پاورپوینت شاخص های پراکندگی

بسم الله الرحمن الرحیم

تعریف شاخص پراکندگی : این شاخص ، میزان پراکندگی یا تغییراتی را که در بین نمره های یک توزیع وجود دارند را نشان می دهد . به عنوان مثال میزان پیشرفت تحصیلی یا استعداد و هوش دانشجویان از جمله مواردی هستند که پراکندگی آنها از یک نمونه به نسبت نمونه دیگر متفاوت است و شاخص های مرکزی در زمینه تحلیل و بررسی آنها اطلاعاتی به پژوهشگر نمی دهند . در شکل زیر نمونه ای از دو توزیع از نمره های یک آزمون هوش مطرح شده که میانگین آنها مساوی است اما پراکندگی آنها با هم فرق دارند .

1- دامنه تغییرات 2- انحراف چارکی انواع شاخص های پراکندگی 3- واریانس 4- انحراف استاندارد
1- دامنه تغییرات :
ساده ترین نوع شاخص پراکندگی بوده و مقدار آن برابر است با اختلاف بزرگترین داده از کوچکترین آنها :

: دامنه تغییرات : بزرگترین داده : کوچکترین داده

دامنه تغییرات تنها پراکندگی بین بزرگترین و کوچکترین نمره ها ( داده ها ) را مطرح می کند . به سهولت هر چه بیشتر می توان دامنه را تعیین کرد اما معیار خوبی برای توصیف توزیع نمره ها به شکل حقیقی نیست . این شاخص جزء شاخص های پایدار پراکندگی نیست چرا که با تغییر مقدار بزرگترین یا کوچکترین نمره ها ، مقدار دامنه تغییرات عوض می شود . استفاده از این دامنه مستلزم داشتن مقیاس فاصله ای بوده و در مقیاس های اسمی ( که در آن طبقه ها مطرح می شود ) و همین طور ترتیبی ( اعداد بر اساس یک معیار مشخص مرتب می شوند ) استفاده چندانی ندارد .
2- انحراف چارکی :
دومین نوع از شاخص های پراکندگی است . این شاخص نسبت به دامنه تغییرات دارای ثبات بیشتری است زیرا میزان پراکندگی را در اطراف مرکز توزیع نمره ها نشان می دهد .

انحراف چارکی برابر است با نصف میزان فاصله بین چارکهای اول و سوم :
چارکها کلیه نمره ها را به 4 قسمت مساوی تقسیم می کنند و در واقع در منحنی توزیع نمره ها ، اگر سطح زیر نمودار به 4 قسمت برابر تقسیم شود هر قسمت که یک چهارم توزیع نمره ها را نشان می دهد را یک چارک می گوییم . به این ترتیب 4 نوع چارک داریم که شامل موارد زیر است :
1- چارک اول یا : 25 درصد از نمره های را از پایین جدا می کند . این چارک نقطه ای در مقیاس اندازه گیری است که 25 درصد اعداد از آن کوچکتر و 75 درصد اعداد از آن بزرگتر هستند . ( نقطه 25 درصد )
2- چارک دوم یا وسط : که برابر با میانه در شاخص های مرکزی است در نقطه ای واقع است که اعداد را به 2 قسمت مساوی تقسیم می کند یعنی 50 درصد اعداد از آن کوچکترند و 50 درصد بزرگتر . ( نقطه 50 درصد )

3- چارک سوم : نقطه ای که 75 درصد داده ها پایین تر و 25 درصد بالاتر از آن هستند . به این چارک نقطه 75 درصد نیز گویند . فاصله بین دو چارک اول و سوم ، دامنه تغییر بین چارکها می باشد . پس در ابتدا باید چارک اول و سوم را حساب کرد و سپس دامنه تغییر را که تفاضل این دو مقدار است به دست آورد .

حال باید این فرمول را بر 2 تقسیم کرد تا به شکل فرمول اسلاید قبل شود و انحراف چارکی به دست آید .

1- مرتب کردن اعداد از کوچک به بزرگ
نحوه محاسبه چارکها 2- محاسبه چارک دوم یا میانه یعنی وسط اعداد
3- محاسبه میانه اعداد سمت چپ یعنی اعداد کمتر از چارک دوم
4- محاسبه میانه اعداد سمت راست یعنی اعداد بیشتر از میانه

محاسبه چارکهای طبقه بندی شده ( دسته بندی شده ) : برای محاسبه چارک اول در توزیع فراوانی به ستون فراوانی تراکمی مراجعه می کنیم . چون چارک اول یک چهارم پایینی داده ها را شامل می شود بنابراین فراوانی تراکمی را از پایین به بالا مشاهده کرده تا به اولین طبقه ای برسیم که فراوانی تراکمی مساوی یا بیشتر از ربع کل داده ها ( 𝑁 4 ) باشد . فرمول محاسبه چارک اول در این حالت به صورت زیر است :

L : حد پایین طبقه ای که در آن چارک اول قرار دارد / N : تعداد اعداد / cf : فراوانی تراکمی تا مرز طبقه چارک اول / f : فراوانی مطلق طبقه ای که چارک اول در آن واقع است / i : فاصله طبقاتی

نحوه محاسبه چارک سوم در داده های دسته بندی :
تنها تفاوت با چارک اول این است که در چارک سوم 75 درصد داده ها کمتر از آن هستند پس به جای 𝑁 4 ، 3𝑁 4 قرار می گیرد و در انتها انحراف چارکی بر اساس فرمولی که قبلا آورده شد محاسبه می گردد .
انحراف چارکی به مانند میانه تحت تاثیر اعداد خیلی بزرگ یا خیلی کوچک قرار نمی گیرند .
انحراف متوسط :
میانگین قدر مطلق انحرافات از میانگین را انحراف متوسط گویند و در علم آمار فاصله بین هر عدد از یکی از شاخص های مرکزی را انحراف متوسط می نامند .

انحراف نمره ها از میانگین :
تعداد نمره ها :
میانگین :
نمره های مشاهده شده یا اندازه گیری شده :
مثال : نحوه توزیع انحراف ها را در این نمونه بررسی می کنیم

در نمونه اول اعداد با هم برابر است و پراکندگی ندارند . میانگین نمونه اول برابر عدد 8 و دوم برابر 7 و سوم 16 می باشند . حال انحراف اعداد هر نمونه را از میانگین مربوطه کم می کنیم و در این صورت توزیع انحرافها را در صفحه بعد خواهیم دید

حال به محاسبه متوسط هر یک از توزیع های بالا می پردازیم :

نحوه محاسبه انحراف متوسط در داده های دسته بندی نشده به صورت فوق بود

حال به نحوه محاسبه انحراف متوسط در داده های دسته بندی شده با ذکر نمونه می پردازیم ( تنها تفاوت در محاسبه انحراف داده ها از میانگین است یعنی انحراف نقاط میانی در هر طبقه را از میانگین به دست می آوریم :

نحوه محاسبات در جدول اسلاید قبل به صورت زیر است : ( توضیح جدول ) 1- محاسبه نقطه میانی طبقات
2- محاسبه قدر مطلق انحراف نقاط میانی هر طبقه از میانگین
3- ضرب ستون فراوانی در قدر مطلق انحرافات
4- حاصل جمع ستون را به دست می آوریم و بر تعداد داده ها تقسیم می کنیم ( N )
انحراف متوسط به انحراف از میانگین وابسته است که مقیاس اندازه گیری باید به صورت فاصله ای باشد . انحراف متوسط میزان پراکندگی موجود در توزیع نمره ها را نشان می دهد .

3- واریانس :
شاخص پراکندگی است که از طریق محاسبه انحراف نمره ها از میانگین به دست می آید برابر است با مجموع مجذور انحراف نمره ها از میانگین که بر تعداد نمره ها تقسیم می شود .

فرمول محاسبه واریانس : یا
این فرمولها محاسبه واریانس از طریق انحراف از میانگین است اما اگر میانگین دارای اعشار باشد محاسبه واریانس دشوار می شود در نتیجه از فرمول دیگر واریانس استفاده می کنیم :

محاسبه واریانس اعداد طبقه بندی نشده :
1- جمع کل نمره ها با هم // 2- تک تک نمره ها را به توان 2 می رسانیم ( مجذور ) //
3- حال حاصل جمع مجذور تک تک نمره ها را به دست آوریم // 4- مقادیر را در فرمول بالا قرار
می دهیم ( فرمول زرد رنگ )

محاسبه واریانس اعداد طبقه بندی شده :
در این حالت داده ها دسته بندی شده و دارای توزیع فراوانی هستند در نتیجه واریانس به دو صورت محاسبه می شود :
1- مستقیم
حالت الف : محاسبه از روی نمره های انحرافی

حالت ب : محاسبه با استفاده از اعداد خام

نقطه میانی طبقه ها در حالتی که فاصله طبقه ها از عدد یک بیشتر باشد :
در صورتی که فاصله هر طبقه برابر عدد یک باشد یا حد بالا و پایین هر طبقه مثل هم باشند در فرمول بالا به جای ، قرار می دهیم :

پس از طبقه بندی نمره ها و تنظیم ستون فراوانی مراحل زیر به ترتیب طی می کنیم :
1- محاسبه نقطه میانی طبقه ها
2- ستون را در هم ضرب می کنیم
3- حاصل جمع مورد 2 را به دست می آوریم
4- ستون را در ستون ضرب کنید تا به دست آید .
5- حاصل جمع ستون را تعیین کنید
6- مقادیر را در فرمول زیر قرار می دهیم

محاسبه واریانس با استفاده از میانگین فرضی ( روش غیر مستقیم ) :
اگر اطلاعات در قالب جدول فراوانی تهیه شود و فاصله طبقه ها با هم برابر باشند از فرمول زیر استفاده می شود :

: فاصله طبقات // فاصله طبقه ها تا طبقه ای که فرض می شود میانگین در آن واقع است
انحراف معیار ( استاندارد ) :
جذر واریانس را انحراف معیار گویند . در واریانس چون داده ها به توان 2 می رسند در واحد اندازه گیری داده ها و واریانس تفاوت ایجاد می شود به طور مثال اگر واحد داده ها سانتی متر باشد در واریانس سانتی متر مربع می شود پس برای حل این اختلاف به شاخص پراکندگی دیگری به نام انحراف معیار نیازمند هستیم . فرمول محاسبه آن به شرح زیر است :

مراحل محاسبه انحراف معیار :
1- به دست آوردن انحراف هر یک از نمره ها از میانگین
2- به توان 2 رساندن تک تک انحرافها
3- حال مجذور انحرافها را با هم جمع می کنیم
4- حاصل جمع مرحله را3 بر تعداد نمره ها تقسیم می کنیم
5- جذر واریانس حاصل را حساب می کنیم
محاسبه انحراف معیار اعداد خام :
فرمول آن به شکل روبروست همان فرمول واریانس و فقط یک
جذر بالای آن قرار می گیرد

محاسبه انحراف استاندارد از روی جدول توزیع فراوانی :
اگر تعداد داده ها کم نباشد ، اعداد یا نمره ها را در جدول توزیع فراوانی عرضه می کنیم و مراحل محاسبه مانند حالت داده های خام است با این تفاوت که و تنها نقطه میانی هر دسته و فراوانی آنها در فرمول به کار می رود :

واریانس و انحراف استاندارد نمونه :
تا به اینجا فرمول هایی که دیدیم در مورد محاسبات واریانس و انحراف استاندارد در فضای جامعه بود . چنانچه نمونه ای به عنوان الگو در یک جامعه استفاده شود یعنی نمونه انتخابی که مقدار کمتری نسبت به جامعه دارد ، معرف جامعه باشد از فرمولهای دیگری استفاده می شود یعنی هر دو شاخص تغییراتی می کنند :

همانطور که مشاهده کردید در فرمول های نمونه به جای N در فرمول جامعه از n-1 استفاده می کنیم و دلیل این کار این است که بتوانیم با استفاده از واریانس نمونه برآورد دقیقی از واریانس جامعه داشته باشیم و تحت این شرایط نتیجه حاصل بسیار دقیقتر و نزدیکتر به واقعیت است . به طور کلی محقق زمانی که تصمیم گرفت واریانس جامعه را بر اساس نمونه مشخص کند از واریانس نمونه بهره می گیرد که مجموع مجذورات انحراف از میانگین بر n-1 تقسیم میشود و تنها در شرایطی که از شاخص های پراکندگی فقط برای توصیف استفاده شود ، تقسیم بر N را جایگزین می کنیم .

n : تعداد مشاهده ها یا اعداد // n-1 : به آن درجات آزادی گویند و آن را با نماد نمایش می دهیم و معنای آن این است که تعداد انحرافات از میانگین یا تعداد ارزشها که می توانند آزادانه تغییر کنند .

تاثیر جمع یا ضرب یک عدد ثابت در انحراف استاندارد و واریانس :
جمع کردن یک عدد ثابت در تک تک داده ها : در مقدار واریانس و انحراف استاندارد تغییر ایجاد نمی کند .
ضرب یک عدد ثابت در تک تک داده ها : باعث می شود که انحراف معیار در آن عدد و واریانس در مجذور آن عدد ضرب شود .

تصحیح شپرد :
محاسبه مقدار میانگین تا به اینجا که تمام شاخص های پراکندگی مطرح شد به دو صورت بود یکی برای داده های خام یا طبقه بندی نشده و دیگری برای داده های گروه بندی شده و مقدار این دو با هم تفاوت دارد یعنی مقدار میانگین هر دو صورت با هم متفاوت است که به آن خطای طبقه بندی گویند . در محاسبه میانگین و انحراف از آن این خطا مشخص نیست .
در محاسبه انحراف استاندارد این خطا بیشتر به چشم می آید که چون مجذور برای واریانس استفاده می شود خطا نیز به همان نسبت مجذور می شود و بسیار بیشتر از قبل ، بنابراین باید این خطا را تصحیح کرد
فرمول تصحیح شپرد همین کار را انجام می دهد :

محاسبه انحراف استاندارد مرکب :
زمانی که پژوهشگر مایل باشد تا میانگین یا انحراف استاندارد مرکب دو یا چند انحراف استاندارد را محاسبه کند از فرمول زیر که به فرمول مک نیمار معروف است ، استفاده می شود :

نکته ای درباره فرمول قبل : اگر بیش از 2 گروه داشته باشیم ، عناصر گروه های دیگر به صورت و مخرج کسر افزوده می شوند .
ضریب پراکندگی :
برای مقایسه میزان پراکندگی ویژگی یک گروه نسبت به پراکندگی ویژگی دیگر آن گروه از این ضریب بهره می بریم .
به این ضریب گاها ضریب نسبی واریانس نیز می گویند که با V نشان داده می شود :

S : انحراف استاندارد توزیع نمره ها و نیز میانگین است .

تفسیر انحراف استاندارد :
شاخصی است که به منظور تعیین تغییرات یا پراکندگی توزیع نمره ها به کار می رود . مقدار این انحراف با تغییر پراکندگی نمره ها تغییر می کند . هر چقدر توزیع نمره ها به نسبت میانگین دارای پراکندگی بیشتری باشد مقدار انحراف استاندارد نیز بیشتر است و برعکس .
برای نمونه می توان به جدول صفحه بعد مراجعه کرد :
توضیحات جدول :
در این جدول نمره های گروه الف نسبت به ب در اطراف میانگین متمرکزتر هستند و انحراف نمره ها و مجموع مجذور انحرافات در الف نسبت به ب کمتر است . به این ترتیب واریانس و انحراف معیار آن کوچکتر است . مقایسه انحراف استاندارد نشان می دهد که پراکندگی نمره ها در گروه ب 4 برابر الف است .

انحراف استاندارد معتبرترین شاخص پراکندگی است که در محاسبه آن ارزش مقداری اطلاعات به طور منحصر به فرد مورد استفاده است و این شاخص برآورد معتبر و باثباتی را از جامعه به وجود می آورد . پس می توان نتیجه گرفت که انحراف استاندارد با ثبات ترین شاخص و دامنه تغییرات بی ثبات ترین آنهاست .
گشتاور های پیرامون پراکندگی :
میانگین و انحراف استاندارد به دسته ای از شاخص های آمار توصیفی که گشتاور ها هستند ، تعلق دارند .
در صورتی که متغیری مانند x ، n بار مورد اندازه گیری واقع شود و اندازه های x های مختلف به صورت در دسترس باشند ، میانگین انحراف هر یک از نمره ها از میانگین بر حسب فرمول زیر خواهد بود که به آن گشتاور رتبه اول گویند .

بر طبق تعریف اسلاید قبل گشتاور رتبه های دوم تا چهارم عبارت است از :

گشتاور رتبه n ام نیز مطابق فرمول زیر است :

گشتاور رتبه اول صفر و رتبه دوم 𝑛−1 𝑛 برابر واریانس نمونه است و رتبه سوم برای محاسبه کجی و رتبه چهارم برای محاسبه کشیدگی منحنی است .
کجی :
یکی از موارد استفاده چارکها و انحراف چارکی در تعیین کجی توزیع نمره هاست . با داشتن چارکهای اول و دوم و سوم حالت های زیر حاصل می شود :

محاسبه مقدار کجی : مقدار آن بدون استفاده از چارکها برابر فرمول زیر است :
در صورتی که نمودار توزیع نمره ها طبیعی باشد مقدار کجی برابر صفر است .
کجی مثبت -> مکعب مجموع مجذور انحراف نمره ها از میانگین عددی مثبت است
کجی منفی -> مکعب مجموع مجذور انحراف نمره ها از میانگین عددی منفی است
فرمول کجی پیرسون :

کشیدگی :
فرمول محاسبه به صورت بالا است .
وقتی کشیدگی صفر باشد ، توزیع طبیعی است
کشیدگی مثبت : برآمدگی منحنی توزیع نمره ها در نقطه اوج است و در حالت منفی نقطه اوج خوابیده است