طراحی و تحلیل آزمایش ها به روش فاکتوریل
Generating Full-Factorial Models in Minitab
We want to generate a design for a 23 full factorial model.
2 x 2 x 2 = 8 runs
Click on down arrow and select number of factors. For this example it’s 3.
Highlight desired design from list. For 3 factors, there are two options.
Enter 2 replicates.
Generating Full-Factorial Models in Minitab
After selecting the design, you can name the factors (X’s)
and define their low and high values
Click on Factors button
Generating Full-Factorial Models in Minitab
After entering your factors,
Click on the Options button
& De-Select the
“Randomize runs”
Then click “OK”
twice
…What Do You See
Notice Minitab gives you the values you
need to run your experiment—not –1 and +1.
Since we didn’t
randomize and
we made Start
Angle factor C,
we only need to
change start
angle once.
It is recommended to
RANDOMIZE
YOUR EXPERIMENT
Notes:
1) A new worksheet will be created for the design.
2) The Minitab default is to randomize the run order.
For our Design
Analyzing the Results of the DOE: Step 9
Let’s look at some graphs
Analyzing the Results of the DOE: Step 9
Click on the double
arrow button to transfer
all available terms into
selected terms
Make sure you have “Distance” in the Responses box
Perform these steps
in both setup—Main
Effects & Interactions
Analyzing the Results of the DOE: Step 9
It looks like Start Angle and Pin Position had a big effect
on our Y–Distance
Analyzing the Results of the DOE: Step 9
Since the lines are nearly parallel, the two-way
interactions will probably be insignificant
Analyzing the Results of the DOE: Step 9
Go to Stat>DOE>Analyze Factorial Design
Analyzing the Results of the DOE: Step 9
2. Click on Graphs
3. Then Pareto with
Alpha = 0.05
4. Finally click Ok
1. Put Distance in Responses:
3. Click on these 3 Plots
Analyzing the Results of the DOE: Step 9
1. Then click on Storage
2. Select Fits & Residuals
3. Then Ok and Ok
Analyzing the Results of the DOE: Step 9
These 3 graphs give you a good idea about what’s going on
Analyzing the Results of the DOE: Steps 10 & 11
Steps 10 & 11: Plot & Interpret the Residuals
Residuals are the difference between the actual Y value and the Y value predicted by the regression equation.
Residuals should
be randomly and normally distributed about a mean of zero
not correlate with the predicted Y
not exhibit trends over time (if data chronological)
Stat > DOE > Analyze Factorial Design, Graphs button
Select
normal plot of residuals
residuals against fits
residuals against order
Any trends or patterns in the residual plots indicates inadequacies in the regression model, such as missing Xs or nonlinear relationships.
Analyzing the Results of the DOE: Steps 10 & 11
Let’s look at each graph individually
Analyzing the Results of the DOE: Steps 10 & 11
But first lets perform a Normality test on
The residuals by going to:
Stat>Basic Statistics>Normality Test
In variable, select RESI1
Then click Ok
Analyzing the Results of the DOE: Steps 10 & 11
Residuals Look normal
P-value: 0.497
If residuals are not normal, your model
may not predict very well
Analyzing the Results of the DOE: Steps 10 & 11
No trends in this graph
Analyzing the Results of the DOE: Steps 10 & 11
This graph indicates there might be more variability in the
smaller distances, but with only two reps, we’ll press on!
Analyzing the Results of the DOE: Step 12 Examine the Factor Effects
We’ll keep
Anything with
A low P-value
Lower than 0.05
Since we’re keeping the 3-way interaction, we need to include stop position in the model
Analyzing the Results of the DOE: Step 12 Examine the Factor Effects
Go back in Stat>DOE>Analyze Factorial Design and click on Terms, then remove the two-way interactions
Put 2-way
interactions
back in
Available Terms
Step 13: Develop Prediction Models
Coefficients for the
Coded model
Coefficients for the
Uncoded model
Y = 145.4 – 11.3A + 0.7B + 29.2C –1.31ABC
Y = -339.4 – 9.4A + 2.9B + 2.9C
For the Coded Model
Y = 145.4 – 11.3A + 0.7B + 29.2C –1.31ABC
145 = 145.4 – 11.3 (Pin Position) + 0.7(Stop Position) + 29.2(Start Angle) – 1.3(ABC)
Let’s just arbitrarily set A & B to some value since they are discrete
Set Pin Position to 0 (coded) which equates to 2 (actual: what you set in your design)
Stop Position at –1 (coded) which equates to 2 (actual: what you set in your design)
Let’s figure out Start Angle
145 = 145.4 – 11.3(0) + 0.7(-1) + 29.2 (Start Angle) – 1.31(0*-1*C)
145 = 145.4 – 0 – 0.7 + 29.2(Start Angle) – 0
145 – 145.4 + 0.7 = 29.2(Start Angle)
0.3 = 29.2(Start Angle)
0.01 = Start Angle
Converting from the coded units:
For the Un-coded Model
Y = -339.4 – 9.4A + 2.9B + 2.9C –0.0ABC
145 = -339.4 – 9.4 (Pin Position) + 2.9(Stop Position) + 2.9(Start Angle)
Let’s just arbitrarily set A & B to some value since they are discrete
Set Pin Position to 2
Stop Position at 2
Let’s figure out Start Angle
145 = -339.4 – 9.4(2) + 2.9(2) + 2.9(Start Angle)
145 = -339.4 – 18.8 + 5.8 + 2.9(Start Angle)
497.4 = 2.9(Start Angle)
497.4 / 2.9 = (Start Angle)
171.5 = Start Angle
طراحی و تحلیل آزمایش ها به روش سطح پاسخ
26
27
لزوم استفاده از طراحی آزمایشها
یک فاکتور در یک زمان
طرح کامل فاکتورها
طرح مرکب مرکزی
N=125
N=15
N=20
28
تعاریف کلیدی
طوفان فکری
غربال گری فاکتورها
دقت طراحی (Resolution)
دقت طراحی III
دقت طراحی IV
دقت طراحی V
بلوک بندی
اجرا (Run)
سطوح
پاسخ
ترتیب تصادفی هر اجرا
29
سطوح هر فاکتور
30
-1
0
+1
نمایش سطوح به صورت کد بندی (مقدار بالا، مقدار وسط، مقدار پایین )
نمایش سطوح به صورت مقدار واقعی
Temperature
170
175
180
Temperature °C
شمای کلی جدول طراحی آزمایشها
CCD 2 factors
31
اصول روش سطح پاسخ
سیستم اصلی
مدل توسعه یافته به روش پاسخ سطح
32
اصول روش پاسخ سطح
33
معایب
خطای احتمالی مدل و تخمین به کار رفته
مزایا
کاهش تعداد آزمایش ها
ساده سازی یک مسئله پیچیده به یک مسئله ساده تر
مشخص کردن حساسیت پاسخ در برابر هر فاکتور
سادگی استفاده و یادگیری
دقت بالا نسبت به روش های دیگر
بررسی متغیرهای پیوسته
مزایا و معایب پاسخ سطح
34
خطای احتمالی مدل و تخمین به کار رفته
35
36
انتخاب فاکتورها و سطوح مورد بررسی
پژوهشهای پیشین
آزمایش های مقدماتی
یک فاکتور در یک زمان
غربال گری با روش پلاکت برمن
37
طراحی پاسخ سطح
طراحی مرکب مرکزی CCD
پرکاربرد ترین روش پاسخ سطح
تعداد 5 سطح را اعمال می کند
روش چرخش پذیر
طراحی باکس بنکن BBD
تعداد 3 سطح را اعمال می کند
تعداد آزمایش کمتر از CCD
چرخش پذیر یا تقریبا چرخش پذیر
38
طراحی مرکب مرکزی (CCD)
نقاط فاکتوریال
نقاط محوری
نقاط مرکزی
3 فاکتور
(1,-1,1)
(1, 1,-1)
39
نقاط طراحی مرکب مرکزی
نقاط مکعبی دارای کد بندی -1 و +1 هستند
کدبندی نقاط محوری:
(+a, 0) (-a, 0) (0, +a) (0, -a)
کدبندی نقاط مرکزی:
(0,0)
برای بیشتر از 5 فاکتور برای کاهش تعداد آزمایشها نوع طراحی Min-run Res V پیشنهاد می شود
در حالتی که حداکثر 5 فاکتور بررسی شود و محدوده مورد علاقه و محدوده کاری یکسان باشد از طراحی Face-centered “FCD”(α= 1.0) استفاده می شود
در حالتی که بیش از 5 فاکتور باشد طراحی با Practical alpha استفاده می شود
Handbook for Experimenters, http://www.statease.com/pubs/handbk_for_exp_sv.pdf p19
40
Center Point
طراحی باکس بنکن (BBD)
ویژگی های طراحی:
مدل درجه 2
طراحی 3 سطحی
تعداد آزمایش های کمتر از CCD
چرخش پذیر یا تقریبا چرخش پذیر
برای حالتی که محدوده مورد علاقه و محدوده کاری یکسان باشد
ممکن است نقاط واقع در زوایا را خوب پیش بینی نکند.
41
42
معادله کلی سطح پاسخ
اثرات اصلی
اثرانحنا یا غیر خطی بودن هر فاکتور
برهم کنش های دوتایی X1 با فاکتورهای دیگر
برهم کنش های دوتایی X2 با فاکتورهای دیگر
برهم کنش های دوتایی X3 با فاکتورهای دیگر
باقیمانده یا خطا
43
انواع مدل های مورد استفاده
خطی (Linear)
خطی با درنظر گرفتن برهمکنشهای دوتایی (2FI)
درجه دو (Quadratic)
44
آنالیز نتایج (ANOVA)
R2 کیفیت برازش داده های تجربی را با مدل مشخص می کند بهترین مقدار آن
Adj-R2 مقدار تعدیل یافته R2 است که درجه آزادی را هم لحاظ می کند. مثلا اگر یک خط با دو نقطه رسم کنید R2 آن یک میشود ولی قطعا معادله به دست آمده دقیق ترین معادله نیست. ولی هر چه تعداد نقاط بیشتر و R2 و Adj-R2 به یک نزدیکتر باشد جواب برازش قابل قبول تر است.
45
46
آنالیز نتایج (ANOVA)
Lack of Fit: variation of the data around the fitted model (large p-value is better)
Std. Dev.: square root of the average of the squared differences of the values from their average value
Mean: average of data
C.V. %= Std. Dev/Mean *100
47
آنالیز نتایج (ANOVA)
آنالیز نتایج (ANOVA)
PRESS: A measure of how the model fits each point in the design
Pred R-Squared: A measure of the amount of variation in new data explained by the model
Adeq Precision: This is a signal to noise ratio.
48
49
بهینه سازی با پاسخ سطح: کانتور
50
51
بهینه سازی با سطح پاسخ : 3بعدی
بهینه سازی با سطح پاسخ:حل عددی
52
53
بهینه سازی با سطح پاسخ:برهم نهادن جوابها
نمادی از اختلاف بین گروهی داده ها که هرچه بیشتر باشد احتمال معنی دار شدن پارامتر بیشتر است
Sum of squares/ df
Mean Squares/Residual mean square
1- تعداد کل آزمایش ها
Amount of variation in the response in replicated design points.
مراحل کار با نرم افزار
55
نرم افزار Minitab
56
نرم افزار Minitab
انتخاب نوع طراحی
هر یک از قسمت ها به ترتیب بررسی شود
57
نرم افزار Minitab
انتخاب تعداد آزمایش ها و بلوک بندی، مقدار آلفا، تعداد نقاط مرکزی و تکرارها
نرم افزار Minitab
58
مشخص کردن نام هر فاکتور و سطوح بالا و پایین آن (در صورت انتخاب نامناسب سطوح ممکن است نرم افزار در بعضی موارد، سطوح نامعقول و عددی منفی برای یک فاکتور مثبت ارائه دهد)
نرم افزار Minitab
59
حتما باید مقدار سطوح چک شود تا سطوح پیشنهادی امکان انجام داشته باشد. (در صورت انتخاب نامناسب سطوح ممکن است مثلا برای فاکتور وزن عددی منفی به دست آید.)
نرم افزار Minitab
60
نرم افزار Minitab
61
نرم افزار Minitab
62
می توان در اینجا یک نقطه را پیش بینی کرد
می توان در اینجا دو ستون a و b که دما و زمان به ترتیب در آنها آمده است را پیش بینی کرد
نرم افزار Minitab
63
دو ستون که زمان و دما به ترتیب در آنها آمده است
نتیجه پیش بینی نرم افزار از ستون a و b
نرم افزار Minitab
64
ANOVA
نمودار باقیمانده ها
65
نمودار باقیمانده ها
66
Histogram of the Residuals. An exploratory tool to show general characteristics of the residuals including typical values, spread, and shape. A long tail on one side may indicate a skewed distribution. If one or two bars are far from the others, those points may be outliers.
Normal Probability Plot of residuals. The points in this plot should generally form a straight line if the residuals are normally distributed. If the points on the plot depart from a straight line, the normality assumption may be invalid.
Residuals Versus Fitted Values. This plot should show a random pattern of residuals on both sides of 0. If a point lies far from the majority of points, it may be an outlier. There should not be any recognizable patterns in the residual plot. For instance, if the spread of residual values tend to increase as the fitted values increase, then this may violate the constant variance assumption.
نمودار یاقیمانده ها به ترتیب Run
کانتورها و سطحهای 3 بعدی
67
کانتورها و سطحهای 3 بعدی
68
69
بهینه سازی با سطح پاسخ:برهم نهادن جوابها
70
بهینه سازی با سطح پاسخ:برهم نهادن جوابها
71
بهینه سازی با سطح پاسخ:برهم نهادن جوابها
بهینه سازی با سطح پاسخ: حل عددی
72
بهینه سازی با سطح پاسخ: حل عددی
73
هدف بهینه سازی هر پاسخ در این قسمت تعریف شود. بهترین مقدار مطلوبیت (Desirability) محاسبه خواهد شد. شرایطی با بیشترین مطلوبیت به عنوان جواب ارائه می شود.