مدارهای مرتبه اول و دوم
مدارهای مرتبه اول
مدار مرتبه اول چیست؟
هر مداری که شامل تنها یک عنصر ذخیره کننده انرژی، تعدادی منبع و تعدادی مقاومت باشد مدار مرتبه اول نامیده می شود.
عنصر ذخیره کننده انرژی می تواند خازن یا مقاومت باشد.
یکی از خواص مدارهای مرتبه اول اینست که پاسخ مدار دارای تابع دیفرانسیلی درجه اول می باشد.
مفاهیم مربوط به مدارهای درجه اول
معادله دیفرانسیل و ویژگی ها و روشهای حل آن.
پاسخ طبیعی.
ثابت زمانی.
پاسخ گذرا و پاسخ ماندگار مدار.
انواع مدارهای مرتبه اول
بطور کلی دو نوع مدار مرتبه اول وجود دارد:
مدار RC: مدارهایی که دارای مجموعه ای از مقاومتها و منابع هستند و تنها یک خازن نیز در آنها وجود دارد.
مدار RL: مدارهایی که دارای مجموعه ای از مقاومتها و منابع هستند و تنها یک سلف نیز در آنها وجود دارد.
همانگونه که در مبحث مدارهای معادل نورتن و تونن گفته شد، هر مدار شامل منابع و مقاومتها را می توان بصورت ترکیب سری یک منبع ولتاژ و مقاومت (معادل تونن) یا ترکیب موازی یک منبع جریان و مقاومت (معادل نورتن) نمایش داد.
مدار RC
مدار RC
مدار RC از یک مقاومت و یک خازن تشکیل شده است. مجموعه مقاومت و منبع ولتاژ ممکن است معادل تونن یک مدار دیگر باشد.
روابط مدار RC
رابطه KVL را برای مدار نوشته و سپس آنرا تبدیل به یک معادله دیفرانسیل کرده و حل می کنیم:
vr(t) + vc(t) = vs(t)
همانگونه که دیده می شود معادلات دیفرانسیل بدست آمده درجه اول هستند. برای حل این معادله می توان از روشهای حل معادلات دیفرانسیل یا از روش لاپلاس استفاده کرد.
برای حل معادلات دیفرانسیل نیاز به دانستن شرایط اولیه است. شرایط اولیه با توجه به شکل مدار معلوم می شوند.
تعیین شرایط اولیه مدار RC
یکی از ویژگی های خازن اینست که ولتاژ آن بطور ناگهانی تغییر نمی کند.
در شکل زیر یک مدار RC نشان داده شده است که سوئیچ آن درست در زمان صفر بسته می شود و خازن شروع به شارژ می کند.
وضعیت مدارRC قبل از بستن کلید، درست بعد از بستن کلید و نهایتاَ پس از گذشت زمان طولانی از بستن کلید دیده می شود:
قبل از بستن
بلافاصله بعد از بستن
بعد از گذشت زمان طولانی
نکته: خازن در ابتدا شارژ و ولتاژ آن زیاد می شود ولی بعد از گذشت زمان جریان کمی از آن عبور می کند و با گذشت زمان، جریان عبوری به سمت صفر میل می کند. به همین دلیل خازن در زمان بی نهایت بعد از تغییر وضعیت کلید، مدار باز در نظر گرفته می شود.
معادله دیفرانسیل برای مدار زیر با استفاده از رابطه KCL نوشته شده و حل می گردد:
مثال از مدارRC
ولتاژ اولیه خازن برابر با صفر است. در لحظه t=0 کلید بسته می شود. رابطه ولتاژ خازن را برای زمانهای بعد از صفر بدست آورید.
حل
با توجه به شکل مدار
روابط زیر را می توان
نوشت:
ولتاژ منبع مقدارثابتی است و مشتق آن برابر با صفر می باشد. بنابراین:
یکی از جوابهای معادله فوق می تواند بفرم ke-1000t باشد.
با توجه به صورت مساله مقدار ولتاژ اولیه خازن برابر با صفر است و چون ولتاژ خازن تغییر ناگهانی ندارد، مقدار آن بلافاصله بعد از صفر نیز برابر با صفر خواهد ماند.
با جایگزینی شرایط فوق در معادله مقدار k بدست می آید.
1000 di/dt + i =0
از آنجا که بلافاصله بعد از بستن کلید، ولتاژ خازن برابر با صفر است:
Vs=R i0+ + Vc(0+)
100=105 i0+ + 0
i0+=10-3
یا به عبارت دیگر شرط اولیه مساله به اینصورت است:
i0+=10-3
با جایگذاری شرط اولیه در فرمول بدست آمده خواهیم داشت:
i(t)=10-3 e-1000t
مدار RC در حالت کلی
مدار مرتبه اول زیر را در نظر بگیرید. می خواهیم رابطه جریان را بدست آوریم.
حل
حل
با توجه به رابطه زیر یکی از جوابها بصورت ke-t/Rc می باشد.
از طرف دیگر با توجه به شکل مساله، پس از گذشت زمان طولانی مقدار ولتاژ خازن برابر با VT می شود. بنابراین فرم کلی جواب بصورت زیر است:
مثال از مدار RC
در مدار زیر ولتاژ اولیه خازن برابر با 30 ولت می باشد. درزمان t=0 کلید بسته می شود. مطلوبست رابطه جریان خازن i(t).
حل
ابتدا مقدارمقاومت معادل REQ را محاسبه می کنیم.
REQ=20||20+10=20K
و بنابراین مقدار ولتاژ خازن بصورت زیر بدست می آید:
با توجه به صورت مساله شرایط اولیه را اعمال می کنیم. مقدار ولتاژ اولیه خازن برابر با 30 می باشد. بلافاصله بعد از بستن کلید نیز ولتاژ ثابت خواهد ماند. بنابراین v0+=30V می باشد.
رابطه ولتاژ خازن بصورت زیر می باشد:
با مشتق گیری از رابطه ولتاژ رابطه جریان خازن بدست می آید.
روش دوم حل مدارهای RC
در قسمتهای قبلی با استفاده از روشهای حل معادلات دیفرانسیل و یا لاپلاس پاسخ مدار محاسبه می شد. روش دیگری نیز برای یافتن پاسخ مدارهای Rc وجود دارد.
ابتدا با استفاده از مقاومت معادل، ثابت زمانی مداربدست می آید:
سپس از فرمول زیر استفاده می شود:
e-t/RC*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار
مثال از مدار RC
همان مثال قبلی را از روش جدید حل کنید.
مقدار مقاومت معادل برابر با 20 کیلو اهم می باشد. بنابراین:
مقدار جریان اولیه برابر است با:
پس از گذشت زمان طولانی خازن دشارژ شده و مقدار جریان آن به صفر می رسد. بنابراین:
با استفاده از فرمول گفته شده مقدار جریان خازن بدست می آید:
مثال از مدار RC
در مدار زیر رابطه ولتاژ خازن را بدست آورید با این فرض که مقدار اولیه ولتاژ خازن برابر صفر است. منظور از U(t) تابعی است که برای زمانهای قبل از صفر مقدار آن برابر با صفر و برای زمانهای بعد از صفر مقدارآن برابر 1 می باشد.
+
vu (t)
–
vs (t) = u(t)
حل
ابتدا ثابت زمانی مدار را بدست می آوریم.
سپس مقادیر اولیه و نهایی ولتاژ را محاسبه می کنیم:
VC(0+)=VC(0-)=0
VC(∞)=1
حل
با استفاده از رابطه زیر ولتاژ خازن را بدست می آوریم.
e-t/RC*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار
VC(t)=1-(0-1)e-t/2
VC(t)=1-e-t/2
مثال از مدار RC
مدار زیر همراه مقادیر اولیه ولتاژهای آن داده شده است. مطلوبست مقدار ولتاژ v(t).
حل
خازنها با یکدیگر سری هستند. بنابراین خازن معادل آن بصورت زیر است:
مقدار ولتاژ اولیه مجموع دو خازن:
مدار دارای چند مقاومت میباشد و لازم است ابتدا معادل تونن آن را بدست آورد.
مقدار مقاومت معادل نیز بصورت زیر بدست می آید.
مقدار ثابت زمانی را محاسبه می کنیم
حل
با استفاده از فرمول زیر جواب بدست می آید.
e-t/RC*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار
مدارهای مرتبه اول RL
مدار های RL
مشابه مدارهای RC هستند و دارای یک سلف و تعدادی مقاومت و منبع می باشد. پاسخ مدار نیز جواب معادله دیفرانسیلی درجه اول است.
پاسخ مدار RL
مدار RL
در مدار زیر قبل از صفر جریانی از مدار عبور نمی کند. پس از بستن کلید رابطه جریان را بدست آورید.
حل
منحنی تغییرات پاسخ مدار مشابه مدار RC است و بصورت نمایی تغییر می کند. بطور کلی در مدارهای مرتبه اول پس از گذشت زمانی معادل 3 برابر ثابت زمانی پاسخ مدار تقریباً به مقدار نهایی خود می رسد.
تعیین شرایط اولیه مدار RL
یکی از ویژگی های سلف اینست که جریان آن بطور ناگهانی تغییر نمی کند.
در شکل زیر یک مدار RL نشان داده شده است که سوئیچ آن درست در زمان صفر بسته می شود و جریان در مدار برقرار می شود.
وضعیت مدارRL قبل از بستن کلید، درست بعد از بستن کلید و نهایتاَ پس از گذشت زمان طولانی از بستن کلید دیده می شود:
قبل از بستن
بلافاصله بعد از بستن
بعد از گذشت زمان طولانی
نکته: سلف در ابتدا مقاومت زیادی در مقابل عبور جریان از خود نشان می دهد ولی بعد از گذشت زمان جریان بیشتری از آن عبور می کند. بعبارت دیگرسلف در زمان بی نهایت بعد از تغییر وضعیت کلید، اتصال کوتاه در نظر گرفته می شود.
روشهای یافتن پاسخ مدار RL
مشابه آنچه که برای مدار RC گفته شد به دو طریق می توان پاسخ مدار را بدست آورد.
در روش اول با استفاده از حل معادله دیفرانسیل یا روش لاپلاس جواب بدست می آید.
در روش دوم از فرمول زیر استفاده می شود:
e-tR/L*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار
مثال از مدار RL
در مدار زیر L1=10mH و L2=30mH و R1=2K و R2=6K و iL(0-)=100mA می باشد. مطلوبست رابطه جریان سلف در زمانهای بعد از بستن کلید.
حل
سلفها با هم سری و مقاومتها موازی هستند. بنابراین:
ثابت زمانی مدار برابر با L/R می باشد. بنابراین:
می توان رابطه جریان سلف را بصورت زیر نوشت:
با استفاده از روابط تقسیم کننده جریان می توان جریان مقاومتها را بدست آورد.
مثال از مدارRL
در مدار زیر کلید درست در لحظه صفر بسته می شود. مطلوبست معادله جریان مدار.
حل
در لحظه قبل از صفر i(0-)=0 می باشد و جریانی از سلف نمی گذرد.
در زمان بی نهایت بعد از بسته شدن کلید نیز سلف اتصال کوتاه فرض می شود و بنابراین:
i(∞)=10/2=5A
حال ثابت زمانی مدار را بدست می آوریم.
با داشتن ثابت زمانی، مقدار اولیه و مقدارنهایی می توان رابطه جریان را نوشت:
ثابت زمانی=L/R=5/2=2.5
i(t)=5+(0-5) e-t/2.5=5(1-e-t/2.5)
e-tR/L*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار
مثال از مدار RL
در مدار زیر مقدار جریان سلف را بعد از باز کردن کلید بدست آورید.
حل
در لحظات قبل از صفر کلید بسته است و جریان از هر دو مقاومت عبور می کند. در این حالت سلف مثل یک اتصال کوتاه عمل می کند:
i(0-) =10/)2||2)=10A
از آنجا که جریان سلف تغییر ناگهانی ندارد، داریم:
i(0+)=i(0-)=10A
بعد از گذشت مدت زمان زیادی از تغییر وضعیت کلید، سلف دوباره مشابه اتصال کوتاه عمل می کند:
i(∞)=10/2=5A
پس از باز کردن کلید، مقاومتی که توسط سلف دیده می شود برابر با 2 اهم می باشد. بنابراین ثابت زمانی آن برابر است با:
ثابت زمانی=L/R=5/2=2.5S
با استفاده از رابطه زیر معادله جریان سلف را بدست می آوریم:
e-tR/L*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار
i(t)=5+(10-5) e-t/2.5=5(1+e-t/2.5)
مدارهای مرتبه اول با دو کلید
در بعضی از مدارها بیش از یک کلید وجود دارد و دو تغییر وضعیت درمدار داریم. در اینگونه موارد باید ابتدا معادله جریان یا ولتاژ را محاسبه کرد و در زمان تغییر وضعیت کلید دوم مقدار جریان یا ولتاژ سلف یا خازن بعنوان مقادیر اولیه جدید استفاده می شوند.
مثال از مدارهای مرتبه اول با دو کلید
در مدار زیر کلید اول در زمان صفر باز می شود و در زمان t=10 کلید دوم بسته می شود. معادله جریان مقاومت 2 اهم سمت چپ را بدست آورید.
حل این مساله شامل دو قسمت است:
قسمت اول از زمان صفر تا 10 ثانیه است که باید شرایط اولیه و نهایی را بدست آورد.
قسمت دوم از زمان 10 ثانیه به بعد است که دوباره باید شرایط اولیه و نهایی را بدست آورد.
قسمت اول از صفر تا 10 ثانیه
در زمان قبل از صفر که کلیدها تغییر وضعیت نداده اند خازن مشابه مدار باز عمل می کند:
Vc(0-)=5 (2 || 2)=5V
ولتاژ خازن تغییر ناگهانی ندارد و بنابراین:
VC(0+)=VC(0-)=5V
iR(0+)=5/2=2.5A
در زمانهای بعد از صفر و کمتر از 10 ثانیه خازن به حالت پایدار خود می رسد و دوباره مشابه مدار باز عمل می کند:
iR(∞)=5A
VC(∞)=5*2=10V
مقاومت دیده شده توسط خازن برابر با 2 اهم است و بنابراین ثابت زمانی برابر است با:
= RC = (2) (3F) = 6s
بنابراین معادله جریان مقاومت برابر است با:
iR(t)=5 + (2.5 – 5)e-t/
iR(t)=5 – 2.5 e-t/6
برای زمانهای بین صفر تا 10 ثانیه
VC(t)=10 + (5-10) e-t/6
قسمت دوم از 10 ثانیه به بعد
در t=10 کلیدها تغییر وضعیت می دهند. مقدار ولتاژ خازن در t=10 بعنوان شرط اولیه برای قسمت دوم استفاده می شود. در قسمت اول، رابطه زیر را برای ولتاژ خازن بدست آوردیم:
VC(t)=10 + (5-10) e-t/6
VC(10-)=10 + (5-10) e-10/6=9.06V
VC(10+)= VC(10-)=9.06V
iR(10+)=9.1V/2 = 4.53V
برای زمانهای بعد از 10 ثانیه (زمان بی نهایت)، جریان را با توجه به شکل زیر محاسبه می کنیم:
iR()=2.5A
ثابت زمانی مدار نیز بصورت زیر بدست می آید:
RTH = 2 || 2 = 1
= RC = (1) (3F) = 3S
بنابراین رابطه جریان مقاومت بصورت زیر می باشد:
iR(t)=2.5 + (4.53 – 2.5)e-(t-10)/3
مدارهای مرتبه دوم
مدار مرتبه دوم چیست؟
مدارهایی که دارای تعدادی مقاومت و منبع، یک خازن و یک سلف می باشند. این مدارها بر دو نوع هستند، مدار RLC سری و مدار RLC موازی.
سری
موازی
مدار RLC موازی
مدار RLC سری
فرم کلی معادلات
سری
a 1
b Rth/L
c 1/(LC)
موازی
1
1/(RthC)
1/(LC)
فرم کلی جواب
فرم کلی جواب مدارهای مرتبه دوم بصورت زیر است:
مقدار نهایی + پاسخ طبیعی=پاسخ مدار
که مقدار نهایی در واقع پاسخ مدار است وقتی که مدار به حالت پایدار خود رسیده باشد یا بعبارت دیگر با فرض مدارباز بودن خازنها و اتصال کوتاه بودن سلفها، پاسخ مدار محاسبه می شود.
پاسخ طبیعی
برای بدست آوردن پاسخ طبیعی معادله دیفرانسیلی را حل می کنیم:
با حل معادله درجه دوم، ریشه های معادله بدست می آید:
بسته به مقادیر ریشه ها سه حالت ممکن است اتفاق افتد که فوق میرا، میرای بحرانی و زیر میرا نامیده می شوند.
حالت فوق میرا
اگر b2 > 4ac باشد مقادیر p1 و p2 حقیقی هستند و جواب معادله دیفرانسیلی (پاسخ گذرا) بصورت زیراست:
که مقادیر p1 و p2 معلوم هستند ولی مقادیرA1 و A2 باید معلوم شوند.
حالت میرای بحرانی
این حالت زمانی اتفاق می افتد که b2 = 4ac باشد. با توجه به آنچه از معادلات دیفرانسیل می دانیم فرم جواب بصورت زیر است:
که مشابه حالت قبل مقادیر p1 و p2 معلوم هستند ولی مقادیر A1 و A2 باید معلوم شوند.
حالت زیر میرا
این حالت زمانی اتفاق می افتد که b2 < 4ac باشد. با توجه به آنچه از معادلات دیفرانسیل می دانیم فرم جواب بصورت زیر است:
که مشابه حالت قبل مقادیر p1 و p2 معلوم هستند ولی مقادیرC و باید معلوم شوند.
مثال از RLC سری
در یک مدار RLC سری مقدار C=0.25uF و L=1H می باشند. برای مقادیر مختلف مقاومت RT=8.5kΩ و 4k و 8k مشخص کنید که مدار زیرمیرا، فوق میرا یا میرای بحرانی است.
حل
تعریف: معادله زیر که از حل آن مقادیر فرکانسهای طبیعی بدست می آید را معادله مشخصه می نامند:
برای مشخص کردن اینکه مدار در کدام یک از حالات زیرمیرا، فوق میرا یا میرای بحرانی است، باید معادله مشخصه را نوشته و حل کرد.
RT=8.5KΩ
در حالت سری a=1 و b=R/L و c=1/LC میباشند. بنابراین:
با توجه به اینکه مقدار b2-4ac=56.25*106 بزرگتر از صفر می باشد، معادله دو جواب حقیقی دارد و مدار در حالت فوق میرا قرار دارد.
p1=-8000
p2=-500
RT=4KΩ
دوباره معادله مشخصه تشکیل می شود و ریشه ها را بدست می آوریم:
a=1 و b=R/L و c=1/LC
a=1 و b=4000 و c=4*106
b2-4ac=16*106-16*106=0
بنابراین مدار در حالت میرای بحرانی قرار دارد. و هر دو ریشه معادله برابر هم و -2000 هستند.
RT=1KΩ
معادله مشخصه تشکیل می شود و ریشه ها را بدست می آوریم:
a=1 و b=R/L و c=1/LC
a=1, b=1000, c=4*106
b2-4ac=106-16*106=-15*106
در این حالت مدار دارای دو ریشه موهومی است و بنابراین در حالت زیر میرا قرار دارد:
مدار با فرکانس 1936 نوسان میکند:
مثال از مدار RLC موازی
در مدار RLC زیر ابتدا مقادیر اولیه ولتاژ خازن و جریان سلف را بدست آورید. سپس رابطه ولتاژ خازن را برای زمانهای بعد از بسته شدن کلید بدست آورید.
حل
در زمانهای قبل از صفر که کلید تغییر وضعیت ندارد، سلف مانند اتصال کوتاه و خازن مدار باز درنظر گرفته می شود. بنابراین جریان سلف برابر است با:
iL(0-) =9/(250+50)=30mA
VC(0-)=0
حال با استفاده از روابط گفته شده برای مدارهای RLC پاسخ مدار را بدست می آوریم. برای RLC موازی a=1 و b=1/RC و c=1/LC می باشند.
a=1
b=1/(50*4*10-6)=5000
c=1 /(4*10-6)=25*104
توجه به این نکته لازم است که بعد از بسته شدن کلید تنها مقاومت 50 اهم در مدار RLC وجود دارد.
حال معادله مشخصه را نوشته و حل می کنیم:
بنابراین مدار در حالت فوق میرا قرار دارد و پاسخ آن بشکل زیر است:
برای یافتن مقادیر مجهول از شرایط اولیه استفاده می کنیم:
خازن و سلف با هم موازی هستند بنابراین می توان از ولتاژ اولیه خازن بعنوان یکی از شروط اولیه استفاده کرد:
دو رابطه بدست آمده تشکل یک دستگاه دو معادله دو مجهول می دهند:
با حل دستگاه مقادیر مجهولات بدست می آید و داریم:
از آنجا که خازن و سلف با هم موازی هستند می توان نوشت:
حال می توان جریان عبوری از سوئیچ را برای زمانهای بعد از صفر بدست آورد.
پاسخ پله مدار RLC
همانگونه که قبلاً گفته شد پاسخ کامل مدار RLC شامل دو قسمت است:
مقدار نهایی + پاسخ طبیعی=پاسخ مدار
در حالتی که منبعی در مدار وجود دارد وبه آن انرژی می دهد، باید مقدار نهایی هم محاسبه شود و در هنگام یافتن ضرایب مجهول پاسخ مدار، از آنها استفاده شود.
مثال از پاسخ پله مدار RLC
در مدار زیر شرایط اولیه صفر است. ولتاژ خازن را برای زمانهای بعد از صفر بدست آورید.
حل
مدار RLC سری است و بنابراین داریم:
از حل معادله فوق پاسخ طبیعی مدار بدست می آید:
با توجه به وجود منبع ولتاژ در مدار باید پاسخ نهایی را نیز به رابطه فوق اضافه کنیم:
حال با استفاده از شرایط اولیه مقادیر مجهولات را در ربطه فوق بدست می آوریم:
از حل دستگاه فوق مقادیر k1 و k2 بصورت زیر بدست می آیند:
K1=-10 , K2=-2.58
نحوه تغییرات ولتاژ خازن بصورت زیر است:
خلاصه ای از روش حل مدارهای RLC
با توجه به سری یا موازی بودن مدار RLC چندجمله ای مشخصه را تشکیل دهید.
با استفاده از روشهای حل معادلات دیفرانسیل یا روش لاپلاس، جواب معادله مشخصه را بدست آورید.
مقدارنهایی پاسخ را با فرض مدار باز بودن خازن و اتصال کوتاه بودن سلف بدست آورده به معادله اضافه کنید.
با استفاده از شرایط اولیه، مجهولات موجود در پاسخ را بدست آورید.
پایان