پاورپوینت ایده اصلی جبر خطی

Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad

ADVANCED CONTROL
Reference:
Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.

2
Lecture 3
Basic Idea of Linear Algebra-Part II
Topics to be covered include:

Functions of Square Matrix.

Lyapunov Equation.

Some Useful Formula.

Quadratic Form and Positive Definiteness.

Singular Value Decomposition.

Norm of Matrices

3
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید
محاسبه توابع ماتریس مربعی
چند جمله ای مینیمال و معادله مشخصه
چند جمله ای های معادل بر روی طیف ماتریس A
معادله لیاپانوف و حل آن
ماتریس متقارن و فرم مربعی و ماتریس متعامد
ماتریس مثبت/منفی معین
تجزیه مقادیر تکین
محاسبه فضای رنج و پوچ از تجزیه مقادیر تکین
نرم ماتریسی
Calculation of Function of Square Matrix
Cayley-Hamilton Theorem
Equal Polynomials on the Spectrum of A
Lyapunov Equation and its Solution
Symmetric Matrix and Quadratic Form and Orthogonal Matrix
Matrix and PD/ND Matrix
Singular Value Decomposition
Null Space and Range Space From SVD
Norm of Matrices
قضیه کیلی همیلتون
Minimal Polynomials and Characteristic Polynomials

4
Function of Square Matrix
چند جمله ای از ماتریس های مربعی
ماتریس های بلوکی
فرم جردن
و در حالت کلی

5
مثال 3-1: ماتریس A و فرم قطری ماتریس A و تبدیل مربوطه داده شده است.
Function of Square Matrix
مطلوبست:
می دانیم:

6
Function of Square Matrix
چند جمله ای مونیک:
چند جمله ای مینیمال:
چند جمله ای مشخصه:
چند جمله ای که ضریب بزرگترین درجه آن برابر یک باشد چندجمله ای مونیک نامیده می شود. مثلا
چند جمله ای مونیک با کمترین درجه که ماتریس A آن را برابر ماتریس صفر کند چند جمله ای مینیمال

ماتریس A نامیده می شود.
چند جمله ای مشخصه ماتریس A با ابعاد nn عبارتست از:

7
Function of Square Matrix
محاسبه چند جمله ای مینیمال:
چند جمله ای مونیک با کمترین درجه که ماتریس A آن را برابر صفر کند چند جمله ای مینیمال ماتریس

A نامیده می شود.(با توجه به خاصیت نیل پوتنت)
چند جمله ای مشخصه ماتریس A با ابعاد nn عبارتست از:
قضیه 3-1 (قضیه کیلی همیلتون): ماتریس A در معادله مشخصه خود صادق است.
اثبات:

8
Function of Square Matrix
محاسبه چند جمله ای مینیمال:
چند جمله ای مشخصه ماتریس A با ابعاد nn عبارتست از:
مثال 3-2: مطلوبست چند جمله ای مشخصه و چند جمله ای مینیمال ماتریسهای زیر

9
Function of Square Matrix
محاسبه چند جمله ای مینیمال:
چند جمله ای مشخصه ماتریس A با ابعاد nn عبارتست از:
مثال 3-2(ادامه): مطلوبست چند جمله ای مشخصه و چند جمله ای مینیمال ماتریسهای زیر

10
Function of Square Matrix
محاسبه چند جمله ای مینیمال:
چند جمله ای مشخصه ماتریس A با ابعاد nn عبارتست از:
مثال 3-2(ادامه): مطلوبست چند جمله ای مشخصه و چند جمله ای مینیمال ماتریسهای زیر

11
Function of Square Matrix
چند جمله ای دلخواه f(λ) و ماتریس A با ابعاد nn را در نظر بگیرید.

می توانf(λ) را به صورت مقابل بیان نمود.
حال برای محاسبه f(A) داریم:
حال با توجه به قضیه کیلی همیلتون:
نکته: درجه h() ؟
نکته مهم: چند جمله ای h() معادل f(λ) بر روی طیف A نامیده میشود؟
نکته: محاسبه h() ؟

12
Function of Square Matrix
محاسبه h() برای حالتی که ماتریس A دارای مقادیر ویژه غیر تکراری است.
با قرار دادن مقادیر ویژه A در رابطه فوق داریم:
پس از حل n معادله n مجهول داریم:

13
Function of Square Matrix
محاسبه h() برای حالتی که ماتریس A دارای مقادیر ویژه تکراری است.
پس از حل n معادله n مجهول زیر ضرایب مجهول h() محاسبه می شود.
قضیه 3-2: معادله f(λ) و ماتریس A با ابعاد nn با معادله مشخصه زیر را در نظر بگیرید.
چند جمله ای h() از درجه n-1 و معادلf(λ) بر روی طیف A بصورت زیر تعریف میشود.
که در این رابطه:
و نهایتا:

14
مثال 3-3: مطلوبست محاسبه .A100
Function of Square Matrix
فرض کنید .f(λ)=λ100
حال باید مقادیر ویژه A محاسبه شود.
حال باید h() را بصورت زیر در نظر بگیریم:
حال h() عبارتست از:

15
مثال 3-4: مطلوبست محاسبه eAt
Function of Square Matrix
فرض کنید .f(λ)=eλt
حال باید مقادیر ویژه A محاسبه شود.
حال باید h() را بصورت زیر در نظر بگیریم:
حال f(A) عبارتست از:

16
مثال 3-5: مطلوبست محاسبه eAt
Function of Square Matrix
فرض کنید .f(λ)=eλt
حال باید مقادیر ویژه A محاسبه شود.
حال باید h() را بصورت زیر در نظر بگیریم:
حال f(A) عبارتست از:
مقایسه با مثال قبل!

17
Function of Square Matrix
فرض کنید .f(λ)=eλt
مقادیر ویژه A عبارتست از:
حال باید h() را بصورت زیر در نظر بگیریم:

18
Function of Square Matrix
حال با توجه به مثال قبل داریم:

19
Function of Square Matrix
سری نمایی:
با قرار دادن A در رابطه فوق داریم:
و خاصیت خیلی مهم:
تمرین 3-1: با کمک رابطه (I) مطلوبست اثبات چهار خاصیت فوق
ولی در حالت خاص:……..

20
Function of Square Matrix
سری نمایی:
با قرار دادن A در رابطه فوق داریم:
می دانیم:
پس:
با قدری ساده سازی داریم:

21
Lyapunov Equation
معادله مقابل را در نظر بگیرید.
این معادله، معادله لیاپانوف نام دارد و در واقع دارای nm معادله

و nm مجهول (درایه های ماتریس M) می باشد.
یادآوری:
معادله لیاپانوف نیز بصورت زیر قابل نمایش است:
حل معادله لیاپانوف:

22
Lyapunov Equation
معادله خطی جبری:
اسکالر  مقدار ویژه A نام دارد اگر بردار غیر صفر v یافت شود که
معادله لیاپانوف:

23
Some Useful Formula
فرض کنید A ، mn و B ماتریس nm است در این صورت
فرض کنید A و B ماتریسهای مربعی هستند در این صورت
فرض کنید C و D ماتریسهای مربعی دلخواه غیر منفرد هستند
برای اثبات فرض کنید :

24
Quadratic Form and Orthogonal Matrix
24
ماتریسهای متقارن و فرم مجذوری (مربعی) و ماتریس متعامد (یکانی)
تعریف 3-2: برای یک ماتریس متقارن M و هر بردار x عبارت xTMx فرم مجذوری (مربعی) نامیده می شود.

25
Quadratic Form and Positive Definiteness
25
قضیه 3-3: برای هر ماتریس حقیقی متقارن M، یک ماتریس متعامد Q وجود دارد بگونه ای که:
ماتریس D، یک ماتریس قطری است که مقادیر ویژه M حقیقی بوده و بر روی قطر D قرار دارد و

ستونهای Q هم بردارهای ویژه M می باشد.
اثبات:
واضح است که ماتریس D، تبدیل همانندی ماتریس M است پس برای اثبات قضیه کافی است نشان دهیم که

-مقادیر ویژه M حقیقی است -بردار ویژه توسعه یافته نداریم و -ماتریس Q متعامد است

فرض کنید  مقادیر ویژه M است پس
حقیقی
حقیقی است 
تمرین 3-4: نشان دهید برای یک ماتریس مربعی متقارن بردار ویژه توسعه یافته نداریم و ماتریس تبدیل به فرم قطری می تواند متعامد باشد.

26
26
ماتریسهای معین
Quadratic Form and Positive Definiteness

27
Quadratic Form and Positive Definiteness
27
قضیه 3-4: ماتریس حقیقی متقارن M، مثبت معین (مثبت نیمه معین) است اگر و فقط اگر هر کدام از

شرایط زیر برقرار باشد.
1- تمام مقادیر ویژه ماتریس M، مثبت (مثبت یا صفر) باشد.
2- تمام کهادهای یا ماینورهای اصلی مقدم ماتریس M، مثبت (مثبت یا صفر) باشد.
3- ماتریس غیر منفردN با ابعاد nn وجود داشته باشد که M=NTN (ماتریس غیر منفردN با ابعاد nn و یا ماتریس N با ابعاد mn با m<n وجود داشته باشد که M=NTN)

28
Quadratic Form and Positive Definiteness
28
قضیه 3-5:
1- ماتریس H، با ابعاد mn و فرض m ≥ n دارای رتبه n است اگر و فقط اگر ماتریس HTH که بعد

nn دارد دارای رتبه n بوده یا det(HTH)≠0

2- ماتریس H، با ابعاد mn و فرض m  n دارای رتبه m است اگر و فقط اگر ماتریس HHT که بعد

mm دارد دارای رتبه m بوده یا det(HHT)≠0

اثبات:
قسمت اول را اثبات می کنیم و قسمت دوم بصورت مشابه اثبات می شود. واضح است که باید در طرف قضیه اثبات شود یعنی نشان دهیم:
فرض کنیم رتبه H مساوی n نباشد پس بردار غیر صفر v وحود دارد به قسمی که:
فرض کنیم رتبه HTH مساوی n نباشد پس بردار غیر صفر v وحود دارد به قسمی که:

29
Singular Value Decomposition (SVD)
قضیه 3-6: فرض کنید که MClm در اینصورت ماتریس Rlm و ماتریسهای یکانی که YCll

و که UCmm وجود دارد به قسمی که:
که در رابطه فوق i ها عبارتست از…………………..
ستونهای ماتریس Y عبارتست از…………………..
ستونهای ماتریس U عبارتست از…………………..

30
Singular Value Decomposition (SVD)
Has no affect on the output or
مثال 3-8: مطلوبست تجزیه مقادیر تکین ماتریس مقابل
فضای رنج ماتریس M عبارتست از…………………..
فضای پوچ ماتریس M عبارتست از…………………..

31
Norm of vectors

32
Norm of matrices
نرم برداری را می توان به ماتریسها هم گسترش داد.

33
Induced matrix norm
یک نرم برای ماتریسها نرم ماتریسی نامیده می شود اگر دارای خاصیت زیر باشد:
نرم القایی بصورت زیر تعریف می شود:
هر نرم القایی نرم ماتریسی است.

34
Matrix norm for matrices
با فرض p=1 در رابطه نرم القایی داریم:
با فرض p= در رابطه نرم القایی داریم:
با فرض p=2 در رابطه نرم القایی داریم:

35
Exercisesتمرینها
روابط زیر را اثبات کنید.
تمرین 3-1: با کمک رابطه
تمرین 3-3: نشان دهید در یک ماتریس مربعی با مقادیر ویژه مجزا، بردارهای ویژه از هم مستقل هستند. (راهنمایی: اثبات با برهان خلف و تشکیل )
تمرین 3-4: نشان دهید برای یک ماتریس مربعی متقارن بردار ویژه توسعه یافته نداریم و ماتریس تبدیل به فرم قطری می تواند متعامد باشد. (راهنمایی: اثبات با برهان خلف)

36
Exercisesتمرینها
تمرین 3-5: نشان دهید اگر λ مقدار ویژه ماتریس A بوده و x بردار ویژه متناظر آن باشد در اینصورت f(λ) مقدار ویژه ماتریس f(A) بوده و x بردار ویژه متناظر آن است.
تمرین 3-6: نشان دهید توابع یک ماتریس خاصیت جابجایی دارد یعنی:
f(A)g(A)=g(A)f(A)
تمرین 3-7: فرض کنید
مطلوبست تعیین B بگونه ای که eB=C .
نشان دهید که اگر λi=0 باشد آنگاه B وجود ندارد.
حال فرض کنید
مطلوبست تعیین B بگونه ای که eB=C . آیا درست است که برای
هر C غیر منفرد ماتریس B وجود دارد که eB=C
تمرین 3-8: اگرماتریس A متقارن باشد رابطه بین مقادیر ویژه و مقادیر تکین چیست؟ (راهنمایی: در ماتریسهای متقارن داریم: A=A2)

37
Exercisesتمرینها
تمرین 3-9:
تمرین 3-10:
تمرین 3-11: تکرار 3-9 برای ماتریسهای زیر

38
Exercisesتمرینها
تمرین 3-12:
تمرین 3-13:
تمرین 3-14:
تمرین 3-15: نشان دهید که:

39
Answers to selected problems
پاسخ تمرین 3-11:
پاسخ تمرین 3-7:
پاسخ تمرین 3-14: