ریاضیات در شرق
ریاضیات ملتهای هند
خصوصیت دستگاه شمار هندی
1. مبنا را عدد 10 می گرفتند.
2. تکامل اصطلاحات مربوط به نامگذاری توانهای 10
دستگاه شمار
1.دستگاه شمار موضعی یا دهدهی
2.دستگاه شمار غیر موضعی
دستگاه شمار غیر موضعی
1. ارقام کهاروشتا
2. ارقام برهما
3. دستگاه لفظی
4. دستگاه الفبایی
ارقام کهاروشتا
این ارقام در شرق افغانستان امروزی و شمال پنجاب از سده چهارم پیش از میلاد تا سده سوم بعد از میلاد کاربرد داشته است.در این دستگاه عددها از راست به چپ نوشته میشود و علامتهای منفردی برای عددهای 1،4،10،20،100 وجود دارد.
/ : 1 × : 4 د : 10
З : 20 /ξ: 100
ارقام کهاروشتا
/ // /// × /× //× ///× ××
1 2 3 4 5 6 7 8
د З З З З З د
10 20 40 50
З З З З З З د З З З З
60 70 80
/ξ //ξ ///ξ /Зξ// //ЗЗЗξد×
100 200 300 122 274
ارقام برهما
این ارقام در کنار رقمهای کهاروشتا به طور وسیعی به کار می رفت.این ارقام از چپ به راست نوشته می شوند و برای 1،10،100،1000 علامت خاصی داشتند.
این ارقام بدون تغییر بیش از 1000 سال بکار رفت.
ارقام برهما
دستگاه لفظی
در این دستگاه رقمها با کلمات مختلف بیان می شدند. ثبت اعداد بدین گونه به غنای زبان سانسکریت و به ذخیره لغات آن از جهت مترادفهای بسیار ،کمک فراوان کرد.
1230 : آسمان(0)-زمانها(3)-لبها(2)-زمین(1)
325108 : زمانها(3)-لبها(2)-تیرها(5)-زمین(1)-آسمان(0)-خدایان(8)
دستگاه لفظی
0: خالی،آسمان،سوراخ،بیحد(بیش از 15 کلمه)
1: شروع،ماه،زمین،بدن،برهمن(بیش از 39 کلمه)
2: توام،چشمها،لبها،زوج(بیش از 30 کلمه)
3: مقاصد،آشتیها،زمانها،آتش(بیش از 26 کلمه)
4: اقیانوسها،طبقه ها،دورانهای صلح،مراحل زندگی،قسمتهای عالم(بیش از 29 کلمه)
5: تیرها،عناصر،اندامهای حسی،قهرمانان افسانه ای مهابهارات(بیش از 9 کلمه)
6: طعمها،قسمتهای بدن،رنگها(بیش از 16 کلمه)
7: کوهها،دانشمندان(بیش از 28 کلمه)
8: مارها،خدایان،آرشها(بیش از 26 کلمه)
9: الهه ها(بیش از 15 کلمه)
10: انگشتان،مظاهر خدای ویشنا(بیش از 10 کلمه)
دستگاه الفبایی
برای تغییر دستگاه لفظی در آثار ریاضی و نجومی، دستگاه شمار الفبایی بوجود آمد. هندیها فقط در رساله های ریاضی و نجومی از آن استفاده می کردند.
این دستگاه به چند طریق وجود داشت.
یکی از آنها از 16 حرف صدادار و 34 حرف بی صدا درست شده است بنابراین اعداد طبق قاعده زیر معین میشدند:
m + (n-1) 34
که n شماره ردیف حرف صدادار و m شماره ردیف حرف بیصدا است .
دستگاه الفبایی
کا = 3 ( ک حرف سوم بیصدا و ا حرف اول صدادار)
پس : m=3 و n=1
34(1-1)+3=3
چو=142 (چ حرف ششم بیصدا و او حرف پنجم صدادار)
پس : m=6 و n=5
34(5-1)+6=142
شرایط دستگاه شمار دهدهی موضعی
1. حذف علامت واحد ردیف
2. بکاربردن علامت صفر برای ردیفهای خالی
3. قبول عدد 10 به عنوان مبنای دستگاه شمار
4. ضرب ردیف در کمیت نوشته شده در ردیف
تمام این شرایط در سده های نخستین میلادی در هند وجود داشته است .
حساب
حساب و قسمتی از جبر ما از هند سرچشمه گرفته است.
در حساب برای عددهای صحیح و کسری 8 عمل اصلی وجود دارد:
1. جمع 2. تفریق 3. ضرب 4. تقسیم
5.مجذور 6.جذر 7.مکعب 8. کعب
حساب
شریدهارا
1296*21=(1000+200+90+6)*21=
21000+4200+1890+126=27216
بهاسکارا
135*12=135(12+8)-135*8
135*12=135(12-2)+135*2
حساب
کسرها از خیلی قدیم در هند شناخته شده بودند.
مجموع سه کسر به صورت زیر نوشته میشد:
حساب
تفریق را به وسیله نقطه یا صلیب کوچک می نوشتند :
حساب
کسر مرکب را به صورت روبرو نشان میدادند
یا
حساب
ضرب و تقسیم نیز بدین صورت نوشته میشد :
ضرب :
تقسیم :
یا
حساب
ریاضی دانهای هندی مسایل مربوط به تصاعدهای حسابی و هندسی را حل میکردند. شریدهارا تعبیر هندسی تصاعد حسابی را به صورت ذوزنقه متساوی الساقینی که ارتفاع آن مساوی تعداد جمله های تصاعد است، داده است.
جبر
دانشمندان هندی در زمینه جبر موفقیتهای زیادی بدست آوردند.قاعده حل معادله درجه 2 را تعمیم دادند،عددهای منفی و گنگ را وارد عمل کردند . برای مقادیر مجهول ، جمله ثابت معادله و توان ، علامتهایی قرار دادند.
جبر
علامت مجهول: یا از هجای اول کلمه یاوات-تاوات ( به معنی اندازه )
علامت جمله ثابت معادله: رو از هجای اول کلمه روپا ( به معنی کامل )
علامتهای توان : وارگا(مربع) ، گهانا(مکعب) ، گهاتا(برای جمع توانها)
جبر
197x-1644y-z=6302
معادله بالا ، چنین نوشته میشد:
یعنی 197x-1644y-z+0=
0x+0y+0z+6302
جبر
براهماگوپتا برای نخستین بار عددهای مثبت و منفی را بکار برد. اعداد مثبت به عنوان دارایی و اعداد منفی را به عنوان قرض تلقی کرد.
همچنین برای اولین بار در آثار آریابهاتای اول به معادلات خطی برخورد میکنیم.
در نوشته های مهاویرا به مسایلی بر می خوریم که به دستگاه دو معادله دو مجهولی منجر می شود. روشی که امروز برای حل این دستگاه به کار می رود ، تفاوتی با روش مهاویرا ندارد.
جبر
معادله های به صورت
جزو معادله های درجه اول به حساب می آمد.
به حل معادله کامل درجه دوم برای نخستین بار در نوشته های آریابهاتای اول بر می خوریم.
جبر
جواب این معادله را آریابهاتا چنین میدهد:
هندسه
نخستین اطلاعات مربوط به هندسه را می توان از رساله قانون طنابها بدست آورد که در حقیقت یک رساله دستی برای معماران در کار ساختمان محرابها و معابد است. بسیاری از این ساختمانهای هندسی بر مبنای قضیه فیثاغورث انجام می گرفت.
هندسه
اثبات قضیه مربوط به مساحت مثلث
هندسه
اثبات قضیه مربوط به مساحت دایره
مثلثات
در هند پایه های مثلثات به عنوان آموزش مقادیر مثلثاتی گذاشته شد. از توابع مثلثاتی سینوس، کسینوس، سینوس- معکوس برای آنها معلوم بود.
مقادیر مثلثاتی را تنها در ربع اول دایره مورد مطالعه قرار می دادند.
مثلثات
روابط بین توابع مثلثاتی:
مثلثات
نیلاکانتا دانشمند هندی قرن شانزدهم ، رشته بینهایتی را بدون اثبات میدهد :
با فرض
به ازاء خواهیم داشت :
مثلثات
بسط سینوس و کسینوس
ریاضیات ملتهای چین
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
مطالعه ی یکی از رساله های قدیمی چینی به نام”رساله ی ریاضی سون تسه زی “مربوط به سده ی سوم میلادی
سال رسمی بوجود آمدن کسرهای اعشاری :1585
کاشانی و دانشمندان اروپایی کسرهای اعشاری به قیاس عدد شماری شصتگانی ساختند ، در حالی که در چین به طور مستقل و بدون استفاده از کسرهای شصتگانی بوجود آمد
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
روابط تقریبی برای ریشه های گنگ : a+1/(2b+1)<1,a^2+b<a+1/2b
واحدهایی برای طول چی:تسون، فن، لی،هااو،میااو،هو،
(اگر عددی در حد این واحد قابل بیان نبود،باقیمانده را با کسر متعارفی نشان می داد ،مثلا :9 تسون7فن 7لی 8هااو 5میااو8هو 10/9هو)
واحد اصلی :چی =>کسر برابر است با :0.9778589
واحداصلی:تسون=>کسر برابر است با :9.778589
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
مسئله ی مربوط به مبادله غلات:7 دوی و 9 شه نو ارزن داریم آنها را با چقدر گندم می توانیم عوض کنیم؟
(50/(7دوی 9شه نو) )*21
1هو=10 دوی
1دوی=10 شه نو
(واحد اصلی در چین دوی بوده که به تقریب مساوی 10.35 لیتر است.)
شه نومعادل است با 0.1 واحد گنجایش می باشد.
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
ضریب تبدیل واحد حجم به واحد گنجایش:1چی 6تسون 2فن.
این عدد عبارت است از:حجم 1دوی از مایعی که ظرف مکعب مستطیل شکل به قاعده ی 1 چی مربع و ارتفاع 62/1چی را پر کرده باشد
1چژان=10 چی
1چی=10 تسون
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
تیرکی با اندازه ی نامعلوم وجود دارد.سایه ی آن را اندازه گرفته ایم،1چژان 5چی بدست آمده است.جدا از این دیرک ستونی قرار دارد که طول آن 1 چی 5 تسون است.سایه ی این ستون 5تسون است. طول تیرک چقدر است؟
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
جواب: 4چژان 5 چی
X=ab1/a1
X=(1.5*0.15)/0.05=0.225/0.05=22.5/5=4.5
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
1چی=1چی.1چژان
5تسون=1چی.5چی
5تسون=5تسون.1چژان
5فن 2تسون=25دهم تسون=5تسون.5چی
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
15000000 دهقان وجود دارد که از انها 400000 سرباز انتخاب شده است.می خواهیم بدانیم از هر چند دهقان یک سرباز انتخاب شده است؟
جواب:37دهقان و5 فن
(1فن=10/1تسون)
(این جواب معادل است با”37عدد صحیح و 5دهم. ولی 5دهم دهقان نمیتواند وجود داشته باشد.)
یکی دیگر از واحدهای غیر قا بل تقسیم “بو”می باشد که
1بو=6چی
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
دو مسئله دیگر از رساله ی سون تسه زی:
کف اتاقی به شکل منحنی است که طول آن 639 بو و قطر آن 380 بو است.سطح کف اتاق چقدر است؟
مساحت قطاع (c/2)*(d/2) =
درآن c طول قوس و d قطر دایره ی قطاع است.
c/2=319.5
نصف طول قوس به روش سون تسه زی: 319 بو 5فن
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
مسئله ی شانزدهم این رساله:
طنابی به طول5794 بو داریم. اگر با آن مربعی بسازیم ،طول ضلع مربع چقدر است؟
جواب:1448 بو 3چی.
کسر اعشاری = 1448.5 بو
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
شان شی چژه : بزرگ کردن یک عدد یا ضرب آن در 10
توی (عقب کشیدن ):حرکت از ردیف مورد نظر به چپ.
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
مسئله ی 1:21پی کتان وجود دارد که 18000 تسیان می ارزد.قیمت یک چژان، یک چی،یک تسون از کتان به طور جداگانه چقدر است؟
جواب: چژان-4500 تسیان
چی-450 تسیان
تسون-45 تسیان
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
مقیاس واحد طول تسه زوچون –چژی :
(16-)^10
8چی=1سیون.
2سیون=1چژان .
8چی=1ژن
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
برای تعیین حجم با شروع از سو:
1گه=10 شااو 1گوی=6سو
1شه نو=10گه 1تسو=10گوی
1دوی=10 شه نو 1چااو=10تسو
1هو=10 دوی 1شااو=10چااو
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
1له ی=10شو
1چژو=10له ی
1لانو=24چژو
1تسه زین=16لانو
1تسه زیون=30 تسه زین
1 دوانیو=4تسه زیون
برای وزن کردن با شروع از شو:
تاریخ کسرهای اعشاری در چین
1ینیو=10چژان 1سی=10هو
1دوانیو=50چی 1هااو=10سی
1پی=40چی 1لی=10هااو
1فن=10الی
1بو=6چی 1تسون=10فن
1مو=240بو 1چی=10تسون
1لی=300بو 1چژان=10چی
برای اندازه گیری طول از هو شروع می کنم.
ریاضیات ملتهای قدیم بین النهرین
اهمیت بررسی تاریخ ریاضی بین النهرین:
اصل موضعی بودن اعداد،تقسیم محیط دایره به 360 درجه،درجه به 60 دقیقه و دقیقه به 60 ثانیه برای نخستین بار در بابل
نزدیک 1500 سال قبل از فیثاغورث از قضیه فیثاغورث اطلاع داشتند
خصوصیات دستگاه شمار:
بابلیها هم از دستگاه دهدهی و هم ازدستگاه شصت شصتی استفاده می کردند
علامت برای واحد
برای نشان دادن عدد 2 دو بار و برای 3 سه بار و از 4 به بعد این علامت در دو یا سه طبقه
علامت برای 10و تا 50 با این علامت
2:
3:
4:
و به همین ترتیب 5و6و8و9
7:
خصوصیات دستگاه شمار:
برای رعایت اصل موضعی بودن اعداد همیشه دهگان را سمت چپ یکان می نوشتند
علامت علاوه برنشان دادن واحد برای هر عدد به صورت +k60و -k60
وقتی سمت چپ قرار میگیرد نماینده واحد نبوده بلکه 60 ،2^60، 3^60 را نشان می داد
مثال:
70:
72:
معنی نوشته ها از روی قرینه مشخص می شد
بعدها علامت به وجود آمد که طبقات را از هم جدا می کرد ،در حقیقت وظیفه ی صفر امروزی را انجام می داد
اگرعلامت قبل از علامت شصت قرار می گرفت600 به حساب می امد
682:
در نوشته های ریاضی میخی محاسبات بینابینی وجود ندارد انها محاسبات را به وسیله ی دستگاه هایی از نوع تخته محاسبه و یا چرتکه انجام می داده اند
در بین النهرین برای عملیات مربوط به حساب به طور وسیعی از جدول های اختصاصی استفاده می شد
جدول های جمع و تفریق می توانستند مشترکا تنظیم شوند
علامت تفریق بود و با lal تلفظ می شد و
ترتیب ان: مفروق منه – مفروق
40 – 3 =37
60 – 3 =57
(نباید به صورت 3-1 خوانده شود)
نباید گمان کرد که جدول های ضرب در بابل قدیم خلاصه و ساده بودند در حقیقت این جدول ها خیلی ابتدایی بودند و مثل جدول های امروزی دو طرفه نبودند
علامت ضرب بود و ara تلفظ می شد
خصوصیت جدول های تقسیم این بود که مقسوم را نمی نوشتند و ان را در ذهن خود مجسم می کردند
جدول هایی درباره ی به توان رساندن و جذر گرفتن نیز به ما رسیده است
جدول مربعهای از 1 تا 60 نیزتنظیم شده است می توانستنداز همین جدول ها برای جذر گرفتن هم استفاده کنند اما برای جذر گرفتن نیز جدول ها ی اختصاصی وجود داشت
جدول هایی برای اعداد بدون جذر صحیح با مقدار جذر تقریبی
جدولهایی به صورت n^2+n^3 برای مقادیر n از 1 تا 60
دستگاه اندازه گیری مردم بین النهرین:
مقیاس وزن:
این مقیاس برای وزن هم به کار می رفت (ارزش ان متناسب با وزن بود)
کوچکترین واحد وزن شه(بابلیها شه اوم)
شه =46.75 میلیگرم
180شه =شه کل = g 8.4
60شه کل=1مینا= g 500
60مینا=1 تالانتا= kg 30.3
در دوره های بعدی شه به معنی کسر 1/180 نیز بود
مقیاس حجم:
واحد حجم سیلا =0.84 لیتر
300سیلا=1 گور
مقیاس طول:
اندازه گیری طول کم و بیش در هر شهر نسبت به شهردیگر متفاوت بود
کوچکترین واحد اندازه گیری شه=1/180ارش≈2.75 میلی متر
در شهر لاگاش هر ارش=495 میلی متر
در بابل و نیپور =518 میلی متر
50cm =180شه= ارش(آمان)
= 600 cm 12 ارش=1گار
260m= 60گار=اوش(گوش)
m 800km 10=30 اوش=میلیا
و اندازه هایی متناسب با ارش:
30 انگشت=2 پا=1 ارش
اندازه گیری سطح:
واحد سطح برسار
برسار=توان دوم یک گار
180شه=شه کل=سار
در مورد اندازه گیری سطح به خصوص این مطلب جالب است که با اصول مختلف تشکیل شده اند،هم اعشاری و هم شصت شصتی و به نظر می رسد در نتیجه ی پیشرفت و اختلاط دستگاه های اندازه گیری به وجود امده باشند
در جدول ها مسائل مشکل تر مثل محاسبه مجموع جملات تصاعد حسابی و یا هندسی
و محاسبه ی مجموع مربعات عددهای صحیح متوالی هم وجود دارد .مجموع مربعات عددهای متوالی را در حالت های خاص بدست می آوردندولی این محاسبه طوری تنظیم می شد که از رابطه ی زیر استفاده می کردند
i ∑i^2=⅓(1+2n) ∑
و به سختی میتوان قبول کرد این طریق محاسبه را تنها از طریق تجربه بدست آورده اند
مسئله ای که به محاسبه ی جمله های یک تصاعد هندسی مربوط است:
از 1 تا 10 قرار بده،از روی 2 بگذر،جمع کن میشود 512 ،یک از 512 کم کن 511 می ماند،512 را به 511 اضافه کن میشود1023
با همه اختصاری که این متن دارد میتوان فهمید که صحبت از مجموع جملات یک تصاعد هندسی است
1+2+2^3+…+2^9=1+2+4+…+512
طبق متن این مجموع برابر است با:
512+(512-1)
ظاهرا مولف از رابطه ی زیر استفاده کرده است
Sn=2^n+(2^n -1)
در نوشته های کشف شده مسائلی از دستگاه های معادله های درجه اول ،جستجوی مجهول در معادله های درجه دوم،درجه سوم و معادله های دو مجذوری وجود دارد اما همه با مفروضات عددی هستندو برای حل از رابطه های مشخص و معلومی استفاده نشده ولی از نوع عمل و بحث می توان فهمید که چنین رابطه هایی برای مولفین آنها روشن بوده است
یک مسئله:یک هفتم طول، یک هفتم عرض ،یک هفتم مساحت را جمع کن بدست می آید 60*2، طول وعرض را جمع کن بدست می آید5*60+50 طول وعرض چیست؟
طول=3*60+30
عرض=2*60+20
واضح است که حل این مسئله به دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر منجر می شود:
x/7 + y/7 +xy/7 =120
X+y=350
متنی پیدا شده که شامل مسائلی مربوط به یک معادلهی درجه 3 است
12x^3 +x^2 =1+ 45/60
معادله به صورت زیر در می آید:
12x^3+12x^2=4.5
و بالاخره از جدول مجموع n^2+n^3 استفاده می شود
در بابل قدیم 1000 سال قبل از تولد فیثاغورث نه تنها از قضیه فیثاغورث اطلاع داشتند بلکه قاعده ی ساختن همه ی مثلث های قائم الزاویه ایی که ضلعهایشان عددهای صحیح باشد می دانستند
ما هنوز نمیدانیم که مردم بین النهرین از چه راههایی اطلاعات نسبتا وسیع ریاضی خود را بدست اوره اند. برای روشن شدن این موضوع باید صبر کرد
با تشکر از توجه شما