x
احتمال موفقیت در هر آزمایش = p
احتمال شکست در هر آزمایش = q
254
مقدار p و نوع توزیع
1- اگر p = 0/5 باشد ، توزیع متقارن
2- اگر p > 0/5 باشد ، توزیع چوله به چپ
3- و اگر p < 0/5 باشد ، توزیع چوله به راست است
255
جداول توزیع دو جمله ای
وقتی که n نسبتاً بزرگ است ، محاسبه احتمال از طریق فرمول کار خسته کننده ای می شود ، لذا برای رفع این مشکل از جدول های مخصوصی استفاده می شود
256
میانگین و واریانس توزیع دو جمله ای
1- E(X) = np
2- V(X) = npq
n و p و q پارامترهای توزیع دو جمله ای هستند
257
توزیع فوق هندسی
پیدا کردن احتمال این که ، از بین N شی که K تای آنها واجد شرایط است ، n شی را برگزینیم بطوریکه X تای آن واجد شرایط باشد
258
فرمول توزیع فوق هندسی
259
استفاده از توزیع دو جمله ای بعنوان تقریب
اگر n < %5N باشد می توان در محاسبه میزان احتمالات توزیع فوق هندسی از توزیع دوجمله ای کمک گرفت
260
علت تقریب
توزیع فوق هندسی برای نمونه گیری های بدون جایگذاری است ولی وقتی N بزرگ و n کوچک است p تقریباً ثابت می ماند ( ) و حالت توزیع دو جمله ای بخود می گیرد
261
توزیع پواسون
اگر n به سمت بی نهایت و p به سمت صفر میل کند و در عین حال مقدار np ثابت بماند ، می توان بجای توزیع دو جمله ای از توزیع پواسون استفاده نمود
262
فرمول توزیع پواسون
بعنوان پارامتر توزیع
و
263
امید ریاضی و واریانس توزیع پواسون
از بین کلیه توزیع های رایج ، توزیع پواسون تنها توزیعی است که میانگین و واریانس آن با هم برابرند
264
کاربردهای توزیع پواسون
1- بعنوان تقریب یا برآورد کننده میزان احتمال توزیع های دو جمله ای تحت شرایط خاص
2- محاسـبه احتمالات مربـوط به تعـداد مراجعات به سیستم با در واحد زمان ( t )
265
توزیع پواسون برای تعداد مراجعات
فرمول
میانگین مراجعات در واحد زمانی معین
266
هدف اصلی این فصل آشنا ساختن دانشجویان با متغیرهای تصادفی پیوسته و تعدادی از توابع مهم آنهاست
توابع احتمال پیوسته
فصل هفتم
267
احتمال در توابع پیوسته
بخاطر این که میزان احتمال در توابع پیوسته در یک نقطه معین مساوی صفر است ، لذا در این گونه توابع ، احتمال همیشه در قالب یک فاصله تعیین می شود
268
تابع چگالی احتمال
احتمال این که متغیر تصادفی پیوسته x مقداری بین دو نقطه a و b را بگیرد برابر است با
269
نقش علامت مساوی در احتمالات پیوسته
پس علامت مساوی در این توزیع ها نقشی ایفاء نمی کند
270
امید ریاضی متغیر تصادفی پیوسته
یعنی ضرب متغیر تصادفی در تابع چگالی خود و سپس انتگرال گیری به ازای مقادیر ممکن متغیر
271
واریانس متغیر تصادفی پیوسته
یعنی کسر متغـیر تصادفـی از میانگین خود ، به توان 2 رساندن نتیجه و ضرب نتیجه حاصله به تابع چگالی و انتگرال گیری
272
در این فصل دانشجویان با مهم ترین و کاربردی ترین نوع توزیع از زیر مجموعه توزیع های پیوسته آشنا می شوند
توزیع نرمال
فصل هشتم
273
تعریف توزیع نرمال
متغیر تصادفی پیوسته x در صورت داشتن تابع چگالی زیر دارای توزیع نرمال است
274
پارامترهای توزیع نرمال
X ≈ N ( µ , δ)
µ ( میانگین ) و δ( انحراف معیار ) دو پارامتر توزیع نرمال بوده و با مشخص بودن آنها ، منحنی توزیع قابل ترسیم می باشد
275
نقش میانگین در منحنی توزیع نرمال
در یک توزیع نرمال هر قدر میانگین افزایش یابد ، باعث می شود که منحنی آن بیشتر به سمت راست انتقال یابد
f(x)
x
276
نقش انحراف معیار در توزیع نرمال
هر قدر انحراف معیار افزایش یابد ، منحنی توزیع نرمال کوتاه تر (بعبارتی پهن تر) می شود
f(x)
x
=
>
277
خصوصیات توزیع نرمال
1- سطح زیر منحنی همیشه برابر یک است
2- f(x) همیشه بزرگتر یا مساوی صفر است
3- حداکثر مقدار تابع در X = µ می باشد
4- تابع حول میانگین ، متقارن است
278
ادامه ویژگی های توزیع نرمال
5- میانگین و واریانس X به ترتیب µ و می باشد
6- منحنی در محور X ها ، هیچ گاه به صفر نمی رسد
7- میانگین ، میانه و مد با هم برابرند
279
ادامه ویژگی ها
8- احتمال x با توجه به انحراف معیارهای مختلف بشرح ذیل است :
280
توزیع نرمال استاندارد
یعنی استاندارد کردن متغیر X ≈ N ( µ , δ ) با استفاده از متغیر نرمالی که میانگین آن صفر و واریانس اش یک است و سپس استفاده از جدول مربوطه
281
نحوه تبدیل متغیر x به متغیر نرمال استاندارد z
با کم کردن میانگین از متغیر x و تقسیم نتیجه آن بر انحراف معیار ، z بدست می آید
282
روش های استفاده از جدول توزیع نرمال استاندارد
1- استفاده مستقیم : مقدار Z مشخص است و احتمال آن را بدست می آوریم
2- استفاده معکوس : احتمال Z مشخص است و مقدار آن را بدست می آوریم
283
استفاده معکوس از جدول
پس از پیدا کردن Z با توجه به میزان احتمال اعلام شده ، مقدار X را با استفاده از این رابطه پیدا می کنیم
284
تقریب توزیع دو جمله ای بوسیله توزیع نرمال
اگر n بزرگ و p در نزدیکی های صفر یا یک نباشد ، تقریب نرمال با پارامترهای و تقریب خوبی برای توزیع دو جمله ای است
285
تصحیح پیوستگی
چون توزیع دو جمله ای ، توزیعی گسسته و توزیع نرمال ، توزیعی پیوسته است بنابراین هنگام استفاده از تقریب نرمال باید تصحیح پیوستگی صورت پذیرد (افزایش دامنه)
286
تقریب پواسون بوسیله نرمال
وقتی که میانگین توزیع پواسون نسبتاً بزرگ (λ≥10 ) می شود ، می توان بجای توزیع پواسون از فرمول توزیع نرمال استفاده کرد
287
پارامترهای توزیع نرمال هنگام برآورد تقریبی پواسون
میانگین ( µ ) و انحراف معیار ( δ ) عبارت خواهند بود از :
ضمناً استفاده از تصحیح پیوستگی نیز لازم است
288
در این فصل دانشجویان با فرآیند تصمیم ، انواع شرایط تصمیم گیری و معیارهای مختلف اخذ تصمیم در شرایط عدم اطمینان آشنا می شوند
نظریه تصمیم
فصل نهم
289
شش گام در نظریه تصمیم
1- تعریف روشن مساله 4- تعیین بازده ناشی از هر ترکیب
2- تعیین گزینه های ممکن 5- انتخاب یک مدل کمی
3- تعیین پیامدهای ممکن 6- بکارگیری مدل و اتخاذ تصمیم
290
شکل کلی جدول بازده یا جدول تصمیم
حالات طبیعت
گزینه ها
291
انواع شرایط تصمیم گیری
1- تصمیم گیری تحت شرایط اطمینان کامل
2- تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان
3- تصمیم گیری در شرایط ریسک
292
تصمیم گیری در شرایط اطمینان کامل
در این شرایط تصمیم گیرندگان با اطمینان ، پیامدهای هر گزینه یا تصمیمی را می دانند ، بنابرین گزینه ای را انتخاب می کنند که منافع آنها را حداکثر نماید
293
تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان
در این نوع تصمیم گیری ، تصمیم گیرنده نمی داند کدامیک از حالات طبیعت رخ می دهد در ضمن نمی تواند احتمال وقوع هر یک را مشخص کند
294
تصمیم گیری در شرایط ریسک
در این شرایط تصمیم گیرنده نمی داند کدام یک از حالات طبیعت واقع می شود ، ولی می تواند احتمال وقوع هر یک را مشخص کند
295
شکل انواع شرایط تصمیم گیری
افزایش دانش
ریسک
کاهش دانش
اطمینان کامل
عدم اطمینان
296
مهم ترین معیارهای تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان
1- حداکثر حداکثر
2- حداکثر حداقل
3- احتمالات مساوی
4- واقعگرایی
5- حداقل حداکثر غبن
297
معیار خوش بینانه ای است و تصمیم گیرنده تصور می کند که همه گزینه ها بیشترین بازدهی خود را خواهند داشت ، لذا سعی می کند از بین بهترها ، بهترین را انتخاب نماید
معیار حداکثر حداکثر
298
به معیار بد بینانه معروف است و تصمیم گیرنده ، ابتدا بدترین ( حداقل ترین ) حالت هر گزینه را انتخاب و سپس از بین آنها بهترین ( بازدهی حداکثر ) را بر می گزیند
معیار حداکثر حداقل
299
این معیار شانس حالات مختلف طبیعت را یکسان فرض کرده و بدین سبب بدنبال گزینه ای می گردد که متوسط بازده آن از بقیه گزینه ها بیشتر باشد
معیار احتمالات مساوی ( لاپلاس )
300
بر اساس این معیار یک تصمیم گیرنده منطقی نه زیاد خوش بین و نه زیاد بد بین است و سعی می کند تعادلی بین معیارهای خوشبنیانه و بد بنیانه ایجاد نماید
معیار واقع گرایی ( هورتیز )
301
= معیار واقع گرایی گزینه i
(حداقل بازده گزینه i)(α -1) + (حداکثر بازده گزینه i) α
فرمول معیار واقع گرایی هر گزینه
302
جدولی بنام « جدول غبن » تشکیل و حداکثر هر سطر را مشخص می کنیم سپس حداقل آنها را تعیین و گزینه متناظر با آن را انتخاب می نماییم
معیارحداقل حداکثر غبن
303
در صورتی که تصمیم گیرنده بتواند احتمال وقوع حالات مختلف طبیعت را برای مساله تصمیم ، تعیین کند ، تصمیم گیری از نوع ریسک خواهد بود
تصمیم گیری در شرایط ریسک
304
مهم ترین معیار در این شرایط ، « معیار ارزش پولی مورد انتظار » یا همان EMV است . ارزش پولی مورد انتظار همان امید ریاضی بازده است
معیار تصمیم گیری در شرایط ریسک
305
زمانی استفاده می شود که در مساله ای باید تصمیمات « پیچیده » و « متوالی » اتخاذ شود و در آن از معیار EMV و نمادهایی مثل دایره و مربع استفاده می شود
درخت تصمیم
306
در اغلب موارد تصمیم گیرنده ، موقع استفاده از معیار EMV ، درباره بازده ها و احتمالات نامطمئن است ، لذا از تحلیل حساسیت برای تعیین دامنه مطلوب برای بهترین گزینه استفاده می کند
تحلیل حساسیت
307
EVPI بازده مورد انتظار است اگر اطلاعات کامل ، قبل از اخذ تصمیم موجود باشند
ارزش مورد انتظار با اطلاعات کامل ( EVPI )
308
تفاوت بین ارزش مورد انتظار با اطلاعات کامل و ارزش مورد انتظار بهترین گزینه است ، بعبارتی :
EVPI – EMV= ارزش مورد انتظار اطلاعات کامل
ارزش مورد انتظار اطلاعات کامل
309
پایان