پاورپوینت فاصله اطمینان

دکتر آیتین سعادت ملی

فاصله اطمینان برای میانگین یک جامعه

N اندازه نمونه، 𝜎 انحراف معیار جامعه، s انحراف معیار نمونه ، 𝑥 میانگین نمونه است.
جامعه آماری نرمال
واریانس جامعه معلوم
واریانس جامعه مجهول
اندازه نمونه زیاد
اندازه نمونه کم
( 𝑥 ± 𝜎 𝑛 𝑍 1− 𝛼 2 )
( 𝑥 ± 𝑠 𝑛 𝑍 1− 𝛼 2 )
( 𝑥 ± 𝑠 𝑛 𝑡 𝛼 2 )

فاصله اطمینان برای میانگین یک جامعه
1- واریانس جامعه معلوم
𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 ∼ N(𝜇, 𝜎 2 )
معلوم مجهول
از روی نمونه میانگین نمونه یعنی 𝑥 را محاسبه می کنیم و در فرمول ( 𝑥 ± 𝜎 𝑛 𝑍 1− 𝛼 2 ) قرار می دهیم. 𝑍 1− 𝛼 2 مقدار معادل با احتمال 1− 𝛼 2 است و از جدول نرمال محاسبه می شود.

فاصله اطمینان برای میانگین یک جامعه
𝑃 𝑍 𝛼 2 ≤ 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑛 ≤ 𝑍 1− 𝛼 2 =1−𝛼⟹𝑃(− 𝑍 1− 𝛼 2 ≤ 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑛 ≤ 𝑍 1− 𝛼 2 )=1−𝛼
⇒𝑃(− 𝑍 1− 𝛼 2 𝜎 𝑛 ≤ 𝑋 −𝜇≤ 𝜎 𝑛 𝑍 1− 𝛼 2 )=1−𝛼⇒𝑃( 𝑍 1− 𝛼 2 𝜎 𝑛 ≥𝜇− 𝑋 ≥− 𝑍 1− 𝛼 2 𝜎 𝑛 )=1−𝛼
⇒𝑃 − 𝑍 1− 𝛼 2 𝜎 𝑛 ≤𝜇− 𝑋 ≤ 𝜎 𝑛 𝑍 1− 𝛼 2 =1−𝛼⇒ 𝑃 𝑋 − 𝑍 1− 𝛼 2 𝜎 𝑛 ≤𝜇≤ 𝑋 + 𝜎 𝑛 𝑍 1− 𝛼 2 =1−𝛼

فاصله اطمینان برای میانگین یک جامعه
2- واریانس جامعه مجهول و اندازه نمونه بزرگ
𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 ∼ N(𝜇, 𝜎 2 )
مجهول مجهول
چون واریانس جامعه مجهول است ، ابتدا واریانس نمونه را به دست می آوریم و آن را 𝑆 2 مینامیم. با توجه به این که اندازه نمونه زیاد است، همچنان می توان از قضیه حد مرکزی استفاده کرد
𝑧= 𝑋 −𝜇 𝑠 𝑛 ∼ N(0,1)
پس فاصله اطمینان می شود: ( 𝑥 ± 𝑠 𝑛 𝑍 1− 𝛼 2 )

فاصله اطمینان برای میانگین یک جامعه
3- واریانس جامعه مجهول و اندازه نمونه کوچک
𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 ∼ N(𝜇, 𝜎 2 )
مجهول مجهول
با توجه به این که اندازه نمونه کم است، دیگر نمی توان از قضیه حد مرکزی استفاده کرد. ثابت شده است که
t= 𝑋 −𝜇 𝑠 𝑛 ∼ 𝑡 𝑛−1
توزیع t یک توزیع متقارن و نزدیک به نرمال است و مقادیر آن براساس درجه آزادی و مقدار احتمال به دست می آید.
پس فاصله اطمینان می شود: ( 𝑥 ± 𝑠 𝑛 𝑡 𝛼 2 )

فاصله اطمینان برای میانگین یک جامعه
مثال 1- داده های زیر نمرات 6 دانشجوی کلاسی را نشان می دهد. یک فاصله اطمینان 95% برای میانگین نمرات تمام دانشجویان کلاس به دست آورید. 12-18-9-11-18-20
حل:
1−𝛼=0.95⇒𝛼=0.05⇒ 𝛼 2 =0.025⇒ 𝑡 0.025 =2.5706
𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑛 = 20+18+11+9+18+12 6 =14.7
𝑆 2 = ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 2 𝑛−1 = (20−14.7) 2 + (18−14.7) 2 +…+ 18−14.7 2 + (12−14.7) 2 6−1 =20.67⇒𝑠= 20.67 =4.54
( 𝑥 ± 𝑠 𝑛 𝑡 𝛼 2 )=(14.7± 4.54 6 ∗2.5706)=(9.94,19.46)

فاصله اطمینان برای میانگین یک جامعه
جدول t-student

∎

فاصله اطمینان برای میانگین یک جامعه
مثال 2- در یک فروشگاه بزرگ برای بررسی متوسط تعداد واقعی کالاهای برگشت داده شده در یک ماه، یک نمونه تصادفی 64 تایی. گرفته شده است. میانگین و واریانس این نمونه به ترتیب 125کالا و 100 است. یک فاصله اطمینان 98% برای متوسط تعداد واقعی کالاهای برگشت داده شده در ماه در این فروشگاه به دست آورید.
حل:
1−𝛼=0.98⇒𝛼=0.02⇒ 𝛼 2 =0.01⇒1− 𝛼 2 =0.99⇒ 𝑍 0.99 =2.33
𝑥 =125 , 𝑆 2 =100 ⇒𝑠= 100 =10
( 𝑥 ± 𝑠 𝑛 𝑍 1− 𝛼 2 )=(125± 10 64 ∗2.33)=(122.0875, 127.9125)

جدول نرمال استاندارد

فاصله اطمینان برای میانگین یک جامعه
مثال 3- در یک کارخانه بزرگ مایل به برآورد متوسط ضایعات در هر روز می باشم. از تجربیات قبلی می دانیم انحراف معیار ضایعات روزانه 3.8 کیلوگرم است برای به دست آوردن میزان واقعی یک نمونه تصادفی 16 تایی از روزها را انتخاب کرده ایم. متوسط میزان ضایعات این 16 روز 28.5 کیلوگرم می باشد. یک فاصله اطمینان 93% برای میزان واقعی ضایعات به دست آورید.
حل:
1−𝛼=0.93 ⇒𝛼=0.07 ⇒ 𝛼 2 =0.035⇒1− 𝛼 2 =0.965⟹ 𝑧 0.965 =1.82
𝑥 ± 𝜎 𝑛 𝑧 1− 𝛼 2 = 28.5± 3.8 4 ∗1.82 =(26.74, 30.26)

فاصله اطمینان برای تفاضل میانگین دو جامعه
1- واریانس دو جامعه معلوم
𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 ∼ N( 𝜇 1 , 𝜎 1 2 ) , 𝑌 1 , 𝑌 2 ,…, 𝑌 𝑚 ∼ N( 𝜇 2 , 𝜎 2 2 )
معلوم مجهول معلوم مجهول
از روی دو نمونه میانگین نمونه ها یعنی 𝑥 و 𝑦 را محاسبه می کنیم و در فرمول (( 𝑥 − 𝑦 )± 𝑍 1− 𝛼 2 𝜎 1 2 𝑛 + 𝜎 2 2 𝑚 ) قرار می دهیم. 𝑍 1− 𝛼 2 مقدار معادل با احتمال 1− 𝛼 2 است و از جدول نرمال محاسبه می شود.
2- واریانس دو جامعه مجهول و اندازه نمونه ها بزرگ
𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 ∼ N(𝜇, 𝜎 2 ) , 𝑌 1 , 𝑌 2 ,…, 𝑌 𝑚 ∼ N( 𝜇 2 , 𝜎 2 2 )
مجهول مجهول مجهول مجهول
از روی دو نمونه میانگین نمونه ها یعنی 𝑥 و 𝑦 و واریانس دو نمونه یعنی 𝑆 1 2 و 𝑆 2 2 را محاسبه می کنیم. با توجه به این که اندازه نمونه ها زیاد است، همچنان می توان از قضیه حد مرکزی استفاده کرد 𝑧= 𝑋 − 𝜇 1 𝑆 1 𝑛 ∼ N(0,1)⇒ 𝑋 − 𝑌 −( 𝜇 1 − 𝜇 2 ) 𝑆 1 2 𝑛 + 𝑆 2 2 𝑚 ∼ N(0,1) و 𝑧= 𝑌 − 𝜇 2 𝑆 2 𝑚 ∼ N(0,1)
پس فاصله اطمینان می شود: (( 𝑥 − 𝑦 )± 𝑍 1− 𝛼 2 𝑆 1 2 𝑛 + 𝑆 2 2 𝑚 )

فاصله اطمینان برای تفاضل میانگین دو جامعه
3- واریانس دو جامعه مجهول و باهم برابر و اندازه نمونه ها کوچک
𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 ∼ N( 𝜇 1 , 𝜎 2 ) , 𝑌 1 , 𝑌 2 ,…, 𝑌 𝑚 ∼ N( 𝜇 2 , 𝜎 2 )
مجهول مجهول مجهول مجهول
از روی دو نمونه میانگین نمونه ها یعنی 𝑥 و 𝑦 و واریانس دو نمونه یعنی 𝑆 1 2 و 𝑆 2 2 را محاسبه می کنیم. با توجه به این که واریانس دو جامعه باهم برابر است، لدا ابتدا واریانس مجهول را از روی دو نمونه به دست می آوریم و آن را 𝑆 𝑝 2 می نامیم و براورد مناسبی برای واریانس مجهول دو جامعه است.
𝑆 𝑝 2 = 𝑛−1 𝑆 1 2 +(𝑚−1) 𝑆 2 2 𝑛+𝑚−2
سپس با توجه به این که اندازه نمونه ها کوچک است، دیگر نمی توان از قضیه حد مرکزی استفاده کرد. لذا از توزیع t استفاده می کنیم
t= ( 𝑋 − 𝑌 )−( 𝜇 1 − 𝜇 2 ) 𝑆 𝑝 1 𝑛 + 1 𝑚 ∼ 𝑡 𝑛+𝑚−2

پس فاصله اطمینان می شود: (( 𝑥 − 𝑦 )± 𝑡 𝛼 2 , 𝑛+𝑚−2 ∗ 𝑆 𝑝 1 𝑛 + 1 𝑚 )

فاصله اطمینان برای تفاضل میانگین دو جامعه
مثال 1- مسئول کنترل کیفیت کارخانه ای علاقمند است یک فاصله اطمینان 93% برای تفاضل متوسط وزن محصولات بسته بندی شده توسط دو دستگاه A , B به دست آورد. برای این منظور یک نمونه تصادفی 100 تایی از دستگاه A و یک نمونه تصادفی 144 تایی از دستگاه B انتخاب می کند. میانگین و واریانس وزن محصولات بسته بندی شده در دستگاه A به ترتیب 445 گرم و 9 و برای دستگاه B میانگین و واریانس وزن محصولات به ترتیب 415 گرم و 25 است. یک فاصله اطمینان مورد نظر را برای تفاضل میانگین واقعی وزن محصولات دو دستگاه به دست آورید؟
حل:
1−𝛼 =0.93 ⇒𝛼=0.07⇒ 𝛼 2 =0.035⇒1− 𝛼 2 =0.965 𝑧 0.965 =1.82
( x − y )± z 1− 𝛼 2 S 1 2 n + S 2 2 m = ((445−415)±1.82 9 100 + 25 144 =(29.0656, 30.9344)

فاصله اطمینان برای تفاضل میانگین دو جامعه
مثال 2- یک مهندس علاقمند به مقایسه متوسط تعداد زدگی های پارجه در 100 متر در دو دستگاه A , B می باشد برای این منظور در دستگاه A متوسط تعداد زدگی ها از بین نمونه 200 تایی 20 زدگی و در دستگاه B از بین نمونه 300 تایی، 15 زدگی است. از اطلاعات قبلی می دانیم واریانس تعداد زدگی در دستگاه A، 10 و در دستگاه B ، 5 است یک فاصله اطمینان 94% برابر تفاضل واقعی تعداد زدگی در دو دستگاه به دست آورید؟
حل:
𝐴 شهر ⇒ x =20 𝜎 1 2 =10
𝐵 شهر ⇒ y =15 𝜎 2 2 =5
1−𝛼 =0.94 ⇒𝛼=0.06⇒ 𝛼 2 =0.03⇒𝑧(1−0.03)=0.97 =1.89
20−15 ± 10 200 + 5 300 ∗1.89)= 4.512 ,5.488

فاصله اطمینان برای تفاضل میانگین دو جامعه
مثال 3- علاقمند به به دست آوردن یک فاصله اطمینان 95% برای تفاضل زمان تاخیر پروازهای دو شرکت هواپیمایی هستیم. برای این منظور از شرکت هواپیمایی A، 6 پرواز و از شرکت B ، 8 پرواز را انتخاب می کنیم. میانگین و انحراف معیار زمان تاخیر پروازهای شرکت A به ترتیب 61 دقیقه و 4 دقیقه می باشد و برای شرکت B میانگین و انحراف معیار به ترتیب 38 دقیقه و 10 می باشد فاصله اطمینان مورد نظر را برای تفاضل زمان واقعی تاخیر دو شرکت را به دست اورید؟
حل: در این جا چون انحراف معیار داده است، لدا برای به دست آوردن واریانس باید انحراف معیار به توان دو برسد.
𝑆 𝑃 = 𝑛−1 𝑆 1 2 +(𝑚−1) 𝑆 2 2 𝑛+𝑚−2 ⇒ 𝑆 𝑃 = 5 4 2 +(7) (10) 2 12 = 65 =8.06
 
1−𝛼 =0.95 ⇒𝛼=0.05⇒ 𝛼 2 =0.025⇒ 𝑡 0.025,12 =2.179
x − y ± 𝑡 𝛼 2 ,𝑛+𝑚−2 𝑆 𝑃 1 𝑛 + 1 𝑚
61−38 ±2.179∗8.06 1 6 + 1 8 =(13.515, 32.485)

فاصله اطمینان برای نسبت:
فاصله اطمینان برای نسبت برای یک جامعه زمانی که با داده های کیفی سروکار داریم دیگر نمی توان میانگین یا واریانس در نظر گرفت و برای این داده ها از نسبت موفقیت استفاده نمود. با توجه به اینکه در نسبت ها (داده ها کیفی) همیشه حجم نمونه بسیار زیاد است توزیع آماری نمونه براساس قضیه حد مرکزی نرمال می باشد، نسبت موفقیت در نمونه می شود:
𝑝 = 𝑎 𝑛 = نمونه در موافق اعضا تعداد نمونه اعضا تعداد
چون اندازه نمونه برای بررسی داده های کیفی معمولا زیاد است، پس داریم:
𝑍= 𝑝 −𝑝 𝑝 (1− 𝑝 ) 𝑛 ~ 𝑁(0,1)
پس فاصله اطمینان مورد نظر برای نسبت واقعی در جامعه می شود:

فاصله اطمینان برای تفاضل نسبت در دو جامعه
فرض کنید دو جامعه مستقل داریم و می خواهیم یک مشخصه کیفی را بین این دو جامعه با هم مقایسه کنیم با توجه به اینکه مشخصه مورد نظر کیفی است باید از نسبت استفاده کنیم برای هر
نمونه نسبت را جداگانه به دست آوریم:
𝑝 = 𝑎 𝑛 , 𝑝 2 = 𝑏 𝑚
فاصله اطمینان برای تفاضل نسبت می شود:

فاصله اطمینان برای نسبت:
مثال: می خواهیم مقایسه ای برای درصد محصولات نامناسب (نامنطبق) تولیدات دو دستگاه انجام دهیم. برای این منظور یک نمونه تصادفی 200 تایی از محصولات دستگاه اول انتخاب می کنیم که 25 محصول نامنطبق می باشد و یک نمونه تصادفی 500 تایی از محصولات دستگاه دوم انتخاب می کنیم که 70 محصول نامنطبق می باشد
الف) یک فاصله اطمینان 94% برای تفاضل نسبت محصولات نامنطبق در دو دستگاه به دست آورید؟
ب) یک فاصله اطمینان 98% برای نسبت محصولات نامنطبق در دستگاه دوم به دست آورید؟
حل:
1−𝛼=0.94→𝛼=0.06→ 𝛼 2 =0.03 1− 𝛼 2 =1−0.03→ z 1− α 2 = 𝑧 0.97 =1.88

فاصله اطمینان برای نسبت:
( 𝑝 ± z 1− α 2 𝑝 (1− 𝑝 n
(0.14±2.33 0.14∗0.86 500 =(0.104,0.176)