درس الکترومغناطیس 1
رشته فیزیک
4 واحد درسی
منبع : 9 فصل اول از کتاب مبانی نظریه الکترومغناطیس
تالیف : جان ر. ریتس ، فردریک ج .میلفورد، رابرت و. کریستی
حسین غفوریان ، عضو هیات علمی دانشگاه پیام نور
فهرست
فصل اول: آنالیز برداری
فصل دوم: میدانهای الکترواستاتیک در خلاء
فصل سوم: میدان الکتریکی در مواد
فصل چهارم: حل مسائل الکترو استاتیک
فصل اول :
در این فصل مطالبی که در درس ریاضی فیزیک 1 به طور مفصل بررسی شده ، یاد آوری می شود.
1- جمع و ضرب بردارها
2- بررسی دستگاه مختصات منحنی الخط ، دکارتی قائم ، استوانه ای و کروی
3- تعریف شیب یک تابع عددی
4- تعریف واگرایی یا دیورژانس یک میدان برداری
5- تعریف تاو یک میدان برداری
6- بررسی قضیه استوکس و قضیه واگرایی
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
1
1
ابتدا جهت یادآوری مطالب مربوط به درس ریاضی فیزیک 1 را بررسی می کنیم .
دستگاه مختصات منحنی الخط :
هر دستگاه مختصات از سه سطح تشکیل شده است .
بردارهای یکه باید به صفحات مربوط عمود باشند.
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
2
1
که می توان بردارهای یکه را بصورت زیر تعریف کرد :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
3
1
سنجه های دستگاه مختصات منحنی الخط نیز به صورت زیر تعریف می شود :
تغییر مکان بی نهایت کوچک در دستگاه مختصات منحنی الخط :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
4
1
دستگاه مختصات دکارتی قائم :
این دستگاه مختصات یک دستگاه مختصات متعامد است .
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
5
1
سنجه های دستگاه :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
6
1
دستگاه قطبی کروی :
سطوحی که این دستگاه را تعریف می کنند :
1- کره هم مرکز با مبداء مختصات
2- مخروط قائم هم ارتفاع با محور zها که راس آن در مبداء مختصات واقع است
بردار یکه آن
بردار یکه آن
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
7
1
دستگاه قطبی کروی :
3- نیم صفحه ای که به محور zها محدود است
بردار یکه آن
جهت بردار یکه در این دستگاه مختصات در هر نقطه در حال تغییر است .
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
8
1
تذکر : این دستگاه مختصات یک دستگاه متعامد است ، چون :
روابط تبدیلی :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
9
1
سنجه های این دستگاه :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
10
1
دستگاه قطبی استوانه ای دوار :
سطوحی که این دستگاه را تعریف می کنند :
1- سطح دوار هم ارتفاع با محور zها با معادله :
بردار یکه آن
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
11
1
دستگاه قطبی استوانه ای دوار :
2- مخروط قائم هم ارتفاع با محور zها که راس آن در مبداء مختصات واقع است
بردار یکه آن
3- نیم صفحه ای که به محور zها محدود است
بردار یکه آن
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
12
1
تذکر : این دستگاه نیز متعامد است ، چون :
روابط تبدیلی :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
13
1
سنجه های این دستگاه :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
14
1
ضرب بردارها :
1- ضرب عددی دو بردار :
2- ضرب برداری :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
سطح دو بردار
15
1
ضرب بردارها :
3- ضرب سه گانه عددی :
حجم متوازی السطوح
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
4- ضرب سه گانه برداری : ( قاعده بک-کب )
16
1
المان خطی در فضا ، در دستگاه منحنی الخط :
المان سطحی در دستگاه منحنی الخط :
المان حجم در دستگاه منحنی الخط :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
17
1
نمایش المانهای حجم در فضاهای مختلف
الف ) دکارتی قائم :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
18
1
نمایش المانهای حجم در فضاهای مختلف
ب ) استوانه ای دوار :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
19
1
نمایش المانهای حجم در فضاهای مختلف
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
ج ) قطبی کروی :
20
1
شیب یک میدان عددی :
1- در دستگاه مختصات منحنی الخط :
2- در دستگاه دکارتی قائم :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
21
1
شیب یک میدان عددی :
3- در دستگاه قطبی کروی :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
4- در دستگاه استوانه ای دوار :
22
1
واگرایی یا دیورژانس :
اگر داشته باشیم :
واگرایی این بردار بصورت زیر تعریف می شود .
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
23
1
واگرایی یا دیورژانس :
1- واگرایی در دستگاه مختصات منحنی الخط :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
2- واگرایی در دستگاه دکارتی قائم :
24
1
3- واگرایی در دستگاه قطبی کروی :
4- واگرایی در دستگاه استوانه ای دوار :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
25
1
واگرایی یا دیورژانس :
نکته : اگر واگرایی یک میدان برداری صفر باشد آن میدان برداری را میدان سیملوله ای گویند .
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
برای مثال میدان مغناطیسی یک میدان سیملوله ای است ، پس :
میدان سیملوله ای است
قضیه واگرایی :
26
1
واگرایی یا دیورژانس :
تاو یک میدان برداری :
تاو یک میدان برداری در دستگاه منحنی الخط :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
27
1
تاو یک میدان برداری :
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
که در دستگاههای دیگر با قرار دادن صفحات و سنجه ها میتوان تاو هر میدان برداری را بدست آورد .
نکته: اگر تاو یک میدان برداری صفر باشد، آنرا میدان غیرچرخشی یا پایستار می نامند .
یک میدان پایستار یا غیرچرخشی
28
1
قضیه استوکس :
لاپلاسی عددی :
واگرایی شیب یک میدان عددی را لاپلاسی عددی گویند .
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
29
1
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
1- لاپلاسی عددی در دستگاه دکارتی قائم :
2- در دستگاه قطبی کروی :
30
1
مثال :
لاپلاسی برداری می گویند .
مقدمه ای بر ریاضی فیزیک
برای تابعی به شناسه بستگی دارد که در آن بعنوان یک مبداء ثابت تلقی می شود .
: مثال
: اگر
31
1
فصل دوم : الکترواستاتیک
در این فصل به بررسی موارد زیر می پردازیم.
1- قانون کولن چیست؟ و چگونه می توان با استفاده ازآن نیروی بین بارهای الکتریکی را بدست آورد.
2- شدت میدان الکتریکی چیست؟ و چگونه می توان میدان الکتریکی یک یا چندبار الکتریکی یا یک توزیع بار الکتریکی را بدست آورد.
3- قانون گاوس چیست؟و چگونه می توان از آن برای پیدا کردن میدان الکتریکی استفاده کرد.
4- دوقطبی الکتریکی و محاسبه میدان و پتانسیل الکرتیکی آن.
5- بسط پتانسیل حاصل از یک توزیع بار برحسب پتانسیل چند قطبی ها.
الکترواستاتیک
32
2
مفهوم بار الکتریکی :
اگر بخواهیم یک جسم را باردار کنیم ، بایستی با استفاده از مالش دادن تعادل بار الکتریکی را به هم بزنیم .
اصل بقای بار : مقدار بار الکتریکی یا کوانتیزاسیون بار
تعریف بار نقطه ای : بار نقطه ای ، باری است که ابعاد آن در مقایسه با فواصلی که میدان یا نیرو در آن فواصل محاسبه می شود ، بی نهایت کوچک باشد .
الکترواستاتیک
33
2
قانون کولن :
دو بار الکتریکی نقطه ای ، به هم نیرو وارد می کنند ، خط اثر این نیروها در امتداد خطی است که آن دو بار را به هم وصل می کند ، و بزرگی این نیرو با عکس مجذور فاصله آنها متناسب است .
الکترواستاتیک
34
2
2. این نیرو با ضرب بارها نیز متناسب است ، برای بارهای همنام دافعه و برای بارهای ناهمنام جاذبه است .
با اعمال جهت نیرو خواهیم داشت :
الکترواستاتیک
35
2
الکترواستاتیک
در رابطه فوق ، نیروی وارد بر بار و ضریب تناسب است .
، را گذردهی خلاء می نامند .
36
2
واحدها :
الکترواستاتیک
الف) دستگاه Mks
ب) دستگاه (k=1) cgs
کولن
استات کولن
37
2
توزیع ناپیوسته :
اگر n ذره باردار داشته باشیم .
نیرویی که از طرف سایر ذرات باردار به ذره iام وارد می شود :
الکترواستاتیک
38
2
توزیع پیوسته بارها :
الف) توزیع خطی :
ب) توزیع سطحی :
ج) توزیع حجمی بار :
چگالی حجمی بار
چگالی سطحی بار
الکترواستاتیک
چگالی خطی بار
39
2
محاسبه نیروی وارده از طرف یک توزیع پیوسته بار روی یک بار نقطه ای :
الکترواستاتیک
40
2
الکترواستاتیک
برای توزیع خطی :
برای توزیع سطحی :
برای توزیع حجمی بار :
41
2
شدت میدان الکتریکی :
میدان الکتریکی در هر نقطه : حد نسبت نیروی وارد بر بار آزمون که در آن نقطه قرار داده می شود به اندازه این بار ، وقتی که مقدار بار آزمون به سمت صفر میل می کند.
میدان الکتریکی بارQدر فاصله r از آن
الکترواستاتیک
42
2
رسم میدان الکتریکی به کمک خطوط نیرو
الکترواستاتیک
43
2
میدان الکتریکی توزیع ناپیوسته N بار الکتریکی نقطه ای در فاصله r از مبداء
الکترواستاتیک
و برای توزیع های پیوسته نیز بطریق مشابه میتوان میدان الکتریکی را بدست آورد .
میدان الکتریکی یک توزیع حجمی بار با چگالی بار در حجم
44
2
پتانسیل الکترواستاتیکی :
اگر تاو میدان الکتریکی بدست آمده را حساب کنیم ، خواهیم داشت :
یعنی میدان الکتریکی یک میدان پایستار است و میتوان نوشت :
که را تابع پتانسیل الکترواستاتیک گویند . ( علامت منفی بصورت قراردادی در معادله بالا وارد می شود )
الکترواستاتیک
چون
45
2
الکترواستاتیک
46
2
مفهوم فیزیکی :
الکترواستاتیک
47
2
تعریف :
پتانسیل الکتریکی در هر نقطه ای :
مقدار کاریست که بر علیه میدان الکتریکی E انجام می دهیم تا یک کولن الکتریسیته را از بی نهایت به نقطه مورد نظر (r) بیاوریم.
اگر بار q در مبدا باشد در نقطه r پتانسیل برابر است با :
الکترواستاتیک
48
2
اگر بار q در مبدا نباشد و در نقطه r باشد خواهیم داشت :
الکترواستاتیک
49
2
پتانسیل حاصل از یک توزیع ناپیوسته بارها :
پتانسیل حاصل از یک توزیع پیوسته بار:
برای توزیع سطحی
برای توزیع خطی
الکترواستاتیک
برای توزیع حجمی
50
2
انرژی پتانسیل الکتریکی :
عبارتست از مقدار کاری که بر علیه نیروی وارده از طرف میدان بر بار q انجام می دهیم تا آن بار را از بی نهایت به نقطه مورد نظر انتقال دهیم.
نکته :
میدان الکتریکی داخل جسم رسانا صفر است.(E=0)پس : پتانسیل الکتریکی در تمام نقاط درون جسم رسانا یکسان است و در شرایط ایستا هر جسم رسانایی یک ناحیه هم پتانسیل را در فضا تشکیل می دهد.برای مثال :
پتانسیل در داخل سطح یک کره رسانا به شعاع R
الکترواستاتیک
51
2
رساناها و عایقها :
از نظر رفتار الکترواستاتیک مواد به دو گروه تقسیم بندی می شوند :
1- رساناها : مانند فلزات موادی هستند که تعداد بسیار زیادی حامل بار اساسا آزاد دارند که می توانند در سرتاسر رسانا آزادانه حرکت کنند.
2.عایق ها (دی الکتریکها ) : موادی هستند که در آنها تمام ذرات باردار به نحوی نسبتا محکم به مولکولهای تشکیل دهنده این مواد مقید شده اند.
الکترواستاتیک
52
2
قانون گوس :
انتگرال سطحی مولفه عمودی میدان الکتریکی بر روی یک سطح بسته برابر است با ضربدر بار خالصی که در داخل سطح بسته وجود دارد.
اگر در داخل سطح بسته باری وجود نداشته باشدشار الکتریکی گذرنده از سطح بسته برابر صفر خواهد بود .اگر بجای یک بار چندین بار نقطه ای در داخل سطح بسته باشد ، داریم :
الکترواستاتیک
53
2
اگر یک توزیع بار در داخل سطح بسته باشد ، داریم :
برای توزیع سطحی
برای توزیع خطی
الکترواستاتیک
برای توزیع حجمی
اگر یک توزیع حجمی بار در داخل سطح گوس داشته باشیم :
از قضیه واگرایی :
54
2
کاربرد قانون گوس :
مثال 1) مطلوبست محاسبه میدان الکتریکی در مجاورت یک جسم رسانایی که چگالی بار روی آن است.
الکترواستاتیک
55
2
مثال 2) میدان الکتریکی را در مجاورت یک صفحه رسانایی که چگالی بار بدست آورید .
الکترواستاتیک
56
2
مثال 3 ) با استفاده از فرم نقطه ای قانون گوس را محاسبه کنید .
الکترواستاتیک
برای یک بار نقطه ای که در مبداء است .
57
2
اگر از تعریف تابع دلتای دیراک استفاده کنیم ، می توانیم چگالی را بصورت تابع زیر تعریف کنیم .
الکترواستاتیک
57
2
دوقطبی الکتریکی :
دو بار الکتریکی مساوی و مختلف العلامه که در فاصله کمی از یکدیگر قرار بگیرند یک دو قطبی الکتریکی را تشکیل می دهند .
گشتاور دو قطبی الکتریکی :
طول آن برابر است با ql
امتداد آن در امتداد خط واصل بین دو بار است
جهت آن همواره از بار منفی بطرف بار مثبت است .
الکترواستاتیک
58
2
محاسبه میدان یک دوقطبی :
عبارت داخل کروشه را بسط می دهیم .
الکترواستاتیک
59
2
چون خیلی کوچک است ، از جملاتی که شامل و توانهای بالاتر هستند صرفنظر می کنیم .
الکترواستاتیک
60
2
میدان الکتریکی یک دوقطبی الکتریکی برحسب گشتاور دوقطبی الکتریکی
الکترواستاتیک
61
2
مثال : میدان الکتریکی یک دوقطبی ، روی عمود منصف آن
الکترواستاتیک
62
2
با توجه به اینکه مخرج ها با هم برابر هستند
پتانسیل الکتریکی یک دوقطبی الکتریکی :
برای محاسبه ، جمله اول را بسط می دهیم :
الکترواستاتیک
63
2
صرفنظر می کنیم
الکترواستاتیک
64
2
با توجه به اولین معادله ، پتانسیل روی عمودمنصف صفر خواهد شد .
اگر دوقطبی در مبداء مختصات باشد (r’=0)
الکترواستاتیک
65
2
دو قطبی الکتریکی در حضور میدان خارجی :
1- انرژی پتانسیل الکتریکی دوقطبی ، در حضور میدان خارجی :
الکترواستاتیک
66
2
2- برآیند نیروی وارده بر دوقطبی در حضور میدان خارجی :
الکترواستاتیک
67
2
کوپل وارده بر دوقطبی نقطه ای دو حضور میدان خارجی :
الکترواستاتیک
68
2
پتانسیل حاصل از یک توزیع بار بر حسب پتانسیل چند قطبی ها :
الکترواستاتیک
69
2
مخرج کسر را بسط می دهیم ، با فرض اینکه r’ در مقایسه با r کوچک باشد .
الکترواستاتیک
70
2
که در آن مولفه های قائم و مولفه های قائم است.
از جملاتی که شامل توانهای بالاتر از هستند صرفنظر شده است .
الکترواستاتیک
71
2
و اگر گشتاور الکتریکی چهار قطبی را بصورت زیر تعریف کنیم :
اگر گشتاور الکتریکی چهار قطبی به صورت زیر تعریف کنیم:
الکترواستاتیک
72
2
بار خالص توزیع بار
قضیه : گشتاور الکتریکی یک توزیع بار نسبت به یک مبدا بستگی به مبدا دارد مگر اینکه بار خالص توزیع صفر باشد.
الکترواستاتیک
73
2
گشتاور الکتریکی یک دوقطبی با توجه به همان قضیه :
ملاحظه می شود که به مبدا بستگی ندارد.
حل مسائل الکترواستاتیک
74
3
فصل سوم : حل مسائل الکترواستاتیک
در این فصل موارد زیر مورد بحث و بررسی قرار می گیرد.
1.محاسبه پتانسیل و میدان الکتریکی در یک منطقه بدون معلوم بودن چگالی بار
2.حل معادلات لاپلاس در مختصات دکارتی قائم
3.حل معادلات لاپلاس در مختصات قطبی کروی و بدست آوردن هارمونیک های کروی
4.حل معادلات لاپلاس در مختصات استوانه ای دوار و بدست آوردن هارمونیک های استوانه ای
5.حل مسائل الکترواستاتیکی با استفاده از مفهوم بارهای تصویری
6.بار نقطه ای و کره رسانا ، همچنین بارهای خطی و تصویرهای خطی
اگر توزیع بار مشخص نباشد :
با استفاده از معادله پواسون و لاپلاس ابتدا پتانسیل و میدان الکتریکی نهایتا توزیع بار بدست می آید .
حل مسائل الکترواستاتیک
75
3
برای حالتی که در آن توزیع بار در همه جا مشخص شده است :
معادله لاپلاس در مناطقی قابل استفاده است که باشد.
76
حل مسائل الکترواستاتیک
3
در رابطه با جوابهای معادله لاپلاس
قضیه 1: اگر جوابهای معادله لاپلاس باشند ترکیب خطی از آنها نیز جواب معادله لاپلاس خواهد بود.
قضیه 2: اگر جوابهای معادله لاپلاس باشند و هر دو شرایط یکسانی را برآورده کنند آنوقت
77
حل مسائل الکترواستاتیک
3
حل معادله لاپلاس در دستگاه دکارتی قائم:
78
الف )
جواب عمومی
برای پیدا کردن جواب خصوصی ، شرایط مرزی نیاز است.
حل مسائل الکترواستاتیک
3
مثال : برای خازن نشان داده شده در شکل زیر پتانسیل ، میدان ، چگالی بار و مقدار بار الکتریکی روی صفحات آن را پیدا کنید.
جواب عمومی
79
جواب خصوصی
حل مسائل الکترواستاتیک
3
80
ب )
جزو سرفصل نیست .
حل مسائل الکترواستاتیک
3
از روش جدا سازی متغیرها
ج )
81
حل مسائل الکترواستاتیک
3
82
حل مسائل الکترواستاتیک
3
مثال : سه صفحه هادی متعامد را بر پتانسیل الکتریکی وصل کرده ایم.با حل معادله لاپلاس تابع چگالی سطحی را بر روی هریک از صفحات پیدا کنید.
83
حل مسائل الکترواستاتیک
3
در فضای مابین صفحات
به ازائ یک حالت ساده
84
حل مسائل الکترواستاتیک
3
85
حل مسائل الکترواستاتیک
3
86
حل مسائل الکترواستاتیک
3
حل معادله لاپلاس در دستگاه مختصات قطبی کروی :
87
حل مسائل الکترواستاتیک
3
الف )
جواب عمومی
مثال : دو کره تو در توی هادی :
88
حل مسائل الکترواستاتیک
3
در فضای بین دو کره
بنابراین داریم :
89
حل مسائل الکترواستاتیک
3
90
حل مسائل الکترواستاتیک
3
ب )
از روش جدا سازی متغیرها استفاده می کنیم.
91
حل مسائل الکترواستاتیک
3
این معادله به معادله لژاندر معروف است.
92
حل مسائل الکترواستاتیک
3
جوابهای فیزیکی قابل قبول این معادله در گستره کامل (از صفر تا )فقط به ازائ بدست می آید که n عددی درست و مثبت است.پس :
جوابهای معادله اول :
93
حل مسائل الکترواستاتیک
3
جوابهای معادله دوم :
هارمونیک های کروی
94
حل مسائل الکترواستاتیک
3
مثال :کره ای بدون بار و رسانا به شعاع a در ناحیه ای که میدان یکنواخت در آنجا برقرار است ، قرار داده می شود . پتانسیل، میدان الکتریکی را در خارج کره و چگالی سطحی بار را در روی کره بدست آورید.
95
حل ) در اطراف کره
جواب عمومی
حل مسائل الکترواستاتیک
3
شرایط مرزی
96
1
2
1
2
3
4
با جایگذاری ، در رابطه
3
4
1
حل مسائل الکترواستاتیک
3
97
حل مسائل الکترواستاتیک
3
حل معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای دوار :
98
حل مسائل الکترواستاتیک
3
الف )
جواب عمومی
شرایط مرزی جواب خصوصی را تعیین می کند.
مثال :
و نیز از معادلات مربوطه بدست می آید.
99
حل مسائل الکترواستاتیک
3
ب )
روش جداسازی متغیرها :
100
حل مسائل الکترواستاتیک
3
101
1
2
از معادله
حل مسائل الکترواستاتیک
3
از معادله
جواب عمومی معادله لاپلاس را معمولا هماهنگهای استوانه ای گویند.
102
حل مسائل الکترواستاتیک
3
مثال : یک استوانه طویل به شعاع a را که بار خالص ندارد ، در میدان الکتریکی که در آغاز یکنواخت است ، قرار می دهیم .جهت بر محور استوانه عمود است . پتانسیل در نقاط خارج استوانه ، و همچنین چگالی بار را در سطح استوانه محاسبه کنید.
103
حل )
میدان اولیه در جهت y را در نظر می گیریم .
حل مسائل الکترواستاتیک
3
104
حل مسائل الکترواستاتیک
3
استوانه بار خالص ندارد : و به دلخواه قرار می دهیم.
1.شرایط مرزی
1
2
از و
2.شرط مرزی دوم
105
حل مسائل الکترواستاتیک
3
3
3
2
106
حل مسائل الکترواستاتیک
3
حل مسائل الکترواستاتیک با استفاده از مفهوم بارهای تصویری:
107
حل مسائل الکترواستاتیک
3
بار الکتریکی qدر یک طرف صفحه هادی بی نهایت قرار دارد.اگر پتانسیل صفحه هادی صفر باشد، پتانسیل در طرف بار نقطه ای (در اثر القا صفحه باردار می شود)
پتانسیل حاصل از بار نقطه ای
پتانسیل حاصل از توزیع بار صفحه هادی
به خاطر معلوم نبودن ، جمله دوم قابل محاسبه نیست.
با در نظر گرفتن خطوط میدان یک دوقطبی نقطه ای :
با مقایسه دو شکل بالا: برای محاسبه میدان در طرف بار q :
می توان صفحه هادی را حذف و به جای آن بار –q را در طرف دیگر عمود منصف که به فاصله d از آن است ، قرار داد . (این بار را بار تصویری می نامند)
108
حل مسائل الکترواستاتیک
3
بار تصویری : بارهایی هستند کاملا فرضی که بجای هادیهای موجود در مسئله جایگزین می شوند . بطوریکه بتوانند همراه با بارهای واقعی مسئله پتانسیل صحیح را در منطقه بارهای واقعی بدست دهند .
109
حل مسائل الکترواستاتیک
3
دارای دو شرایط زیر است :
110
حل مسائل الکترواستاتیک
3
بارالقاشده :
نیروی وارد از طرف بار q بر صفحه هادی برابر است با نیروی وارد از طرف صفحه هادی بر بار q :
111
همان نیروی بین بار q و -q است .
حل مسائل الکترواستاتیک
3
112
مثال : در شکل زیر پتانسیل را در ناحیه ای که بار q واقع است ،پیدا کنید.
حل مسائل الکترواستاتیک
3
113
تعداد بارهای تصویری ایجاد شده برای حالتی که بار اصلی بین دو صفحه هادی با زاویه قرار دارد :
حل مسائل الکترواستاتیک
3
114
بار تصویری q’ را بجای کره در نظر می گیریم.
مثال : بار نقطه ای q در خارج یک کره هادی متصل به زمین و به فاصله d از آن واقع شده است.با استفاده از بارهای تصویری ،پتانسیل را در خارج کره محاسبه کنید.
حل مسائل الکترواستاتیک
3
115
بنابراین برای پتانسیل داریم :
حل مسائل الکترواستاتیک
3
116
در مسئله قبل از کره دارای پتانسیل اولیه باشد.
حل مسائل الکترواستاتیک
3
117
بارهای خطی و تصویرهای خطی :
حل مسائل الکترواستاتیک
3
پتانسیل در اطراف دو خط موازی و بی نهایت دراز دارای چگالی خطی
118
سطوح هم پتانسیل:
حل مسائل الکترواستاتیک
3
معادله سطوح هم پتانسیل از رابطه :
صفحه عمود منصف که همان پتانسیل صفر است.
119
بنابراین داریم :
حل مسائل الکترواستاتیک
3
سطوح هم پتانسیل استوانه هایی هستند به شعاع R و محوری که از می گذرد.
120
مثال: یک خط باردار به چگالی خطی به فاصله d از صفحه هادی با پتانسیل صفر قرار دارد . طول خط و ابعاد صفحه نامحدود هستند . با استفاده از بارهای تصویری پتانسیل را در ناحیه ای که خط بار دار واقع شده است پیدا کنید.
حل مسائل الکترواستاتیک
3
شرایط :
121
فصل چهارم : میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
پس از مطالعه این فصل دانشجو بایستی بتواند اطلاعاتی را در رابطه با موارد زیر داشته باشد.
1- عایقها ، عایقهای قطبی و عایقهای غیر قطبی قطبی
2- قطبش
3- قانون گوس در حضور عایق
5- پذیرفتاری الکتریکی و ثابت دی الکتریک :
6- علت تضعیف میدان در حضور عایق:
7- پذیرفتاری الکتریکی و ثابت دی الکتریک :
8- شرایط مرزی حاکم بر بردارهای میدان :
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
طبقه بندی عایقها :
1- عایقهای قطبی :
یک مولکول
2- عایقهای غیر قطبی :
یک مولکول
122
عایقها : اجسامی هستند که فاقد بار آزاد هستند.بنابراین نمی توانند الکتریسیته را از نقطه ای به نقطه دیگر منتقل کنند و همه بارهای مثبت و منفی مقیدند.
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
عایقهای قطبی و غیر قطبی در حضور میدان
123
عایق قطبیده یا پلاریزه شده
عایق قطبیده یا پلاریزه شده
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
قطبش:
عنصر حجمی کوچکی چون از یک دی الکتریک که قطبیده شده باشد دارای گشتاور دو قطبی الکتریکی
برای محاسبه میدان ناشی از چنین توزیعی از کمیتی بنام قطبش استفاده می شود.
124
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
گشتاور دو قطبی الکتریکی یک تک مولکول
125
تمام مولکولهای داخل حجم
: قطبش
مولکول
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
محاسبه پتانسیل و میدان الکتریکی در خارج از یک محیط دی الکتریک قطبیده :
گشتاور دوقطبی المان
126
حجم عایق
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
127
چگالی حجمی بار قطبش چگالی سطحی بار قطبش
حجم عایق
حجم عایق
سطح عایق
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
بنابراین برای داریم .
128
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
129
مقدار کل بار قطبشی یک جسم دی الکتریک :
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
میدان الکتریکی در داخل یک دی الکتریک قطبیده:
چون این میدان الکترواستاتیک است.
130
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
پس میدان الکتریکی در داخل یک دی الکتریک برابر است با میدان الکتریکی در داخل یک حفره سوزنی شکل در داخل دی الکتریک به شرطی که محور موازی میدان الکتریکی باشد
و براحتی می توان ثابت کرد که میدان الکتریکی که برای خارج یک دی الکتریک حساب شده است همان میدان در داخل دی الکتریک است اگرr داخل دی الکتریک باشد.
131
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
قانون گوس در حضور عایق :
سه هادی با بارهای در داخل یک عایق قرار دارند.
132
سطح فرضی s را برای محاسبه میدان داخل دی الکتریک در نظر می گیریم.
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
133
بردار جابجایی الکتریکی
بارهای آزاد
قانون گوس در حضور عایق
شکل دیفرانسیلی
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
پذیرفتاری الکتریکی و ثابت دی الکتریک :
بردار قطبش در نتیجه وجود میدان الکتریکی است.
134
بردار قطبش بستگی دارد به : 1- به نوع مولکولهای عایق (جنس عایق)
2- میدان الکتریکی یا شدت میدان در داخل محیط
پذیرفتاری الکتریکی یا حساسیت الکتریکی عایق می نامند.
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
وابسته به جنس عایق عایق خطی -1
برای خلاء
135
تابعی از میدان عایق غیرخطی -2
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
بار نقطه ای در یک شاره دی الکتریک :
136
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
137
یعنی میدان الکتریکی در حضور میدان تضعیف می شود.
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
138
علت تضعیف میدان در حضور عایق:
بار نقطه ای qرا در کره ای با شعاع b در نظر می گیریم.که سرانجام به صفر میل می کند.
بار کل در داخل سطح گوس
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
139
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
شرایط مرزی حاکم بر بردارهای میدان :
بایستی چگونگی تغییر بردارهای میدان را در عبور از فصل مشترک دو محیط بلد باشیم.
140
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
1- شرایط مرزی بردار میدان :
اگر فصل مشترک دو محیط دارای چگالی بار باشد.
141
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
اگر محیط هادی باشد :
142
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
143
2. شرایط مرزی بردار میدان :
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
ملاحظه می شود که میدان همواره بر سطح رسانا عمود است.
144
اگر محیط 1 رسانا باشد ؛
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
مثال : در مرز مشترک بین دو عایق با پرمیتویته میدان الکتریکی با خطوط عمود بر مرز در محیط 1 زاویه می سازد.مطلوبست محاسبه زاویه ای که این بردار با خط عمود بر مرز در عایق شماره 2 خواهد ساخت.
145
حل )
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
146
1
2
1
2
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
مثال : یک عایق کروی به شعاع a با گذردهی را در یک میدان الکتریکی که ابتدا به طور یکنواخت است ، قرار می دهیم.مطلوبست محاسبه محاسبه میدان ادر داخل و خارج کره.
147
حل )با انتخاب دو هماهنگ اول تمام شرایط مرزی می توانند بر آورده شوند.
برای ناحیه خلا داریم :
داخل دی الکتریک
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
148
شرط مرزی 1
شرط مرزی 2
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
149
شرط مرزی سوم : در مرز باید ،
1
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
شرط مرزی چهارم : در مرز باید ،
150
2
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
از و
بعلت وجود کره عایق در محیط اضافه شده است .
151
1
2
در خارج کره
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
میدان در داخل دی الکتریک ثابت است و امتداد آن در امتداد اولیه است و کمتر از آن است.
152
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
مثال : قطبش میله
153
حل )
در کلیه سطوح
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
154
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
155
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
156
مثال : یک دی الکتریک استوانه ای طویل به شعاع a و ثابت دی الکتریک k در یک میدان الکتریکی یکنواخت قرار دارد.محور استوانه عمود بر جهت قرار داده می شود . استوانه بار خارجی ندارد .میدان الکتریکی را در داخل و خارج استوانه پیدا کنید.
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
157
بیرون استوانه :
درون استوانه :
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
158
1
1
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
159
2
2
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
160
از و
1
2
خارج استوانه :
درون استوانه :
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
161
میدان الکترواستاتیک در محیطهای دی الکتریک
4
پس میدان در داخل کمتر از است.
162
فصل پنجم : نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
پس از مطالعه این فصل دانشجو بایستی بتواند اطلاعاتی را در رابطه با موارد زیر داشته باشد.
1- میدان مولکولی در دی الکتریک
2- دوقطبی های القایی و یک مدل ساده
3-مولکولهای قطبی و فرمول لانژون-دبی
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
میدان مولکولی در دی الکتریک :
میدان مولکولی : میدانی که به یک مولکول تنها در داخل دی الکتریک وارد می شود. بعبارت دیگر میدانی است که یک مولکول در الکتریک را قطبیده می کند و با نشان داده می شود.
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
163
5
در فصل قبل به بررسی ماکروسکوپی عایق ،میدان در داخل عایق پرداختیم.در این فصل عایقها را از دید میکروسکوپی بررسی و ارتباط بین میدانی که مولکول را قطبیده می کند و میدان الکتریکی ماکروسکوپی را روشن می کنیم.
قطبش پذیری :
ممان الکتریکی یک مولکول به ازای واحد شدت میدان الکتریکی مولکولی را قطبش پذیری گویند.
164
= منابع تولید میدان مولکولی
+ همه منابع خارجی
همه مولکولهای عایق قطبیده بجز مولکول تحت بررسی
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
محاسبه میدان مولکولی :
حفره ای به شعاع معلوم و مرکز مولکول را در نظر گرفته و مولکول مورد نظر را بیرون می کشیم.
165
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
میدان حاصل از بارهای آزاد روی جوشنها
166
میدان حاصل از بارهای پلاتریزه شده که بر سطح عایق جمع شده اند
میدان حاصل از بارهای پلاریزه که بر سطح حفره جمع شده است
میدان حاصل از دوقطبی ها در داخل کره
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
167
میدان ماکروسکوپی در داخل دی الکتریک
فضای عایق فضای خالی
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
168
برای اکثر عایق ها است.اگر باشد آن عایق را آنیزوتروپ گویند.
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
در یک عایق اگر N مولکول در واحد حجم موجود باشد در آن صورت قطبش بصورت زیر تعریف می شود.
169
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
170
معادله کلاوسیوس –موساتی
قطبش پذیری مولکولی را برحسب کمیتهای ماکروسکوپی بیان می کند.
عایق های غیر قطبی :
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
دو قطبی های القایی و یک مدل ساده :
مدل ساده
171
ابر الکترونی
اتم
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
172
با اعمال میدان الکتریکی مولکولی به این مولکول :
بلورهای مثبت در امتداد میدان به اندازه x جابجا می شوند.
نیروی وارده بر هسته از طرف ابر الکترونی
= نیروی وارده از طرف
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
173
با توجه به اینکه :
با جایگزینی این رابطه در معادله کلاوسیوس – موساتی می توان شعاع اتمی را بدست آورد که حدود بدست می آید.بنابراین مدل پیشنهادی مدل مناسبی است که با نتایج حاصل از آزمایشهای دیگر توافق دارد.
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
عایقهای قطبی :
174
عاملی که از هم سو شدن مولکولها جلوگیری می کند، انرژی حرارتی مولکولها همان است.که اگر میدان اعمالی بسیار قوی باشد تمام مولکولها قطبیده و در راستای میدان قرار می گیرند.
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
احتمال یافتن مولکولی با انرژی E در دمای T
175
احتمال یافتن مولکولی با انرژی E در دمای T
چون انرژی جنبشی به میدان الکتریکی بستگی ندارد.می توان آنرا در محاسبات نادیده گرفت.
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
متوسط ممان موثر
176
ناحیه خطی در دماهای معمولی حائز اهمیت است.
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
برای اکثر عایق ها ممان الکتریکی طوریست که
قطبش پذیری سمتگیری می نامند.
177
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
با در نظر گرفتن گشتاورهای دو قطبی القایی :
که قطبش پذیری القایی یا تغییر شکل است.
178
معادله لانژون – دبی
نظریه میکروسکوپی دی الکتریکها
5
انرژی الکترواستاتیک
179
6
فصل ششم : انرژی الکترواستاتیک
در این فصل رفتار مکانیکی یک دستگاه الکتریکی را مطالعه خواهیم کردو خواهیم دید که بکار بردن انرژی چقدر در حل مسائل برای ما مفید خواهد بود.پس از بررسی و مطالعه این فصل دانشجو بایستی اطلاعاتی در خصوص موارد زیر داشته باشد.
1.انرژی پتانسیل گروهی از بارهای نقطه ای چیست و از کدام رابطه بدست می آید.
2. انرژی الکترواستاتیکی یک توزیع بار از کدام روابط حاصل می شود.
3.چگالی انرژی میدان الکترواستاتیکی چیست و روابط آن چگونه است.
انرژی الکترواستاتیک
180
6
4.ضرایب پتانسیل چیست و چگونه در محاسبه انرژی دستگاه رساناهای باردار مورد استفاده قرار می گیرند.
5.ضرایب ظرفیت و ضرایب القا چیست؟
6.خازن چیست و ظرفیت و انرژی چگونه محاسبه می شود
7.چگونه می توان با استفاده از انرژی الکترواستاتیک برای سیستمهای منزوی و غیر منزوی نیروهای وارده را بدست آورد.
فصل ششم : انرژی الکترواستاتیک
اگر باری را در یک میدان الکتریکی جابجا کنیم ، تغییر انرژی پتانسیل الکتریکی آن بصورت :
181
انرژی پتانسیل الکتریکی بار q مقدار کاری است که بر علیه نیروی الکتریکی انجام می دهیم تا بار q را از به نقطه r منتقل سازیم.
انرژی الکترواستاتیک
6
انرژی لازم برای گردآوری n بار نقطه ای در یک منطقه :
182
انرژی لازم برای آوردن اولین بار
انرژی لازم برای آوردن دومین بار
انرژی الکترواستاتیک
6
انرژی لازم برای گردآوری n بار نقطه ای در یک منطقه :
183
انرژی لازم برای آوردن سومین بار
انرژی لازم برای آوردن j ام بار
انرژی الکترواستاتیک
6
انرژی الکترواستاتیکی n بار :
چون است.برای حذف جملات اضافی :
184
انرژی الکترواستاتیک
6
185
علامت پریم بخاطر حذف جملاتی هستند که است.
انرژی الکترواستاتیک
6
مثال : انرژی پتانسیل الکتریکی چهار بار نقطه ای که در چهار راس مربعی به ضلع a گردآوری شده اند را بدست آورید.
حل )
186
انرژی الکترواستاتیک
6
187
انرژی الکترواستاتیک
6
که در آن چگالی حجمی توزیع بار و چگالی سطحی توزیع بار است.
اگر در داخل توزیع بار رساناهای بار داری نیز موجود باشند.
انرژی پتانسیل الکتریکی یک توزیع پیوسته ای از بارها :
188
که در آن n تعداد رساناهای باردار است.
انرژی الکترواستاتیک
6
چگالی انرژی میدان الکترواستاتیکی :
توزیع بار دلخواهی را در نظر می گیریم که با چگالی های مشخص می شود . چگالی های سطحی را روی رساناها در نظر می گیریم.
189
انرژی الکترواستاتیک
6
با استفاده از :
190
( S’ سطحی که حجم Vرا احاطه کرده از خارج)و(S سطوح تمام رساناهای موجود در دستگاه)
انرژی الکترواستاتیک
6
191
در جمله اول یک جمله متناسب با است.
اگر میل کند آنگاه کل جمله به سمت صفر میل خواهد کرد .
انرژی الکترواستاتیک
6
بنابراین داریم :
192
چگالی انرژی میدان الکترواستاتیکی
انرژی الکترواستاتیک
6
ضرایب پتانسیل و انرژی دستگاه رساناهای باردار :
فرض می کنیم در منطقه ای ، N هادی باردار داریم :
193
پتانسیل هادی i ام :
انرژی الکترواستاتیک
6
پتانسیل هادی i ام
به خاطر هادی jام
194
انرژی الکترواستاتیک
6
خواص ضرایب پتانسیل :
پتانسیلی که هر هادی روی خودش ایجاد می کند از پتانسیل ایجاد شده توسط این هادی بر روی سایر هادی ها بیشتر است.
195
1-
2-
3-
انرژی الکترواستاتیک
6
مثال : مطلوبست محاسبه پتانسیل الکتریکی یک کره هادی به شعاع R و بار صفر که در خارج آن بار نقطه ای q به فاصله r از مرکز آن واقع شده است.
196
فرض می کنیم کره بارQ داشته باشد و نقطه بی بار باشد.
پتانسیل نقطه
انرژی الکترواستاتیک
6
حال اگر نقطه دارای بار q باشد و کره بدون بار ، پتانسیلی که نقطه روی کره ایجاد می کند.
197
انرژی الکترواستاتیک
6
198
ضرایب ظرفیت و القا :
تا بحال پتانسیل را برحسب Q می نوشتیم ،حال Q را برحسب پتانسیل می نویسیم.
ضرایب ظرفیت و القا :
اگر را ضرایب ظرفیت گویند.
اگر را ضرایب القاء گویند.
انرژی الکترواستاتیک
6
خواص :
199
3
2
1
انرژی الکترواستاتیک
6
خازن :
دو رسانا که بتوانند بارهای مساوی و مختلف العلامه را در خود ذخیره کنند ،و اختلاف پتانسیل میان آنها ، به باردار بودن سایر رساناهای دستگاه بستگی نداشته باشد ، تشکیل خازن می دهند.
200
برای اینکه اختلاف پتانسیل مستقل از بارسایر هادی ها باشدباید پتانسیل ایجاد شده توسط سایر هادی ها بر روی این هادی یکی باشد ؛ بنابراین باید یکی از هادی ها توسط هادی دیگر حفاظت شود.
انرژی الکترواستاتیک
6
پتانسیل مشترکی است که سایر هادی ها روی دو هادی ایجاد می کنند.
201
انرژی الکترواستاتیک
6
202
انرژی الکترواستاتیک
6
در یک خازن ایده آل با صرفنظر از میدان حاشیه ای :
203
ظرفیت خازن مسطح
میدان در داخل خازن :
انرژی الکترواستاتیک
6
اتصال خازنها :
204
موازی
متوالی :
انرژی الکترواستاتیک
6
205
نیروها و گشتاور نیروها :
فرض کنید دستگاه منزوی مرکب از قسمتهای متعدد ( رساناها ،بارهای نقطه ای ، دی الکتریکها )وجود دارد . اگر تحت تاثیر نیروهای الکتریکی وارده یکی از قسمتها به اندازه dr جابه جا شود.
کاری که نیروی الکتریکی روی دستگاه انجام می دهد.
انرژی الکترواستاتیک
6
206
چون دستگاه منزوی است.
انرژی الکترواستاتیک
6
207
پس در دستگاه منزوی :
اگر جسم به جای جابه جایی دوران پیدا کند :
انرژی الکترواستاتیک
6
208
اگر مجموعه در نظر گرفته شده غیر ایزوله باشد یعنی برای ثابت نگه داشتن پتانسیل هادی ها از منابع خارجی(باتری ها )استفاده شود :
: کار انجام یافته توسط باتری ها است.
دستگاه
(برابر است با کاری که لازم است تا هریک از ها از پتانسیل صفر به پتانسیل مربوط به رسانایی مورد نظر برسند. )
انرژی الکترواستاتیک
6
209
بنابراین :
انرژی الکترواستاتیک
6
210
مثال : نیرویی که جوشنهای یک خازن مسطح بر عایق جامدی واقع در ما بین جوشنها با گذردهی وارد می کنند ،چقدر است ؟ در صورتیکه طول هر جوشن عرض جوشن ،فاصله بین جوشنها d و جوشنها در اختلاف پتانسیل نگه داشته شده اند.
حل )
حجمی که توسط عایق پر شده
حجمی که توسط هوا پر شده
انرژی الکترواستاتیک
6
211
پس داریم :
چون پتانسیل ثابت است.
انرژی الکترواستاتیک
6
212
مثال : دو رسانای استوانه ای هم محور که تقریبا شعاع آنها یکی است به اندازه d در بعد شعاعی از یکدیگر بدانید . استوانه ها را بطور قائم در یک دی الکتریک مایع که پذیرفتاری الکتریکی آن و چگالی جرمی آن است ، فرو می بریم . استوانه ها را در اختلاف پتانسیل نگه می داریم . مایع دی الکتریک تا چه ارتفاعی در فضای میان رساناها بالا می آید.(از کشش سطحی صرفنظر کنید.)
حل )
چون شعاع استوانه ها تقریبا یکسان است.خازن را خازن تخت در نظر می گیریم و مایع تا جایی بالا می آید که :
انرژی الکترواستاتیک
6
213
انرژی الکترواستاتیک
6
جریان الکتریکی
215
7
فصل هفتم :جریان الکتریکی
پس از مطالعه این فصل دانشجو بایستی بتواند اطلاعاتی را در رابطه با موارد زیر داشته باشد.
1.ماهیت جریان
2.چگالی جریان و معادله پیوستگی
3.قانون اهم و رسانندگی
4.جریانهای پایا
5.تعادل الکترواستاتیکی و نزدیک شده به آن
6.شبکه های مقاومتی و قوانین کیرشهف
نظریه میکروسکوپیکی رسانش
رسانا : ماده ای است که در آن حاملهای بار تحت تاثیر میدانهای الکتریکی پایا ، آزادانه حرکت می کنند.
216
جریان الکتریکی
در این فصل بارهایی را که در حال حرکت یکنواخت هستند مورد مطالعه قرار می گیرد.
جریان هدایتی یا رسانش : عبارتست از حرکت بارهای آزاد یک هادی (حاملین بار) تحت تاثیر یک میدان الکتریکی خارجی
جریان الکتریکی
7
شدت جریان : مقدار باریست که در واحد زمان از مقطع مفروضی از یک هادی عبور می کند.
217
در دستگاه Mks :
ماهیت جریان :
1- در ساناها : فقط الکترونهای آزاد
2- در نیمه رساناها : هم الکترونهای آزاد و هم حفره ها
جریان الکتریکی
7
حرکت بارهای مثبت را جهت قراردادی جریان در نظر می گیریم .
اگر یک میدان الکتریکی بر جسم رسانایی اعمال شود موجب خواهد شد که حاملهای بار مثبت در جهت میدان و حاملهای بار منفی در خلاف جهت میدان حرکت کنند. بنابراین ، با تمام جریانهایی که در این فرآیند ایجاد می شوند با میدان هم جهتند.
218
جریان الکتریکی
7
اگر اختلاف پتانسیل اعمالی به دو سر هادی ثابت باشد در اینصورت جریان نیز ثابت خواهد بود و به آن جریان dc گفته می شود.
219
اگر اختلاف پتانسیل برقرار شده در دو سر هادی نسبت به زمان تغییر کند در آن صورت جریان ایجاد شده در هادی نیز متغیر خواهد بود.
هر ذره باردار دارای دو نوع حرکت است . 1- حرکت گرمایی
2- حرکت سوقی
جریان الکتریکی
7
حرکت گرمایی اگرچه ممکن است بزرگ باشد بخاطرکتره ای بودن نتیجه اش صفر است و در فرآیند رسانش از آن صرفنظر می کنیم. اما حرکت سوقی کتره ای نیست.
تذکر : در بعضی از فرآیندها مانند (اثر فوتوالکتریک) حرکت گرمایی را برای توجیه پدیده باید بحساب آورد.
220
جریانهای همرفت : جریانهایی که از انتقال جرمی محیط باردار ناشی می شوند جریانهای همرفت نامیده می شوند.
جریان الکتریکی
7
محیطی که فقط یک نوع حامل بار q دارد را در نظر می گیریم.
چگالی جریان ، معادله پیوستگی :
221
مقدار باری که در مدت از سطح مقطع عبور می کند.
(تعداد بارها)
جریان الکتریکی
7
اگر بیش از یک نوع حامل بار وجود داشته باشد :
222
جریان الکتریکی
7
چگالی جریان و چگالی بار مستقل از یکدیگر نیستند بلکه در هر نقطه با یک معادله دیفرانسیل به هم مربوط می شوند این معادله به معادله پیوستگی معروف است.
223
که بیان کننده اصل بقا بار در الکتریسیته است.
پس اگر باشد این جریانها را جریانهای پایا گویند.
جریان الکتریکی
7
قانون اهم و مقاومت الکتریکی :
224
در هر رسانا که در معرض میدان قرار می گیرد.
را رسانندگی یا هدایت ویژه گویند .
مواردی را که درآنها فقط به جنس ماده بستگی دارد،محیطهای خطی گویند.(اهمی)
مواردی را که درآنها علاوه بر جنس ماده به میدان اعمالی نیز بستگی دارد، محیطهای غیر خطی گویند.
عکس رسانندگی را مقاومت ویژه می نامند.
و واحد آن :
جریان الکتریکی
7
یک هادی استوانه ای در نظر می گیریم .
225
مقاومت الکتریکی سیم :
جریان الکتریکی
7
قانون اهم :
کار انجام شده توسط میدان ، وقتی بار در اختلاف پتانسیل عبور کند برابر است با :
226
و توان مربوطه :
جریان الکتریکی
7
جریانهای پایا در محیطهای پیوسته :
شباهت بسیار نزدیکی میان دستگاه الکترواستاتیک مرکب از رساناها و دی الکتریکها از یک سو و دستگاهی که جریان پایایی را هدایت می کند ، از سوی دیگر ، وجود داردکه در این قسمت این شباهت را مورد بررسی قرار می دهیم.
محیط رسانا ، همگن و اهمی را که در شرایط رسانش پایا است در نظر می گیریم.
227
معادله لاپلاس :
بنابراین دیده می شود که مسئله رسانش حالت پایا را می توان به همان طریق مسائل الکترواستاتیکی حل کرد.
جریان الکتریکی
7
شرایط مرزی برای بردارهای :
1- در رسانش حالت پایا
228
جریان الکتریکی
7
229
از
جریان الکتریکی
7
مثال : دو هادی استوانه ای در داخل الکترولیتی با هدایت الکتریکی متوسط g غوطه ورند. اولا مسئله مشابه الکترواستاتیکی این مسئله را پیدا کنید . ثانیا رابطه ای را بین مقاومت الکتریکی محیط و ظرفیت الکتریکی مسئله مشابه الکترواستاتیکی بدست آورید. (ابعاد الکترولیت را نامتناهی و فرض کنید که این دو هادی در پتانسیلهای ثابتی نگه داشته شوند)
230
هادی الکترولیت الکترولیت هادی
جریان الکتریکی
7
برای محاسبه جریان که از یک الکترود خارج و به دیگری وارد می شود سطح بسته ای حول یک الکترود در نظر می گیریم.
اگر این میدان الکتریکی ،ناشی از بارهای الکترواستاتیکی موجود بر روی دو رسانای فلزی در یک محیط دی الکتریک بود ، خواهیم داشت :
231
1
2
جریان الکتریکی
7
کهQ بار روی رسانای فلزی است ، در چنین شرایطی دو رسانا تشکیل خازن می دهند و
که رابطه میان مقاومت محیط و ظرفیت مسئله الکترواستاتیکی هم ارز آن است .
232
1 و
2
جریان الکتریکی
7
نزدیک شدن به تعادل الکترواستاتیکی :
233
برای اجسامی که رسانندگی آنها کمتر است رسیدن به تعادل الکترواستاتیکی کندتر است.
مثال : یک محیط همگن و همسانگرد با رسانندگی g و گذردهی را در نظر می گیریم که چگالی بار آزاد از پیش تعیین شده آن است . اگر این محیط را ناگهان از میدانهای الکتریکی وارد بر آن جدا کنیم چگالی آنرا بر حسب تابعی از زمان بدست آورید.
جریان الکتریکی
7
234
ثابت زمانی یا زمان واهلش :
معیاری از سرعت نزدیک شدن محیط رسانا به حالت تعادل الکترواستاتیکی است.
بعبارت دقیق تر،مدت زمانی است که طی آن باردر هر ناحیه مشخصی به مقدار اولیه اش کاهش می یابد .
خیلی سریع به تعادل الکترواستاتیکی خواهیم رسید .
جریان الکتریکی
7
قوانین کیرشهف و شبکه های مقاومتی :
235
اتصال موازی مقاومتها :
جریان الکتریکی
7
قوانین کیرشهف و شبکه های مقاومتی :
236
اتصال سری مقاومتها :
جریان الکتریکی
7
قوانین کیرشهف :
237
1. جمع جبری جریانهایی که به یک نقطه انشعاب وارد می شوند ، صفر است.
2. جمع جبری اختلاف پتانسیل های دور حلقه از شبکه برابر صفر است.
نکته:نقطه انشعاب نقطه ای از مدار است که در آن تعداد سه رسانا یا بیشتر بهم می پیوندند.
جریان الکتریکی
7
برای مثال :
238
جریان الکتریکی
7
حل شبکه ها :
1- جریانها را به اختیار در شاخه ها انتخاب می کنیم.
2- برای ( n-1) نقطه انشعاب قانون اول می نویسیم
3- قانون دوم کیرشهف را برای حلقه های بسته می نویسیم.
239
و به همین ترتیب . . .
جریان الکتریکی
7
نظریه میکروسکوپیکی رسانش:
240
نیروی ناشی از محیط
یک ذره آزاد با بار q و جرمm را در نظرمی گیریم.اگر نیروی الکتریکی به آن وارد شود
یعنی ذره تا ابد سرعتش زیاد می شود.
ولی در محیط هادی سرعت سوق ذره ثابت یعنی جریان پایا ست پس :
جریان الکتریکی
7
زمان واهلش
241
جریان الکتریکی
7
242
اگر حالت پایا را بررسی کنیم :
اگر چندین نوع حامل باشد .
جریان الکتریکی
7
243
برای یک رسانای الکتریکی نسبتا خوب (نظیر یک نیمه ر سانا یا فلز ) را می توان از نظر فیزیکی به عنوان زمان میانگین میان برخوردهای الکترون رسانش تعبیر کرد.
جریان الکتریکی
7
244
1- ناخالصی موجود در هادی ها و عیوب کریستالی
ولی در هادی ها بدو دلیل هدایت الکتریکی بی نهایت نیست و دارای مقاومت الکتریکی هستند .
2- ارتعاشات حرارتی شبکه
در دمای معمولی ؛پراکندگی امواج الکترونی توسط اتمهایی که در اثر گرما جابه جا می شوند سهم عمده ای را در مقاومت ویژه دارند . پس :
جریان الکتریکی
7
245
انرژی جنبشی ماکزیمم
انرژی پتانسیل ماکزیمم
دامنه پراکندگی
بنابراین مقاومت ویژه فلز خالص متناسب است با دمای مطلق
با افزایش دمای هادی تعداد برخوردها با یونهای شبکه زیاد شده کوچکتر می شود. ولی در الکترولیتها و گازهای یونیزه و نیمه رساناها با افزایش دما علاوه بر اینکه کوچکتر شده تعداد حاملهای بار هم در محیط بیشتر شده و افزایش سریعتر از کاهش است.بنابراین با افزایش دما کاهش می یابد.
جریان الکتریکی
7
214
که h ارتفاع دقیق مایع بالا آمده است.
انرژی الکترواستاتیک
6
فصل هشتم : میدان مغناطیسی
در این فصل به موارد زیر خواهیم پرداخت:
1- تعریف میدان مغناطیسی
2- نیروی وارد بر یک سیم حامل جریان در یک میدان مغناطیسی
3- قانون بیو ساوار
4- کاربردهای قانون بیو ساوار
5- قانون مداری آمپر
6- پتانسیل برداری مغناطیسی
7- پتانسیل نرده ای مغناطیسی
میدان مغناطیسی
246
8
میدان مغناطیسی :
بار را در مبدا فرض می کنیم ، به هر بار را که به فاصله از بار قراردارد یک نیروی کولنی وارد می شود.
اگر بارها ساکن نباشند و بترتیب با سرعتهای حرکت کنند علاوه بر نیروی الکتریکی ؛ یک نیروی مغناطیسی نیز از طرف به وارد می شود.
247
میدان مغناطیسی
8
که در اینجا نقش را در الکترواستاتیک بازی می کند.
در دستگاه Mks :
248
اگر نیروی مغناطیسی را بصورت زیر تعریف کنیم :
میدان مغناطیسی ناشی از حرکت بار با سرعت در نقطه است .
میدان مغناطیسی
8
اگر نیروی الکتریکی و مغناطیسی همزمان وجود داشته باشند نیروی کل وارد بر بار متحرک برابر است با :
249
که به نیروی لورنتس معروف است.
میدان مغناطیسی
8
مقایسه دو نیروی الکتریکی و مغناطیسی :
از نظر دیمانسیون :
با توجه به مقادیر
250
میدان مغناطیسی
8
زاویه بین و خط واصل دو بار است.
251
میدان مغناطیسی
8
با استفاده از نیروی لورنتز نیروی وارد بر المان را پیدا می کنیم.
N : تعداد بار در واحد حجم :
محاسبه نیروی وارد بر یک سیم حامل جریان در یک میدان مغناطیسی :
252
میدان مغناطیسی
8
253
میدان مغناطیسی
8
اگر سیم بسته باشد ، بعبارت دیگر نیروی وارد از طرف میدان مغناطیسی بر یک مدار بسته :
که مساحت مدار بسته است.
با این روش اگر گشتاور وارده از طرف میدان مغناطیسی را بر مدار بسته با جریان I حساب کنیم خواهیم داشت:
254
میدان مغناطیسی
8
گشتاور مغناطیسی مدار :
گشتاور وارد بر دو قطبی الکتریکی :
با مقایسه روابط بالا به مدار بسته حامل جریان ، یک دو قطبی مغناطیسی گفته می شود.
مشابه الکترواستاتیک
255
میدان مغناطیسی
8
اگر جریان بجای محصور بودن در سیمها در محیطی جریان داشته باشد می توان نوشت :
256
میدان مغناطیسی
8
قانون بیو ساوار :
257
این قانون میدان مغناطیسی حاصل از یک مدار حامل جریان را بدست می دهد.
میدان مغناطیسی
8
با استفاده از این قانون :
محاسبه میدان مغناطیسی بین دو مدار حامل جریان :
258
نیروی وارد از طرف مدار 1 به 2
میدان مغناطیسی
8
اگر بخواهیم نیروی وارده از طرف مدار 2 به مدار 1 را حساب کنیم :
در قانون بیو ساوار اگر جریان بجای اینکه در یک سیم جریان داشته باشد در یک حجم محصور باشد :
259
میدان مغناطیسی
8
که اگر قاعده بک کب را استفاده کنیم :
با استفاده از اتحاد :
260
میدان مغناطیسی
8
یعنی تک قطبی مغناطیسی وجود ندارد.
261
میدان مغناطیسی
8
کاربرد قانون بیو ساوار :
مثال :اندوکسیون مغناطیس یک خط مستقیم حامل جریان I را در نقطه ای به فاصله از خط محاسبه کنید نتیجه را برای حالتی که طول سیم بی نهایت طویل باشد ، حساب کنید.
حل )
262
میدان مغناطیسی
8
263
میدان مغناطیسی
8
اگر طول سیم نامحدود نامحدود باشد :
264
اگر نقطه میدان روی عمود منصف باشد.
حالت کلی
میدان مغناطیسی
8
مثال :مطلوب است محاسبه میدان مغناطیسی یک حلقه حامل جریان در نقطه ای واقع بر محور حلقه
حل )
265
میدان مغناطیسی
8
266
میدان مغناطیسی
8
قانون مداری آمپر :
برای جریانهای پایا یعنی اگر حساب کنیم.
267
میدان مغناطیسی
8
مشتق گیری را در جمله دوم عوض می کنیم (نسبت به )
268
شکل دیفرانسیلی قانون آمپر :
میدان مغناطیسی
8
با استفاده از قضیه استوکس :
269
فرم انتگرالی قانون آمپر
میدان مغناطیسی
8
مثال : اندوکسیون مغناطیس حامل در یک سیم کواکسیال حامل جریان را در نقاط مختلف این سیم بدست آورید.
270
میدان مغناطیسی
8
271
میدان مغناطیسی
8
معرفی پتانسیل برداری مغناطیسی :
272
چون
که را پتانسیل برداری می نامند.
برای محاسبه دو روش وجود دارد :
1.از قانون بیو ساوار :
میدان مغناطیسی
8
273
میدان مغناطیسی
8
2-
274
با انتگرال گیری از هریک از مولفه های قائم :
میدان مغناطیسی
8
میدان مغناطیسی یک مدار را در فواصل دور بدست آورید :
275
برای مدارهایی که ابعادشان کوچک است.
میدان مغناطیسی
8
276
انتگرال اول صفر ؛ برای محاسبه انتگرال دوم :
میدان مغناطیسی
8
277
انتگرال جمله دوم نیز بخاطر دیفرانسیل کامل بودن صفر است پس :
با جمع معادلات ذکر شده :
میدان مغناطیسی
8
278
جمله اول داخل کروشه را با توجه به
میدان مغناطیسی
8
279
که شبیه به میدان الکتریکی یک دوقطبی الکتریکی است.
همینطور برای جملات بعدی ….و در بی نهایت :
به همین دلیل را گشتاور دوقطبی مغناطیسی مدار گویند.
میدان مغناطیسی
8
280
معرفی تابع پتانسیل عددی :
پس را پتانسیل نرده ای مغناطیسی گویند.
میدان مغناطیسی
8
با مقایسه :
محاسبه :
281
میدان مغناطیسی
8
مثال : پتانسیل عددی مغناطیسی را در مابین هادی های یک سیم کواکسیال پیدا کنید.
282
که صرفا تابعی از زاویه سمتی است .
مثلا در نقاط :
میدان مغناطیسی
8
پتانسیلها :
ملاحظه می شود همه یک نقطه را مشخص می کنند ولی دارای پتانسیلهای متفاوتی هستند.نتیجه می شود که :
283
پتانسیل عددی مغناطیسی یک تابع منحصربه فرد نیست .
میدان مغناطیسی
8
مدار بزرگ Cرا می توان به کمک یک شبکه بندی به تعداد زیاد ی مدار کوچک تقسیم کرد.
284
از مدار به نقطه است .
زاویه فضایی است که منحنی را از نقطه در برمی گیرد.
میدان مغناطیسی
8
خواص مغناطیسی مواد
285
9
فصل نهم : خواص مغناطیسی مواد
در این فصل موارد زیر مورد بحث و بررسی قرار می گیرد.
1- مفهوم بردار مغناطش
2- میدان مغناطیسی ناشی از ماده مغناطیده
3- پتانسیل مغاطیسی نرده ای و چگالی قطب مغناطیسی
4- چشمه های میدان مغناطیسی و شدت مغناطیسی
5- معادلات میدان
6- پذیرفتاری و تراوایی مغناطیسی و پسماند
7- شرایط مرزی برای بردارهای میدان
8- مسائل مقادیر مرزی ، شامل مواد مغناطیسی
9- مدارهای جریان شامل محیط های مغناطیسی
میدان مغناطیسی از جریانهای الکتریکی ایجاد می شود.
دو نوع جریان وجود دارد :
1.جریان واقعی : از انتقال بار بوجود می آید
2.جریانهای اتمی : جریانهای کاملا دورانی که منجر به انتقال بار نمی شوند.
286
تاثیر محیط مادی روی میدان مغناطیس ناشی از مدارهای الکتریکی :
خواص مغناطیسی مواد
9
مغناطش :
287
بردار مغناطش بصورت زیر تعریف می شود :
گشتاور دوقطبی مغناطیسی در واحد حجم را مغناطش گویند.
خواص مغناطیسی مواد
9
مغناطش :
288
خواص مغناطیسی مواد
9
مغناطش :
289
جریان مغناطش به طرف بالا
خواص مغناطیسی مواد
9
مغناطش :
جریان به طرف بالا :
جریان مغناطش به طرف بالا :
290
خواص مغناطیسی مواد
9
میدان مغناطیسی ناشی از ماده مغناطیده :
291
خواص مغناطیسی مواد
9
با استفاده از چند اتحاد :
چگالی جریان مغناطش سطحی :
292
خواص مغناطیسی مواد
9
با استفاده از اتحاد :
برای محاسبه بایستی از تاو بگیریم و راه حل مقداری مشکلات محاسبه ای دارد لذا از روش دیگری استفاده می کنیم.
293
خواص مغناطیسی مواد
9
294
خواص مغناطیسی مواد
9
برای محاسبه جمله دوم :
295
خواص مغناطیسی مواد
9
پتانسیل مغناطیسی نرده ای و چگالی قطب مغناطیسی :
(یک محیط مغناطیده)
296
خواص مغناطیسی مواد
9
چگالی قطب مغناطیسی :
چگالی سطحی قدرت قطب مغناطیسی :
297
خواص مغناطیسی مواد
9
بنابراین داریم :
298
خواص مغناطیسی مواد
9
چشمه های میدان مغناطیسی :
دونوع چشمه مغناطیسی وجود دارد :
الف ) جریانهای انتقالی
ب) جریانهای اتمی درونی ماده
بطور کلی میدان مغناطیسی را می توان بصورت زیر نوشت :
ناشی ازجریانهای اتمی درونی ماده ناشی ازجریانهای انتقالی
299
خواص مغناطیسی مواد
9
که در آن :
حجم V تمام ماده را در بر می گیرد ؛ سطح S شامل تمام سطوح و فصل مشترکهای محیطهای مختلف است.
300
خواص مغناطیسی مواد
9
: شدت میدان مغناطیسی
301
خواص مغناطیسی مواد
9
معادلات میدان :
چگالی جریان مغناطش چگالی جریان انتقالی
302
خواص مغناطیسی مواد
9
قانون مداری آمپر
303
خواص مغناطیسی مواد
9
پذیرفتاری و تراوایی مغناطیسی :
برای محیطهای خطی وهمسانگرد
که در آن پذیرفتاری مغناطیسی می نامند.
برای محیطهای خطی ونا همسانگرد
که در آن یک تانسور است .
304
خواص مغناطیسی مواد
9
را تراوایی نسبی گویند.
305
خواص مغناطیسی مواد
9
نکته :
انواع مواد مغناطیسی
1.مواد فرومغناطیسی
2.دیامغناطیس
3.پارا مغناطیس
؛ (آهن –نیکل-کبالت)میدان در حضور ماده شدیدا تقویت می شود.
؛ میدان در حضور چنین ماده ای تضعیف می شود.
؛ میدان در حضور چنین ماده ای تقویت می شود.
306
خواص مغناطیسی مواد
9
پذیرفتاری مغناطیسی برحسب پذیرفتاری جرمی :
که در آن d چگالی جرمی ماده است .
جرمی
پذیرفتاری مغناطیسی برحسب پذیرفتاری مولی :
مولی
که درآن A وزن مولکولی است.
307
خواص مغناطیسی مواد
9
حلقه پسماند برای یک ماده فرومغناطیس نمونه :
308
خواص مغناطیسی مواد
9
مقدار B در نقطه r را پسماند یا باقی مانندگی می نامند.
اندازه H در نقطه c به نیروی وادارندگی و یا وادارندگی مغناطیس ماده موسوم است.
2- بعنوان منابع میدان مغناطیس (آهن ربای دائم)
1- افزایش شار مغناطیس یک مدار جریان
مواد فرومغناطیس را برای یکی از دو منظور زیر استفاده می کنند :
309
خواص مغناطیسی مواد
9
شرایط مرزی برای بردارهای میدان :
1-
310
خواص مغناطیسی مواد
9
شرایط مرزی برای بردارهای میدان :
2-
j : چگالی جریان سطحی ( جریان انتقالی در واحد طول در لایه سطحی)
311
خواص مغناطیسی مواد
9
می توان ثابت کرد که شار مغناطیسی در همه جا پیوسته است .
312
خواص مغناطیسی مواد
9
پس شار مغناطیسی که از سطح وارد لوله می شود از خارج می شود.
313
خواص مغناطیسی مواد
9
کل قدرت قطب مغناطیسی که درون لوله شار واقع است.
314
خواص مغناطیسی مواد
9
مسائل مقادیر مرزی شامل مواد مغناطیسی :
پتانسیل نرده ای مغناطیسی ناشی از تمام چشمه هاست.
315
خواص مغناطیسی مواد
9
حل )
مثال :کره ای از ماده مغناطیسی خطی به شعاع و تراوایی که در میدان یکنواخت قرار داده می شود ، وجود دارد میدان را در درون و بیرون کره بدست آورید.
: خلاء
: داخل کره
316
خواص مغناطیسی مواد
9
317
خواص مغناطیسی مواد
9
پتانسیل نباید بی نهایت شود .
318
خواص مغناطیسی مواد
9
319
خواص مغناطیسی مواد
9
320
خواص مغناطیسی مواد
9
داخل کره
بیرون کره
321
خواص مغناطیسی مواد
9
مثال : میدان مغناطیسی ایجاد شده توسط یک کره مغناطیده یکنواخت با بردار مغناطش و شعاع را ،موقعی که هیچ گونه میدان مغناطیسی دیگری وجود ندارد ،پیدا کنید.
حل ) محور z را در امتداد بردار مغناطش و مبدا مختصات را در مرکز کره اختیار می کنیم.
بیرون کره
در فواصل دور از ضرایب مثبت صرفنظر می شود که بخاطر اینکه میدان در بی نهایت نباید افزایش یابد.
322
خواص مغناطیسی مواد
9
بخاطر بی نهایت نشدن پتانسیل در مبداء از جمله دوم صرف نظر شده است .
323
خواص مغناطیسی مواد
9
داخل کره
324
خواص مغناطیسی مواد
9
325
خواص مغناطیسی مواد
9
یا
326
خواص مغناطیسی مواد
9
327
خواص مغناطیسی مواد
9
328
خواص مغناطیسی مواد
9
درس الکترومغناطیس 1
رشته فیزیک
حسین غفوریان ، عضو هیات علمی دانشگاه پیام نور
موفق و پیروز باشید.
انتقادات،نظرات و پیشنهادهای خود را با ما در میان بگذارید.
E-mail:H_ghaforian@yahoo.com