روش عناصر محدود
(برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ)
Finite Element Procedures
فرمول بندی روش عناصر محدود در تحلیل خطی
الف- تیر Euler-Bernouli:
ب- تیر Timoshenko
اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛
مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، بعد از تغییرشکل نیز مسطح باقی می مانند؛
مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، در حالت کلی بعد از تغییرشکل عمود باقی نمی مانند؛
زاویه دوران مساوی است با:
در این بخش صرفا فرمول بندی عنصر تیری بر مبنای نظریه تیر Euler-Bernoulli (بدون اثر برش) ارائه می شود.
– مولفه کرنش (انحنا):
– مولفه تنش (لنگر):
– ماتریس مصالح C:
– تابع تغییرمکان: ( عنصر یک بعدی می باشد)
– نحوه انتگرال گیری:
مراحل تشکیل ماتریس سختی عنصر تیری دوگرهی
– مولفه های تغییرمکان: v (x ,y) , u (x ,y)
– مولفه های کرنش:
– مولفه های تنش:
– ماتریس مصالح C:
– توابع تغییرمکان ( عنصر دوبعدی می باشد):
– نحوه انتگرال گیری برای بدست آوردن ماتریس سختی:
– مولفه های تغییرمکان: v (x ,y) , u (x ,y)
– مولفه های کرنش:
– مولفه های تنش:
– ماتریس مصالح C:
– توابع تغییرمکان ( عنصر دوبعدی می باشد):
– نحوه انتگرال گیری برای بدست آوردن ماتریس سختی:
پ- 5) عناصر خمش صفحه ای:
از این عناصر در تحلیل صفحات نازک نظیر دال های سازه پل ها و واحدهای کف سازی تحت اثر بارهای جانبی قائم ( و/ یا لنگر های خمشی ) استفاده می شود (مقایسه با سازه های شبکه ای). ویژگی های این نوع سازه ها عبارتند از:
نکته اساسی در این است که در سازه خمش صفحه ای که در یک بعد نازک می باشد، تنش در سرتاسر ضخامت صفحه (در جهت عمود بر میان سطح) صفر است (σzz=0).
بررسی دو نظریه در مورد صفحات:
– نحوه استخراج معادلات حاکم بر خمش صفحه
اکنون می توان فرمول بندی عناصر محدود عنصر خمش صفحه ای را با استفاده از مفهوم مختصات تعمیم یافته به دست آورد:
عنصر خمش صفحه ای را به شکل مستطیل در نظر می گیریم (با 12 درجه آزادی):
دوران ها طبق قانون دست راستی عقربه های ساعت تعریف می شوند.
مولفه های تغییرمکان تعمیم یافته
توابع تغییرمکان (عنصر دوبعدی):
برای حالت خاص عنصر خمش صفحه مستطیلی با 4 گره داریم:
توجه شود که برای فرمول بندی عنصر خمش صفحه از نظریه صفحه Kirchhoff استفاده کرده ایم.
– مولفه های کرنش:
– مولفه های تنش:
– ماتریس مصالح C:
– نحوه انتگرال گیری برای یافتن ماتریس سختی عناصر:
مثال : مطلوبست استخراج ماتریس دوران T برای یک عنصر خمش صفحه با درجات آزادی محلی و کلی نشان داده شده در شکل زیر:
در ابتدا پیوستگی تغییرمکان در المان محدود مستطیلی برای مسائل الاستیسیته صفحه ای (حالت تنش مسطح یا کرنش مسطح ) را در نظر می گیریم:
بررسی پیوستگی تغییرمکان ها و دورا ن ها در المان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه
بنابراین چهار معادله چهار مجهولی داریم، پس به اندازه کافی معادله برای حل ضرایب مربوط به این مقادیر موجود است و لذا واضحا تغییر مکان های u , v در امتداد لبه 1-3 کاملا به وسیله حرکات انتهایی لبه ( گره های 1 و 3) به طور منحصر بفرد تعیین می شوند، به عبارت دیگر پیوستگی u , v در امتداد لبه هایی که y ثابت است، کسب می شود. به همین ترتیب می توان ثابت کرد که پیوستگی u , v در امتداد لبه هایی که x ثابت است ارضا می گردد، به عبارت دیگر در دو المان مجاور در تمام نقاط مزبور مشترک، تغییر مکان های u , v برابر هستند. بنابراین توابع انتخابی، توابع ایده الی می باشند.
اکنون وضعیت پیوستگی خیز و دوران ها در المان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه ای را مورد بررسی قرار می دهیم:
پ-6) عناصر با محور تقارن ( Axisymmetric Element )
از این عناصر در تحلیل محیط های پیوسته با محور تقارن استفاده می شود.
نمونه ای از سازه های با تقارن محوری، مخازن تحت فشار، دیسک های دوار، سیلوها، برج های خنک کننده، گنبدها و شمع ها می باشند که هم از نظر شکل و هم از نظر نیروهای اعمال شده، دارای تقارن دورانی می باشند.
– سازه های با محور تقارن (از نظر هندسی و بارگذاری) را می توان به دو بخش تقسیم کرد:
الف- پوسته های مدور جدارنازک که در آنها ضخامت سازه نسبت به قطرش کوچک است،
ب- پوسته های مدور جدارکلفت که ضخامت آنها در مقایسه با قطرشان قابل ملاحظه است.
اگر سازه ای با تقارن محوری هندسی به طور غیر متقارن بارگذاری شود، در این صورت یا باید از تجزیه فوریه بارها برای جمع آثار جواب های هارمونیک استفاده کرد و یا اینکه به صورت زیر عمل کرد:
الف- در تحلیل پوسته های مدور جدارنازک، از عناصر پوسته ای عمومی استفاده نمود،
ب – در تحلیل پوسته های مدور جدارکلفت، از عناصر سه بعدی عمومی استفاده نمود.
پ-6-1) پوسته های مدور جدارنازک
تفاوت با عنصر خمش صفحه ای: عناصر مدور جدارنازک تحت اثر نیروهای درون صفحه ای قرار دارند و تحت اثر برش و لنگر پیچشی قرار ندارند.
تفاوت با عنصر تنش مسطح: عناصر مدور جدارنازک تحت اثر لنگر خمشی قرار دارند.
تفاوت با عنصر پوسته ای عمومی: عناصر مدور جدارنازک تحت اثر برش و لنگر پیچشی قرار ندارند.
– عنصر پیشنهادی دارای دو گره حلقوی است.
– هر گره شامل حرکت های محوری، شعاعی و یک دوران می باشد.
– مولفه های بردار تغییرمکان گرهی:
– مولفه های بردار نیروی گرهی:
یا
:نحوه گسسته سازی
:توابع تغییرمکان
:- مولفه های کرنش
– مولفه های تنش:
– ماتریس مصالح C:
– نحوه انتگرال گیری:
پ-6-2) پوسته های مدور جدارکلفت
اجسام با محور تقارن و بدنه های دیوار ضخیم و دوار (مانند پیستونها و راکت ها) با استفاده از عناصر
محدود خاصی تحلیل می شوند.
هر عنصر حاوی یک حلقه توپری است که سطح مقطع آن به شکل خاصی نظیر مستطیلی، چهار ضلعی
و مثلثی ایجاد می گردد.
– با توجه به سادگی و قابلیت کاربرد، عناصر مثلثی دوار بیشتر مورد توجه قرار گرفته اند.
:نحوه گسسته سازی
بسط ماتریس های سختی این عناصر شبیه به بسط ماتریس های مربوط به عنصر مثلثی الاستیسیته صفحه ای
می باشد. اختلاف اصلی در مولفه های تنش است. به عبارت دیگر یک مولفه اضافی به نام تنش محیطی
اضافه می گردد.
– مولفه های تغییر شکل:
– توابع تغییرمکان:
– مولفه های تنش:
– مولفه های کرنش:
– نحوه انتگرال گیری:
پ-7) عنصر پوسته ای
پوسته ها سازه هایی هستند که دارای انحناء (در یک بعد مانند استوانه، در دو بعد مانند گنبد و …) می باشند و ضخامت آنها در مقایسه با دو بعد دیگر به طور قابل ملاحظه ای کوچک است. در ضمن تحت بارگذاری دلخواهی قرار دارند.
وجه تمایز پوسته ها با صفحات خمشی آن است که صفحات تنها تحت اثر نیروهای خمشی و برشی قرار دارند، در حالی که پوسته ها علاوه بر نیروهای خمشی و برشی، تحت اثر نیروهای غشایی(محوری) (Membrane) نیز قرار دارند.
در یک سازه صفحه ای که با عنصر خمش صفحه مدل شده است، در هر گره سه درجه آزادی داریم: w , θx , θy
ولی در یک سازه پوسته ای که با عناصر پوسته ای مدل شده است در هر گره شش درجه آزادی داریم: (θx , θy , θz , u , v , w)
وضعیت تنش در پوسته ها مشابه وضعیت تنش در صفحات خمشی می باشد.
– در هر نقطه از پوسته جمعا ده کمیت زیر مشخص کننده برآیند نیروهای داخلی در پوسته می باشند:
نیروهای غشایی یا میدان غشایی:
نیروهای برشی، لنگرهای خمشی و پیچشی یا میدان خمشی:
وضعیت نیروهای داخلی در پوسته ها:
روابط نیرو – تنش در پوسته های عمومی نازک:
– طبقه بندی پوسته ها
از نظر گسترش پذیری:
الف- پوسته های گسترش پذیر
– پوسته هایی هستند که سطح هندسی آنها را بدون اینکه در آن بریدگی بوجود آورده و یا اینکه بوسیله ای در پوسته تنش و تغییرشکل ایجاد کنیم، بتوان به شکل صفحه ای مستوی در آورد. پوسته های استوانه ای که دارای انحناء یکجانبه می باشند از نوع پوسته های گسترش پذیر به شمار می روند.
ب- پوسته های گسترش ناپذیر
– پوسته هایی هستند که سطح هندسی آنها را صرفا می توان از طریق بریدگی و یا ایجاد تنش و تغییرشکل به شکل صفحه ای مستوی در آورد. پوسته های کروی که دارای انحناء دو جانبه می باشند از نوع پوسته های گسترش ناپذیر به شمار می روند.
از نظر شکل هندسی:
الف- سطوح انتقالی
سطح حاصله از لغزاندن یک منحنی صفحه ای را روی منحنی صفحه ای دیگر، یک سطح انتقالی می گویند.
ب) سطح دورانی
سطح حاصله از دوران یک منحنی صفحه ای حول یک محور دوران را سطح دورانی می گویند.
پ) سطح لغزشی
چنانکه انتهای خطی مستقیم بر روی دو منحنی صفحه ای قرار داشته و این خط روی آن دو منحنی بلغزد، سطحی حاصل می شود که آن سطح را سطح لغزشی می نامند.
از ترکیب انواع سطوح سه گانه انتقالی، دورانی و لغزشی می توان سطوح مرکب بیشماری را بدست آورد.
ت) سطح مرکب
از نظر شعاع های انحناء:
الف- چنان که حاصل ضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته – که انحنای گوسی نامیده می شود- مثبت باشد، پوسته سین کلاستیک نامیده می شود.
ب- چنان که حاصل ضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته منفی باشد، پوسته آنتی کلاستیک نامیده می شود.
پ- چنان که یکی از دو شعاع انحناء مساوی صفر باشد، پوسته با انحناء گوسی صفر نامیده می شود.
در حالت کلی دو نوع عنصر پوسته ای وجود دارد :
1- عنصر پوسته ای عمومی که برای مدل نمودن پوسته های با انحناء زیاد به کار می رود (عناصر پوسته ای عمومی ایزوپارامتریک که علاوه بر کارایی و کارامدی فوق العاده، توانایی در برگرفتن اثر تغییر شکل های برشی را نیز دارند).
(فرمول بندی این نوع عنصر پوسته ای در سرفصل های دوره دکترای سازه ارائه خواهد شد).
2- عنصر پوسته ای تخت مستطیلی که برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی که علاوه بر نیروهای خمشی و برشی، تحت اثر نیروهای درون صفحه ای یا غشایی قرار دارند، به کار می رود (نظیر شبکه های دو لایه با صفحه تقویتی در لایه فشاری و نیز سازه های پلیسه ای ).
عنصر تخت مستطیلی پوسته ای برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی به کار می روند که علاوه بر نیروهای خمشی و برشی تحت اثر نیروهای درون صفحه ای یا غشایی قرار دارند.
ماتریس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار خمشی عنصر
ماتریس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار غشایی عنصر
پ-7-1) عنصر محدود پوسته های تخت مستطیلی
یک عنصر تخت مستطیلی پوسته ای ساده را می توان از جمع آثار رفتار خمش صفحه ای و رفتار تنش مسطح عنصر مورد استفاده به دست آورد.
ماتریس سختی عنصر پوسته ای عبارت است از:
این عنصر پوسته ای را می توان مستقیما در تحلیل انواع مختلفی از سازه های پوسته ای به کار برد. از آنجا که در این تحلیل ها، در هر گره شش درجه آزادی داریم، ماتریس های سختی عنصری را که متناظر با درجات آزادی کلی می باشند می توان با استفاده از تبدیل زیر محاسبه نمود:
ماتریس تبدیل بین درجات آزادی محلی و کلی عنصر می باشد
نحوه اصلاح رابطه تا ضرایب سختی مربوط به دوران های محلی حول محور z در گره ها را
شامل شود. این ضرایب مساوی صفر قرار داده شده اند به این دلیل که این درجات آزادی
در فرمول بندی عنصر در نظر گرفته نشده اند
جواب یک مدل را میتوان با استفاده از رابطه فوق به دست آورد، به شرط اینکه عناصر احاطه کننده یک گره هم صفحه نباشند. در غیر اینصورت ماتریس سختی کلی می تواند به علت وجود عناصر قطری صفر و مشکلات ناشی از حل معادلات تعادل کلی تکین باشد. برای اجتناب از این مساله داریم:
پ-8) عنصر سه بعدی عمومی
– برای تحلیل اجسام جامد سه بعدی (Three-dimensional solid body) که تحت اثر بارگذاری دلخواهی قرار دارند، به کار می روند.
– مولفه های تغییرشکل:u , v , w
– توابع تغییرشکل ( عنصر سه بعدی می باشد):
– مولفه های کرنش( حالت عمومی کرنش):
– مولفه های تنش( حالت عمومی تنش):
– ماتریس مصالح C:
– نحوه انتگرال گیری:
7- همگرایی (Convergence)
الف) منظور از همگرایی
مروری دیگر بر فرایند تحلیل عناصر محدود :
منظور اصلی از همگرایی جواب های تقریبی تحلیل عناصر محدود (Approximate finite element solution)،
همگرایی به جواب کامل ( Closed-form solution- Analytical solution – Exact solution) مدل ریاضی می باشد.
جواب تقریبی عناصر محدود
جواب کامل مدل ریاضی
اگر معادلات دیفرانسیل حرکت، مانند حالت تحلیل یک پوسته پیچیده، نامشخص باشند و یا پیدا کردن جواب های تحلیلی امکان پذیر نباشد، در این صورت همگرایی جواب های تحلیل عناصر محدود را می توان تنها بر مبنای این واقعیت ارزیابی نمود که تمامی شرایط اساسی سینماتیک، ایستایی و شرایط مشخصه که در مدل ریاضی نهفته هستند، باید در نهایت در همگرایی تامین شوند.
ب- خطاهای تحلیل عناصر محدود
– اگر جواب های تقریبی تحلیل عناصر محدود را با پاسخ کامل مدل ریاضی در نظر بگیریم، در این صورت شناخت منابع خطا که در نتایج حل عناصر محدود اثر می گذارند، ضروری است. در جدول زیر خطاها و منبع وقوع خطاها نشان داده می شوند.
در حالت کلی خطاها را می توان به دو گونه طبقه بندی کرد:
الف) خطاهای ناشی از عملیات ریاضی،
ب) خطاهای ناشی از گسسته سازی.
آنچه که در اصل مد نظر است، ” کاهش خطاهای ناشی از گسسته سازی است“. به عبارت دیگر ما ” مدلی را در نظر می گیریم که در آن سایر خطاهای ناشی از انجام عملیات ریاضی رخ نمی دهند؛ یعنی یک مساله ایستایی خطی با هندسه ای که به طور کامل با محاسبه کامل ماتریس های عناصر محدود و حل کامل معادلات نمایش داده می شود و نیز از خطاهای گرد کردن نیز صرفنظر می شود“.
پ- تعریف همگرایی:
– برای مساله مدل مذکور معادله اصلی کار مجازی حاکم بر جواب کامل مدل ریاضی را به صورت زیر می نویسیم:
بحثی در مورد تعریف همگرایی با استفاده از :
معیار تغییر مکان،
معیار نیرو،
معیار انرژی.
به عبارت دیگر داریم:
بنابراین فرم های دو خطی و خطی مذکور، به طور ضمنی دلالت بر یک پروسه انتگرال گیری دارند.
از نقطه نظر فیزیکی، گزاره مذکور، بدین معنی است که به میزانی که شبکه عناصر محدود ریزتر می شود، انرژی کرنشی محاسبه شده از طریق حل عناصر محدود به انرژی کرنشی کامل مدل ریاضی همگرا می شود.
از رابطه a(u , v)=(f , v) ، انرژی کرنشی مربوط به جواب کامل u به صورت زیر به دست می آید:
– در تحلیل عناصر محدود تغییرمکان ها در کل کمتر از حد واقعی تخمین زده می شوند و بنابراین سختی مدل ریاضی نیز در کل بیش از حد واقعی ارزیابی می گردد. این تخمین بیش از حد واقعی سختی (به طور فیزیکی) ناشی از قیدهای تغییرمکانی داخلی می باشد که آنها نیز به علت فرض های تغییرمکان، به طور ضمنی بر جواب تحلیل اعمال می گردند. به میزانی که گسسته سازی عناصر محدود ریزتر می گردد، قیدهای تغییرمکانی داخلی کاهش پیدا می کنند و همگرایی به جواب کامل و سختی مدل ریاضی حاصل می شود.
فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان، منجر به یک کران پایین تر (Lower bound) در روی انرژی کرنشی کامل سیستم مورد نظر می شود، یعنی، فرمول بندی تغییر مکان، سختی سیستم را Overestimate و تغییر مکان سیستم را Underestimate می کند.
α میزان رواداری مورد نظر (بر مبنای انرژی) برای همگرایی است.
(مفهوم همگرایی یکنوا)
مثالی از همگرایی یکنوا
آنایز حساسیت شبکه عناصر محدود
مثالی از همگرایی یکنوا
خمش صفحه:
گسسته سازی 4 عنصری
گسسته سازی 16 عنصری
گسسته سازی 64 عنصری
گسسته سازی 256 عنصری
آنایز حساسیت شبکه عناصر محدود
برای همگرایی یکنوا دو شرط لازم است: – کامل بودن عنصر (Complete)
– سازگار بودن عناصر و شبکه (Compatible)
ت) معیارهای همگرایی یکنوا (Monotonic convergence)
اگر دو شرط فوق تامین شوند، در این صورت به میزانی که تظریف شبکه عناصر محدود ادامه پیدا می کند،
دقت نتایج حل به طور پیوسته افزایش خواهند یافت.
تظریف شبکه باید از طریق تقسیم نمودن عناصر مورد استفاده پیشین به دو عنصر یا بیشتر انجام گیرد، در این
صورت شبکه قدیمی در شبکه جدید لحاظ می شود. از نکته نظر ریاضی، این بدان معنی است که فضای جدید توابع درون یابی عناصر محدود شامل فضای استفاده شده پیشین خواهد بود و به میزانی که شبکه تظریف می شود، بعد فضای جواب های عناصر محدود به طور پیوسته افزایش پیدا می کند تا در نهایت شامل جواب کامل شود.
سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود:
1- روش تحلیل h:
– مطابق با این روش، در دنباله ای از شبکه ها، از یک نوع عنصر استفاده می شود و اندازه عناصر به طور یکنواخت کاهش پیدا می کند ( کاهش h).
سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود:
2- روش تحلیل p
– مطابق با این روش، یک شبکه اولیه با عناصر نسبتا بزرگ و با مرتبه پایین تر انتخاب شده و سپس درجه بسط های چند جمله ای تغییرمکان در عناصر، به طور پیاپی افزایش داده می شود ( افزایش p درجه بسط چند جمله ای) ( معادل اضافه نمودن گره ها در یک عنصر).
سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود:
3- روش تحلیل h/p:
– مطابق با این روش ، همزمان تعداد عناصر محدود و نیز مرتبه توابع تغییرمکان در عناصر افزایش داده می شوند.
شرط کامل بودن یک عنصر بدین معنی است که توابع تغییرمکان عنصر باید قادر باشند که تغییرمکان های صلب جسمی را به نمایش گذارند.
تعداد مدهای صلب جسمی یک عنصر مساوی تعداد درجات آزادی عنصر منهای تعداد مدهای کرنشی می باشد.
تعداد درجات آزادی= تعداد مدهای صلب جسمی + تعداد مودهای کرنشی
برای عناصر محدود پیچیده تر، تعداد مدهای کرنشی و مدهای صلب جسمی را می توان به طور موثری با نمایش ماتریس سختی عنصر بر مبنای ویژه بردارها نشان داد یعنی:
شرط سازگاری (Compatibility requirement) بدین معنی است که تغییرمکان ها در عناصر و در سرتاسر مرزهای عناصر باید پیوسته باشند. بنابراین از نکته نظر فیزیکی، هنگامی که سازه بارگذاری می شود، شرط سازگاری تضمین می کند که هیچ گونه فاصله و درزی بین عناصر ایجاد نشود.
هنگامی که تنها درجات آزادی انتقالی در گره های عناصر تعریف می شوند، در این صورت پیوستگی در تغییرمکان های u, v, w – هر کدام که قابل کاربرد باشند – باید حفظ شود.
هنگامی که درجات آزادی دورانی در گره های عناصر تعریف می شوند که از مشتق گیری تغییرمکان های جانبی بدست می آیند، در این صورت ضروری است که پیوستگی در مشتقات اول تغییرمکان های مربوطه نیز تامین شوند ( مثلا در صفحات پیوستگی əw/ əx و əw/ əy در امتداد لبه های عنصر باید تامین شوند).
– سازگاری بین عناصر خرپایی و تیری به طور خودکار تامین می شود، زیرا آنها تنها در نقاط گرهی به یکدیگر اتصال می یابند و لبه های مجاور در این عناصر وجود ندارد.
حفظ سازگاری در حالت کرنش مسطح دوبعدی، تنش مسطح و تحلیل متقارن محوری و نیز هنگامی که در تحلیل سه بعدی فقط درجات آزادی u,w,v به عنوان متغیرهای نقاط گرهی مورد استفاده قرار می گیرند، امکان پذیر است.
– احراز شرایط سازگاری در تحلیل پوسته ها و صفحات که در آنها دوران ها از مشتقات تغییرمکان جانبی بدست می آیند، دشوار می باشد. بدین علت، تاکید زیادی به سمت بسط و ایجاد عناصر صفحه ای و پوسته ای سوق داده شده است که در آنها تغییرمکان ها و دوران ها به عنوان متغیر مستقل با توابع درون یابی خاص مربوط به خود در نظر گرفته می شوند.