ریاضیات(دایره,مساحت,اضلاع و غیره)
جیب :
نصف وتر یک قوس را جیب نصف آن قوس نامند.در شکل زیر AD جیب قوس AC است (C وسط قوس AB وD وسط پاره خط AB است).
درمحاسبات اصطلاح جیب با آنچه امروزه sinus مینامیم متفاوت است.در واقع جیب هرقوس شصت برابر سینوس آن قوس میباشدو به همین دلیل امروزه جیب قوس a را با علامت Sin a (با Sبزرگ) و سینوس آنرابا علامت sin a (با s کوچک )مینویسند.
Sin a = 60 x sin a
D
A
C
B
سهم :
عمود خارج از وسط یک قوس به وتر آن را بعضی سهم آن قوس و بیشترریاضیدانان سهم نصف آن قوس مینامند.
اهلیجی:
عبارت است از سطح محصور بین دو قوس متساوی کوچکتر از نیمدایره و متعلق به دو دایره متساوی.
شلجمی :
یعنی سطح محصور بین دو قوس متساوی بزرگتر از دو نیمدایره و متعلق به دو دایره متساوی.
شلجمی
اهلیجی
حلقه مسطحه :
سطح محصور بین دو دایره متحدالمرکز (=تاج).
هلالی و نعلی :
سطح محصور بین دو قوس دایره که از نیمدایره بیشتر نباشد(متعلق به دو دایره متقاطع خواه مسا وی و خواه نامتساوی) وتحدب آنها در یک جهت باشد هلالی نامیده میشود.اگر دو قوس مذکور از نیمدایره بیشتر باشند شکل نعلی نامیده میشود.
نعلی
هلالی
ضلع الکره:
آنچه امروزه قاچ کروی مینامند یعنی جسم محصور بین سطح کره و سطوح دو نیمدایره عظیمه آن.
باب سوم از مقاله چهارم مفتاح الحساب مربوط به چندضلعی های منتظم است.کاشانی قطر دایره محاطی چند ضلعی منتظم را قطر اقصر و قطر دایره محیطی آن را قطر اطول چند ضلعی منتظم نامیده است و برای محاسبه شعاع دایره محاطی (r) و شعاع دایره محیطی (R) بر حسب ضلع چند ضلعی (a) و عده اضلاع آن (n) دستور هایی داده است که با علائم و اصطلاحات کنونی به صورت زیر در می آید
R =
a
2 sin
180
n
r
=
a
2
cotg
180
n
R
r
و برای محاسبه مساحت (S) چند ضلعی منتظم از رابطه :
استفاده کرده و مقدار
را برای مثلث متساوی الاظلاع و پنج ضلعی و شش ضلعی و هفت ضلعی و هشت ضلعی و نه ضلعی و ده ضلعی و دوازده ضلعی و پانزده ضلعی و شانزده ضلعی منتظم هم در دستگاه شمارشصتگانی وهم اعشاری که خود مخترع آنها است حساب کرده تا برای محاسبه مساحت S مربع ضلع را در اعداد مذکور ضرب کنند.
S
a
2
=
n
4
cotg
180
n
n
4
cotg
180
n
a
2
علاوه بر این در مورد بعضی از چند ضلعی های منتظم روابطی را که ما بین ضلع (a) و مساحت (S) و شعاع دایره محاطی (r) برقرار است به دست میدهد تا بتوان آنها را از روی یکدیگر حساب کرد و گاهی هر یک از این روابط را به چند شکل بیان میکنند.
مثلا در مثلث متساوی الاضلاع
و
طول ارتفاع
کاشانی برای محاسبه مساحت مثلث غیر مشخص و استخراج بعضی از ابعاد آن بر حسب ابعاد دیگر , دستور هایی می دهد که اگر اضلاع مثلث را a,b,c و شعاع دایره محاطی آن را r و ارتفاع نظیر آن راس A را AH=h و مساحت مثلث را S و نصف محیط آن را P بنامیم آنها را به صورتهای زیر می توان نوشت
a
اگر اضلاع مثلث معلوم باشند و بخواهیم فاصله پای ارتفاع AH را مثلا از راس B پیدا کنیم :
(این همان دستور معروف است که در آن به جای
مقدار BH قرار گرفته است)
H
B
A
C
c
h
a
b
a
اگر یک ضلع (c) و دو زاویه از مثلث مشخص باشد واضح است که زاویه سوم نیز معلوم است و
( و اینها در واقع همین دستور کلی اند: )
و اگر دو ضلع b , c و زاویه بین آنها معلوم باشند و بخواهیم ضلع دیگر را حساب کنیم:
و این نیز همان دستور است که اگر A منفرجه باشدعلامت مثبت می شود.
کاشانی دستور را از خود می شماردو
برای محاسبه مساحت مثلث دستور
را ذکر می کندو عجیب است که این دو دستور را با هم مقایسه نمی کند تا دستور کلی را بدست آورد.
باب اول مقاله پنجم درباره جبر و مقابله و مشتمل بر ده فصل است.در فصل اول اصطلاحات وعلم جبر و مقابله تعریف می شوند.
اصطلاحات:
مسئله الجبریه = معادله
متعادلان = دو طرف معادله
استثناء = جمله منفی
زاید = مثبت
ناقص = منفی
نگاهی به مقاله پنجم مفتاح الحساب:
جبر و مقابله :
علم به قانونی است که بوسیله آن بسیاری از مجهولات عددی از معلومات مخصوص با روش ویژه ای شناخته می شود.
معنی جبر:
اگر در یک طرف معادله یا هر دو طرف آن جمله کم کردنی( استثناء ) وجود داشته باشد آن را حذف می کنیم و مثل آن را به طرف دیگر می افزاییم و مانده یک طرف را با مجموع طرف دیگر معادل می کنیم و این معنی جبر است.
مثال: معادله پس از عمل جبر می شود:
معنی مقابله :
اگر یک جمله در هر دو طرف معادله مشترک باشد آن جمله را از دو طرف معادله حذف می کنیم و این معنی مقابله است.
معنی اعمال رد و تکمیل :
اگر در یکی ازدو طرف معادله ضریب جمله بزرگترین درجه بزرگتر از یک ( یا کوچکتر از یک) باشد دو طرف معادله را به آن ضریب تقسیم ( یا در عکس آن ضریب ضرب ) می کنیم تا ضریب بزرگترین درجه مساوی با یک شود. اگر ضریب مذکور بزرگتر از یک باشد عمل را“ رد“ و اگر کوچکتر از یک باشد عمل را ” تکمیل“ می نامند.
مثال رد:
معادله پس از عمل رد چنین می شود:
مثال تکمیل:
معادله پس از عمل تکمیل چنین می شود:
در فصلهای دوم و سوم این باب کاشانی قاعده جمع و تفریق کثیر الجمله ها را بیان می کند و در فصل چهارم آن به بیان قاعده ضرب کثیرالجمله ها می پردازد و مثلا حاصلضرب
را مساوی با
می یابد و برای این کار جدولی تشکیل می دهد که با علائم کنونی معادل است با:
مضروب
مضروب فیه
در فصل نهم همین باب کاشانی حل معادلاتی از قبیل
را به حل معادله درجه دوم منجر می کند.مثلا حل معادله
را به حل معادله مبدل می سازد بدون آنکه از ریشه معادله مذکور گفتگو کند.
در فصل دهم این باب معادلاتی از قبیل را مورد بحث قرار میدهد و میگوید انواع معادلات بیشمار است و قاعده ای از خود برای حل آنها بیان می کند و آن قاعده این است:
اگر باشد داریم:
و از آنجا
مثال :
حل معادله داریم پس .البته کاشانی صفر و ریشه منفی را در نظر نمی گیرد.
مطلب جالب توجه آنکه در کاشانی در ضمن حل معادله
می گوید 40 را بر 5 تقسیم می کنیم میشود 8 و کعب آن را میگیریم , زیرا تفاضل بین درجات عدد و قوه سوم 3 است.یعنی در واقع کاشانی میگوید و درجه مقدر ثابت 40 را صفرمی داند یعنی در اینجا صفر را به منزله قوه عدد ثابت چهل محسوب داشته و صفر را جزو اعداد به حساب آورده است .
باب دوم از مقاله پنجم مفتاح الحساب درباره استخراج مجهول به طریق حساب خطاین است.کاشانی این روش را در صورتی بکار می برد که حل مساله به یک معادله درجه اول منتهی شود.یعنی معادله مساله به صورت در آید, اما اگر استخراج مجهول منجر به ضرب کردن مجهول در خودش ویا تقسیم مجهول بر خودش شود ویا به استخراج جذر یا کعب یا امثال آنها احتیاج پیدا شود دیگر این روش را نمیتوان به کار بست.
خلاصه این روش با علائم واصطلاحات کنونی این است که برای حل معادله دو عدد دلخواه مختلف و را در معادله به جای می گذاریم .اگر یکی از این دو عدد در معادله صدق کند که همان عدد جواب مساله است واگرنه:
خواهیم داشت:
(1)
(2)
و را خطای اول و را خطای دوم می نامند.
اگر دو طرف معادله را به ترتیب از دو طرف معادلات (1) و (2) کم کرده و حاصلها را بر هم تقسیم کنیم حاصل می شود:
و از آنجا ریشه معادله بدست می آید:
البته چون کاشانی فقط اعداد مثبت را در نظر می گیرد و می گوید که اگر هر دو خطا بر c اضافه یا هر دو کم شوند(یعنی اگر و هر دو مثبت و یا هر دو منفی باشند)برای یافتن ریشه معادله باید تفاضل حاصلضربهای و را بر تفاضل و تقسیم کرد. اما اگر یکی از خطاها بر c اضافه و دیگری از آن کم شود(یعنی و مختلف العلامه باشند)برای یافتن ریشه معادله باید مجموع حاصلضرب های و را بر مجموع و تقسیم کرد.
باب سوم از مقاله پنجم مفتاح الحساب مختص به ایراد پنجاه قاعده است که به قول کاشانی برای استخراج مجهولات به کار می آیند.مولف برای هیچیک از این قاعده ها برهان نیاورده و از این پنجاه قاعده فقط چهار قاعده را از استنباطات خود می داند که عبارتند از قاعده هفتم , نهم , پانزدهم, شانزدهم که ذیلا به آنها اشاره می کنیم.
قاعده هفتم : همان دستور محاسبه جمله n ام و مجموع nجمله از یک تصاعد حسابی است که اگر جمله اول تصاعد را a و جمله nام را l و تفاضل ثابت (قدرنسبت) را d بنامیم به صورت زیر در می آید
قاعده نهم:دستور محاسبه مجموع تضاعیف واحد یعنی n جمله از یک تصاعد هندسی است که جمله اول آن واحد و قدر نسبت آن 2 باشد:
مثال:
همین قاعده را کاشانی در قاعده پانزدهم تعمیم داده است.
قاعده پانزدهم:دستور محاسبه مجموع قوای متوالی یک عدد دلخواه است که کاشانی آن را به صورتهای زیر بیان کرده:
مثال:
کاشانی همین دستور را در موردی که عدد کوچکتر از واحد و به شکل باشد به صورت زیر در آورده است:
مثال:
قاعده شانزدهم: دستور محاسبه وقتی عددی بزرگ باشد و نخواهیم قوای متوالی a را حساب کنیم.مثلا کاشانی برای محاسبه آن را به صورت زیر در می آورد:
و همچنین برای محاسبه می نویسد:
تبصره 1: برخی قانونهای جالب توجه دیگر مربوط به محاسبه مجموع سلسله ها نیز جزو این پنجاه قاعده هست ولی کاشانی آنها را از خود نمیداند و چون هر جا قاعده ای از خود یافته به صراحت متذکر شده است معلوم است که این قاعده ها را از دیگران اقتباس کرده است و از جمله است دستور های زیر:
قاعده دهم:
قاعده یازدهم:
که مساوی است با:
قاعده دوازدهم: محاسبه مجموع مربعات اعداد طبیعی از 1 تا n:
که مساوی است با:
قاعده سیزدهم: محاسبه مجموع مکعبات اعداد طبیعی از 1 تا n
که مساوی است با:
قاعده چهاردهم: محاسبه مجموع قوای چهارم اعداد طبیعی از ا تا n :
یعنی:
این عبارت را می توان به صورت ساده زیر نوشت:
تبصره 2:قاعده پنجاهم درباره استخراج اعداد متحاب است.کاشانی این اعداد را چنین تعریف می کند:
“عددهای متحاب اعدادی هستند که مجموع اجزای هر یک از آنها مساوی با عدد دیگر باشد”
و باید دانست که اجزای هر عدد صحیح غیر اول اعدادی هستند که آن عدد را می شمرند(یعنی آن عدد بر آنها قسمت پذیر است)و از آن کوچکترند.
باب چهارم از مقاله پنجم مفتاح الحساب که تقریبا یک پنجم همه آن کتاب را شامل است مشتمل بر 39 مساله است که کاشانی آنها را با جبر و مقابله یا بوسیله علم مفتوحات(یعنی حل کردن مسائل حساب بدون استفاده از معادلات جبری) و یا با قاعده خطاین حل کرده و خود در ابتدای آن گفته است که بعضی از آن مسائل را از کتاب الفوائد البهائیه اقتباس کرده و آنها را با روشهای گوناگون حل کرده است.
این باب در سه فصل است وفصل اول آن مشتمل بر 25 مساله است که به معادلات یک مجهولی یا چند مجهولی درجه اول یا دوم یا به معادلات سیال منجر می شود.
به عنوان مثال در اینجا مساله یازدهم این باب را مرور می کنیم:
مساله :
می خواهیم عدد 10 را به دو قسمت تجزیه کنیم به نحوی که مجموع مربع قسمت اول و خود قسمت دوم یک مربع کامل باشد.
حل:
اگر قسمت اول را بنامیم ناچار باید قسمت دوم به صورت باشد تا وقتی با جمع میشود مربع کامل باشد در این صورت داریم:
و از آنجا :
و این یک معادله سیال است یعنی یک معادله است و دو مجهول و بنابراین ممکن است جوابهای متعدد داشته باشد.
چون در اینگونه معادلات معمولا جوابهای صحیح یا منطق مثبت مد نظر است اگر بخواهیم جوابهای صحیح مثبت را بیابیم با در نظر گرفتن رابطه باید اولا از 10 کوچکتر باشد یعنی
مساوی با 1 یا 2 یا 3 باشد و ثانیا بر قسمت پذیر باشد. با اندک دقت معلوم می شود که معادله فقط یک دستگاه جواب صحیح مثبت دارد که عبارتند از :
و در این صورت دو قسمت مطلوب عبارتند از: و
و واضح است که
اما اگر جوابهای کسری را هم بخواهیم , کافی است که مثبت باشد.مثلا اگر باشد حاصل می شود و دو قسمت مطلوب عبارتند از
و واضح است که
و اگر باشد نتیجه می شود و دو قسمت مطلوب عبارتند از
و واضح است که: