پاورپوینت ریاضیات پایه برای دانشجویان داروسازی

ریاضیات پایه برای دانشجویان داروسازی

دستگاه مختصات دکارتی

تعریف: در صفحه هندسی، یک خط مستقیم افقی رسم می کنیم. در روی این خط، نقطه دلبخواه O را به عنوان مبدا و طولی را بعنوان واحد طول اختیار می کنیم. اکنون این خط را بر حسب این واحد طول به ترتیب زیر مدرج می کنیم:
الف) نقطه O ، یعنی مبدا را به عنوان نمایش عدد صفر اختیار می کنیم.
ب) اگر ، نقطه ای را به فاصله a برابر واحد طول در سمت راست مبدا به عنوان نمایش a اختیار می کنیم.
پ) اگر، نقطه ای را به فاصله برابر واحد طول در سمت چپ مبدا به عنوان نمایش b اختیار می کنیم.

به این ترتیب، نقاطی از خط افقی که نمایش اعداد مثبت هستند در سمت راست نقطه O و نقاطی که نمایش اعداد منفی هستند، در سمت چپ مبدا قرار دارند. بنابراین، خط جهت داری بدست میاوریم که نمایش اعداد حقیقی است. این خط جهت دار را محور طولها یا محور x ها می نامیم.

اکنون از نقطهO خطی عمود بر خط افقی رسم می کنیم. در روی این خط قائم نیز طولی را به عنوان واحد طول انتخاب می کنیم و خط را با آن مندرج می کنیم، به گونه ای که نقاطی از خط قائم که نمایش اعداد مثبت هستند در بالای نقطه O و نمایش اعداد حقیقی منفی هستند در پائین مبدا واقع شوند. این خط قائم را محور عرضها یا محور y می نامیم.

در صورتیکه واحدهای محور طولها و محور عرضها یکی باشند، مجموعه این دو محور را یک دستگاه مختصات دکارتی و محورهای x ها و y ها را محورهای مختصات می نامیم.

مختصات نقطه در صفحه: فرض می کنیم p نقطه دلخواهی در صفحه هندسی xoy باشد. خطوط PA و PB را به ترتیب عمود بر محور x ها و عمود بر محور y ها رسم می کنیم. اندازه جبری oA روی محور x ها را طوب نقطه P و اندازه جبریoB روی محورy ها را عرض نقطه P می نامیم.

به این ترتیب، به هر نقطه از صفحه هندسی xoy یک زوج مرتب از اعداد حقیقی نسبت داده می شود. اگر a طول نقطه P و b عرض این نقطه باشد، آنگاه a وb را مختصات دکارتی نقطه P مینامیم و با P(a,b)نمایش می دهیم، و می خوانیم نقطه P به مختصات a وb ، اگر اعداد حقیقی a و b داده شده باشند، ابتدا روی محور طولها نقطه ای به فاصله جبری a از مبدا تعیین می کنیم و از آن نقطه خطی عمود بر محور طولها رسم می کنیم سپس روی محور عرضها نقطه ای به فاصله جبری b از مبدا پیدا می کنیم و از ان نقطه خطی عمود بر محور عرضها رسم می کنیم. این دو خط یکدیگر را در نقطه P قطع می کنند. به این ترتیب برای هر زوج مرتب می توان یک و تنها یک نقطه از صفحه مختصات به دست آورد.

تعریف: محورهای مختصات صفحه را به چهار ناحیه تقسیم می کنند، که هر ناحیه را یک ربع می نامیم. به طوری که نقاطی که در ربع اول قرار دارند، هم طول و هم عرضشان مثبت است. در ربع دوم، مختصه اول یعنی طول نقطه منفی و مختص دوم، یعنی عرض ان مثبت است. برای نقاط واقع در ربع سوم، هر دو مختصه منفی است. در ربع چهارم، مختصه اول مثبت و مختصه دوم منفی است.

مثال: مثلثی رسم کنید که مختصات راسهای آن (2و2) A،(1و1-)B و (3- و1)C باشد.

فاصله دو نقطه: فرض می کنیم A نقطه ای به مختصات (xA,yA) و B نقطه ای به مختصات (xB,yB) باشد. فاصله دو نقطه A و B را مساوی طول پاره خط AB تعریف می کینم و با نماد d نشان می دهیم. می توان ثایت کرد که فاصله میان A و B از رابطه زیر بدست می آید

مثال: طول اضلاع مثلث ABC در مثال قبل را محاسبه کنید

مختصات وسط پاره خط: دو نقطه A وB را، به ترتیب با مختصات و ، در صفحه در نظر میگیریم . اگر C نقطه وسط پاره خط AB باشد، آنگاه مختصات نقطه C برابر است :

مختصات نقطه تلاقی سه میانه مثلث: مثلث ABC را در نظر می گیریم و فرض می کنیم نقطه M محل تلاقی سه میانه این مثلث باشد. مختصات نقطه M برابر است با

انتقال محورهای مختصات: نقطه A(x,y) را در دستگاه مختصات دکارتی xoy در نظر می گیریم. از نقطه O1(a,b)، محورهای جدید O'xو O'yرا به موازات محورهای OX و Oy رسم می کنیم تا دستگاه مختصات جدید Xo'y به دست آید. می گوییم دستگاه مختصات XOY. به موازات خود به دستگاه جدید Xo'y انتقال یافته است. اگر مختصات نقطه A در دستگاه جدید (X,Y) باشد، روابط زیر بین مختصات جدید و قدیم نقطه A برقرار است:

معادله و نمودارخط

مقدمه: در این بخش، معادله جبری خط راست و نحوه ترسیم نمودار آن را یادآوری می کنیم. نخست شیب خط را تعریف می کنیم.
تعریف: خط راستL را که ، موازی محور y ها نیست (خط غیر قائم)، درنظر می گیریم. اگر A و B دو نقطه متمایز دلبخواه روی خط L باشند، آنگاه شیب یا ضریب زاویه خط را حرف m نشان می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم.
m=

دقت کنید که شیب خط بستگی به نقاطی که برای محاسبه ان انتخاب می کنیم ندارد، و برای تمام نقاط روی هرخط مقداری ثابت است.

نکته: شیب خط L را می توان به تانژانت زاویه ای که این خط با جهت مثبت محور X ها می سازد نیز تعبییر کرد. به بیان دیگر
m=tan θ

الف) شیب خطی که موازی محور x ها (افقی) باشد برابر است با
در اینجا 0°≤θ≤180° ، زاویه ای است که خط L با جهت مثبت محور x ها می سازد. به آسانی می توان نشان داد که
m = tan 0 = 0

ب) شیب خطی که موازی محور y ها قائم باشد از نظر قدر مطلق بسیار بزرگ است. این مطلب را با عبارتهای " خط قائم دارای شیب بینهایت است" یا " خط قائم شیب ندارد" بیان می کنیم.
پ) برای خطی که به راست و پایین شیب داشته باشد، داریم m<0
ت) برای خطی که به راست و بالا شیب داشته باشد، داریم m>0

قضیه: سه نقطه A و B وC بر روی یک خط واقع اند و اگر تنها شیبهای خطوط AB و BC مساوی باشند، به عبارت دیگر داشته باشیم. mAB=mBC

قضیه (شرط توازی و تعامد دو خط ): فرض می کنیم m1 و m2 به ترتیب شیبهای خطهای L1 و L2 باشند. الف) دو خط L1 و L2 متوازیند اگر و تنها اگر m2= m1 ب) دو خط L1 و L2 بر هم عمودند اگر و تنها اگر m1m2= -1

زاویه بین دو خط: فرض می کنیم m1 و m2 به ترتیب شیبهای دو خط L1 و L2 باشند. زاویه بین این دو خط، a، از رابطه زیر بدست می آید. ***
Tan

معادله خط راست: فرض می کنیم A(x1,y1) و B(x2,y2) دو نقطه متمایز روی خط L باشند. اگر P(x,y) نقطه دلبخواهی از خط L باشد آنگاه، بر حسب اینکه خط L قائم باشد یا نه، معادله خط L عبارت است از
حالت اول) اگر خط L قائم نباشد، یعنی x1≠x2 ، آنگاه معادله خط L برابر است با
y-y1=
m(x-x1)

حالت دوم) اگر خط L قائم باشد، یعنی x1=x2 آنگاه معادله خط قائم L عبارت است از
x=x1

نکته: به طور کلی هر معادله ای به صورت Ax+By+C=o که در ان اعداد حقیقی A و B هردو با هم صفر نباشند، نمایشگر یک خط راست است. این معادله را که شامل توانهای اول x و Y است، بر حسب x و Y خطی می نامیم.
بنابراین هر خط راست در صفحه به وسیله یک معادله خطی مشخص می شود و متقابلاً هر معادله خطی معرف یک خط راست است.

طول و عرض از مبدا خط: معادله خطی Ax+By+C=o را که در آن اعداد حقیقی A و B هر دو با هم صفر نیستند می توانیم به صورت زیر بنویسیم.
y=ax+b

که در ان b را عرض از مبدا خط و –b/a را طول از مبدا خط می نامیم. توجه کنید که اعداد حقیقیb و –b/a به ترتیب به ازای x=0 و y=0 از معادله y=ax+b به دست می ایند. در حقیقت (0,b) نقطه ای است که در آن خط مورد نظر با محورy ها تلاقی می کند و[-b/a,0] نیز نقطه ای است که در ان خط مورد نظر محور x ها را قطع می کند.

نمودار خط راست: برای رسم نمودار یک خط راست یک خط راست کافی است مختصات دو نقطه دلبخواه و متمایز از خط را در روی صفحه مختصات مشخص می کنیم. خط راستی که این دو نقطه را به هم وصل کند همان نمودار مطلوب است. این دو نقطه دلبخواه از خط را می توان نقاط تلاقی محورهای مختصات با خط در نظر گرفت.

مختصات نقطه تلاقی دو خط: نقطه تلاقی دو خط، نقطه ای است که بر هر دو خط واقع است. بنابراین اگر معادله های دو خط به صورت Ax + By + C = 0 و A’x + B’y + C’ = 0 باشند، مختصات نقطه تلاقی این دو خط، از حل دستگاه دو معادله دو مجهولی به دست می آید.