سمینار درس المان محدود
عنوان
معرفی و کاربردهای روش المان محدود توسعه یافته(XFEM)
استاد
پژوهشگر
تاریخ
فهرست مطالب
عنوان صفحه
1- مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………………………3
2- تاریخچه………………………………………………………………………………………………………………………………………..4
3- ناپیوستگی……………………………………………………………………………………………………………………………………5
4- روشهای مدلسازی شکست……………………………………………………………………………………………………….7
5- مودهای شکست………………………………………………………………………………………………………………………..11
6- ضریب شدت تنش…………………………………………………………………………………………………………………….11
7- روش المان محدود بسط یافته…………………………………………………………………………………………………13
7-1-معادله کلی برای توسعه المان محدود…………………………………………………………………………..16
7-2-روش سطوح تراز………………………………………………………………………………………………16
7-3-روش غنی سازی میدان جابجایی……………………………………………………………………….20
7-3-1-ﺑﺮﺧﻲ از ﻣﺸﻜﻼت ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی…………………………………………………………………………23
8-راه حل المان محدود……………………………………………………………………………………………..27
9–مثال عددی…………………………………………………………………………………………………………27
10-جمع بندی……………………………………………………………………………………………………………………………………30
11-منابع……………………………………………………………………………………………………………………………………………..30
1-مقدمه
در روش المانهای محدود ابتدا دامنه مورد نظر به چند زیر دامنه تقسیم شده و معادله حاکم بر کل سیستم بر اساس معادله حاکم بر هریک از زیر دامنه ها به دست می آید. هر زیر دامنه که المان نامیده می شود، توسط چند گره مشخص می گردد. به هر یک از این گره ها یک تابع پیوسته نسبت داده می شود، به نحوی که از برهم نهی این توابع ، میدانی پیوسته در سطح هریک از المانها مدل می شود. از آنجایی که توابع نسبت داده شده به هریک از این گره ها در سراسر المان مورد نظر پیوسته می باشند، در نتیجه میدانی که از برهم نهی این توابع در سطح المان مدل می شود، میدانی پیوسته خواهد بود. به همین دلیل اگر دامنه مورد نظر دارای ناپیوستگی باشد، تقسیم بندی دامنه به المانها و یا اصطلاحا المان بندی باید با توجه به ناپیوستگی موجود در دامنه و به گونه ای انجام گیرد که مرز ناپیوستگی از داخل هیچ یک از المانها عبور نکند. در روی خود مرز هم المان بندی در دو طرف مرز باید تناظر یک به یک داشته باشد. در غیر این صورت متغیرها باید مرتبا از المانهای هر طرف به المانهای طرف دیگر منتقل شوند. در بسیاری از موارد المان بندی انتخاب شده باید مرتبا بازسازی شوند. این بازسازی المانها علاوه بر هزینه های اضافی تحمیل شده به دلیل افزایش زمان و حجم محاسبات ، می تواند به بهم ریختگی المانها بیانجامد و یا در مورد هندسه های پیچیده المان بندی را عملا غیر ممکن می کند. در روش المانهای بسط یافته با انتخاب توابع ناپیوسته برای گره های هریک از المانها به جای توابع پیوسته عادی در روش المانهای محدود، میدان ناپیوسته درون خود المان مدل می شوند. در صورتی که المانها قادر به مدل کردن میدانی ناپیوسته در سطح خود باشند، نیازی به رعایت محدودیت های ذکر شده در روش المانهای محدود برای المان بندی دامنه های ناپیوسته وجود ندارد. در نتیجه در هنگام المان بندی دامنه مورد نظر با روش المان محدود بسط یافته نیازی به در نظر گرفتن مرز ناپیوستگی به عنوان یکی از پارامترهای موثر در نحوه المان بندی وجود ندارد. به عبارت دیگر در این روش المان بندی بدون توجه به ناپیوستگی موجود انجام گرفته و سپس در توابع شکل مربوط به المانهایی که مرز ناپیوستگی آنها را قطع می کند تغییراتی ایجاد می شود، به نحوی که میدانی توسط این توابع شکل اصلاح شده ایجاد میشود، بتواند ناپیوستگی مورد نظر را مدل کند. بدین ترتیب جواب به دست آمده از المان بندی مستقل خواهد بود. از مزیتهای این روش این است که هیچ درجه آزادی به سیستم اضافه نمی شود. در نتیجه نیاز ی به حل معادلات پیچیده تر وجود ندارد. به این ترتیب علاوه بر مستقل بودن جواب به دست آمده از نحوه المان بندی ، مشکلات روشهای بدون المان از جمله حجم عملیات بالا از میان می رود. از جمله مواردی که تا کنون با این روش بررسی شده شده است، می توان به بررسی محیطهای دارای ترک و یا محیط های تشکیل شده از دو یا چند ماده اشاره کرد[1,7].
2-تاریخچه
مبنای ریاضی روش تقسیم بندی واحد توسط Melenk و Babuska (1996) ارائه گردید. آنها نشان دادند که این روش می تواند برای بکارگیری ساختار معادله دیفرانسیل مورد نظر براساس روشهای موثر و قوی مورد استفاده قرار گیرد. حل عمومی بر مبنای بکارگیری تئوری تقسیم بندی واحد در روش المان محدود به صورت موضعی بود که در ادامه ، روش المان محدود توسعه یافته نام گرفت[1].
اولین تلاش برای توسعه روش المان محدود توسعه یافته را می توان مربوط به سال 1999 دانست زمانی که Belytschko و Black مش بندی مجدد در روش المان محدود برای رشد ترک را ارائه نمودند. آنها توابع غنی سازی ناپیوسته را برای تقریب المان محدود در صورت وجود ترک اضافه کردند. در ادامه ، Moes و همکاران روش را توسعه داده و آن را روش المان محدود توسعه یافته نامیدند. روش مزبور این امکان را فراهم نمود تا بر اساس اثر متقابل شرایط هندسی ترک و مش، امکانن بررسی مستقل تمام ترک، بر پایه تقریب غنی سازی فراهم گردد[1].
گام بزرگ و روبه جلو در این روش توسط Dolbow انجام گرفت که رساله دکتری خود را در دانشگاه Northwestern به آن دست یافت. این کار منجر به ارائه تعدادی مقاله برای حل مسائل الاستیک دو بعدی با استفاده از هردو تابع پرش و خاصیت مجانب شوندگی در نزدیکی نوک با استفاده از روش المان محدود توسعه یافته و تعریف روشی برای مدل کردن ناپیوستگی دلخواه در چارچوب روش المان محدود با غنی سازی موضعی بر مبنای جابجایی از طریق روش تقسیم بندی واحد گردید[1].
Sukumar و همکاران در ادامه XFEM را برای مدل سازی سه بعدی ترک گسترش داده و مسائل هندسی مشخص کننده ترک و غنی سازی مربوط به تقریب المان محدود را ارائه نمودند. مدلسازی ترکهای متقاطع و با شاخه های متعدد، حفره های متعدد و ترکهای حاصل از حفرات موضوع دیگری بود که توسط Daux و همکاران برای گسترش XFEM اولیه صورت پذیرفت[1].
روشهای سطوح تراز به تدریج برای نشان دادن موقعیت ترک از جمله نوک ترک تکامل یافت.Stolarska و همکاران ترکیب روش سطوح تراز با المان محدود توسعه یافته را برای مدلسازی رشد ترک معرفی کردند. Belytschko و همکاران روشی برای سازی ناپیوستگی دلخواه در تابع و مشتقات آن در روش المان محدود ارائه نمودند[1].
بطور کلی المان محدود توسعه یافته به صورت موفقیت آمیزی برای شبیه سازی بسیاری از مسائل به کار رفته است. موضوع موقعیت یابی توسط Jirasek و Zimmermann ، Song و همکاران ، Ferrie و همکاران و تعدادی دیگر از محقیق مورد مطالعه قرار گرفته است.
مساله ترکهای چسبنده توسط Moes و Belytschko ، Zi و Belytscho و سایر محقیق مورد بررسی قرار گرفته و همچنین رفتار ترک در مواد کامپوزیت نیز با استفاده از المان محدود توسعه یافته را مورد مطالعه قرار دادند[1].
3-ناپیوستگی
ناپیوستگی به صورت تغییرات سریع کمیتی مشخص در طول معین که در مقایسه با ابعاد محدوده مورد نظر قابل صرفنظر کردن می باشد، در نظر گرفته شده و در دنیای واقعی به صورت فراگیری یافت می گردد. انواع متداول ناپیوستگی در مسائل مهندسی عبارتند از :
شکل 1: انواع ناپیوستگی های متداول در مسائل مهندسی.
(a در جامدات تنشها و کرنشها در راستای سطوح اندرکنشی مصالح می تواند ناپیوسته باشد.
(b در جامدات جابجایی ها در ترک ها ناپیوسته هستند.
(c جابجایی های مماسی در راستای نواحی برش خورده ناپیوسته می باشند.
(d در سیالات مقادیر سرعت و فشار می تواند با ناپیوستگی در محل تلاقی دو سیال همراه باشد.
(e,f لایه های مرزی می تواند به شکل ناپیوستگی توصیف گردد.
بطور کلی ناپیوستگی ها را می توان به دو دسته تقسیم نمود.
ناپیوستگی های ضعیف :
به صورت ناپیوستگی های مرتبط با مشتق متغیر مورد نظر بوده و در مسائلی که متغیر مربوطه تغییر مکان باشد. به صورت پرش در کرنش نظیر مواردی که شامل دو نوع مصالح می باشند، وجود دارد.
شکل2: تعریف ناپیوستگی ضعیف.
ناپیوستگی قوی:
مربوط به ناپیوستگی های مربوط به متغیر مساله می باشند. در مسائلی که متغیر اصلی تغییر مکان می باشد، این نوع از ناپیوستگی به صورت پرشهای تغییر مکان نظیر ترکها یا حفرات می باشد.
شکل3: تعریف ناپیوستگی قوی.
4-روشهای مدل سازی شکست
به طور کلی روشهای مدل سازی ترک به دو دسته تقسیم می شوند. در دسته اول هندسه ترک و ناپیوستگی ناشی از آن به صورت مستقیم وارد مدل محاسباتی نمی گردد، بلکه اثرات آنها به صورت نرم شدگی ، موضعی شدن کرنش یا تغییر خواص ماده در مدل رفتاری ماده اعمال می شود. در این روش در حقیقت ترک دارای ماهیت هندسی نمی باشد. به این ترتیب این روش حل یک مساله ناپیوسته را به صورت پیوسته امکان پذیر می سازد. به طور مثال در مدل ترک smeared به جای ارائه هندسی ترک، اثر مکانیکی آن به صورت کاهش سختی در سیستم اعمال می گردد. بدین صورت که سختی ماده به طور مناسب و به صورت موضعی کاهش می یابد تا ناپیوستگی میدان جابجایی ناشی از حضور ترک را مدل کند. در حالیکه هندسه مدل و شبکه بندی بدون تغییر باقی می مانند. برخی از مشکلات این روش عبارتند از اینکه رشد ترک به شبکه المان محدود وابسته است و نرم شدگی ساختگی المانها ممکن است سبب ایجاد مقادیر ویژه منفی شود و پایداری محاسبات را با مشکل مواجه کند.
در دسته دوم هندسه ترک و ناپیوستگی ناشی از آن به طور مستقیم وارد محاسبات می گردد. در این دسته مدلسازی ترک به دو صورت عمده انجام می پذیرد: مدل ترک ما بین المانی و مدل ترک داخل المانی. در مدل ترک مابین المانی که از اولین روشهای مدلسازی رشد ترک در المان محدود می باشد، ترک تنها از مرز بین المانها می تواند عبور کند. در واقع در این روش جهت رشد ترک توسط توپولوژی و آرایش المانها محدود شده و مسیر رشد ترک مقید به مرز بین المانها می باشد. ناپیوستگی در این روش از طریق جداسازی گره های مشترک المانهایی که ترک از مرز بین آنها عبور کرده و تبدیل آنها به چند گره جدا از هم ایجاد می گردد. به این ترتیب در حین رشد ترک شبکه المانها تغییر نمی کند. این روش در مسائلی که مسیر گسترش ترک از پیش معلوم است با دقت خوبی قابل استفاده است. اما در مسائلی که مسیرر گسترش ترک از پیش معلوم نیست و گسترش ترک در حالت کلی مورد نظر است رشد ترک وابستگی شدیدی به شبکه بندی المان محدود نشان می دهد. در این گونه مسائل برای رسیدن به جواب درست باز تولید شبکه همزمان با رشد ترک امری اجتناب ناپذیر است. یعنی می بایست شبکه بندی همراه با رشد ترک به روز شود. به روز رسانی شبکه بندی علاوه براین که امکان گسترش ترک را فراهم می سازد سبب بهبود کیفیت شبکه بندی نیز می شود و در تغییر شکلهای بزرگ از اعوجاج المانها جلوگیری می کند. از جمله مسائل مطرح در روشهای مبتنی بر باز تولید شبکه مانند روش المان محدود تطابقی ، مساله انتقال داده ها از شبکه بندی قدیم به شبکه بندی جدید است که مرحله مهمی از محاسبات را تشکیل می دهد. این مرحله از تحلیل علاوه براینکه هزینه محاسباتی بالایی دارد، می تواند سبب بروز خطای محاسباتی و واگرایی حل شود که می باست به طریق مناسبی مورد توجه قرار گیرد. باز تولید شبکه بر اساس خطای برآورد شده امکان اصلاح شبکه بندی به گونه ای که خطا دارای توزیع یکنواخت و مقدار مطلوب در کل دامنه شود را فراهم می اورد. ریز نمودن المانها در نواحی با خطای زیاد و درشت نمودن المانها در نواحی با خطای کم دستیابی به یک شبکه بندی بهینه که هم حتی الامکان دارای کمترین درجات آزادی ممکن باشد و هم خطای حل در محدوده قابل قبول باشد را ممکن می سازد. کمیتی که جهت برآورد خطا استفاده می شود در مسائل معمول مکانیک جامدات تنش است، اما گاهی از تغییر مکان هم استفاده می شود. در حل مسائل شکست برآورد خطا و کنترل آن می تواند هم در مورد تنش و هم در مورد کمیتهای مکانیک شکست مانند ضریب شدت تنش نرخ رهایی انرژی و انتگرال ژاکوبین انجام می شود. مشکل اصلی در استفاده از این روش هزینه بر بودن تولید شبکه بندی جدید می باشد. یک روش برای غلبه بر چنین مشکلی استفاده از باز تولید شبکه به صورت محلی است. بدین ترتیب که شبکه بندی فقط در ناحیه کوچکی حول نوک ترک اصلاح می شود تا تغییرات هندسه و توپولوژی شبکه در اثر رشد ترک را لحاظ کند[1,7].
شکل4: حالتهای مختلف گسیختگی.
در مدل ترک داخل المانی به ترک امکان داده می شود تا از داخل المان عبور نماید. در این مدل بدون نیاز به باز تولید شبکه ترک موجود گسترش می یابد. به طور مثال در روش المان محدود توسعه یافته که مبتنی بر مفهوم تقسیم واحد می باشد با غنی سازی فضای تقریب المان محدود کلاسیک با استفاده از توابع غنی سازی مناسب که با توجه به فیزیک مساله انتخاب شده اند، ناپیوستگی ناشی از وجود ترک به صورت ضمنی وارد مدلسازی می شود بدون اینکه هندسه مدل و شبکه بندی تغییر داده شوند. ایده ارائه شئه این امکان را می دهد که ترک به صورت مستقل از شبکه بندی مدلسازی شود. به این ترتیب ترک می تواند هندسه ی مستقل از شبکه بندی داشته باشد و به آن اجازه رشد به صورت دلخواه داده می شود. ضمنا، نیاز به شبکه بندی مجدد که مستلزم انتقال داده ها بین شبکه بندی قدیم و جدید است در حین رشد ترک رفع می گردد. به منظور انتگرال گیری روی المانهای غنی شده لازم است که ابتدا المان به تعدادی زیر المان که روی آنها انتگرال گیری عددی امکان پذیر است تقسیم شود. سپس روی هر یک از این زیر المانها انتگرال گیری گوس استاندارد انجام شود.
شکل 5: ترک smeard و ترک گسسته.
شکل 6: المان منفرد – المان گسسته.
شکل 7: المان غنی شده.
5-مودهای شکست
بر اساس تلاشهای Irwin سه مود اصلی شکست برای مواد ذکر گردید:
مود I، مود II و مود III
مود I مربوط به باز شدن وجوه عمود بر یکدیگر ترک تحت اثر بار کششی می باشد. مود II مربوط به مود شکست برشی درون صفحه و لغزشی می باشد. تنشهای برشی به موزات صفحه ترک و عمود بر وجه ترک عمل می کنند. مود III شکست به عنوان مود پارگی طبقه بندی شده است. تنشهای برشی موازی صفحه و وجه ترک وارد می شوند. سه مود شکست به صورت شماتیک در شکل 8 نشان داده شده است.
شکل8: انواع مودهای شکست.
6-ضریب شدت تنش
یکی دیگر از کارهای مهمIrwin و همکاران در زمینه مکانیک شکست ارائه روشی برای ارزیابی مقدار انرژی موجود برای گسترش ترک در شرایط اعمال تنش یکنواخت است. در این روش نیاز است که بار گذاری و شرایط هندسی برای ارزیابی نرخ انتشار انرژی تعیین گردد. مقادیر تنش جسم در شرایط الاستیک خطی در شرایط تنش یکنواخت در مجاورت نوک ترک در فرم کلی عبارت است از [1] :
(1)
عبارت تعمیم یافته برای مقادیر جابجایی یکنواخت عبارت است از [1] :
(2)
مقادیر تنش مجانب شونده برای دو مود شکست عبارتند از : (3)
و مقادیر جابجایی برابرند با :
(4)
که k ثابت kolsov بوده و برابر است با :
(5)
7-روش اﻟﻤﺎن ﻣﺤﺪود ﺑﺴﻂ ﻳﺎﻓﺘﻪ
روش اﻟﻤﺎن ﻣﺤﺪود ﺑﺴﻂ ﻳﺎﻓﺘﻪ ،روﺷﻲ ﻧﻮﻳﻦ در ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﺤﻴﻂ ﻫﺎی ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ بلیتشکو و ﻫﻤﻜﺎران اﺑﺪاع ﺷﺪه و از آن ﺑﺮای ﻣﺪﻟﺴﺎزی اﻳﻦ ﻣﺤﻴﻂ ﻫﺎ در ﺣﺎﻟﺖ اﻻﺳﺘﻴﻚ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه است.در اﻳﻦ روش اﻟﻤﺎن ﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﺮ روی ﻣﺮز ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﻗﺮار دارند ﺗﻮﺳﻂ روﺷﻲ ﺑﺎ ﻋﻨﻮان ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪی المانها و که توسط بابوسکا و همکاران ابداع شده است، به زیر المانهایی تقسیم کرده و از آنها برای ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدی در دو ﻃﺮف اﻳﻦ اﻟﻤﺎن بهره میﮔﻴﺮﻧﺪ. ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ زﻳﺮ المان ﻫﺎ، ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ اﻟﻤﺎن ﻫﺎی ﻣﻌﻤﻮل رﻓﺘﺎر ﻧﻜﺮده و درﺟﺎت آزادی ﻣﺤﻴﻂ را اﻓﺰاﻳﺶ ﻧﻤﻲ دﻫﻨﺪ. ﻳﻜﻲ از ﻣﺪﻟﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﺮای ﺑﺮرﺳﻲ رﻓﺘﺎرﭘﻼﺳﺘﻴﻚ ﻣﻮاد واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻓﺸﺎر ﻫﻴﺪروﺳﺘﺎﺗﻴﻚ ﻣﻲ ﺗﻮان از آن ﺑﻬﺮه ﺑﺮد، ﻣﺪل ﭘﻼﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ دو ﺳﻄﺤﻲ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻲ آن در ﻣﺪﻟﺴﺎزی ﻣﻮاد ﺑﺎ رﻓﺘﺎر ﺳﺨﺖ ﺷﻮﻧﺪه ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻲ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه وﻛﺎرﺑﺮد آن در ﻣﺴﺎﺋﻠﻲ ﻧﻈﻴﺮ ﺷﻜﻞ دﻫﻲ ﻓﻠﺰات وژﺋﻮﺗﻜﻨﻴﻚ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺮای ﻣﺪﻟﺴﺎزی ﻣﺴﺎﺋﻠﻲ ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ ﻧﻮﻋﻲ از ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ در ﻣﻴﺪان ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﻳﺎ ﻛﺮﻧﺶ وﺟﻮد دارد، روﺷﻬﺎی ﻣﺨﺘﻠﻔﻲ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻤﮕﻲ در ﺟﻬﺖ اراﺋﻪ ﻳﻚ راه ﺣﻞ ﺳﺎده تر ﺮ ﺑﺮای ﻣﺪل ﻛﺮدن رﻓﺘﺎر اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﻣﺴﺎﺋﻞﻫﺴﺘﻨﺪ.از اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ روﺷﻬﺎ، روش اﻟﻤﺎن ﻣﺤﺪود ﺑﺴﻂ ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﺳﻌﻲ میﺷﻮد ﺟﻬﺖ ﮔﻴﺮی ﻛﻠﻲ روش اﻟﻤﺎن ﻣﺤﺪود ﺣﻔﻆ ﺷﺪه و ﺑﺎ اﻳﺠﺎد ﺗﻐﻴﻴﺮاﺗﻲ درﺗﻘﺮﻳﺐ ﻣﻴﺪان جابجاﻳﻲ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪی ﻳﻚ اﻟﻤﺎن، ﻛﺎر ﺑﺮای ﻣﺪﻟﺴﺎزی ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ها ﺳﻬﻞ تر ﺷﻮد. اﺳﺎس اﻳﻦ روش ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎی در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺟﻤﻠﻪ ای اﺿﺎﻓﻲ ﺑﺮای ﺗﻘﺮﻳﺐ زدن ﻣﻴﺪان ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ اﺳﺖ:
(6)
ﻛﻪ در آنN توابع شکل ، u ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﮔﺮﻫﻲ ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﻣﻌﻤﻮل،a مقادیر گرهی اصلاح کننده،ψ تابع غنی ساز هستند. در اﻳﻦ روش دو ﺷﻴﻮه ﺑﻄﻮر ﻫﻤﺰﻣﺎن در اﻟﻤﺎﻧﻬﺎی واﻗﻊ ﺑﺮ روی ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ اﻋﻤﺎل ﻣﻲشود. روش ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪی اﻟﻤﺎﻧﻬﺎ و روش ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ . برای مثال در یک المان 2 گرهی دارای ترک خوردگی به شکل زیر می باشد.
شکل9: شبیه سازی ترک در مسائل یک بعدی با استفاده از توابع شکل استاندارد.
برای المانهای 4 گرهی ، ناحیه انتقال و نحوه غنی سازی در شکل 10 آورده شده است.
شکل10: ناحیه انتقال هموار بین المان محدود و المانهاب غنی شده.
روش ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪی اﻟﻤﺎﻧﻬﺎ ﻛﻪ در آن ﺑﺎ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪی ﻳﻚ اﻟﻤﺎن ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﺑﻪ دو ﻧﻴﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ، ﺳﻌﻲ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﺟﻬﺖ ﮔﻴﺮی ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﺗﻮﺳﻂ اﻳﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪﻳﻬﺎ ﻣﺪل ﺷﻮد و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻧﻴﺎزی ﺑﻪ اﺳﺘﻔﺎده از اﻟﻤﺎﻧﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﺎ ﻣﺮز ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﺑﻮده و درﺟﺎت آزادی را اﻓﺰاﻳﺶ می دﻫﻨﺪ نمیﺑﺎﺷﺪ. در واﻗﻊ اﻳﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪﻳﻬﺎ ﺗﻨﻬﺎ اﺑﺰاری ﺑﺮای ﻣﺪﻟﺴﺎزی دو ﻗﺴﻤﺖ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﻛﻪ دارای ﻣﻮاد ﺑﺎ ﺧﻮاص ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﻮده و ﻳﺎ ﻣﻴﺪان ﻫﺎی ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻔﻲ دارﻧﺪ، میﺑﺎﺷﺪ . در اﻛﺜﺮ ﻣﻮارد اﻳﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪﻳﻬﺎ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻣﺜﻠﺜﻲ ﺑﻮده و دارای راﺳﻲ ﻣﺸﺘﺮک ﻛﻪ ﻫﻤﺎن ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻄﺢ ﻫﺮﻳﻚ از ﺳﻄﻮح دو ﻃﺮف ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ اﺳﺖ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ . ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ می توان از ﻧﻘﺎط گوسیﻫﺮﻳﻚ از اﻳﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪﻳﻬﺎ ﺑﺮای ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدی و اﻧﺘﮕﺮاﻟﮕﻴﺮی ﺑﺮ روی ﻫﺮﻳﻚ از ﺳﻄﻮح دو ﻃﺮف ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد و ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﻜﻞ ﺑﺪون اﻓﺰ ودن ﻫﺮﮔﻮﻧﻪ درﺟﻪ آزادی ﻣﺎزاد ﻧﺎﺷﻲ از اﻓﺰاﻳﺶ اﻳﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪﻳﻬﺎ ﻳﺎ زﻳﺮاﻟﻤﺎﻧﻬﺎ می ﺗﻮان در اﻧﺠﺎم ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺧﻮد ﻫﺰﻳﻨﻪ ﻛﻤﺘﺮی را صرف نمود و صرفا از درﺟﺎت آزادی ﻣﻌﻤﻮل اﻟﻤﺎﻧﻬﺎی اﺻﻠﻲ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﻗﻄﻊ ﺷﺪه اﻧﺪ ﺑﻬﺮه برد. اﻳﻦ ﻓﺮآﻳﻨﺪ در ﭘﺪﻳﺪه هایی ﻛﻪ ﺑﺎ ﮔﺬﺷﺖ زﻣﺎن شرایط ﻣﺴﺄﻟﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ میکند، همانند گسترش ترک و شکل گیری مواد کاربرد موثری دارد و نیاز به تغییرمشبندی را در اینگونه مسائل برطرف می کند. اﻟﻤﺎن ﻫﺎی ﺟﺪﻳﺪی ﻛﻪ ﺑﺎ ﮔﺬﺷﺖ زﻣﺎن در ﺑﺮﮔﻴﺮﻧﺪه ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪی اﻟﻤﺎﻧﻬﺎ ﺑﻪ زﻳﺮ اﻟﻤﺎﻧﻬایی ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﺪه و ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﺶ ﻗﺒﻠﻲ ﺑﺪون ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﺪ.
شکل11: المانهای غنی شده و استاندارد.
7-1-معادله کلی برای توسعه المان محدود
می توان معادله کلی که برای توسعه المان محدود بکار گرفته می شود ، به شکل زیر بیان کرد[2,3].
به صورت ساده تر توابع اعمالی برای قسمتهای مختلف یک ترک خوردگی که شامل نوک ترک و طول ترک است به صورت شماتیک در شکل 12 آورده شده است.
شکل 12: نشان دهنده ترکهای میانی و ترکهای نوک ایجاد شده در سازه و همچنین توابع مورد استفاده برای غنی کردن المان بندی.
7-2-روش سطوح تراز
شکل13:تعریف سطح تراز[3].
تابع فاصله جهت دار:
(7)
تابع سطح تراز دایره ای : (8)
انواع دیگر نظیر چند ضلعی بیضوی و …
شکل 14: مثالهای مربوط به سطوح تراز.
لازم به ذکر است برای ناپیوستگی های ضعیف تابع غنی سازی مورد استفاده معادل میزان مطلق تابع فاصله جهتدار می باشد:
(9)
d برابر است با فاصله بین نقطه x تا سطح :
شکل 15: تعریف فاصله d در تابع فاصله جهت دار.
در شکل زیر مقادیر مطلق تابع فاصله جهت دار در حالت یک و دو بعدی ارائه شده است.
شکل 16: در شکل زیر مقادیر مطلق تابع فاصله جهت دار در حالت یک و دو بعدی .
7-3-روش غنی سازی میدان جابجایی
در روشهای معمول المان محدود میدان جابجایی را به وسیله توابع شکل و مقادیر گرهی جابجایی می توان تقریب زد. در این حالتها ، فرض پیوستگی میدان جابجایی و میدان کرنش در داخل هر المان برقرار بوده و لذا در هنگام وجود هرگونه ناپیوستگی در این دو پارامتر نمی توان از این فرض بهره برد. برای مدل کردن میدان جابجایی در المانهای که شامل ناپیوستگی در میدان کرنش هستند روش level set پیشنهاد شده است. در این روش مسائلی که با زمان دارای تغییر شکل بوده مدلسازی می شوند. پدیده گسترش ترک و تغییر شرایط مرزی از نمونه هایی هستند که به وسیله کاربرد این روش می توان آنها را پیگیری کرد. در این روش با کاربرد تابعی با یک مرتبه بالاتر از معادله سطح ناپیوستگی و صفر قرار دادن آن در شرایط مرزی یا ناپیوستگی می توان این ناپیوستگی را تششخیص داد.
علاوه بر این مزیت ، در هرگونه شرایط ثابت یا متغیر می توان از مقادیر این توابع برای غنی سازی میدان جابجایی بهره برد. همانطور که گفته شد فرض بر این است که که مقادیر level set بر روی مرز ترک یا ناپیوستگی دارای مقدار صفر بوده و در طرف این مقادیر منفی و در طرف دیگر مثبت است. این امر موجب می شود که با اعمال این مقادیر بر توابع شکل، یک ناپیوستگی در این توابع بر روی مرز ایجاد شده که رفتار دو طرف آن را متمایز می سازد. برای این امر نیاز به در نظر گرفتن ضرایب مجهول اضافی بر روی گره ها ی المانهای در بر گیرنده ناپیوستگی میباشد که در واقع همانند درجات آزادی اضافی بر روی این گره ها رفتار می کنند. با وجود این ضرایب اضافی، قانون موازنه کار داخلی و خارجی در میدان جابجایی المانها و با در نظر گرفتن ناپیوستگی در انها در نظر گرفته می شود. وجود این جمله اضافی در میدان جابجایی و در نتیجه در مقادیر تنش و کرنش موجب بهبودی نتایج و نزدیکتر شدن آنها به نتایج ناشی از المان محدود معمولی که در آن المانها تحت اثر وجود مرز ناپیوستگی ، جهت گیری کرده اند، می شود. در نتیجه پایه این روش مبتنی بر موازنه انرژی در میدان مورد نظر با توجه به این بوده که وجود درجات آزادی اضافی بر روی گره های موجود بر روی المانهای واقع بر روی مرز ناپیوستگی ، این امکان را به ماده می دهد که رفتاری متمایز در دو طرف مرز ناپیوستگی از خود نشان دهد. در شکل زیر دو مش بندی مختلف به روشهای المان محدود و المان محدود توسعه یافته برای یک صفحه سوراخ دار ارائه شده است.در ادامه نتایج مربوط به توزیع تنش قائم برای این دو مش بندی آورده شده است. در حالت الف نیازی به ایجاد حفره و پیچیده کردن المان بندی در مرز سوراخ همان طوری که در شکل ب آورده شده نیست و تنها با استفاده از توابع غنی ساز می توان هر سوراخ و حفره و ترک خوردگی را به راحتی و دقت بالا مدل نمود[5].
شکل 17: مدل سازی صفحه سوراخ دار با دو نوع مش بندی.
7-3-1-ﺑﺮﺧﻲ از ﻣﺸﻜﻼت ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی
در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ ﻣﺸﻜﻼت ﻣﺮﺑﻮط ﺑـﻪ ﻓﺮآﻳﻨـﺪ ﻏﻨـﻲ ﺳـﺎزی در روش اﻟﻤﺎن ﻣﺤﺪود ﺗﻮﺳﻌﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﺑﺮرﺳﻲ میشود. ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﻮﺿﻌﻲ اﻧﺠﺎم ﻣﻲﺷﻮد؛ ﺑﺪﻳﻦ ﺻﻮرت ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺨﺶ ﻫﺎﻳﻲ از ﺣﻮزه ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. از آﻧﺠﺎ ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﺳﺮی از ﮔﺮهﻫﺎی داﻣﻨﻪ ﻏﻨﻲ سازی می شوند ﺳﻪ ﻧﺎﺣﻴﻪ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻔﻜﻴﻚ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ :ﻧﺎﺣﻴﻪ ﻣﺘﺸﻜﻞ از اﻟﻤﺎن ﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻫﻤﻪ ﮔﺮهﻫﺎﻳﺸﺎن ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﻣﻲﺷﻮﻧﺪΩenr ناحیه متشکل از المانهایی که هیچکدام از گره هایشان غنی نمی شوند stdΩ و ناحیه موسوم به ناحیه مخلوط blendΩ که در این ناحیه تنها برخی از گره های یک المان غنی می شوند. ﻧﺎﺣﻴﻪ ﻣﺨﻠﻮط اﻫﻤﻴﺖ ﺑﺴﻴﺎر زﻳﺎدی در ﻣﺴﺎﻳﻞ ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی دارد .اﻟﻤﺎن ﻫﺎ در اﻳﻦ ﻧﺎﺣﻴﻪ ﺑﻪ ﺳﺒﺐ اﻳﻨﻜﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻧﺎﻗﺺ ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ روش ﺗﻘﺴﻴﻢ واﺣﺪ را ارﺿﺎء ﻧﻤﻲ ﻛﻨﻨﺪ؛ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ رﻓﺘﺎر ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺒﻲ داﺷﺘﻪ و ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺣﺼﻮل ﺟﻮاب ﻫﺎی ﺻﺤﻴﺢ و دﻗﻴﻖ ﺗﻮﺟﻪ وﻳﮋه ای ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺎﺣﻴﻪ داﺷﺖ. ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ﻣﻴﺪان ﺗﻐﻴﻴﺮﻣﻜﺎن ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪ زیر ﺗﻘﺮﻳﺐ زده ﺷﻮد، ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻌﻨﺎ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻮک ﺗﺮک ﺑﺮای ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی المان های نوک ترک و تابع ناپیوسته H برای غنی سازی ﻛﺎﻣﻼ ﺑﺮﻳﺪه ﺷﺪه ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ًمی گیرند.
(10)
در این حالت با توجه به شکل 18، پنچ نوع المان قابل تفکیک هستند.
شکل18: نواحی مختلف مربوط به غنی سازی با تابع H و توابع نوع ترک.
1-اﻟﻤﺎنﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از ﮔﺮه ﻫﺎﻳﺸﺎن ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﻧﻤﻲ ﺷﻮد.
2- اﻟﻤﺎنﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻫﻤﻪ ﮔﺮه ﻫﺎﻳﺸﺎن ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ.
3- اﻟﻤﺎنﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻫﻤﻪ ﮔﺮه ﻫﺎﻳﺸﺎن ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ؛ اﻣﺎ ﺑﺮﺧﻲ از ﮔﺮه ﻫﺎ ﺑﺎ ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻮک ﺗﺮک و ﺑﺮﺧﻲ ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ Hﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ.
4-اﻟﻤﺎنﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻲ (ﻧﻪ ﻫﻤﻪ) ﮔﺮه ﻫﺎﻳﺸﺎن ﺑﺎ ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻮک ﺗﺮک ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ.
5- اﻟﻤﺎنﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻲ (ﻧﻪ ﻫﻤﻪ) ﮔﺮهﻫﺎﻳﺸﺎن ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﻏﻨﻲ Hﺳﺎزی ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ
شکل19: نواحی مختلف مربوط به غنی سازی با تابع H .
اﻟﻤﺎنﻫﺎی ﻧﻮع 3 و المانﻫﺎی ﻧﺎﺣﻴﻪ ﻣﺨﻠﻮط ﺑﻪ ﺧﺼﻮص اﻟﻤﺎنهای نوع 4 رﻓﺘﺎر ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺒﻲ دارﻧﺪ ﻛﻪ ﻋﻠﺖ اﻳﻦ اﻣﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻫﻤﺰﻣﺎن از ﺗﻮاﺑﻊ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای و ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻮک ﺗﺮک ﺑﺮای ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺟﻮاب در اﻳﻦ اﻟﻤﺎن ﻫﺎ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ﺗﻨﻬﺎ از تابه H ﺑﺮای ﻏﻨﻲﺳﺎزی اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد و از ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻮک ﺗﺮک ﺻﺮﻓﻨﻈﺮ ﻛﻨﻴﻢ، ﻣﺪل ﻫﻤﮕﻦ ﺗﺮی ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ .در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ اﻟﻤﺎن نامناسب 3و 4 پیشین ﺣﺬف ﺷﺪه و همانطور که در شکل 19 دﻳﺪه می شود، ﺗﻨﻬﺎ 3 نوع المان در ﻣﺪل ﻗﺎﺑﻞ ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻲ اﺳﺖ. ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ در راﺑﻄﻪ 11 دیده میﺷﻮد در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻓﺮﻣﻮل ﺑﻨﺪی ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺳﺎده ﺗﺮ ﺷﺪه و اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع در ﻣﺴﺎﺋﻠﻲ ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ اﺛﺮات ﭘﻼﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ، ﻧﻴﺮوﻫﺎی دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ و ًرﻓﺘﺎرﻫﺎی ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ، ﻣﺨﺼﻮﺻﺎ ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ رﺷﺪ ﺗﺮک ﻣﺪﻧﻈﺮ ﺑﺎﺷﺪ، ﺑﺴﻴﺎر ﺣﺎﺋﺰ اﻫﻤﻴﺖ اﺳﺖ.
(11)
تقریب میدانهای جابجایی در روش المان محدود توسعه یافته به کمک رابطه زیر و از روی مقادیر گره ای به دست میآید.
(12)
در این رابطه NI توابع شکل هستند.qi درجات آزادی المان محدود.q_k^oوq_k^j درجات آزادی اضافی در گره K می باشد و Xk موقعیت گره k است. مجموعه گرههای المانها در اطراف نوک ترک با SC و مجموعه گرههای المانهایی که توسط ترک بریده میشوند یا به عبارتی ناپیوستگی با SH مشخص شده اند. مجموعه المانها و گرهها در SCمی توانند توسط کاربر انتخاب شوند. معمولا یک المان کفایت میکند اما با توجه به اینکه با استفاده از چندین المان میتوان حل دقیقتری را به دست آورد. تابع H ارائه شده در رابطه بالا تابع پله هویساید می باشد که به صورت زیر می باشد:
(13)
در روابط ارائه شده ψ توابع غنی سازی هستند که رفتار نزدیک نوک ترک را تقریب می زنند. این توابع بر حسب مختصات محلی نوک ترک (r,θ) عبارتند از:
(14)
شکل20: تغییر شکل یک المان چهار گرهی با یک تابع پرش.
با جایگذاری این روابط در رابطه بالا به نتایج زیر می رسیم[6].:
(15)
روش اﺟﺰاء ﻣﺤﺪود ﺗﻮﺳﻌﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻳﻜﻲ از روش ﻫﺎی ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﻣﺴﺎﻳﻞ دارای ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﺑﻪ ﺧﺼﻮص داﻣﻨﻪ ﻫﺎی ﺗﺮک دار ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ . از ﺧﺼﻮﺻﻴﺎت اﺻﻠﻲ اﻳﻦ روش ﻋﺪم ﻧﻴﺎز ﺑﻪ ﺷﺒﻜﻪ ﺑﻨﺪی ﻣﺠﺪد در ﺣﻴﻦ رﺷﺪ ﺗﺮک ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .در اﻳﻦ روش ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺣﻀﻮر ﺗﺮک در ﻣﺴﺌﻠﻪ، ﺗﻮاﺑﻊ ﺷﻜﻞ در ﻳﻚ ﺳﺮی ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺿﺮب ﺷﺪه و ﺗﻮاﺑﻊ ﺟﺪﻳﺪی ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ و ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ درﺟﺎت آزادی ﺟﺪﻳﺪی ﺑﺮای ﮔﺮهﻫﺎی اﻃﺮاف ﺗﺮک در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻏﻨﻲ ﺳﺎزی ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد.
8-راه حل المان محدود
برای مدلسازی ترک با روش المان محدود هندسه را باید به صورت واضح با مش مشخص نمود طوری که گره ها در راستای ترک و روی نوک آن قرار بگیرند.
شکل21: راه حل المان محدود برای مدلسازی ترک.
در این خصوص توجه به نکات زیر الزامی است:
9-مثال عددی
شکل22: مش بندی نمونه سنگ مثال عددی.
شکل23:پروفیل جابجایی سنگ مثال عددی.
شکل24: مقایسه نتایج مقاومت توده سنگ بین حل تحلیلی و حل XFEM .
10-جمع بندی
11-منابع
[1] Mohammadi,S. "Extended Finine Element Method for Fracture Analaysis of Structures", School of Civil Engineering University of Tehran,Tehran,Iran.2008.
[2] Zhen-zhong Du, Tomi, K. and Dravinski, M., "Extended Finite Element Method in Abaqus".
[3] Ahmed, A"Extended Finine Element Method Modeling arbitrary discontinuities and Failure analysis",2009.
[4] شاملو امیر. خوئی امیررضا "کاربرد روش المان محدود بسط یافته در مسائل پلاستیسیته دو سطحی" اولین کنگره ملی مهندسی عمران -دانشگاه شریف-1383.
[5] مهدی زاده رخی مسعود. شریعتی محمود. نظری محمدباقر "مطالعه رشد ترک در مواد تابعی به کمک روش المان محدود توسعه یافته " یازدهمین کنفرانس هوا فضای ایران -دانشگاه علوم و فنون هوائی شهید ستاری -1390.
[6] روزگار سیدجعفر. میرزایی مجید. کشاورز آرش. "بررسی تاثیر توابع غنی ساز در روش اجزا محدود توسعه یافته " مجله مکانیک هوا فضا -دانشگاه تربیت مدرس-جلد5،شماره4، زمستان -1388.
[7] یادگاران ایمان، خوئی امیررضا."مدل سازی تماس غیر مسطح با تغییر شکلهای بزرگ با استفاده از روش المان محدود بسط یافته" دانشگاه صنعتی شریف- پایان نامه کارشناسی ارشد.بهمن 1386.
31