دستورهای مثلثاتی
واژه "مثلثات " از"مثلث " آمده است وترجمه ای است ازواژه ای فرانسوی هم ارزآن ،که به معنای "اندازه گیری مثلث " است. درزبان فارسی ،به جای "مثلثات"،ازواژه "سه بروارگانت" استفاده کرده اند.ازنام گذاری "مثلثات " می توان حدس زدکه ،این شاخه ازریاضیات ،دست کم درآغازپیدایش خود،به نحوی با"مثلث" ومساله های مربوط به مثلث بستگی داشته است.درواقع ،پیدایش وپیشرفت مثلثات را،بایدنتیجه ای ازتلاش های ریاضی دانان ،درجهت رفع دشواری های مربوط به محاسبه هایی دانست که ،درهندسه ودر اخترشناسی باآن روبه رو می شدهاندوبیشترجنبه محاسبه ای داشته اند.ریاضی دانان یونانی ، بیشتربه هندسه توجه داشتندوکمتربه محاسبه می پرداختند.دراخترشناسی ،برای تعیین جاوموقعیت ستارگان ،فاصله های آن هاازیکدیگروسایرویژگی های آن ها،به عددنیازداشتند،ولی درراه حل هندسی،پاسخ راازجمله به صورت یک پاره خط راست به ما می دهدو،درنتیجه ،کاراخترشناسان رادشوار می کرد.نمونه ای ازهندسه بیاوریم .فرض کنیم، از مثلث ABC ،زاویه هایB,A وطول ضلع AB داده شده باشد.چگومه می توانیم طول هریک ازضلع های Bc و AC راپیداکنیم؟درهندسه،راهی شاده برای رسم این مثلث وجودداردو،درنتیجه،ضلع های BC و AC به صورت پاره خط های راستی به دست می آیند.رسم مثلث و،سپس، اندازه گیری طول های دوضلع مجهول رانمی توان بادقت ریاضی به دست آورد،زیرارسم و اندازه گیری به یاری ابزارهایی مثل خط کش ونقاله وپرگارانجام گیرد. هم این ابزارها دقت ریاضی ندارندوچشم مااشتباه می کند.برای پیداکردن پاسخ دقیق ، محاسبه لازم است واین محاسبه ،درحالت کلی نیازبه مثلثات دارد.سعی کنیم ،این مساله راحل کنیم .ولی پیش ازآن باید دستورمثلثاتی مربوط به آن راپیداکنیم.دستورمثلثاتی راباهمان روشی پیدامی کنیم که ، ابوریحان بیرونی ،درهزارسال پیش پیداکرد.درمثلث ABC ،زاویه هارا A^، B^و C^وطول ضلع های روبه رو به آن ها را،به ترتیب a وb وc می نامیم .به مرکزراس B وبه شعاع برابر واحد،دایره ای رسم می کنیم تاامتدادضلع BC رادرD قطع کند(شکل راببینید).این دایره را، که سعاع آن واحداست،دایره مثلثاتی می گیریم که ،درآن نقطه D ،مبداکمان هاست .بنابراین ،سینوس کمان DMیاسینوس زاویه B،برابرطول پاره خط راست PM برامتداد BCعموداست):
شده اند.
دراخترشناسی اغلب به مساله هایی برمی خوریم که برای حل آن ها ،به مثلثات ودستورهای آن نیاز داریم. ساده ترین این مساله ها، پیداکردن یک کمان دایره(برحسب درجه)است ،وقتی که شعاع دایره
وطول وتراین کمان معلوم باشد.یابرعکس ،پیداکردن طول وتری که طول شعاع دایره واندازه کمان معلوم باشد.می دانیدسینوس یک کمان ،ازلحاظ قدرمطلق،برابربانصف طول وتردوبرابرآن کمان است.همین تعریف ساده، اساس رابطه بین کمان هاووترهارادردایره، تشکیل می دهدو،مثلثات هم ،ازهمین جاآغازشد.کهن ترین جدولی که به ما رسیده است و،درآن ،طول وترهای برخی کمان هاداده شده است ،متعلق به هیپارک،اخترشناس سده دوم میلادی است.وشاید بتوان ،تنظیم این جدول هارا،گام نخستین کوچکی،درراه پیدایش مثلثات دانست.منه لائوس ریاضی دانان وبطلمیوس اخترشناس هم(هردو ،درسده دوم میلادی)،دراین زمینه ،نوشته هایی ازخودباقی گذاشته اند.ولی همه کارهای ریاضی دانان واخترشناسان یونانی، دردرون هندسه انجام گرفت وهرگزبه مفهوم های اصلی مثلثات نرسیدند.نخستین گام اصلی به وسیله آریابهاتا، ریاضی دان هندی سده پنجم میلادی برداشته شدکه ،درواقع،تعریفی برای نیم وتریک وتریک کمان (یعنی،همان سینوس) داد….ازاین به بعد،به تقریب همه کارهای مربوط به شکل گیری مثلثات (چه درروی صفحه وچه درروی کره ) به وسیله دانشمندان ایرانی انجام گرفت. خوارزمی (محمد،فرزندموسا) نخستین جدول های سینوسی راتنظیم کردو،پس ازاو،همه ریاضی دانان ایرانی گام هایی درجهت تکمیل این جدول هاوگسترش مفهوم های مثلثاتی برداشتند.مروزی (محمد،فرزندعبدالله)، جدول سینوس هارا30دقیقه به 30 دقیقه (به تقریب)تنظیم کرد و،برای نخستین بار،به دلیل نیازهای اخترشناسی، مفهوم تانژانت را(که ظل می نامیدند) تعریف کرد.جدی ترین تلاش ها،به وسیله ابوریحان بیرونیوابوالوفای بوزجانی(بوزجان ،همان تربت جام امروزی است) انجام گرفت که توانستندپیچیده ترین دستورهای مثلثاتی راپیداکنندوجدول های سینوسی وتانژانتی رابادقت بیشتری تنظیم کنند(ابوالوفا،باروش جالبی، به یاری نابرابری ها،توانست مقدارسینوس کمان 30دقیقه راپیداکند)و،سرانجام ،خواجه نصیرتوسی،باجمع بندی کارهای دانشمندان ایرانی پیش ازخود،نخستین کتاب مستقل مثلثات رانوشت.بعدازتوسی،جمشید کاشانی،ریاضی دان ایرانی زمان تیموریان ،باروش زیبائی که برای حل معادله درجه سوم پیداکرده بود،توانست راهی برای محاسبه شینوس کمان یک درجه -باهردقت دلخواه -پیداکند.پیشرفت بعدی دانش مثلثات ،ازسده پانزدهم میلادی ودراروپای غربی انجام گرفت .
یادداشت.ریاضی دانان ایرانی ،برای سینوس،ازواژه"جیب" (واژه ای عربی به معنای "گریبان") وبرای کسینوس،ازواژه "جیب تمام" استفاده می کردند،وقتی نوشته های ریاضی دانان ایرانی،وبه ویژه خوارزمی،به زبان لاتینی وزبان های اروپایی ترجمه شد،معنای واژه "جیب"(گریبان) رادرزبان خودبه جای آن گذاشتند:سینوس،درزبان فرانسوی،همان معنای جیب رادرزبان عربی دارد.(نخستین ترجمه ازنوشته های ریاضی دانان ایرانی،که درآن ،صحبت ازنسبت های مثلثاتی شده است ،ترجمه ای بودکه درسده دوازدهم میلادی ،به وسیله "گرادوس،کره مونه سیس" ایتالیایی ،ازعربی به لاتینی انجام گرفت و،درآن ،واژه سینوس رابه کاربرد.امادرباره ریشه واژه "جیب"، دودیدگاه وجود دارد:
"جیا" درزبان سانسکریت(هندی) به معنای وتروگاهی "نیم وتر" است .نخستین کتابی که به وسیله فرازی ،یک ریاضی دان ایرانی، به دستور منصورخلیفه عباسی به زبان عربی ترجمه شد، کتابی ازنوشته های دانشمندان هندی درباره اخترشناسی بود. مترجم، برای حرمت گذاشتن به نویسندگان کتاب ،"جیا"راتغییرنمی دهدوتنها،برای این که درعربی بی معنا نباشد،آن رابه صورت "جیب" درمی آورد.دیدگاه دوم، که منطقی تربه نظرمی آید ،این است که، درترجمه ،واژه فارسی "جیپ" {بروزن سیب} استفاده شدکه به معنی"تکه چوب عمود" یا"دیرک" است. نسخه نویسان بعدی که فارسی رافراموش کرده بودندومعنای "جیپ" رانمی دانستند،آن را"جیب"خواندندکه درعربی معنایی داشته باشد.
مثلثات
مثلثات ،شاخه ای ازریاضیات است که پایه گذاری وپیشرفت آن را،بیش ازهرجای دیگر،مدیون ریاضی دانان شرق وبه ویژه ایرانی هستیم.بررسی های اخترشناسی ،ریاضی دانان بابل ویونان باستان رابه سوی موضوع هایی اقلیدس ازنخستین دانشمندانی است که دراین زمینه تلاش هایی کرده است.آریستارک واراتوستن،به خاطرمحاسبه های مربوط به اخترشناسی وزمین سنجی( ) ازمفهوم های اولیه مثلثات استفاده می کردند.تلاش ارشمیدس ضمن بررسی دایره ، به محاسبه وترهاوپیداکردن زاویه هایی برای وترهای مجموع وتفاضل دوکمان رسید.شایدبتوان هیپارک رابه مفهومی بنیان گذارمثلثات دانست. اودرمحاسبه های خود،تقسیم بندی شصت شصتی بابلی ها رادر دایره (درجه ،دقیقه،ثانیه وغیره)پذیرفت وجدولی تنظیم کردکه درآن،برخی ازوترها محاسبه شده بود.واین،کهن ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته سده است .منه لائوس هم بررسی هایی داردکه می توان به نحوی به مثلثات روی صحفه وروی کره تعبیر کرد.بطلمیوس درنوشته اساسی خودکه ریاضی دانان ایرانی به آن "المجسطی " می گفتند،مثلثات زمان خودراآورده است.ولی یونانی ها،مثلثات رابه عنوان بخشی ازهندسه می دانستندوبیشتر استدلال های خودرا بااستفاده ازقضیه های هندسی انجام می دادند.آن هاهمیشه ازوتر کمان هااستفاده می کردندودرنوشته های آن ها نمی توان چیزی به معنای "خط های مثلثاتی" کمان ها پیداکرد.نخستین گام رادراین راه دانشمندان هندی برداشتند .آریابهاتا ،مفهوم "سینوس" را"جیا" نامید.ازاین جا به بعد،همه پیشرفت های مثلثات رامدیون ریاضی دانان دوره حکومت اسلامی وبه ویژه ایرانی هستیم. خوارزمی جدول سینوس ها راتنظیم کرد. بتانی مفهوم کتانژانت را(که ظل تمام می نامید)وارد کرد.ابوالوفای بوزجانی وابوریحان بیرونی ،ازتانژانت (ظل) هم استفاده کردند،دستورمحاسبه سینوس مجموع وتفاضل دوکمان رابه دست آوردندوبرخی ازحالت های کروی راحل کردند.سرانجام نصیرالدین توسی ،باجمع بندی کارهای ریاضی دانان ایرانی پیش ازخود،باتالیف کتاب"کشف القناع فی اسرارشکل القطاع"،درواقع نخستین کتاب رادرباره مثلثات نوشت. نقش توسی رادرمثلثات ،باید شبیه نقش اقلیدس درهندسه دانست،ترجمه ای که ازکتاب توسی به زبان فرانسوی انجام گرفت ،مدت ها به صورت کتاب ترجمه ای که ازکتاب توسی به زبان فرانسوی انجام گرفت،مدت هابه صورت کتاب درسی،دراروپای غربی تدریس می شد.ازجمشیدکاشانی هم بایدنام ببریم که توانست باحل جبری یک معادله درجه سوم ،مقدارسینوس یک درجه را(که درمحاسبه های اخترشناسی لازم بود)به دست آورد. با انتشار نوشته های ریاضی دانشمندان ایرانی در غرب ،به تدریج کارهای ریاضی دانان اروپای غربی وجنوبی ظاهرشد.فویرباخ (سده پانزدهم میلادی) جدول تازه ای برای سینوس ها نوشت .رژیومونتان (دانشمندآلمانی وشاگرد فویر باخ)، عددنویسی دهدهی را(که جمشید کاشانی درکتاب "مفتاح الحساب " خودبرای نخستین بارشرح داده بود) درجدول های مثلثاتی وارد کرد.قدیمی ترین کتاب کامل مثلثات دراروپای غربی ازاوست .کپرتیک (اخترشناس سده های پانزدهم وشانزدهم ) روی دستورهای اصلی مثلثاتکروی کارکرد .رتیکوس شاگرد کوپرنیک ،جدولی شامل نسبت های مثلثاتی کمان ها،ده ثانیه ، ازصفر درجه تا90 درجه تنظیم کرد. ویت (دانشمند فرانسوی سده شانزدهم ) درباره بستگی سینوس وکسینوس ومثلثات کروی نوشته هایی دارد.ویت ثابت کرد، مساله مربوط به تقسیم زاویه به سه بخش برابر،در حالت کلی ،منجربه حل یک معادله درجه سوم می شود. دزارک (دانشمندفرانسوی : 1593-1661) بررسی های ویت رادنبال ومثلث قطبی را(که توسی هم درباره آن بحث کرده بود) وارد مثلثات کرد.نپر (دانشمنداسکاتندی:1550-1637)کسی که کشف لگاریتم رابه اونسبت می دهند، نسبت هایی ازمثلثات کروی رابه دست آوردکه بانام خوداومعروف است(پنج ئضلعی نپر) .بریگس نخستین جدول لگاریتم نسبت های مثلثاتی راتنظیم کرد. اولر(سده هجدهم ) بررسی های جدی وعمیقی درباره تابع های مثلثاتی دارد. کارهای اولررابایدمبنای واقعی روش های کنونی مثلثات دانست.مثلثات زاییده نیاز مربوط به محاسبه های عملی است، به ویژه نیاز به وسیله ای برای محاسبه عنصرهای شکل های مختلف هندسی ،وقتی که عنصرهایی ازآن هامعلوم باشد.حتا دریونان باستان ضمن حل یک رشته مساله های محاسبه هی مربوط به اخنرشناسی ،موفقیت هایی درمثلثات به دست آوردند .ولی شکل گیری مثلثات رابه عنوان یک شاخه مستقل،مدیون ریاضی دانان خاورمیانه ونزدیک هستیم .گرچه مثلثات شاخه مستقلی ازریاضیات شدوروش های خاص خودرا پیداکرد، به ظاهربه هدف شناسایی ومحاسبه عنصرهای شکل های ساده هندسی (روی صفحه ودرفضا) خدمت می کردوگمان می رفت ،بررسی تابع های مثلثاتی ،جزازراه ساختمان های هندسی ممکن نیست ،ولی وقتی بین تابع های مثلثاتی (ودرآغازبابررسی هندسی)رابطه های جبری برقرارشد، این امکان به دست آمدکه تابع های مثلثاتی راباروش های جبری مطالعه کنند،تبدیل های مختلف آن هارابه دست آوردندورابطه های مختلفی بین عنصرهای هندسی کشف شود. پیشرفت های بعدی نشان داد،تابع های مثلثاتی ،تنها ابزاری برای عمل محاسبه ای مساله های هندسی نیستندودرفیزیک ومکانیک هم ، وقتی ازفرآیندهای تناوبی صحبت می شود،اهمیت جدی دارند.به این ترتیب ،نظریه تابع های مثلثاتی ، دارای معنایی مستقل شدولازم بود، اساس تحلیلی این نظریه بدون اتکای به هندسه پایه ریزی شود. لئوناراولر ، نخستین گام رادرزمینه نظریه تحلیلی تابع های مثلثاتی برداشت ونیکلای لباچوسکی برای تعریف تابع های مثلثاتی بدون استفاده ازهندسه اقلیدوسی، نظریه تحلیلی این تابع هارابنیان گذاشت که برپایه رشته های توانی تنظیم شده بود.درزمان ما، مثلثات رابه عنوان دانشی مستقل نمی شناسند،زیرا طبیعی است که مساله های مربوط به محاسبه عنصرهای شکل گیری هندسی به هندسه مربوط است ومثلثات نقشی کمکی رادرباره آن ها به عهده دارد.ازسوی دیگر،نظریه تحلیلی تابع های مثلثاتی ،به فصلی ازآنالیز ریاضی مربوط می شودکه به مطالعه نظریه تحلیلی تابع های مثلثاتی ، به فصلی ازآنالیز ریاضی مربوط می شودکه به مطالعه نظریه عمومی تابع های مقدماتی اختصاص دارد. ولی بااین که درزمان ما، کسی مثلثات رابه عنوان دانشی مستقل نمی پذیرد ،دربرنامه های درسی همچون ماده مستقلی باقی مانده است وبه حق ، دردوره ریاضیات دبیرستانی ، جای مهمی راگرفته است. دربرنامه های مثلثات دبیرستانی، دوجهت اصلی دیده می شود: تابعی ومحاسبه ای .اهمیت زیادی دارد،زیرا این تابع ها، درآنالیز ریاضی ،فیزیک، مکانیک وصنعت نقش اساسی دارند.درجهت دوم ،راه های محاسبه عنصرهای شکل های هندسی ،بررسی می شودکه اهمیت آن درکاربرد عملی آن درهندسه ،فیزیک، صنعت ،اخترشناسی ، مساحی وغیره است.
10