پاورپوینت مدارهای الکتریکی جزوه درسی

مدارهای الکتریکی

رئوس مطالب
معرفی عناصرالکتریکی و روابط آنها
مدارهای معادل نورتن و تونن
قوانین جریان و ولتاژ کیرشهف
روشهای ولتاژ-گره و جریان-خانه
مدارهای مرتبه اول
مدارهای مرتبه دوم

معرفی عناصر الکتریکی و روابط آنها

مقاومت الکتریکی
واحد اندازه گیری آن اهم می باشد.
بین جریان و ولتاژ آن همیشه قانون اهم برقرار است:
V=R I
کهR مقاومت، I جریان و V ولتاژ است.

خازن
واحد اندازه گیری آن فاراد می باشد.
رابطه ولتاژ و بار الکتریکی خازن بصورت زیر می باشد:

که C ظرفیت، q بار الکتریکی و v ولتاژ خازن می باشند.

روابط خازن

نکته: ولتاژ خازن بطور ناگهانی تغییر نمیکند.
I جریان و v ولتاژ خازن می باشند:
i =c (dv/dt )

ترکیب موازی خازنها

ترکیب سری خازنها

سلف (القاگر)
واحد اندازه گیری آن هانری (H) میباشد.
روابط آن بصورت زیر میباشد که L القاکنایی، w انرژی، i جریان و v ولتاژ سلف میباشد.
نکته: جریان سلف تغییر ناگهانی ندارد.

روابط سلفهای سری

روابط سلفهای موازی

منابع ولتاژ
منابع ولتاژ همواره دارای ولتاژ ثابتی هستند و ولتاژ آنها بستگی به میزان جریان آنها ندارد.
منابع ولتاژ بر دو نوع هستند، منابع ولتاژ مستقل و منابع ولتاژ وابسته.
میزان ولتاژ منابع ولتاژ وابسته، بستگی به جریان یا ولتاژ قسمت دیگری از مدار دارد.
–
v = r ic
یا
v = b vc

+
منبع ولتاژ
وابسته

منابع جریان
منابع جریان همواره دارای جریان ثابتی هستند و جریان آنها بستگی به میزان ولتاژ آنها ندارد.
منابع جریان بر دو نوع هستند، منابع جریان مستقل و منابع جریان وابسته.
میزان جریان منابع جریان وابسته، بستگی به جریان یا ولتاژ قسمت دیگری از مدار دارد.

i = g vc
یا
i = d ic

منبع جریان وابسته

اصل جمع آثار
در مدارهایی که چند منبع ولتاژ وجود دارد، هر بار تنها یکی از آنها را در نظر گرفته و با صفر کردن بقیه منابع، پاسخ مدار محاسبه میشود. این عمل برای همه منابع انجام میشود و در نهایت همه پاسخهای محاسبه شده با هم جمع میشوند تا جواب نهایی بدست آید.
منظور از پاسخ مدار، مجهولی است که در مساله خواسته شده است.

نکته: برای صفر کردن منابع ولتاژ، آنها را اتصال کوتاه و منابع جریان را مدار باز میکنیم.

مثال
در مدار زیر با استفاده از اصل جمع آثار مقدار ولتاژ VX را بدست آورید.

حل مثال
برای حل، مشابه آنچه که در شکلهای بالا دیده میشود، هربار تنها یکی از منابع در نظر گرفته میشود و سایر منابع صفر میشوند. مقادیر VX1 و VX2 بصورت زیر محاسبه میشوند:

i1=5/(1+2+1)=1.25mA
VX1=2 i1=2.5 V

i2=50*1/(1+3)=12.5mA
VX2=-2 i2=-25V

V=VX1+VX2=2.5-25
V=-22.5V

چند مدار ساده

مدار تقسیم کننده ولتاژ
مدار تقسیم کننده ولتاژ ازترکیب یک منبع ولتاژ و مقاومتهای سری تشکیل شده است.
برای بدست آوردن رابطه روبرو، ابتدا جریان مدار محاسبه و سپس ولتاژ هر یک از مقاومتها بدست می آید.

مثال
در مدار زیر با استفاده از روابط تقسیم کننده ولتاژ مقدار ولتاژ VX را بدست آورید.

حل
برای حل مساله با توجه به موازی بودن مقاومتهای 40K، ابتدا مداربصورت روبروساده می شود.
برای مدار جدید با استفاده از روابط تقسیم کننده ولتاژ می توان نوشت:

Vx=10*20/(10+20)=6.67V

مدار تقسیم کننده جریان
مدار تقسیم کننده جریان ازترکیب یک منبع جریان و مقاومتهای موازی تشکیل شده است.
برای بدست آوردن رابطه روبرو، ابتدا ولتاژ مدار محاسبه و سپس جریان هر یک از مقاومتها بدست می آید.
منظور از Gi هدایت الکتریکی مقاومت iام و برابر با 1/Ri میباشد.

مثال

در مدار روبرو با استفاده از روابط تقسیم کننده جریان مقدار جریان iX را بدست آورید.

حل
با توجه به روابط گفته شده در قسمت قبل همچنین موازی بودن سه مقاومت 1K,10K,1K میتوان نوشت:

ix=100*0.5/(0.5+10)
=4.76mA
از آنجا که دو مقاومت 1k با یکدیگر موازی هستند، بجای آنها از مقاومت 0.5K استفاده شده است.

تبدیل ستاره-مثلث و برعکس
Y
Y  

مدارهای معادل نورتن و تونن

مدارهای معادل تونن و نورتن
مدارهای معادل نورتن و تونن تکنیکهایی برای ساده سازی بعضی از مدارهای الکتریکی هستند.
همه مدارهای خطی که فقط دارای مقاومتها و منابع هستند را میتوان بفرم معادل نورتن یا تونن تبدیل کرد.
مدار معادل تونن
مدار معادل نورتن

مدار معادل تونن
یکی از روشها برای یافتن مدار معادل تونن به اینصورت است که:
ابتدا با فرض مدار باز بودن ترمینالهای a وb، ولتاژ بین آن دو Vab را محاسبه میکنیم.
سپس با اتصال کوتاه کردن ترمینالهای a و b، جریان اتصال کوتاه ISc محاسبه میشود.

با تقسیم کردن ولتاژ Vab بر ISC مقدار مقاومت تونن که همان RTh میباشد، بدست میآید.
مقدار ولتاژ منبع ولتاژ در مدار معادل تونن همان ولتاژ مدار باز Vab میباشد.
VTh=Vab/ISC
VTh=Vab

مثال
مدار معادل تونن مدار زیر را بدست آورید.

حل
برای حل مساله از اصل جمع آثار استفاده می کنیم:

از آنجا که مقاومت 4 اهمی از طرف پایانه a مدار باز است از آن جریانی عبور نمیکند. بنابراین با استفاده از روابط تقسیم کننده ولتاژ داریم:
Vab1=25*20/(20+5)=20V

اینبار با صفر کردن منبع ولتاژ ، مقدار ولتاژ Vab2 محاسبه میشود:
R=R1|| R2=5*20/(5+20)=4Ω
Vab2=3*4=12V

بنابراین مقدار Vab برابر خواهد شد با:
Vab=Vab1+Vab2=20+12=32V
حال با فرض اتصال کوتاه بودن ترمینالهای a و b مقدار جریان اتصال کوتاه محاسبه می شود:

با استفاده از اصل جمع آثار مقدار جریان اتصال کوتاه برابر 4 آمپر بدست می آید ISC=4A.
مقادیر منبع ولتاژ و مقاومت تونن بصورت زیر محاسبه میشوند:
VTh=Vab=32V
RTh=Vab/ISC=32/4=8Ω

روش دوم محاسبه مدارمعادل تونن
برای بدست آوردن مقاومت تونن می توان به اینصورت عمل کرد که ابتدا تمام منابع ولتاژ و جریان مستقل را صفر کرده و مقاومت معادل دیده شده از دو سر a وb محاسبه میشود. این مقاومت همان مقاومت معادل تونن RTh میباشد.
مقدار ولتاژ منبع ولتاژ معادل تونن VTh مشابه حالت قبل محاسبه میشود و همان Vab با فرض مدارباز بودن دو سر a و b میباشد.

مثال
برای مدار زیر مدار معادل تونن را بدست آورید (همان مدار مثال قبلی(.

حل
نحوه محاسبه ولتاژ VTh مشابه مثال قبلی است و مقدار آن برابر با 32V میباشد.
برای محاسبه RTh، ابتدا تمام منابع مستقل را صفر میکنیم و مدار زیر حاصل میشود. سپس مقدار مقاومت معادل دیده شده از دو سر a و b را محاسبه میکنیم:

از آنجا که مقاومتهای 5 و 20 اهمی با هم موازی و مجموعه آنها با مقاومت 4 اهمی سری هستند، مقاومت معادل کل از رابطه زیر بدست میآید:

R=(5||20)+4=5*20/(5+20)+4
R=4+4=8Ω
RTh=8Ω

حالت خاص
در بعضی موارد که در مدار منابع ولتاژ یا جریان وابسته وجود دارد، برای یافتن مقاومت معادل میتوان یک منبع ولتاژ آزمون VT به دو سر a و b اعمال کرد و جریان ورودی به مدار IT را محاسبه کرد. مقدار مقاومت تونن از رابطه زیر قابل محاسبه است:
RTh=VT/IT

مقاومت معادل تونن مدار زیر را بدست آورید:
(توجه کنید که منبع جریان وابسته است.)

مثال از حالت خاص

حل
از آنجا که منبع ولتاژ داخل مدار وابسته است نباید آنرا صفر کرد. با اعمال یک منبع ولتاژ ولتاژ مستقل در پایانه های a و b مدار زیر بدست میآید:

با توجه به اینکه i و IT مساوی و در جهت مخالف هستند، بنابراین i=-IT خواهد بود.
i1=(VT-1.5 i)/3
i2=VT/2
IT=i1+i2=(VT-1.5 i)/3+VT/2=5VT/6- 0.5 i
IT=(5/3)VT
RTh=VT/IT=3/5=0.6Ω
بنابراین مقدار مقاومت تونن برابر با 0.6 اهم میباشد.

مدار معادل نورتن
مشابه آنچه برای مدار معادل تونن گفته شد، می توان بجای هر مدار شامل مقاومتها، منابع مستقل یا وابسته ولتاژ یا جریان از ترکیب موازی یک منبع جریان و یک مقاومت استفاده کرد.

بجای مدار سمت چپ از معادل آن می توان استفاده کرد که در سمت راست نشان داده شده است.

نحوه محاسبه مدار معادل نورتن
شامل دو مرحله است:
1-یافتن مقاومت نورتن
2- یافتن مقدار منبع جریان نورتن

مقاومت نورتن
نحوه یافتن مقاومت نورتن مشابه روشهای یافتن مقاومت تونن است.
با محاسبه ولتاژ ترمینالهای خروجی وقتی که مدار باز هستند و سپس محاسبه جریان اتصال کوتاه ترمینالهای خروجی. R=V/ISC
تمامی منابع مستقل ولتاژ و جریان برابر با صفر قرار داده می شود، سپس مقاومت معادل محاسبه می شود.

منبع جریان نورتن
مقدار جریان منبع جریان نورتن، برابر است با همان جریان اتصال کوتاه ترمینالهای خروجی.
توضیح: در صورتیکه مدار معادل تونن موجود باشد، از رابطه زیر هم می توان جریان منبع را بدست آورد:
IN=VTh/RTh

مثال
مدار معادل نورتن مدار زیر را بدست آورید:

حل
ابتدا جریان اتصال کوتاه را محاسبه می کنیم:

با استفاده از اصل جمع آثار مقدار جریان 4 آمپر بدست می آید.
ISC=4A

همانگونه که بعداً نیز اشاره خواهد شد، برای یافتن جریان اتصال کوتاه می توان از روشهای دیگری مثل ولتاژ-گره، جریان-خانه، KCL و یا KVL استفاده کرد.

مقاومت نورتن
برای یافتن مقاومت نورتن منابع مستقل را صفر کرده مقومت دیده شده را محاسبه می کنیم:
R=4+(5||20)=4+4=8

بنابراین مدار معادل نورتن بشکل زیر است:

انتقال توان ماکزیمم

انتقال ماکزیمم توان
تصور کنید مداری شامل ترکیبی از مقاومتها، منابع مستقل یا وابسته جریان ویا ولتاژ باشد که دو ترمینال خروجی a و b آن به مقاومت بار (مصرف کننده) RL متصل شده باشد. می خواهیم مقدار مناسب RL را بیابیم بطوری که حداکثر توان به مقاومت بار منتقل شود.

شبکه مقاوتی که شامل منابع وابسته یا مستقل جریان یا ولتاژ می باشد.

برای یافتن مقدار مناسب مقاومت بار، ابتدا شبکه مقاومت و منابع را بصورت یک مدار معادل تونن نمایش میدهیم. سپس رابطه توان را برای مقاومت بار نوشته و از آن مشتق گرفته تا مقدار بهینه بدست آید. از حل این معادله مقدار مقاومت بار برابر با مقدار مقاومت تونن بدست می آید.
RL=RTh

مثال
در مدار زیر با تغییر مقاومت بار از صفر تا 10 اهم مقدار توان مصرفی در مقاومت بار را رسم کرده و مقدار ماکزیمم آن به ازای چه مقداری از مقاومت بار اتفاق می افتد؟

حل
با استفاده از رابطه توان و مقادیر مقاومت و منبع، منحنی زیر بدست میآید:
همانگونه که دیده میشود مقدار ماکزیمم توان به ازای مقاومت بار 5 اهم بدست میآید که برابر با مقدار مقاومت تونن است.

تبدیل منابع
در بعضی موارد تبدیل منبع جریان به منبع ولتا‍ژ یا برعکس، باعث سادگی مساله می شود.
می توان بجای منبع ولتاژ سری با مقاومت، از یک منبع جریان موازی با مقاومت استفاده کرد.

قوانین جریان و ولتاژ کیرشهف

بعضی تعاریف اولیه
گره(Node): محل اتصال دو یا بیشتر عنصر الکتریکی به یکدیگر را گره میگویند.
حلقه(Loop): هر مسیر بسته در داخل مدار الکتریکی را گویند.
مسیر: مجموعه عناصری که میتوان آنها را بدون عبور مجدد از یک گره پیمود.
شاخه: مسیری که تنها از یک عنصر و دو گره مربوط به دو سر آن عنصر تشکیل میشود.

قانون جریان کیرشهف
این قانون اصطلاحاً Kirchhoff’s Current Law یا KCL نیز نامیده میشود بصورت زیر است:
مجموع جبری تمام جریانها در هر گره از مدار همواره برابر با صفر است.
به عبارت دیگر مجموع جریانهای ورودی در هر گره برابر با مجموع جریانهای خروجی از آن گره است.
نکته: در هنگام نوشتن معادلات KCL جریانهای خروجی را با علامت مثبت و جریانهای ورودی را با علامت منفی نمایش میدهیم.

مثال از KCL
در مدار زیر با استفاده از روابط KCL جریانهای هر شاخه را بدست آورید.
R2= 20
I=5A
R1=10
R3= 5
+
_
+
_
+
_
گره 1
گره 2
گره 3

Node 1: +I – i1 = 0 V2=V3
Node 2: +i1 – i2 – i3 = 0 R2 i2=R3 i3
Node 3: +i2 + i3 – I = 0 20 i2=5 i3
حل

برای هر گره یک معادله نوشته شد و سه معادله بدست آمد در حالیکه مجهولهای مساله i1, i2, i3, I هستند. برای یافتن جواب نیاز به داشتن یک معادله دیگر است.
با توجه به شکل مساله I، همان مقدار جریان منبع جریان و برابر با 5 میباشد. بنابراین I=5 معادله بعدی است.
با حل دستگاه چهار معادله، چهار مجهول، مقادیر جریانهای هر شاخه بدست میآید.
I=5 , i1=5 , i2=1 , i3=4A
V1=50 , V2=V3=20V

قانون ولتاژ کیرشهف
این قانون اصطلاحاً Kirchhoff’s Voltage Law یا KVL نیز نامیده میشود بصورت زیر است:
مجموع جبری ولتاژ تمام عناصر الکتریکی در هر حلقه از مدار الکتریکی همواره برابر با صفر است.
نکته: در هنگام نوشتن معادلات KVL هرگاه از طرف علامت مثبت وارد یک عنصر شویم، آن ولتاژ را با علامت مثبت جمع میکنیم و اگر از طرف علامت منفی وارد عنصر شویم، آن ولتاژ را با علامت منفی جمع میکنیم.

مثال از KVL
در مدار زیر با استفاده از روابط KVL مقادیر جریانها و ولتاژها را بدست آورید:
R2= 20
V= 5v
R1=10
+
_
+
_
+
_

حل
برای حل مدار از نقطه نشان داده شده در شکل شروع کرده و رابطه KVL را مینویسیم:
-V+ VR1+VR2 = 0

برای حل مدار نیاز به روابط دیگری نیز میباشد که با توجه به شکل، آنها را مینویسیم:
V=5V
iV = iR1 = iR2
VR1=10 iR1
VR2=20 iR2
R2= 20
V= 5v
R1=10
+
_
+
_
حلقه 1
+
_

از حل دستگاه معادلات بالا مقادیر جریانها و ولتاژها بصورت زیر بدست می آیند:
V=5V
VR1=5/3
VR2=10/3
iR1=iR2=5/30

روش ولتاژ-گره

چرا روشهای جدید؟
روشهای ولتاژ-گره و جریان-خانه دو روش برای حل مدارهای الکتریکی هستند که نسبت به روشهای حل مدار گفته شده تا حال، دارای مزایایی هستند:
همه مدارهای الکتریکی را نمی توان با روشهای قبلی حل کرد در حالیکه با روشهای جریان-خانه و ولتاژ-گره میتوان همه مدارهای الکتریکی را تحلیل کرد.
روشهای جریان-خانه و ولتاژ-گره را میتوان بصورت الگوریتمهای کامپیوتری پیاده سازی کرد ولی روشهای قبلی را نمیتوان بصورت الگوریتم مشخصی برای همه مدارها بکار برد.
در روشهای قبلی مشخص نمودن و نوشتن معادلات مستقل از هم، مشکل است در حالیکه در روشهای ولتا‍ژ-گره و جریان-خانه معادلات مستقل از هم میباشند.

روش ولتاژ-گره
این روش بر اساس معادلات KCL می باشد و متغییرها ولتاژ گره ها هستند. این روش شامل 4 مرحله می باشد:
1-مشخص نمودن تمام گره های اصلی و انتخاب یکی از آنها بعنوان گره مبنا.
2-شماره گذاری سایرگره ها.
3- نوشتن روابط KCL برای همه گره ها بجز گره مبنا. متغیرهای بکاررفته در معادلات ولتاژهای گره ها هستند.
4- تشکیل دستگاه n معادله، nمجهول و حل آن.

مثال از ولتاژ-گره
در مدار زیر با استفاده از روش ولتاژ-گره، مقادیر جریان و ولتاژ هر یک از مقاومتها را بدست آورید.

500W

1-مشخص نمودن تمام گره های اصلی و انتخاب یکی از آنها بعنوان گره مبنا.
2-شماره گذاری سایرگره ها.
3- نوشتن روابط KCL برای همه گره ها بجز گره مبنا. متغیرهای بکاررفته در معادلات ولتاژهای گره ها هستند.
4- تشکیل دستگاه n معادله، nمجهول و حل آن.

حل

ابتدا یکی از گره ها را بعنوان گره مبنا را انتخاب می کنیم.

پس از انتخاب گره مبنا، همه گره ها شماره گذاری می شوند.

1-مشخص نمودن تمام گره های اصلی و انتخاب یکی از آنها بعنوان گره مبنا.
2-شماره گذاری سایرگره ها.
3- نوشتن روابط KCL برای همه گره ها بجز گره مبنا.
4- تشکیل دستگاه n معادله، nمجهول و حل آن.

از آنجا که گره مبنا زمین در نظر گرفته شده است، ولتاژ آن برابر با صفر است.
500W
V1
500W
V1
V2

رابطه KCL برای گره شماره 1 بصورت زیر می باشد:
500W

رابطه KCL برای گره شماره 2 بصورت زیر می باشد:
500W
1kW
500W
V2
V3
V1

بطور مشابه، رابطه KCL برای گره شماره 3 بصورت زیر خواهد شد:
500W
500W
I2
V2
V3

با مرتب کردن روابط KCL نوشته شده در بالا، دستگاه معادلات را تشکیل داده و مقادیر متغیرها محاسبه می شوند:

دستگاه فوق یک دستگاه چهار معادله، چهار مجهول است که می توان آنرا به روشهای گوناگون حل کرد.
از حل معادلات فوق جوابهای زیر بدست می آید:
V1=1.3333
V2=1.1667
V3=1.5833

روشهای حل دستگاه معادلات
برای حل دستگاه معادلات n معادله n مجهول، چند روش وجود دارد:
ساده سازی معادلات و حل آنها
روش حل ماتریسی
روش حل کرامر

ساده سازی معادلات و حل آنها
در این روش با استفاده از ترکیب و ساده سازی معادلات، تعداد مجهولات را کاهش داده تا نهایتاً مقدار یکی از مجهولات بدست آید.
با استفاده از معادلات ساده شده و مقدار بدست آمده برای مجهول اول، مقادیر بقیه مجهولات نیز محاسبه می شود.

ساده سازی معادلات و حل آنها
روش حل ماتریسی
روش حل کرامر

روش حل ماتریسی
اگر فرض کنیم که معادلات بصورت زیر باشند، آنها را مرتب کرده و بفرم ماتریسی نمایش می دهیم:

دستگاه معادلات را می توان بصورت زیر نمایش داد:
AX = B

اگر همه معادلات از یکدیگر مستقل باشند، دترمینان ماتریس A مخالف با صفر خواهد شد و یک جواب منحصر بفرد برای مجهولات بدست می آید.
از آنجا که دترمینان A مخالف با صفر است، ماتریس معکوس A-1 را می توان بصورت زیر بدست آورد:

,
,
مثال
دستگاه معادلات زیر را بروش ماتریسی حل کنید

پس از محاسبه ماتریس معکوس میتوان مقادیر متغیرها را بدست آورد:

بنابراین خواهیم داشت:
x=7, y=-4 , z=-12

ساده سازی معادلات و حل آنها
روش حل ماتریسی
روش حل کرامر

روش کرامر
با فرض اینکه n معادله n مجهولی مستقل از هم بصورت زیرداشته باشیم:

که a11,…,ann و b1,…,bn ضرایب ثابت هستند.

روش کرامر
مقادیر متغیرها از روابط زیر بدست می آیند:

که Ai از تعویض ستون iام ماتریس A با بردار B بدست می آید.
نکته: برای استفاده از روش کرامر، معادلات باید حتماً مستقل از هم باشند تا دترمینان ماتریس A مخالف صفر شود. در غیر اینصورت مخرج کسرها برابر با صفر شده و جوابی بدست نمی آید.

مثال از روش کرامر
با استفاده از روش کرامر دستگاه معادلات زیر را حل کنید.

حل مثال
همانگونه که دیده می شود همه معادلات مستقل از هم هستند و دترمینان A مخالف صفر است. همچنین داریم:

و بنابراین می توان نوشت:

مثال
مدار زیر را با استفاده از روش ولتاژ-گره حل کنید.

حل
ابتدا همه گره های اصلی را شماره گذاری کرده و گره مبنا را تعیین می کنیم.

سپس روابط KCL را برای هر گره می نویسیم:

KCL 1:
KCL 2:
KCL 3:

همانگونه که دیده می شود، تعداد معادلات از تعداد مجهولات بیشتر است و نیاز به یک معادله دیگر است. در چنین مواردی معمولاً می توان از شکل مساله استفاده کرد و معادلات لازم را اضافه نمود.
V3=5v
دستگاه معادلات را حل کرده و جوابها را بدست می آوریم:
V1 = 7.29V
V2 = 1.88V

مثال از ولتاژ-گره
در مدار زیر مقادیر ولتاژهای V1 و V2 را با استفاده از روش ولتاژ-گره بدست آورید.

حل
ابتدا گره های اصلی را شماره گذاری کرده و معادلات KCL را می نویسیم:

KCL 1: -I1+V1/R1+ (V1-V2)/R2 +I2=0
KCL 2: -I2+ (V2-V1)/R2 + V2/R3=0

با مرتب کردن معادلات می توان آنها را بفرم ماتریسی نمایش داد:

که منظور از G هدایت الکتریکی و برابر با 1/R می باشد.

مثال
در مدار زیر با استفاده از روش ولتاژ-گره مقادیر ولتاژهای نشان داده شده را بیابید.

+-
+
v2
–
+
v1
–
1
5
10
1
2
2
2A
10V

حل
گره های اصلی را شماره گذاری کرده و معادلات KCL را برای آنها می نویسیم:
KCL 1: (V1-10)/1+ V1/5 +(V1-V2)/2=0
KCL 2: (V2-V1)/2 + V2/10 -2 =0
+-
+
v2
–
+
v1
–
1
5
10
1
2A
10V
2
2

همانگونه که دیده می شود برای نوشتن رابطه KCL در گره شماره 1 از مقدار منبع ولتاژ نیز استفاده شد.
با مرتب کردن روابط فوق آنها را حل می کنیم:
V1=9.1V
V2=11V

مثال از ولتاژ-گره
ولتاژهای خواسته شده در مدار زیر را با استفاده از روش ولتاژ-گره بدست آورید.

+-
+-
+
v2
–
+
v1
–
2
20
5
2
10
i
8i
20

حل
گره ها را شماره گذاری کرده و روابط KCL را می نویسیم:

+-
+-
+
v2
–
+
v1
–
2
20
5
2
10
i
1
2
8i
20

با توجه به شکل می توان یک رابطه دیگر نیز اضافه کرد:
i=(V1-V2)/5
+-
+-
+
v2
–
+
v1
–
2
20
5
2
10
i
1
2
20
8i

با مرتب کردن و حل معادلات بدست می آید:
15 V1- 4 V2=200
-10 V1+16 V2=0

V1=16V
V2=10V

ابرگره
در بعضی موارد هنگام استفاده از روش ولتاژ-گره، منبع ولتاژی بین دو گره اصلی واقع می شود. در چنین مواردی با تعریف ابرگره، رابطه KCL را برای آن می نویسیم.

10i

گره های اصلی را شماره گذاری می نماییم و همانگونه که دیده می شود بین گره های 2 و 3 یک منبع ولتاژ قرار دارد که جریان آن نامشخص است. در اینگونه موارد یک ابرگره تعریف می کنیم.
10i

KCL 1:
+-
+
v2
–
+
v1
–
40
5
50
i
1
2
+
v3
–
100
50V
3
4A

از طرفی مقدار ولتاژ V1=50 می باشد و بنابراین می توان دستگاه معادلات را حل کرد.
V1=50
V2=60
V3=80
i=2

مثال از ابرگره
در مدار زیر با استفاده از روش ولتاژ-گره مقادیر ولتاژهای V1 و V2 را بدست آورید.

حل
همانگونه که دیده می شود بین دو گره که هیچیک گره مبنا نمی باشد، یک منبع ولتاژ قرار گرفته است. برای حل این مثال از ابرگره استفاده می کنیم.
1- با کشیدن یک دایره به دور گره های شماره 1 و 2 یک ابرگره مشخص می کنیم.
2- رابطه ای بین مقادیر ولتاژهای گره های مربوط به ابرگره و منبع ولتاژ می نویسیم.
3- برای ابرگره معادله KCL را می نویسیم.

4- معادلات نوشته شده را مرتب کرده و دستگاه معادلات را حل می کنیم.

V1 – V2 = 6
V1 =10V
V2 = 4V

مثال از ابرگره
در مدار زیر با استفاده از روش ولتاژ-گره مقادیر ولتاژهای گره های نشان داده شده را بدست آورید.

0
1
2

حل
پس از مشخص کردن ابرگره، روابط KCL را می نویسیم:
0
1
2

0
1
2

و نهایتاً مقادیر ولتاژها بصورت زیر بدست می آیند:

مثال از منابع وابسته
در مدارزیر ولتاژ گره های مشخص شده را با استفاده از روش ولتاژ-گره بدست آورید.

0
1

حل
اگرچه به گره شماره 1 یک منبع ولتاژ متصل است و نمی توان رابطه KCL نوشت، ولی می توان رابطه دیگری نوشت:

رابطه سوم با توجه به شکل مساله بصورت زیر نوشته می شود:

روابط بالا را مرتب کرده و آنها را حل می کنیم:

جوابها بصورت زیر بدست می آیند:

مثال
در مدار زیر مقادیر ولتاژها را با استفاده از روش ولتاژ-گره بدست آورید:
0

1
2

حل
ابتدا ابرگره را مشخص می کنیم و سپس روابط KCL را می نویسیم:
0

1
2

همچنین برای داخل ابرگره و با توجه به منبع ولتاژ وابسته می توان نوشت:

1
2

رابطه دیگر با توجه به موقعیت منبع ولتاژ مستقل 12 ولتی نوشته می شود:
0

1
2
V1=12v

با مرتب کردن روابط فوق ماتریس زیر بدست می آید:

از حل روابط فوق مقادیر ولتاژها بدست می آیند:

روش جریان-خانه

روش جریان-خانه
روش جریان-خانه تکنیک دیگری است که برای حل مدارهای الکتریکی می توان از آن استفاده کرد. اساس کار بر معادلات KVL است و متغیرهای بکار رفته درمعادلات از جنس جریان هستند.
حلقه(Loop): هر مسیر بسته در مدار الکتریکی را گویند.
خانه (Mesh): کوچکترین حلقه که نمی توان داخل آن حلقه دیگری مشخص کرد.

مراحل روش جریان-خانه
1-مشخص کردن همه خانه ها (مش ها).
2-اختصاص جریان به هر خانه.
3-اعمال قانون KVL به هریک ازخانه ها بر اساس جریانهای مشخص شده برای خانه ها.
4-حل معادلات بدست آمده و یافتن مقادیر جریان خانه ها.
5-استفاده از مقادیر جریان خانه ها برای یافتن جریان شاخه ها.

مثال از جریان-خانه
با استفاده از روش جریان-خانه، ولتاژ Vout را در مدار زیر بدست آورید.

+
–
Vout
1kW
1kW
1kW
V1
V2
+
–
+
–

حل
1-مشخص کردن همه خانه ها (مش ها).
2-اختصاص جریان به هر خانه.
3-اعمال قانون KVL به هریک ازخانه ها بر اساس جریانهای مشخص شده برای خانه ها.
4-حل معادلات بدست آمده و یافتن مقادیر جریان خانه ها.
5-استفاده از مقادیر جریان خانه ها برای یافتن جریان شاخه ها.

کلاً دو خانه می توان برای مدار تعریف کرد:
Mesh 2
1kW
1kW
1kW
V1
V2
Mesh 1
+
–
+
–

1-مشخص کردن همه خانه ها (مش ها).
2-اختصاص جریان به هر خانه.
3-اعمال قانون KVL به هریک ازخانه ها بر اساس جریانهای مشخص شده برای خانه ها.
4-حل معادلات بدست آمده و یافتن مقادیر جریان خانه ها.
5-استفاده از مقادیر جریان خانه ها برای یافتن جریان شاخه ها.

جریان خانه های I1 و I2 برای مدار تعریف می شوند.
1kW
1kW
1kW
V1
V2
I1
I2
+
–
+
–

نحوه نوشتن روابط KVL با توجه به جهت جریانها و بصورت زیر است.
R
I1
+
–
VR
VR = I1 R
R
I1
I2
VR = (I1 – I2 ) R

توجه: در حین نوشتن روابط KVL برای هر حلقه، اگر به مثبت منبع ولتاژ وارد شویم از علامت مثبت و اگر از طرف منفی وارد شویم، از علامت منفی استفاده می کنیم.
KVL1: -V1 + I1 1kW + (I1 – I2) 1kW = 0
KVL 2: (I2 – I1) 1kW+ I2 1kW + V2 = 0

معادلات بالا را می توان بفرم ماتریسی زیر تبدیل کرده و سپس آنها را حل نمود.

اگر مقادیر V1=7V و V2=4V را برای منابع در نظر بگیریم، جواب دستگاه معادلات بصورت زیر خواهد شد:
I1 = 3.33 mA
I2 = -0.33 mA
این جریانها مقادیر جریان خانه ها هستند. حال جریان مقاومت وسط را یافته و از روی آن Vout را محاسبه می کنیم:
Vout = (I1 – I2) 1kW = 3.66V

با توجه به شکل زیرمی توان کلیه جریانهای المانها را بدست آورد. جریان مقاومت 1kΩ سمت چپ برابر با I1 و 3.33mA میباشد. همچنین جریان مقاومت 1kΩ سمت راست برابر با I2 و -0.33mA می باشد. جریان مقاومت میانی نیز برابر I1-I2=3.66mA می باشد.
1kW
1kW
1kW
V1
V2
I1
I2
+
–
+
–

مثال از جریان-خانه
در بعضی از موارد مانند مدار زیر، منابع جریان مستقل یا وابسته وجود دارند. برای حل این نوع مسائل باید با توجه به شکل معادلات دیگری نیز اضافه نمود.

حل
برای هر خانه یک جریان مشخص کرده و روابط مربوطه را می نویسیم:
KVL 1: -10+4 i1+6(i1-i2)=0

همانگونه که دیده میشود نمی توان برای حلقه دوم رابطه مناسبی نوشت، زیرا ولتاژ دو سر منبع جریان نامشخص است. در عوض با توجه به شکل مدار می توان از رابطه زیر استفاده کرد:
i2=-5

با استفاده از دو رابطه بالا بدست می آید:
i1=-2A
و جریان مقاومت وسط برابر با
i1-i2=-2+5=3A
از بالا به پایین می باشد.

مثال از جریان خانه
مدار زیر را با استفاده از روش جریان-خانه حل کنید:

حل
برای حل مساله دو خانه برای مدار تعریف کرده، جریانهای آنها را نامگذاری می کنیم و سپس مدار را حل می کنیم.

برای هر حلقه روابط KVL را بصورت زیر می نویسیم:

: KVLدر خانه 1
: KVLدر خانه 2

از طرفی ازروی شکل می توان رابطه دیگری هم نوشت:

با حل این معادلات جوابها بصورت زیر بدست می آیند:

مثال از جریان-خانه
در مدار زیر با استفاده از روش جریان-خانه جریان مقاومتها را محاسبه کنید.

حل
با توجه به صورت سوال متوجه می شویم که جریانهای i1 و i2 دقیقاً همان جریانهای منابع جریان مستقل هستند. بنابراین:

i1=4mA
i2=-2mA

با استفاده از شکل، رابطه KVL را برای خانه شماره 3 می نویسیم:
4000(i3-i2) + 2000(i3-i1)+6000i3-3 = 0

از مقادیر i1 و i2 استفاده کرده و i3 را نیز محاسبه می کنیم:
i3=0.25mA
Vo = 6000i3 – 3 = -1.5 V

حال با داشتن مقادیر جریان خانه ها، جریانهای مقاومتها را محاسبه می کنیم:

I1=i2-i1=-2-4=-6mA
I2=i1-i3=4-0.25=3.75mA
I3=i2-i3=-2-0.25=-2.25mA
I4=i3=0.25mA

مثال از جریان-خانه
در مدار زیر با استفاده از روش جریان-خانه مقدار جریان مقاومت Ω1 را بدست آورید.

حل
ابتدا برای هر خانه جریانی مشخص کرده و روابط KVL را می نویسیم.
KVL 1: 5(i1 – i2) + 20(i1 – i3)-50=0
KVL 2: 5(i2 – i1) + 1i2 + 4(i2 – i3)=0

KVL 3: 20(i3 – i1) + 4(i3 – i2) + 15iΦ=0

همچنین از روی شکل می توان نوشت: iΦ = i1 – i3

از حل معادلات فوق مقادیرجریان خانه ها بدست می آید.

از آنجا که جریان مقاومت Ω1 همان جریان i2 می باشد، مقدار آن برابر با 26mA خواهد بود.

i1=29.6mA i2=26mA i3=28mA

ابرخانه چیست؟
در بعضی موارد قرارگرفتن منبع جریان مستقل یا وابسته در مرز مشترک بین دو خانه مجاور باعث می شود که در روابط KVL نوشته شده برای خانه ها، یک متغیر اضافه وارد شود. بعلت نامشخص بودن ولتاژ دو سر منبع جریان، متغیری علاوه بر جریان خانه ها در معادله KVL وارد می شود.
برای رفع این مشکل، رابطه KVL برای حلقه ای نوشته می شود که شامل همه عناصر دو خانه، بدون منبع جریان مشترک بین آندو می با شد. به این حلقه که از حذف منبع جریان مشترک بین دو خانه حاصل می شود، ابرخانه گویند.

مثال از ابرخانه
در مدار زیر با استفاده از روش جریان-خانه مشخص کنید که چقدر جریان از منبع ولتاژ می گذرد.

حل
برای حل مساله استفاده باید ابتدا جریان خانه ها را مشخص کرد. همانگونه که دیده می شود منبع جریان 4mA بین خانه های دوم و سوم مشترک است. بنابراین رابطه KVL برای حلقه ای نوشته می شود که در آن منبع جریان مشترک حذف شده باشد.

رابطه KVL ابرخانه به اینصورت می باشد:

KVL: -6 + 1kI3+2kI2+2k(I2-I1)+1k(I3-I1) = 0

همچنین با توجه به شکل، جریان I2 همان جریانی است که از منبع جریان 2mA عبور می کند. همچنین منبع جریان 4mA حاصل تفاضل جریانهای حلقه های دوم و سوم است.
I1=2mA

I2-I3=4mA

از حل معادلات بالا مقادیر جریانهای خانه ها بدست می آید.

جریانی که از منبع ولتاژ می گذرد، همان جریان I3 و برابر با 2/3mA می باشد.
I1=2mA
I2=10/3mA
I3=-2/3mA

مثال از ابرخانه
در مدارزیر مقدار ولتاژ V0 را با استفاده از روش جریان-خانه بدست آورید.

حل
در این مدار یک منبع جریان بین دو خانه مجاور بطور مشترک قرار گرفته است. بنابراین از ابرخانه استفاده می کنیم.
5mA
2
k
W
1
k
W
I
x
+
V
o
_
+
–

از روی شکل دیده می شود که جریان I1 همان جریان 5mA می باشد. همچنین رابطه KVL برای ابرخانه بصورت زیر است:
5mA
2
k
W
1
k
W
I
x
+
V
o
_
+
–
KVL: 2k(I2-I1) +1kI3 = 0
I1 = 5mA

همچنین از روی شکل می توان رابطه دیگری نیز نوشت:
I2-I3 = 2 Ix
I1-I2 = Ix

از ساده کردن روابط فوق مقادیر جریان خانه ها و بدنبال آن سایر مقادیر مدار بدست می آیند.

I1 =5 mA
I2 = 4 mA
I3= 2 mA
Ix= 1 mA
V0= 1 I3=2V

نتیجه گیری و مقایسه
در چه مواردی از جریان-خانه و در چه مواردی از ولتاژ-گره استفاده کنیم؟
اگر در مدار تعداد گره ها کمتر از خانه ها باشد، بهتر است که از روش ولتاژ-گره استفاده شود. بطور مشابه هنگامی که تعداد خانه ها کمتر از تعداد گره ها است، بهتر است از روش جریان-خانه استفاده شود.
مجهول مساله هم می تواند درانتخاب روش موثر باشد. اگر در سوال مقدار ولتاژ نقاط خواسته شود بهتر است که از روش ولتاژ-گره استفاده شود. اگر جریان عناصر خواسته شود، روش جریان-خانه بهتر است.

مدارهای مرتبه اول

مدار مرتبه اول چیست؟
هر مداری که شامل تنها یک عنصر ذخیره کننده انرژی، تعدادی منبع و تعدادی مقاومت باشد مدار مرتبه اول نامیده می شود.
عنصر ذخیره کننده انرژی می تواند خازن یا مقاومت باشد.
یکی از خواص مدارهای مرتبه اول اینست که پاسخ مدار دارای تابع دیفرانسیلی درجه اول می باشد.

مفاهیم مربوط به مدارهای درجه اول
معادله دیفرانسیل و ویژگی ها و روشهای حل آن.
پاسخ طبیعی.
ثابت زمانی.
پاسخ گذرا و پاسخ ماندگار مدار.

انواع مدارهای مرتبه اول
بطور کلی دو نوع مدار مرتبه اول وجود دارد:
مدار RC: مدارهایی که دارای مجموعه ای از مقاومتها و منابع هستند و تنها یک خازن نیز در آنها وجود دارد.
مدار RL: مدارهایی که دارای مجموعه ای از مقاومتها و منابع هستند و تنها یک سلف نیز در آنها وجود دارد.

همانگونه که در مبحث مدارهای معادل نورتن و تونن گفته شد، هر مدار شامل منابع و مقاومتها را می توان بصورت ترکیب سری یک منبع ولتاژ و مقاومت (معادل تونن) یا ترکیب موازی یک منبع جریان و مقاومت (معادل نورتن) نمایش داد.

مدار RC

مدار RC
مدار RC از یک مقاومت و یک خازن تشکیل شده است. مجموعه مقاومت و منبع ولتاژ ممکن است معادل تونن یک مدار دیگر باشد.

روابط مدار RC
رابطه KVL را برای مدار نوشته و سپس آنرا تبدیل به یک معادله دیفرانسیل کرده و حل می کنیم:
vr(t) + vc(t) = vs(t)

همانگونه که دیده می شود معادلات دیفرانسیل بدست آمده درجه اول هستند. برای حل این معادله می توان از روشهای حل معادلات دیفرانسیل یا از روش لاپلاس استفاده کرد.
برای حل معادلات دیفرانسیل نیاز به دانستن شرایط اولیه است. شرایط اولیه با توجه به شکل مدار معلوم می شوند.

تعیین شرایط اولیه مدار RC
یکی از ویژگی های خازن اینست که ولتاژ آن بطور ناگهانی تغییر نمی کند.
در شکل زیر یک مدار RC نشان داده شده است که سوئیچ آن درست در زمان صفر بسته می شود و خازن شروع به شارژ می کند.

وضعیت مدارRC قبل از بستن کلید، درست بعد از بستن کلید و نهایتاَ پس از گذشت زمان طولانی از بستن کلید دیده می شود:

قبل از بستن
بلافاصله بعد از بستن
بعد از گذشت زمان طولانی

نکته: خازن در ابتدا شارژ و ولتاژ آن زیاد می شود ولی بعد از گذشت زمان جریان کمی از آن عبور می کند و با گذشت زمان، جریان عبوری به سمت صفر میل می کند. به همین دلیل خازن در زمان بی نهایت بعد از تغییر وضعیت کلید، مدار باز در نظر گرفته می شود.

معادله دیفرانسیل برای مدار زیر با استفاده از رابطه KCL نوشته شده و حل می گردد:

مثال از مدارRC
ولتاژ اولیه خازن برابر با صفر است. در لحظه t=0 کلید بسته می شود. رابطه ولتاژ خازن را برای زمانهای بعد از صفر بدست آورید.

حل
با توجه به شکل مدار
روابط زیر را می توان
نوشت:

ولتاژ منبع مقدارثابتی است و مشتق آن برابر با صفر می باشد. بنابراین:

یکی از جوابهای معادله فوق می تواند بفرم ke-1000t باشد.
با توجه به صورت مساله مقدار ولتاژ اولیه خازن برابر با صفر است و چون ولتاژ خازن تغییر ناگهانی ندارد، مقدار آن بلافاصله بعد از صفر نیز برابر با صفر خواهد ماند.
با جایگزینی شرایط فوق در معادله مقدار k بدست می آید.
1000 di/dt + i =0

از آنجا که بلافاصله بعد از بستن کلید، ولتاژ خازن برابر با صفر است:

Vs=R i0+ + Vc(0+)
100=105 i0+ + 0
i0+=10-3

یا به عبارت دیگر شرط اولیه مساله به اینصورت است:
i0+=10-3
با جایگذاری شرط اولیه در فرمول بدست آمده خواهیم داشت:
i(t)=10-3 e-1000t

مدار RC در حالت کلی
مدار مرتبه اول زیر را در نظر بگیرید. می خواهیم رابطه جریان را بدست آوریم.

حل

حل
با توجه به رابطه زیر یکی از جوابها بصورت ke-t/Rc می باشد.

از طرف دیگر با توجه به شکل مساله، پس از گذشت زمان طولانی مقدار ولتاژ خازن برابر با VT می شود. بنابراین فرم کلی جواب بصورت زیر است:

مثال از مدار RC
در مدار زیر ولتاژ اولیه خازن برابر با 30 ولت می باشد. درزمان t=0 کلید بسته می شود. مطلوبست رابطه جریان خازن i(t).

حل
ابتدا مقدارمقاومت معادل REQ را محاسبه می کنیم.
REQ=20||20+10=20K



و بنابراین مقدار ولتاژ خازن بصورت زیر بدست می آید:

با توجه به صورت مساله شرایط اولیه را اعمال می کنیم. مقدار ولتاژ اولیه خازن برابر با 30 می باشد. بلافاصله بعد از بستن کلید نیز ولتاژ ثابت خواهد ماند. بنابراین v0+=30V می باشد.
رابطه ولتاژ خازن بصورت زیر می باشد:

با مشتق گیری از رابطه ولتاژ رابطه جریان خازن بدست می آید.

روش دوم حل مدارهای RC
در قسمتهای قبلی با استفاده از روشهای حل معادلات دیفرانسیل و یا لاپلاس پاسخ مدار محاسبه می شد. روش دیگری نیز برای یافتن پاسخ مدارهای Rc وجود دارد.
ابتدا با استفاده از مقاومت معادل، ثابت زمانی مداربدست می آید:

سپس از فرمول زیر استفاده می شود:
e-t/RC*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار

مثال از مدار RC
همان مثال قبلی را از روش جدید حل کنید.

مقدار مقاومت معادل برابر با 20 کیلو اهم می باشد. بنابراین:

مقدار جریان اولیه برابر است با:

پس از گذشت زمان طولانی خازن دشارژ شده و مقدار جریان آن به صفر می رسد. بنابراین:

با استفاده از فرمول گفته شده مقدار جریان خازن بدست می آید:

مثال از مدار RC
در مدار زیر رابطه ولتاژ خازن را بدست آورید با این فرض که مقدار اولیه ولتاژ خازن برابر صفر است. منظور از U(t) تابعی است که برای زمانهای قبل از صفر مقدار آن برابر با صفر و برای زمانهای بعد از صفر مقدارآن برابر 1 می باشد.

+
vu (t)
–
vs (t) = u(t)

حل
ابتدا ثابت زمانی مدار را بدست می آوریم.

سپس مقادیر اولیه و نهایی ولتاژ را محاسبه می کنیم:
VC(0+)=VC(0-)=0
VC(∞)=1

حل
با استفاده از رابطه زیر ولتاژ خازن را بدست می آوریم.

e-t/RC*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار
VC(t)=1-(0-1)e-t/2

VC(t)=1-e-t/2

مثال از مدار RC
مدار زیر همراه مقادیر اولیه ولتاژهای آن داده شده است. مطلوبست مقدار ولتاژ v(t).

حل
خازنها با یکدیگر سری هستند. بنابراین خازن معادل آن بصورت زیر است:

مقدار ولتاژ اولیه مجموع دو خازن:

مدار دارای چند مقاومت میباشد و لازم است ابتدا معادل تونن آن را بدست آورد.

مقدار مقاومت معادل نیز بصورت زیر بدست می آید.

مقدار ثابت زمانی را محاسبه می کنیم

حل
با استفاده از فرمول زیر جواب بدست می آید.

e-t/RC*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار

مدارهای مرتبه اول RL

مدار های RL
مشابه مدارهای RC هستند و دارای یک سلف و تعدادی مقاومت و منبع می باشد. پاسخ مدار نیز جواب معادله دیفرانسیلی درجه اول است.

پاسخ مدار RL

مدار RL
در مدار زیر قبل از صفر جریانی از مدار عبور نمی کند. پس از بستن کلید رابطه جریان را بدست آورید.

حل

منحنی تغییرات پاسخ مدار مشابه مدار RC است و بصورت نمایی تغییر می کند. بطور کلی در مدارهای مرتبه اول پس از گذشت زمانی معادل 3 برابر ثابت زمانی پاسخ مدار تقریباً به مقدار نهایی خود می رسد.

تعیین شرایط اولیه مدار RL
یکی از ویژگی های سلف اینست که جریان آن بطور ناگهانی تغییر نمی کند.
در شکل زیر یک مدار RL نشان داده شده است که سوئیچ آن درست در زمان صفر بسته می شود و جریان در مدار برقرار می شود.

وضعیت مدارRL قبل از بستن کلید، درست بعد از بستن کلید و نهایتاَ پس از گذشت زمان طولانی از بستن کلید دیده می شود:

قبل از بستن
بلافاصله بعد از بستن
بعد از گذشت زمان طولانی

نکته: سلف در ابتدا مقاومت زیادی در مقابل عبور جریان از خود نشان می دهد ولی بعد از گذشت زمان جریان بیشتری از آن عبور می کند. بعبارت دیگرسلف در زمان بی نهایت بعد از تغییر وضعیت کلید، اتصال کوتاه در نظر گرفته می شود.

روشهای یافتن پاسخ مدار RL
مشابه آنچه که برای مدار RC گفته شد به دو طریق می توان پاسخ مدار را بدست آورد.
در روش اول با استفاده از حل معادله دیفرانسیل یا روش لاپلاس جواب بدست می آید.
در روش دوم از فرمول زیر استفاده می شود:

e-tR/L*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار

مثال از مدار RL
در مدار زیر L1=10mH و L2=30mH و R1=2K و R2=6K و iL(0-)=100mA می باشد. مطلوبست رابطه جریان سلف در زمانهای بعد از بستن کلید.

حل
سلفها با هم سری و مقاومتها موازی هستند. بنابراین:

ثابت زمانی مدار برابر با L/R می باشد. بنابراین:

می توان رابطه جریان سلف را بصورت زیر نوشت:

با استفاده از روابط تقسیم کننده جریان می توان جریان مقاومتها را بدست آورد.

مثال از مدارRL
در مدار زیر کلید درست در لحظه صفر بسته می شود. مطلوبست معادله جریان مدار.

حل
در لحظه قبل از صفر i(0-)=0 می باشد و جریانی از سلف نمی گذرد.
در زمان بی نهایت بعد از بسته شدن کلید نیز سلف اتصال کوتاه فرض می شود و بنابراین:

i(∞)=10/2=5A

حال ثابت زمانی مدار را بدست می آوریم.

با داشتن ثابت زمانی، مقدار اولیه و مقدارنهایی می توان رابطه جریان را نوشت:

ثابت زمانی=L/R=5/2=2.5
i(t)=5+(0-5) e-t/2.5=5(1-e-t/2.5)
e-tR/L*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار

مثال از مدار RL
در مدار زیر مقدار جریان سلف را بعد از باز کردن کلید بدست آورید.

حل
در لحظات قبل از صفر کلید بسته است و جریان از هر دو مقاومت عبور می کند. در این حالت سلف مثل یک اتصال کوتاه عمل می کند:

i(0-) =10/)2||2)=10A

از آنجا که جریان سلف تغییر ناگهانی ندارد، داریم:
i(0+)=i(0-)=10A
بعد از گذشت مدت زمان زیادی از تغییر وضعیت کلید، سلف دوباره مشابه اتصال کوتاه عمل می کند:

i(∞)=10/2=5A

پس از باز کردن کلید، مقاومتی که توسط سلف دیده می شود برابر با 2 اهم می باشد. بنابراین ثابت زمانی آن برابر است با:
ثابت زمانی=L/R=5/2=2.5S

با استفاده از رابطه زیر معادله جریان سلف را بدست می آوریم:

e-tR/L*(مقدار نهایی-مقدار اولیه)+مقدار نهایی=پاسخ مدار
i(t)=5+(10-5) e-t/2.5=5(1+e-t/2.5)

مدارهای مرتبه اول با دو کلید
در بعضی از مدارها بیش از یک کلید وجود دارد و دو تغییر وضعیت درمدار داریم. در اینگونه موارد باید ابتدا معادله جریان یا ولتاژ را محاسبه کرد و در زمان تغییر وضعیت کلید دوم مقدار جریان یا ولتاژ سلف یا خازن بعنوان مقادیر اولیه جدید استفاده می شوند.

مثال از مدارهای مرتبه اول با دو کلید
در مدار زیر کلید اول در زمان صفر باز می شود و در زمان t=10 کلید دوم بسته می شود. معادله جریان مقاومت 2 اهم سمت چپ را بدست آورید.

حل این مساله شامل دو قسمت است:
قسمت اول از زمان صفر تا 10 ثانیه است که باید شرایط اولیه و نهایی را بدست آورد.
قسمت دوم از زمان 10 ثانیه به بعد است که دوباره باید شرایط اولیه و نهایی را بدست آورد.

قسمت اول از صفر تا 10 ثانیه
در زمان قبل از صفر که کلیدها تغییر وضعیت نداده اند خازن مشابه مدار باز عمل می کند:
Vc(0-)=5 (2 || 2)=5V

ولتاژ خازن تغییر ناگهانی ندارد و بنابراین:
VC(0+)=VC(0-)=5V
iR(0+)=5/2=2.5A

در زمانهای بعد از صفر و کمتر از 10 ثانیه خازن به حالت پایدار خود می رسد و دوباره مشابه مدار باز عمل می کند:
iR(∞)=5A
VC(∞)=5*2=10V

مقاومت دیده شده توسط خازن برابر با 2 اهم است و بنابراین ثابت زمانی برابر است با:
 = RC = (2) (3F) = 6s
بنابراین معادله جریان مقاومت برابر است با:
iR(t)=5 + (2.5 – 5)e-t/
iR(t)=5 – 2.5 e-t/6
برای زمانهای بین صفر تا 10 ثانیه
VC(t)=10 + (5-10) e-t/6

قسمت دوم از 10 ثانیه به بعد
در t=10 کلیدها تغییر وضعیت می دهند. مقدار ولتاژ خازن در t=10 بعنوان شرط اولیه برای قسمت دوم استفاده می شود. در قسمت اول، رابطه زیر را برای ولتاژ خازن بدست آوردیم:
VC(t)=10 + (5-10) e-t/6
VC(10-)=10 + (5-10) e-10/6=9.06V
VC(10+)= VC(10-)=9.06V
iR(10+)=9.1V/2 = 4.53V

برای زمانهای بعد از 10 ثانیه (زمان بی نهایت)، جریان را با توجه به شکل زیر محاسبه می کنیم:
iR()=2.5A

ثابت زمانی مدار نیز بصورت زیر بدست می آید:
RTH = 2 || 2 = 1
 = RC = (1) (3F) = 3S

بنابراین رابطه جریان مقاومت بصورت زیر می باشد:
iR(t)=2.5 + (4.53 – 2.5)e-(t-10)/3

مدارهای مرتبه دوم

مدار مرتبه دوم چیست؟
مدارهایی که دارای تعدادی مقاومت و منبع، یک خازن و یک سلف می باشند. این مدارها بر دو نوع هستند، مدار RLC سری و مدار RLC موازی.
سری
موازی

مدار RLC موازی

مدار RLC سری

فرم کلی معادلات
سری
a 1
b Rth/L
c 1/(LC)
موازی
1
1/(RthC)
1/(LC)

فرم کلی جواب
فرم کلی جواب مدارهای مرتبه دوم بصورت زیر است:
مقدار نهایی + پاسخ طبیعی=پاسخ مدار

که مقدار نهایی در واقع پاسخ مدار است وقتی که مدار به حالت پایدار خود رسیده باشد یا بعبارت دیگر با فرض مدارباز بودن خازنها و اتصال کوتاه بودن سلفها، پاسخ مدار محاسبه می شود.

پاسخ طبیعی
برای بدست آوردن پاسخ طبیعی معادله دیفرانسیلی را حل می کنیم:

با حل معادله درجه دوم، ریشه های معادله بدست می آید:

بسته به مقادیر ریشه ها سه حالت ممکن است اتفاق افتد که فوق میرا، میرای بحرانی و زیر میرا نامیده می شوند.

حالت فوق میرا
اگر b2 > 4ac باشد مقادیر p1 و p2 حقیقی هستند و جواب معادله دیفرانسیلی (پاسخ گذرا) بصورت زیراست:

که مقادیر p1 و p2 معلوم هستند ولی مقادیرA1 و A2 باید معلوم شوند.

حالت میرای بحرانی
این حالت زمانی اتفاق می افتد که b2 = 4ac باشد. با توجه به آنچه از معادلات دیفرانسیل می دانیم فرم جواب بصورت زیر است:

که مشابه حالت قبل مقادیر p1 و p2 معلوم هستند ولی مقادیر A1 و A2 باید معلوم شوند.

حالت زیر میرا
این حالت زمانی اتفاق می افتد که b2 < 4ac باشد. با توجه به آنچه از معادلات دیفرانسیل می دانیم فرم جواب بصورت زیر است:

که مشابه حالت قبل مقادیر p1 و p2 معلوم هستند ولی مقادیرC و  باید معلوم شوند.

مثال از RLC سری
در یک مدار RLC سری مقدار C=0.25uF و L=1H می باشند. برای مقادیر مختلف مقاومت RT=8.5kΩ و 4k و 8k مشخص کنید که مدار زیرمیرا، فوق میرا یا میرای بحرانی است.

حل
تعریف: معادله زیر که از حل آن مقادیر فرکانسهای طبیعی بدست می آید را معادله مشخصه می نامند:

برای مشخص کردن اینکه مدار در کدام یک از حالات زیرمیرا، فوق میرا یا میرای بحرانی است، باید معادله مشخصه را نوشته و حل کرد.

RT=8.5KΩ
در حالت سری a=1 و b=R/L و c=1/LC میباشند. بنابراین:

با توجه به اینکه مقدار b2-4ac=56.25*106 بزرگتر از صفر می باشد، معادله دو جواب حقیقی دارد و مدار در حالت فوق میرا قرار دارد.
p1=-8000
p2=-500

RT=4KΩ
دوباره معادله مشخصه تشکیل می شود و ریشه ها را بدست می آوریم:
a=1 و b=R/L و c=1/LC
a=1 و b=4000 و c=4*106
b2-4ac=16*106-16*106=0
بنابراین مدار در حالت میرای بحرانی قرار دارد. و هر دو ریشه معادله برابر هم و -2000 هستند.

RT=1KΩ
معادله مشخصه تشکیل می شود و ریشه ها را بدست می آوریم:
a=1 و b=R/L و c=1/LC
a=1, b=1000, c=4*106
b2-4ac=106-16*106=-15*106

در این حالت مدار دارای دو ریشه موهومی است و بنابراین در حالت زیر میرا قرار دارد:

مدار با فرکانس 1936 نوسان میکند:

مثال از مدار RLC موازی
در مدار RLC زیر ابتدا مقادیر اولیه ولتاژ خازن و جریان سلف را بدست آورید. سپس رابطه ولتاژ خازن را برای زمانهای بعد از بسته شدن کلید بدست آورید.

حل
در زمانهای قبل از صفر که کلید تغییر وضعیت ندارد، سلف مانند اتصال کوتاه و خازن مدار باز درنظر گرفته می شود. بنابراین جریان سلف برابر است با:
iL(0-) =9/(250+50)=30mA
VC(0-)=0

حال با استفاده از روابط گفته شده برای مدارهای RLC پاسخ مدار را بدست می آوریم. برای RLC موازی a=1 و b=1/RC و c=1/LC می باشند.
a=1
b=1/(50*4*10-6)=5000
c=1 /(4*10-6)=25*104

توجه به این نکته لازم است که بعد از بسته شدن کلید تنها مقاومت 50 اهم در مدار RLC وجود دارد.

حال معادله مشخصه را نوشته و حل می کنیم:

بنابراین مدار در حالت فوق میرا قرار دارد و پاسخ آن بشکل زیر است:

برای یافتن مقادیر مجهول از شرایط اولیه استفاده می کنیم:

خازن و سلف با هم موازی هستند بنابراین می توان از ولتاژ اولیه خازن بعنوان یکی از شروط اولیه استفاده کرد:

دو رابطه بدست آمده تشکل یک دستگاه دو معادله دو مجهول می دهند:

با حل دستگاه مقادیر مجهولات بدست می آید و داریم:

از آنجا که خازن و سلف با هم موازی هستند می توان نوشت:

حال می توان جریان عبوری از سوئیچ را برای زمانهای بعد از صفر بدست آورد.

پاسخ پله مدار RLC
همانگونه که قبلاً گفته شد پاسخ کامل مدار RLC شامل دو قسمت است:
مقدار نهایی + پاسخ طبیعی=پاسخ مدار
در حالتی که منبعی در مدار وجود دارد وبه آن انرژی می دهد، باید مقدار نهایی هم محاسبه شود و در هنگام یافتن ضرایب مجهول پاسخ مدار، از آنها استفاده شود.

مثال از پاسخ پله مدار RLC
در مدار زیر شرایط اولیه صفر است. ولتاژ خازن را برای زمانهای بعد از صفر بدست آورید.

حل
مدار RLC سری است و بنابراین داریم:

از حل معادله فوق پاسخ طبیعی مدار بدست می آید:

با توجه به وجود منبع ولتاژ در مدار باید پاسخ نهایی را نیز به رابطه فوق اضافه کنیم:

حال با استفاده از شرایط اولیه مقادیر مجهولات را در ربطه فوق بدست می آوریم:

از حل دستگاه فوق مقادیر k1 و k2 بصورت زیر بدست می آیند:
K1=-10 , K2=-2.58

نحوه تغییرات ولتاژ خازن بصورت زیر است:

خلاصه ای از روش حل مدارهای RLC

با توجه به سری یا موازی بودن مدار RLC چندجمله ای مشخصه را تشکیل دهید.
با استفاده از روشهای حل معادلات دیفرانسیل یا روش لاپلاس، جواب معادله مشخصه را بدست آورید.
مقدارنهایی پاسخ را با فرض مدار باز بودن خازن و اتصال کوتاه بودن سلف بدست آورده به معادله اضافه کنید.
با استفاده از شرایط اولیه، مجهولات موجود در پاسخ را بدست آورید.

پایان

تعداد صفحات : 297 | فرمت فایل : .ppt

بلافاصله بعد از پرداخت لینک دانلود فعال می شود